空间向量解决空间距离问题(课堂PPT)
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专题6 向量法求空间角与距离(课件)高考数学二轮复习(新高考地区专用)
＝|cos 〈u，n〉|＝
·
＝
·
.
例1 [2023·河北沧州模拟]如图，在三棱锥P - ABC中，AB是△ABC外
接圆的直径，△PAC是边长为2的等边三角形，E，F分别是PC，PB的
中点，PB＝AB，BC＝4.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求直线AB与平面AEF所成角的正弦值．
A．直线BC1与DA1所成的角为90°
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
答案：ABD
)
2.[2022·新高考Ⅰ卷 ]如 图，直三棱柱ABC - A1B1C1 的体积为4 ，
△A1BC的面积为2 2.
(1)求A到平面A1BC的距离；
＝2.
(1)证明：BD⊥EA.
(2)求平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值．
题型三 (空间距离)点到平面的距离
已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过
点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P
到平面α的距离就是AP到直线l上的投影向量QP的长度．因此PQ＝
(1)证明：A1C⊥AB1；
(2)若三棱锥B1 -
2 2
A1AC的体积为 ，求二面角A1
3
- B1C - A的大小．
题后师说
用法向量求二面角的关键是正确写出点的坐标和法向量，再利用两
个平面的夹角公式求解．
巩固训练2
[2023·河南安阳模拟]在多面体EF - ABCD中，平面EDCF⊥平面
ABCD，EDCF是面积为 3的矩形，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB
向量法求空间点到平面的距离课件
2、向量数量积公式
a•b abcos(为a与b的夹角）
学习交流PPT
2
二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离就是
线 B段 的 O 长度。
学习交流PPT
3
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
则
n
CB
0
z
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d= 2
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
学习交流PPT
1
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到距面离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
2
学习交流PPT
y
7
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
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4
练习1
a•b abcos(为a与b的夹角）
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2
二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离就是
线 B段 的 O 长度。
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3
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
则
n
CB
0
z
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d= 2
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
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1
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到距面离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
2
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y
7
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
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4
练习1
空间向量与空间距离 课件
| (2,0, 1) 1,0, 1 |
12 12
2. 2
2.建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(4,0,0),M(2,3,4),
P(0,4,0),Q(4,6,2),
∴ Q=M(-2,-3,2),
QP=(-4,-2,-2),
∴ Q在M 上Q的P 投影长为
| QM QP | | QP |
24 3 2 2 2
化简得4x+6y-8z+7=0, 即到A，B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条 件是4x+6y-8z+7=0.
对空间中的几种距离的认识 (1)面面距.与两平行平面同时垂直的直线叫做两个平面的公垂 线.公垂线夹在两平行平面之间的部分叫两个平面的公垂线段. 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面之间的距离. (2)空间中两条异面直线的距离、直线到平面的距离、两个平 面的距离都可转化为点面距.
32 6
3
方法二：向量法. 分别以PA，PB，PC所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，平面ABC的一个法 向量是n=(1,1,1),
d | PA n | 3 .
n
3
答案： 3
3
3.已知A(3，3，1)，B(1，0，5)，求： (1)线段AB的中点坐标和AB的长度； (2)到A，B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条 件.
0， 0.
取b1=1,则n2=(2,1,2).
ac11
2b1, 2b1.
又 DC=(0，0，
1)，
2
d | DC n2 |
12 2
1,
n2
高中数学第一章空间向量与立体几何2.5空间中的距离课件新人教B版选择性必修第一册
＝|－1| 3
＝
3 3
.
即点A到平面EFG的距离为
3 3
.
直线到平面、平面到平面的距离 [例4] 如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC ＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1.
(1)求证：BE∥平面DCF； (2)求BE到平面DCF的距离．
[解] (1)证明：∵四边形ADFE为矩形， ∴AE∥DF.又∵梯形ABCD中AB∥CD，AE∩AB＝A，DF∩DC＝D， AE，AB⊂平面ABE，DF，DC⊂平面DFC，∴平面ABE∥平面DFC， ∵BE⊂平面ABE，∴BE∥平面DCF. (2)如图，以D为原点，建立空间直角坐标系． ∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°， 则△ADB∽△BCD⇒ABDC ＝DCDB ， ∵CD＝1，BC＝2.∴BD＝ 5 ， ∴AD＝2 5 ，AB＝5，∴F(0，0，1)，
―AM→＝(4，0，0)＋λ(－4，3，1)＝(4－4λ，3λ，λ).
又―BM→·―AC→1 ＝0，∴(4－4λ，3λ，λ)·(－4，3，1)＝0，
∴λ＝183 ，∴―BM→＝4－8× 134，8× 133，183 ＝2103，2143，183 ，
∴|―BM→|＝
21032＋21432＋1832
＝4
设 E 满足―A1→E ＝λA―1→C1且 BE⊥A1C1，
―B→E ＝―BA→1 ＋―A1→E ＝(2，0，2)＋λ(－1， 3 ，0)＝(2－λ， 3 λ，2)， 又―B→E ⊥A―1→C1，∴(2－λ， 3 λ，2)·(－1， 3 ，0)＝0， ∴λ－2＋3λ＝0，∴λ＝12 ，∴―B→E ＝32， 23，2 .
.
|n |
4．相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上 任意一点到平面的距离 称为这条直线与这个平面
第1课时 用空间向量研究距离问题 高中数学人教A版选择性必修第一册课件
A(0,0,0),C(1,1,0),N 1,0,
所以=
1
,0,1
2
1
2
1
,0,1
2
1
0,-1,
2
,M
,=
,
, =(1,1,0).
设 n=(x,y,z),且 n⊥,n⊥,
1
2
+ = 0,
· = 0,
所以
即
1
· = 0,
- + = 0,
2
= -2,
1
即
取 z=2,则 x=-4,y=1,
情境:在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 A 作直线
OB 的垂线,垂足为 A1,则1 就是 a 在 b 上的投影向量.
【思考】
已知两个非零向量 a,b,a 和 b 的夹角为 θ,那么 a 在 b 上
的投影是什么?a 在 b 上的投影向量是什么?
提示:a 在 b 上的投影为|a|cos θ,a 在 b 上的投影向量
5 5
ABC 的一个法向量.
由题意,知 =(-7,-7,7),
所以点 D 到平面 ABC
84
5
|·|
42 2
的距离为
= =
.
||
2
5
4.同类练如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,则点 A 到平面 BDC1 的
3 .
距离为
3
解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、
.
【思考】
(1)若“单位方向向量 u”变为“方向向量 s”,投影向量
,PQ 分别如何表示?
||
· ·
·
所以=
1
,0,1
2
1
2
1
,0,1
2
1
0,-1,
2
,M
,=
,
, =(1,1,0).
设 n=(x,y,z),且 n⊥,n⊥,
1
2
+ = 0,
· = 0,
所以
即
1
· = 0,
- + = 0,
2
= -2,
1
即
取 z=2,则 x=-4,y=1,
情境:在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 A 作直线
OB 的垂线,垂足为 A1,则1 就是 a 在 b 上的投影向量.
【思考】
已知两个非零向量 a,b,a 和 b 的夹角为 θ,那么 a 在 b 上
的投影是什么?a 在 b 上的投影向量是什么?
提示:a 在 b 上的投影为|a|cos θ,a 在 b 上的投影向量
5 5
ABC 的一个法向量.
由题意,知 =(-7,-7,7),
所以点 D 到平面 ABC
84
5
|·|
42 2
的距离为
= =
.
||
2
5
4.同类练如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,则点 A 到平面 BDC1 的
3 .
距离为
3
解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、
.
【思考】
(1)若“单位方向向量 u”变为“方向向量 s”,投影向量
,PQ 分别如何表示?
||
· ·
·
高二数学选择性必修第一册(人教A版)教学课件第一章-1.2空间向量基本定理 课件(共28张PPT)
高中数学 选择性必修第一册 RJ·A
思考 零向量能否作为基向量？ 不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面.
思考 怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？ 平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题.
(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb . (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使 p＝xa＋yb .
反思感悟 求距离(长度)问题的思路 选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为 向量的模的问题.
高中数学 选择性必修第一册 RJ·A
跟踪训练 正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 a，A→M＝21— MC→1，点 N 为 B1B 的中点， 则|M→N|等于（ A ）
高中数学 选择性必修第一册 RJ·A
跟踪训练 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：
①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有（B ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
解析 因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面.
反思感悟 证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行. (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.
高中数学 选择性必修第一册 RJ·A
延伸探究 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，
证明
DF＝23DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.
高考理科第一轮课件(7.9利用空间向量求空间角和距离)
2
) (C) 1
2
(B) 2
4
(D) 3
3
【解析】选B.方法一：E为AD1的中点，过点O作OF∥A1E，交 C1E于点F. ∵E为AD1的中点， ∴EA1⊥AD1. 又BA⊥平面AD1， ∴BA⊥EA1，
∴E1， ∴FO⊥平面ABC1D1，
∴FO＝ 1 EA1＝ 2 .
设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分 别为A(0,- 3 ,0),C(0, 3 ,0),D(0,0,1),
则 AD 0, 3,1 .
显然向量k=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量. 已知平面CAB与平面DAB的夹角为60°，故可取平面ABD的单 位法向量t=(l,m,n),使得〈t,k〉=60°，从而 n 1 .
4 2
MD MA 2 AD 2 2， cosMDP
所以AB与MD的夹角的大小为 .
3
DP 1 ，MDC MDP ， MD 2 3
【拓展提升】 1.异面直线夹角的求法 利用空间向量求异面直线的夹角可利用直线的方向向量， 转化成向量的夹角. 2.合理建立空间直角坐标系 (1)①一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且 交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空 间直角坐标系；
图1
在Rt△ABC中，因AC=2AF= 2 3，AB=2BC，
由勾股定理易知BC= 2 15 , AB= 4 15 .
5 5
故四面体ABCD的体积V= 1 ABC DF S
3
1 1 4 15 2 15 4 1 . 3 2 5 5 5
(2)如图2，设F为AC的中点，连接DF， 过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，平面ABC⊥平面ACD， 易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分 别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
) (C) 1
2
(B) 2
4
(D) 3
3
【解析】选B.方法一：E为AD1的中点，过点O作OF∥A1E，交 C1E于点F. ∵E为AD1的中点， ∴EA1⊥AD1. 又BA⊥平面AD1， ∴BA⊥EA1，
∴E1， ∴FO⊥平面ABC1D1，
∴FO＝ 1 EA1＝ 2 .
设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分 别为A(0,- 3 ,0),C(0, 3 ,0),D(0,0,1),
则 AD 0, 3,1 .
显然向量k=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量. 已知平面CAB与平面DAB的夹角为60°，故可取平面ABD的单 位法向量t=(l,m,n),使得〈t,k〉=60°，从而 n 1 .
4 2
MD MA 2 AD 2 2， cosMDP
所以AB与MD的夹角的大小为 .
3
DP 1 ，MDC MDP ， MD 2 3
【拓展提升】 1.异面直线夹角的求法 利用空间向量求异面直线的夹角可利用直线的方向向量， 转化成向量的夹角. 2.合理建立空间直角坐标系 (1)①一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且 交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空 间直角坐标系；
图1
在Rt△ABC中，因AC=2AF= 2 3，AB=2BC，
由勾股定理易知BC= 2 15 , AB= 4 15 .
5 5
故四面体ABCD的体积V= 1 ABC DF S
3
1 1 4 15 2 15 4 1 . 3 2 5 5 5
(2)如图2，设F为AC的中点，连接DF， 过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，平面ABC⊥平面ACD， 易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分 别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
用向量法求空间距离课件
奇异点
在某些情况下，向量法求空间距离可 能会遇到奇异点，即某些点的坐标值 可能为无穷大或不确定。对于这些点 ，应采取适当的处理方式，如排除或 进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情 况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标 系、极坐标系等。不同的坐标系可能 会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到 直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理 论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习 、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效 率和精度。
THANKS
感谢观看
用向量法求空间距离课件
目 录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量 的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以 用于解决其他几何问题。
在某些情况下，向量法求空间距离可 能会遇到奇异点，即某些点的坐标值 可能为无穷大或不确定。对于这些点 ，应采取适当的处理方式，如排除或 进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情 况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标 系、极坐标系等。不同的坐标系可能 会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到 直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理 论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习 、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效 率和精度。
THANKS
感谢观看
用向量法求空间距离课件
目 录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量 的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以 用于解决其他几何问题。