【优化探究】高三数学(文)高考二轮复习练习：1.6.1算法、复数、推理与证明(含答案)

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1．(2016·高考全国Ⅱ卷)设复数z满足z＋i＝3－i，则z＝( )
A．－1＋2i B．1－2i
C．3＋2i D．3－2i
解析：先求复数z，再利用共轭复数定义求z.
由z＋i＝3－i得z＝3－2i，∴z＝3＋2i，故选C.
答案：C
2．(2016·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )

A．8 B．9
C．27 D．36
解析：借助循环结构进行运算求解．
k＝0，s＝0，满足k≤2；s＝0，k＝1，满足k≤2；
s＝1，k＝2，满足k≤2；
s＝1＋23＝9，k＝3，不满足k≤2，输出s＝9.
答案：B

3．我们知道，在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值32a，类比上述
结论，在边长为a的正四面体内任意一点到其四个面的距离之和为定值( )
A.63a B.64a
C.33a D.34a
解析：正四面体内任意一点与其四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体
积．设点到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4，每个面的面积为34a2，正四面体的体积为
212a3，则有13×34a2(h1＋h2＋h3＋h4)＝212a3，得h1＋h2＋h3＋h4＝6
3
a.
答案：A
4．(2016·天津模拟)设复数z满足z－iz＋i＝i(i为虚数单位)，则z2 016＝( )
A．21 008 B．21 008i
C．－21 008 D．－21 008i

解析：由z－iz＋1＝i得z－i＝zi＋i，z＝2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝－1＋i，则z2＝(－1＋i)2＝－
2i，从而z2 016＝(z2)1 008＝(－2i)1 008＝21 008×i1 008＝21 008×(i4)252＝21 008.故选A.
答案：A
5．(2016·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )

A．2 B．4
C．6 D．8
解析：借助循环结构进行运算，直至满足条件并输出结果．
S＝4不满足S≥6，S＝2S＝2×4＝8，n＝1＋1＝2；
n＝2不满足n>3，S＝8满足S≥6，则S＝8－6＝2，n＝2＋1＝3；
n＝3不满足n>3，S＝2不满足S≥6，则S＝2S＝2×2＝4，n＝3＋1＝4；
n＝4满足n>3，输出S＝4.故选B.
答案：B
6．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，

相应的图案中总的点数记为an，则9a2a3＋9a3a4＋9a4a5＋…＋9a2 016a2 017＝( )

A.2 0162 017 B.2 0172 016
C.2 0152 016 D.2 0162 015
解析：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样端点上的点数被重复计算了一次，
故第n个图形的点数为3n－3，即an＝3n－3.令Sn＝9a2a3＋9a3a4＋9a4a5＋…＋aanan＋1＝11×2＋
1
2×3

＋…＋1n－n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝n－1n，
∴9a2a3＋9a3a4＋9a4a5＋…＋9a2 016a2 017＝2 0152 016.故选C.
答案：A
7．(2016·甘肃模拟)把数列12n－1的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：
1
13 1
5

17 19 111 1
13

115 117 119 … 1
29

第k行有2k－1个数，第t行的第s个数(从左数起)记为A(t，s)，则A(6,10)＝________.

解析：前5行共有20＋21＋22＋23＋24＝31个数，A(6,10)为数列的第41项，令an＝12n－1，

则a41＝181.
答案：181
8．有6名同学参加演讲比赛，编号分别为1,2,3,4,5,6，比赛结果设特等奖一名，A，B，C，
D四名同学对于谁获特等奖进行预测：
A说：不是1号就是2号获得特等奖；
B说：3号不可能获得特等奖；
C说：4,5,6号不可能获得特等奖；
D说明：能获得特等奖的是4,5,6号中的一个．
公布的比赛结果表明，A，B，C，D四人中只有一人判断正确．
根据以上信息，获得特等奖的是________号同学．
解析：由已知C，D两人的判断一真一假，如果D的判断正确，则B的判断也正确，与已
知矛盾，故C的判断是正确的，那么A的判断错误，即获奖者不是1,2号，且B的判断错
误，故获得特等奖的是3号同学．
答案：3
9．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n∈N*)．证明：
(1)数列Snn是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
证明：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
∴Sn＋1n＋1＝2·Snn，又∵S11＝1≠0，(小前提)
故Snn是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了)
(2)由(1)可知Sn＋1n＋1＝4·Sn－1n－1(n≥2)，

∴Sn＋1＝4(n＋1)·Sn－1n－1＝4·n＋1n－1·Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提)
又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解析：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°

＝1－12sin 30°＝1－14＝34.

(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)

＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin
2
α
＝34sin2α＋34cos2α＝34.
11．设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
解析：(1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，

∴Sn＝a1－qn1－q，∴Sn＝ na1，q＝1，a1－qn1－q，q≠1.
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
a21q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．