递归算法的理解和应用“兔子数列”.pptx
Java递归算法经典实例（经典兔子问题）
Java递归算法经典实例（经典兔⼦问题）
题⽬：古典问题：3个⽉起每个⽉都⽣⼀对兔⼦，⼩兔⼦长到第三个⽉后每个⽉⼜⽣⼀对兔⼦，假如兔⼦都不死，问每个⽉的兔⼦总数为多少？
分析：⾸先我们要明⽩题⽬的意思指的是每个⽉的兔⼦总对数；假设将兔⼦分为⼩中⼤三种，兔⼦从出⽣后三个⽉后每个⽉就会⽣出⼀对兔⼦，
那么我们假定第⼀个⽉的兔⼦为⼩兔⼦，第⼆个⽉为中兔⼦，第三个⽉之后就为⼤兔⼦，那么第⼀个⽉分别有1、0、0，第⼆个⽉分别为0、1、0，
第三个⽉分别为1、0、1，第四个⽉分别为,1、1、1，第五个⽉分别为2、1、2，第六个⽉分别为3、2、3，第七个⽉分别为5、3、5……
兔⼦总数分别为：1、1、2、3、5、8、13……
于是得出了⼀个规律，从第三个⽉起，后⾯的兔⼦总数都等于前⾯两个⽉的兔⼦总数之和，即为斐波那契数列。
Java代码：
很经典的⼀个递归算法的例⼦。
以上就是本⽂的全部内容，希望本⽂的内容对⼤家的学习或者⼯作能带来⼀定的帮助，同时也希望多多⽀持！。
06递归算法PPT课件
递归的定义
若一个对象部分地包含它自己, 或用它自己给自 己定义, 则称这个对象是递归的；若一个过程直接地 或间接地调用自己, 则称这个过程是递归的过程。
递归的定义
直接递归 fun_a() {… fun_a() … }
间接递归 fun_a() {… fun_b() …}
fun_b() {… fun_a() …}
c1, c2,……，cm是若干个可以直接（用非递归方法）解决的问题， g是一个非递归函数，反映了递归问题的结构。
递归模型
例如，阶乘函数 递归出口
1,
当n0时
n! n(n1)!, 当n1时
递归体
ห้องสมุดไป่ตู้
递归的执行过程
实际上，递归是把一个不能或不好直接求解的 “大问题”转化为一个或几个“小问题”来解决，再 把这些“小问题”进一步分解成更小的“小问题”来 解决，如此分解，直至每一个“小问题”都可以直接 解决（此时分解到递归出口）。
递归调用执行过程：
... ...
main() x=17
bn=bSearch(a,x,0,7)
...
bn=bSearch(a,x,0,7)
mid=3 bn=bSearch(a,x,4,7)
...
4
...
return(bn=bSearch(a,x,4,7))
mid=5
bn=bSearch(a,x,4,4)
6.1 递归的概念
若一个算法直接地或间接地调用自己本身，则称 这个算法是递归算法。
1.问题的定义是递归的
例如：阶乘函数的定义
1
当n=0时
n=
n*(n-1) 当n>0时
2. 问题的解法存在自调用 例如：折半查找算法
递推算法优选PPT文档
…
…
循环体内： s←s+i，i ← i×e
循环条件：i≤e100 结果放在变量s中
练习 1、假定某 储蓄的年利率为2.15%，按复 利计算。设计一个算法，计算用户存入 本金m元，希望若干年以后连本带利k元， 需存几年？写出流程图和源代码。
gcd(252,198)=gcd(198,54)
方法： （欧几里德《几何原本》第七卷）
计算下一项1：9a←8b=，3b ×←c，5c4←+a+3b 6
=gcd(54,36)
54 = 1 ×36+18
=gcd(36,18)
36 = 2 ×18+0
=18
gcd(252,198)=gcd(198,54)=gcd(54,36)=gcd(36,18)=18
y
计算下一项：a←b，b ←c，c ←a+b 如求252和198的最大公约数gcd(252,198)
复利计算：m(1+2.
c ←1
设计一个算法，计算用户存入本金m元，希望若干年以后连本带利k元，需存几年？写出流程图和源代码。
规律：n≤2 F1=F2=1 调整记录号：k ←k+1
输出c 结束
例、求两个自然数的最大公约数
（1） n算？
aa=q×存b储+rFk如-若2 r =求0，2则5b为2a和、b最1大9公8约的数 最大公约数gcd(252,198)
a 存储Fk-2
252=1×198+54 a=q×b+r 若r = 0，则b为a、b最大公约数
a=q×b+r 若r = 0，则b为a、b最大公约数
斐波纳奇数列 1 1 2 3 5 8
序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
4.5.1从裴波那契的兔子问题看递归算法
t=t+1
'增加变量t用来统计移动次数。
Else
Call move(n - 1, A, C, B, t)
Text3.Text = Text3.Text + A + "→" + B + vbCrLf
t=t+1
Call move(n - 1, C, B, A, t)
End If
End Sub
Private Sub Command1_Click()
递归算法
递归算法与递归程序
铜梁中学:熊文
递归算法
函数定义：函数是一组一起执行一个任务的语句。 自定义函数的定义格式 Function 函数名(参数表 ) [As type]
过程中的代码 End Function
调用函数的格式： 函数名(参数表)
递归算法 ——递归概念
一个函数、过程、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部又直接或间接 地出现有其本身的引用，则称它们是递归的或者是递归定义的。在程序设计中，过 程或函数直接或者间接调用自己，就被称为递归调用。
算法设计程序。 (4)在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多 容易造成栈溢出等。所以一般不提倡用递归算法设计程序。 递归算法所体现的“重复”一般有三个要求： 一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)； 二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备(通常前一次的输出就作为后 一次的输入)； 三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是 有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常 结束。
递归算法 ——代码
用递归函数的编程实现兔子数列
用递归函数的编程实现兔子数列
兔子数列是一个经典的数学问题，其规律为：每对兔子在第三个月开始生下一对兔子，之后每个月都会生下一对兔子，假设兔子不会死亡，则每个月兔子的数量为斐波那契数列的值
（1,1,2,3,5,8,13……）。
为了实现兔子数列的计算，我们可以使用递归函数的编程方式来实现。
具体步骤如下：
1. 定义一个递归函数，该函数接受一个整数 n 作为参数，并返回第 n 个月的兔子数量。
2. 在函数内部，首先需要判断 n 的值是否是 1 或 2，如果是的话，则返回 1。
3. 如果 n 的值大于 2，则需要使用递归调用来计算第 n-1 个月和第 n-2 个月的兔子数量，并将两个值相加，即可得到第 n 个月的兔子数量。
4. 最后，在主函数中调用递归函数并输出结果即可。
示例代码如下：
```
def rabbit_count(n):
if n == 1 or n == 2:
return 1
else:
return rabbit_count(n-1) + rabbit_count(n-2)
n = 10
result = rabbit_count(n)
print('第', n, '个月的兔子数量为：', result)
```
输出结果为：
```
第 10 个月的兔子数量为： 55
```
通过递归函数的方式，我们可以方便地计算出任意月份的兔子数量，这为解决类似的数学问题提供了一种有效的编程方式。
递归算法课件
当n 0时 1 f ( n) n * f (n 1) 当n 0时
这种函数定义的方法是用阶乘函数自己本身定义了 阶乘函数，称上式为阶乘函数的递推定义式。
数学归纳法表明，如果我们知道某个论点对最小的情 形成立，并且可以证明一个情形暗示着另一个情形，那么我 们就知道该论点对所有情形都成立。 数学有时是按递归方式定义的。 例1：假设S（n）是前n个整数的和，那么S（1）= 1，并且 我们可以将S（n）写成S（n）= S（n-1）+ n。 根据递归公式，我们可以得到对应的递归函数： int S(int n) { if (n == 1) return 1; else return S(n-1) + n; } 函数由递归公式得到，应该是好理解的，要想求出S （n），得先求出S(n-1)，递归终止的条件（递归出口）是(n == 1)。
↑
low 第二次: 下标 元素值 0 1 1 3 2 4
↑
mid 3 5 4 17 5 18 6 31
↑
high 7 33
↑
low 第三次: 下标 元素值 0 1 1 3 2 4 3 5 4 17
↑
mid 5 18 6 31
↑
high 7 33
↑
low high mid
• Public static void main(String args[]) •{ • int[] shus={1,3,4,5,17,18,31,33};
求Fib(5)的递归计算过程如图所示。
Fib(5) Fib(4) Fib(3) Fib(2) Fib(1) Fib(2) Fib(3) Fib(2) Fib(1) Fib(0)
Fib(1) Fib(0) Fib(1)
证明兔子数列
证明兔子数列兔子数列是一个经典问题，在很多书籍和课程中都有涉及。
兔子数列中，每对兔子在出生后两个月就会生出一对新的兔子，假设一对兔子在第一个月出生，则第n个月有多少对兔子呢？为了证明兔子数列，我们可以使用两种方法：递归和迭代。
递归方法首先，我们需要了解递归的概念。
递归是指在解决一个问题时，解决该问题的方法包含了对该问题的解决。
下面是递归方法的代码：```def fibonacci_recursive(n):if n == 0:return 0elif n == 1:return 1else:return fibonacci_recursive(n-1) + fibonacci_recursive(n-2)```将该代码运行，可以得到第n个月的兔子数。
以上代码中，如果n=0，则返回0，如果n=1，则返回1。
如果n大于1，则返回递归的结果，即第n-1个月和第n-2个月兔子数之和。
迭代方法下面是迭代方法的代码：```def fibonacci_iterative(n):a, b = 0, 1for i in range(n):a, b = b, a + breturn a```该代码使用一个循环来计算第n个月的兔子数。
在循环中，使用两个变量a和b来存储前两个兔子数。
然后，使用for循环来计算第n个月的兔子数。
在循环中，我们将a值设置为b值，将b值设置为a+b的值。
最后，返回a值即可。
数学证明除了程序方法之外，还可以通过数学方法来证明兔子数列。
我们假设第n个月有f(n)对兔子。
假设第k个月产生的兔子对数为f(k)。
因为兔子只在第二个月后开始生育，所以第1个月和第2个月的兔子对数分别为1和1。
在第3个月，仅有第1和第2个月的兔子才能生殖，所以产生的兔子对数为f(3)=f(2)+f(1)。
在第4个月，第3个月的兔子和第2个月的兔子都可以生殖，第1个月的兔子还不能生殖，所以产生兔子对数为f(4)=f(3)+f(2)。
《斐波那契数列》课件
03
斐波那契数列的应用
在自然界的运用
生长与繁殖
许多动植物的生长和繁殖遵循斐 波那契数列的规律。例如，菠萝 表面的小眼通常以斐波那契数列
的顺序排列。
植物生长
许多植物的花瓣、叶子和分支遵 循斐波那契数列的规律，如向日 葵花盘上的花瓣数量、松果的鳞
片排列等。
动物行为
一些动物的行为模式，如蜘蛛网 的构造、蜜蜂的蜂巢等，也与斐
02
在建筑设计中的应用
斐波那契数列的美学价值使得它在建 筑设计中也有所应用。通过运用斐波 那契数列的规律和比例，可以在建筑 设计中创造出和谐、优美的作品。
03
在音乐和艺术领域的 应用
斐波那契数列在音乐和艺术领域也有 所应用。例如，在作曲中可以利用斐 波那契数列来安排和声和旋律，在绘 画中可以利用斐波那契数列来构图和 布局。
在计算机科学中的应用
数据结构和算法设计
斐波那契数列在计算机科学中被广泛应用于数据结构和算 法设计。例如，斐波那契堆是一种优化的数据结构，用于 实现高效的内存管理和动态调整。
加密和安全
斐波那契数列在加密算法和网络安全领域也有所应用。例 如，利用斐波那契数列的特性可以设计出更安全的加密算 法。
计算机图形学
寻找新的应用领域
除了在生物学、经济学等领域的应用，未来可以 寻找斐波那契数列在其他领域的新应用，如物理 学、计算机科学等。
优化算法和计算方法
随着计算能力的提高，可以进一步优化斐波那契 数列的计算方法和算法，提高计算效率和精度。
如何将斐波那契数列应用到实际生活中
01
在金融领域的应用
斐波那契数列在金融领域有广泛的应 用，如股票价格预测、风险评估等。 通过分析历史数据，可以利用斐波那 契数列预测未来的市场走势。
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——递归算法的理解和应用
一个数学问题
假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一 个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对 小兔子。
设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡。 中世纪 意大利数学家 问：一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
斐波那契
从问题描述中获取有价值的信息
一对刚出生的兔子一个月就能长成 大兔子，再过一个月就开始生下一 对小兔子，并且以后每个月都生一 对小兔子。
第一个月 只有一对小兔子
第二个月 只有一对大兔子
第三个月开始，每个月既有大兔子 也有小兔子
一对刚出生的小兔一年内可以繁 殖成多少对兔子？
求解问题：
初始条件：只有1对小兔子 求解目标：第12个月时，有多少兔子
否则
，执行递归关系式
结构化程序设计方法中， 利用条件控制语句，实现“如果……否则……”的逻辑关系
结 论 2：
用双分支选择结构（if……else……） 控制着 递归关系式
if
else
if( 递递归归边出界口条条件件 )
已知条件中，确定值的内容
else 递归关系式
关于“兔子问题”的递归程序实现
C语言程序实现：计算兔子数列问题
F( 6 )=8
• F( 9 ) • F( 8 )
• F( 5 )=5
• F(1•0F) ( 2 )=1
• F( 3 )=2
• F( 4 )=3
F( 8 )
F( 7 )
F(2)=1 ,根F(据1)=公1式计算F(12)的值 F( 9F()7 )=13 • F(• F8( )6 )=8
F( 8 )=21
返回值
选择结构
主函数
void main( ) {
printf("%ld",F(12)); }
调用子函数
总结
本节内容结束，谢谢观看！
F( 5 )
F(11)=89
• F( 4 ) • F( 3 )
• F(10)=55 • F( 9 )=34
F(4) F(12）=144
• F( 3 ) • F( 2 )
• F(11)=89 • F(10)=55
递归的核心思想
把大型复杂的问题层层转化为一个与原 问题相似的规模较小的问题来求解。
程序设计中的递归算法
（大兔子和小兔子）
推理：
第1月 第2月 第3月 第4月 第5月
第6月
推理：
月份
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
兔子数量
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
兔子数列——斐波那契数列
一个有规律的数列 第1项是1；第2项是1；从第3项开始，每一项都等于前两项之和。 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……
用数学符号表示：
1
n 1
F(n)
1
n 2
F(n 1) F(n 2) n 3
分段函数计算过程
F(11)
F(10)
第1是2否个需月要共计有算多F少(1只) 兔和子F(2？)呢？ F(12)F(4 )=3 • F(1•1F) ( 3 )=2
F( 5 )=5
• F(10) • F( 9 )
• F( 4 )=3
一个函数直接或间接调用函数本身
结 论 1：
兔子问题（斐波那Байду номын сангаас数列） 蕴含着 递归关系
递归算法程序的特征
递归算法构成有两部分：
1）递归边界条件 2）递归关系式
递归算法执行分两阶段
1）递归前进阶段：不满足递归边界条件 2）递归返回阶段： 一旦满足递归边界条件后
递归算法的执行流程描述：
如果 满足边界条件，那么 递归关系式的值 = 确定值
• F( 7 ) • F( 6 )
• F( 7 )=13
F( 9 )=34
• F( 6 ) • F( 5)
• F( 8 )=21
F(• 3F)(• =F7( )5F)=(52) + F(1• )F( 6 )= 8
•FF((73)=)1=3 2
FF(1(06)=)55 •• FF( (9 5)=3)4 •• FF( (8 4)=2)1
F(n) =
1, 当n=1或n=2
F(n-1)+F(n-2), 当n>2
变量，将计算结 果返回给主调函 数
long F(int n)
子函数
{ long f; if( n==1 |||| nn====22 )
ff==11;；
else f=f=FF(n(n-1-)1+)F+F(n(n-2-)2;);
return f; }