必修四 第三章 三角恒等变换 章末复习课

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必修四 第三章 三角恒等变换 章末复习课
一、选择题
1、函数f(x)＝sin xsin x＋2sin x2是( )

A．以4π为周期的偶函数
B．以2π为周期的奇函数
C．以2π为周期的偶函数
D．以4π为周期的奇函数

2、设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(3sin A，sin B)，n＝(cos B，3cos A)，若m·
n
＝1＋cos(A＋B)，则C的值为( )

A.π6 B.π3 C.2π3 D.
5π
6

3、已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于
π，则f(x)的单调递增区间是( )

A.kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z
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B.kπ＋5π12，kπ＋11π12，k∈Z
C.kπ－π3，kπ＋π6，k∈Z
D.kπ＋π6，kπ＋2π3，k∈Z

4、已知θ是第三象限角，若sin4 θ＋cos4 θ＝59，那么sin 2θ等于( )
A.223 B．－223 C.23 D．－
2
3

5、函数f(x)＝sin4x＋cos2x的最小正周期是( )
A.π4 B.π2 C．π D．2π

6、若3sin α＋cos α＝0，则1cos2α＋sin 2α的值为( )
A.103 B.53 C.23 D．－2
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7、tan 15°＋1tan 15°等于( )
A．2 B．2＋3 C．4 D.
43
3

二、填空题
8、设α为第四象限的角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________.

9、已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tanπ4＋2α＝________.
10、若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.
11、函数y＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．
12、函数f(x)＝sin2(x＋π4)－sin2(x－π4)的最小正周期是________．
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三、解答题
13、设函数f(x)＝sinπ4x－π6－2cos2π8x＋1.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈0，43时，y＝g(x)的最大值．

14、已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．

以下是答案
一、选择题
1、A [由sin x＋2sin x2＝2sin x2(cos x2＋1)≠0，得x≠2kπ，k∈Z.

∴f(x)定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}关于原点对称．
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∵f(x)＝sin xsin x＋2sin x2＝cos x21＋cos x2.
∴f(－x)＝cos(－x2)1＋cos(－x2)＝cos x21＋cos x2＝f(x)．
∴函数f(x)为偶函数．
又f(x＋2π)＝cosx＋2π21＋cosx＋2π2＝cos(π＋x2)1＋cos(π＋x2)＝－cos x21－cos x2≠f(x)．

f(x＋4π)＝cosx＋4π21＋cosx＋4π2＝cos(2π＋x2)1＋cos(2π＋x2)＝cos x21＋cos x2＝f(x
)，

∴函数f(x)以4π为周期．]
2、C [∵m·n＝3sin Acos B＋3cos Asin B＝3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，
∴3sin(A＋B)－cos(A＋B)＝3sin C＋cos C＝2sinπ6＋C＝1.
∴sinπ6＋C＝12，
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∴π6＋C＝56π或π6＋C＝π6(舍去)，
∴C＝23π.]

3、C [f(x)＝3sin ωx＋cos ωt＝2sinωx＋π6.因为函数y＝f(x)的图象与y＝2的两个相邻交点的
距离为π，故函数y＝f(x)的周期为π.所以2πω＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin2x＋π6.令2kπ－π2≤2
x
＋π6≤2kπ＋π2得2kπ－2π3≤2x≤2kπ＋π3，即kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)．]

4、A [∵sin4 θ＋cos4 θ＝(sin2 θ＋cos2 θ)2－2sin2 θcos2 θ＝1－12sin2 2θ＝59，∴sin2 2θ＝89.
∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ>0.∴sin 2θ＝223.]
5、B [f(x)＝sin4x＋1－sin2x＝sin4x－sin2x＋1＝－sin2x(1－sin2x)＋1
＝1－sin2xcos2x＝1－14sin22x＝1－14×1－cos 4x2＝18cos 4x＋
7
8

∴T＝2π4＝π2.]
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6、A [∵3sin α＋cos α＝0，
∴tan α＝－13，

∴1cos2α＋sin 2α＝sin2α＋cos2αcos2α＋2sin αcos α＝tan2α＋11＋2tan α＝(－13)2＋11＋2×(－13)＝103.]
7、C
二、填空题
8、－
3
4

解析 由sin 3αsin α＝sin(2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝2cos2α＋cos 2α＝135.
∵2cos2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135，∴cos 2α＝45.
∵α为第四象限角，
∴2kπ＋3π2<α<2kπ＋2π，(k∈Z)
∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π，(k∈Z)
故2α可能在第三、四象限，
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又∵cos 2α＝45，
∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.

9、－
1
7

解析 由题意，得2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2(k∈Z)，
∴4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π.∴sin 2α＞0.
∴sin 2α＝1－cos22α＝45.
∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.

∴tanπ4＋2α＝tanπ4＋tan 2α1－tanπ4 tan 2α＝1－431＋43＝－17.
10、
47
80

解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)
2
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＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)
＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136.
∴80sin(α＋β)＝47，

∴sin(α＋β)＝4780.

11、1－2
解析 ∵y＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋2sin(2x＋π4)，
∴ymin＝1－2.
12、π
解析 f(x)＝sin2(x＋π4)－sin2(x－π4)
＝cos2(π4－x)－sin2(x－π4)
＝cos2(x－π4)－sin2(x－π4)
＝cos(2x－π2)＝sin 2x.
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∴T＝π.
三、解答题
13、解 (1)f(x)＝sinπ4xcosπ6－cosπ4xsinπ6－cosπ4x＝32sinπ4x－32cosπ4x＝3sinπ4x－π3，

故f(x)的最小正周期为T＝2ππ4＝8.
(2)在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x，g(x))．
由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，

从而g(x)＝f(2－x)＝3sinπ4(2－x)－π3＝3sinπ2－π4x－π3＝3cosπ4x＋π3.
当0≤x≤43时，π3≤π4x＋π3≤2π3，因此y＝g(x)在区间0，43上的最大值为g(x)max＝3cosπ3＝32.

14、解 (1)由cos β＝55，β∈(0，π)，
得sin β＝255，tan β＝2，
所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1.
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(2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)，
所以sin α＝110，cos α＝－310，
f(x)＝2(sin xcos α－cos xsin α)＋cos xcos β－sin xsin β
＝－355sin x－55cos x＋55cos x－255sin
x
＝－5sin x，
又－1≤sin x≤1，所以f(x)的最大值为5.