东南大学固体物理基础课后习题解答
《电子工程物理基础》课后习题参考答案
第一章 微观粒子的状态
1-一维运动的粒子处在下面状态
(0,0)()
(0)
x
Axe x x x λλψ-?≥>=?
①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大
解：（1）由归一化条件，可知2
220
1x
A
x e
dx λ∞
-=?
，解得归一化常数32
2A λ=。
所以归一化波函数为：322(0,0)()0(0)
x
xe
x x x λλλψ-??≥>=??
（2）粒子坐标的概率分布函数为：3222
4(0,0)
()()0(0)
x
x e x w x x x λλλψ-?≥>==?
（3）令
()0dw x dx =得10x x λ==或，根据题意，在x=0处，()w x =0，所以在1
x λ
=处找到粒
子的概率最大。
1-若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n 。 ①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少? ②n 取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?
③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?
解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U （x ），0x a ≤≤，那么在距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为：2
2440
211()()(sin )sin
422
a a n n P x x dx x dx a a n ππ
ψπ===-??
。 （2）当n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大，且max 11
()+46P x π=。
（3）当n→∞时，1
()4
P x =
。此时，概率分布均匀，接近于宏观情况。 1-
一个势能为221
()2
V x m x ω=的线性谐振子处在下面状态
2212
()(x x Ae
αψα-=
求：①归一化常数A ；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值221
2U m x ω=。
解：（1）由归一化条件，可知22
21x A e dx α+∞
--∞=?，得到归一化常数A =
。
（2
）振子的概率密度22
2
()()x
w x x α
ψ-=，由
()
0dw x dx
=得到在0=x 处振子出现的概率最大。
（3）势能平均值22
22222211112244
x m U m x m x e dx αωωωωα+∞--∞====?。
1-设质量为m 的粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级。
22
0()102
x V x m x x ω∞
=?≥?? 解：注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。半谐振子与对称谐振子在x>0区域满足
同样的波动方程，但根据题意，在x<0区域，势函数为无穷，因此相应的波函数为零，从而破坏了偶宇称的状态。这样，半谐振子定态解则为谐振子的奇宇称解（仅归一化常数不同）。
即??
???<=≥==-)
0(05,3,1)0;()()(221
n x n x x m H e A x n ，ω
ξξψξ，1,1,3,5
2n E n n ω??=+= ??
?。
1-
电子在原子大小的范围(～10-10m )
内运动，试用不确定关系估计电子的最小能量。
解： 电子总能量2
2E 2s e p m r
=-，作近似代换，设~~~
r r p p r p ????，，由不确定关系，
则2224
222
222222111E ()()2222
s s s s e me me me p m r m r r m r ?=-=-=--????。所以电子的最小能量
4
min
22
s me E =-，与薛定谔方程得到的氢原子基态能量表达式相同。
1-
氢原子处在基态0
(,,)r a r ψθ?-
=
，求：①r 的平均值；②势能2
s e r
-的平均值；③
最概然半径。
解：（1）r 的平均值：
22222
303
1
3(,,)sin sin 2
r a r r r r d d dr e
r d d dr a a ππ
ππ
ψθ?θ?θθ?θπ-
+∞
+∞===
?
??
???
（2）势能2
s e r
-的平均值：
0222
222
223
00
000
1(,,)sin sin r
a s s s e e e U r r d d dr e r dr d d r a r a ππ
ππψθ?θ?θθθ?π-+∞
∞
=-=-=-
?
??
?
??（3）在球壳dr r r +-的范围内，电子出现的概率为：
0022222
2
22330
0000
14()(,,)sin sin r
r
a a w r r r d d e r d d e r a a π
π
ππψθ?θθ?θθ?π--===?
?
??，
由()
0dw r dr
=得在0a r =处电子出现的概率最大，即最概然半径为0a 。
1-
设一体系未受微扰作用时，只有两个能级E 01及E 02，受到微扰?H
'作用，微扰矩阵元 12211122,H H a H H b ''''====。
a ，
b 都是实数，用微扰公式求能级的二级修正值。 解：根据非简并微扰公式∑
-'+'+=n
n
k kk
kk
k k E E H H E E )
0()0(2
'
)
0(，有：
2
2
2221
21(0)(0)
1111
01222202(0)(0)
(0)(0)12
010*******
H H a a E E H E b E E H E b E E E E E E E E ''''=++=++=++=++----，。
1-氢分子的振动频率是1.32×1014Hz ，求在5000K 时，下列两种情况下振动态上粒子占
据数之比。①n=0，n=1；②n=1，n=2。
解：将氢分子的振动看作为谐振子，因此振子的能级为1
()2
n E n ω=+。振动态上被粒子占
据的概率服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布，则当n=0，n=1 时，0010001001
= 3.55E E E k T
k T
k T
E k T
f e
e
e
f e ω
----===，
当n=1，n=2时，1120002012
= 3.55E E E k T
k T
k T
E k T
f e
e
e
f e ω
-
---===。
1-求在室温下(k 0T=0.025ev)电子处在费米能级以上0.1ev 和费米能级以下0.1ev 的概率各是多少?
解：由费米-狄拉克分布，电子处在费米能级以上0.1ev 的概率00.14
1
1
= 1.8%1
1
i E E k T
f e e
-=
=++f
， 电子处在费米能级以下0.1ev 的概率0-0.141
1
=98.2%1
1
i E E k T
f e e
--=
=++f 。
第二章 晶体中原子的状态
2-1. 试说明格波和弹性波有何不同?
提示：从晶格格点分立取值和晶格周期性特点出发分析与连续介质弹性波的不同。 2-2. 证明：在长波范围内，一维单原子晶格和双原子晶格的声学波传播速度均与一维连续介质弹性波传播速度相同，即
ρ
E
v =
式中，E 为弹性模量，ρ为介质密度。
2-3. 设有一维原子链，第2n 个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为β，第2n 个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为β′(β′＜β)。设两种原子的质量相等，最近邻间距为a ，试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和a
q 2π
=
时的振动频率。
解：根据题意，原子运动方程为：)1()()()()(21221222212212222
1
22???
???
?-'+-=-+-'=-+++++n n n n n n n n n n x x x x dt x d m x x x x dt x d m ββββ
设上两式的行波解为：
)2(]2([22])12([12???
??==-+-++t na q i n t a n q i n Be x Ae x ωω）将式（2）代入式（1）并整理得：
)3(0))(0)--22??
?
?
?='--+'+=+'+'--B m A e e B e e A m iqa iqa iqa iqa ββωββββββω（（）（（3）中的A 、B 有非零解，则方程组的
系数行列式为零，得到：[]
qa m
2cos 21
222
ββββββω'+'+±'+=, 所以当0,)(20='+=
=-+ωββωm q 时，；m
m a q βωβωπ'
===-+2,22时，。 2-4. 一维双原子晶格振动中，证明在布里渊区边界a
q 2π
±=处，声频支中所有轻原子m 静
止，光频支所有重原子M 静止。 证明：声学波两种格波的振幅比02cos 22
>-=???
??-
-ωββωm qa B A ，光学波两种格波的振幅比0cos 222
<-=??? ??++qa M B A βωβω。当a q 2π±→时，，可认为轻原子不动，B A B A <<→???
??-
0ω，
，可认为重原子不动。
，B A B A >>-∞→???
??+
ω
2-5. 什么叫声子?它和光子有何异同之处?
答：声子是晶格振动的简正模能量量子，光子是传递电磁相互作用的基本粒子。两者均为玻色子，其分布均服从玻色-爱因斯坦分布，但产生的原因、描述的现象、对晶格的作用均不同。
2-6. 一维双原子点阵，已知一种原子的质量m=5×1.67×10-27kg ，另一种原子的质量M=4m ，力常数β=15N·m -1，求：
(a) 光学波的最大频率和最小频率0
m ax ω、0
m in ω； (b) 声学波的最大频率A
m ax ω； (c) 相应的声子能量是多少eV?
(d) 在300K 可以激发多少个频率0
m ax ω、0m in ω、A
m ax ω的声子? (e) 如果用电磁波来激发长光学波振动，试问电磁波的波长要多少? 解：（a ）m M
m mM
8.0=+=
μ，
即s rad /106.70152130max ?==
μ
β
ω，s rad m
/105.9942130
min
?==β
ω； （b ）s rad M
/102.997213A
max ?==
β
ω； （c ）eV E 04417.00max 1==ω ，eV E 0395.00
min 2==ω ，eV E A 01975.0max 3==ω ；
（d ）122.011
max
max =-=
kT
o e
n ω ，772.011
min
min =-=
kT
o
e
n ω ，287.01
1
max
max =-=
kT
A
A
e
n ω ； （e ）m c
o 5max
10138.22-?==
ωπλ。
2-7. 设晶体中每个振子的零点振动能量
ω 2
1
，试用德拜模型求晶体的零点振动能。 解：晶体的零点振动能0E 是各振动模式零点能之和。即晶体的零点振动能为：
D Nl d v V d
E D
D ωωωπωωωρωεωω 8
9
2321)()(2320
00=?==?
?。
2-8. 设长度为L 的一维简单晶格，原子质量为m ，间距为a ，原子间的互作用势可表示成
()cos()U a A a
δ
+δ=-。试由简谐近似求：
（1）色散关系； （2）模式密度()ρω；
（3）晶格热容（列出积分表达式即可）。
解：（1）原子间的弹性恢复力系数为22
2=
a
d U
A d a δβδ=，带入色散关系即qa m A a 2
1sin 2=ω； （2）对于一维简单晶格，在波矢q q dq -+中的振动模式数为22L Na
dq dq ππ
?=，即 模式密度()Na dq d ρωπω=
。由（1）所得的色散关系为qa qa m A a m 2
1
sin 21sin 2ωω==，
即
122d a qa dq ωω===，
带入模式密度表达式整理后
可得：()ρω=
=
（3） 带入公式可得晶格比热/2
/0
(
)
D
kT
V kT
C k kT
e
ωωωω
ω=
-?
。 2-9. 有人说，既然晶格独立振动频率ω的数目是确定的(等于晶体的自由度数)。而ω 代表
一个声子。因此，对于一给定的晶体，它必拥有一定数目的声子。这种说法是否正确? 提示：不正确，因为声子是一种玻色子，其分布服从玻色-爱因斯坦分布，即()1
1-=
kT
e
n ω
ω ，
可知平均声子数与与温度有关，温度越高，平均声子数越多。
2-10. 应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的频谱密度，德拜温度，晶格比热。 解：（1）在一维情况下，在波矢q q dq -+中的振动模式数为22L
dq ?π
。由于德拜模型假设v q
ω
=
，所以在d ωωω-+中振动模式数为()L d d v ρωωωπ=
，
即频谱密度()L
v
ρωπ=。且
()D
D L d N v ωρωωωπ=
=?
，即D N v L πω=，故德拜温度=
D D N T k Lk
ωπν
=。带入公式可得晶格比热/2/2
0()(1)D kT
V kT L e C k d v kT e ωωωωωπ=
-?。 （2）在二维情况下，在波矢q q dq -+中的振动模式数为2
22(2)
S
qdq ?
?ππ，由于德拜模型假设v q
ω
=
，所以在d ωωω-+中振动模式数为()Sq
d d v
ρωωωπ=
，即频谱密度2()Sq S v v ωρωππ=
=，且20()2D D S d N v
ωω
ρωωωπ==?，
即2D ω=，故德拜温度
D
D T k ω=
2v N π=，代入公式可得晶格比热/2/220()(1)2D kT V kT e S C k d kT e v
ωωωωω
ωπ=-?。 2-11. 简述绝缘体热导在以下三个温度范围内和温度的关系，并说明物理原因：
①T>>θD ；②T<<θD ；③介于①、②之间的温度。
答：①T>>θD 时，此时热容V C 不随温度变化，声子的平均自由程l 近似反比于声子总数，因声子数()ωωω kT
e
n kT
≈-=
1
1近似正比于T ，故绝缘体的热导率反比于温度T ，正比于T
1； ②T<<θD 时，此时声子的平均自由程不随温度变化，热容V C 正比于温度T 3，即绝缘体的热导率正比于温度T 3；
③温度适中时，此时热容V C 不随温度变化，发生U 过程的声子数量()T
kT
D
D
e e
n 221
1θωω-
≈-=
，
即绝缘体的热导率正比于T
D
e 2θ-
。
第三章 晶体中的大量电子
3-1. 按照经典的观点，在室温下，金属中每个电子对比热的贡献为0
32
k ，按照量子论的观点，如取5=F E eV ，则为
040k ，只为经典值的60
1。试解释何以两者相差这么大。 提示：两种情况下电子服从的统计分布不同，量子论观点认为只有能量高于费米能的那些电
子对比热才有贡献。室温下T F >>T ，大多数电子运动不自由，对热容的贡献很小，只有费米面附近约kT 范围的电子对热容有显著贡献，故一般情况下电子气的热容很小。 3-2. 限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子。电子能量
()()2
22,2x y x
y E k k k k m
=
+
(a) 求能量E 到dE E +之间的状态数； (b) 求此二维系统在绝对零度的费米能量。
解：（a ）在二维系统中，波矢到+k k dk 中的状态数对应2kdk π圆环中包含的状态数。且在空间中，二维点密度为
2
4π
S ,每个状态可容纳自旋相反的两个电子，所以
2224=??π=ππdZ S S k k dk ，由题可得22
()2=k E k m ，即2
()==π
dZ dk S m g E dk dE ，所以能量E 到dE E +之间的状态数2
2
()==πmL dZ g E dE dE 。 （b ）热力学零度时，系统总电子数0020
20
()()()=
==π
?
?
F
F
E E
F mL N f E g E dE g E dE E ，即
220
2F
N n E mL m ππ==，其中2
N n L =
表示单位面积内的电子数。 3-3. 设有一金属样品，体积为53
10m -，其电子可看作自由电子，试计算低于5ev 的总的状态数。
解：低于5ev 的总的状态数31
3
022
222220
22()()()23==ππ
?
?
=
E E mE V m V N g E dE E dE ， 其中ev E 50=，带入数据得低于5ev 的总的状态数约为23
105.06?。
3-4. 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成
()332.08 2.5710/C T T J mol K -=+??
若一个摩尔的钾有23
106?=N 个电子，试求钾的费米温度F T 和拜温度D θ。
解：低温下金属的热容量由电子热容和晶格热容构成，且电子热容正比于T ，晶格热容正比于T 3
。所以有2
342.0810 1.965102
F F
T
A Nk
T T K T π-=
=?=?，解得， 433312() 2.5710915D D
T B Nk T K πθθ-==?=，解得。
3-5. 一维周期场中电子波函数()k x ψ应当满足布洛赫定理，若晶格常数是a ，电子的波函数为如下，试求电子在这些状态的波矢。 （a ）()sin
k x x a
π
ψ= （b ）()3cos k x i x a
π
ψ= （c ）()()ψ∞
=-∞
=
-∑k i x f x la （f 是某个确定的函数）
解: （a ）()()ψ=ikx k k x e u x ，所以()()ikx k k u x e x ψ-=，且()()k k u x u x a =+, 则有()sin sin ()ππ--+????
=+ ???????
ikx
ik x a e
x e x a a a ，所以1-=-ika e 。 得21
0,1,2，π+=
=±±n k n a
，若仅考虑第一布里渊区内k a
a
π
π
-
<≤
，则k a
π
=
。
（b ）()()ψ=ikx
k k x e u x ，所以()()ikx
k k u x e x ψ-=，且()()k k u x u x a =+,
则有()33cos cos ()ππ--+????
=+
???????
ikx
ik x a e
i x e i x a a a ，所以1-=-ika e 。 得21
0,1,2，π+=
=±±n k n a
，若仅考虑第一布里渊区内k a
a
π
π
-
<≤
，则k a
π
=
。
（c ）()()ψ=ikx
k k x e u x ，所以()()ikx
k k u x e x ψ-=，且()()k k u x u x a =+,
则有(
)(
)[]
()(
)(1)i k x
i k x
a
i k x
a
i i
i
e
f x
l a
e
f x a
l a
e f x l a ∞∞
∞
--+-+=-∞
=-∞
=-∞
-=+-=--∑∑∑，所以1-=i k a e ，得20,1,2，π=
=±±n
k n a
，若仅考虑第一布里渊区内k a
a
π
π
-
<≤
，则0k =。
3-6.证明，当0
0F k T E <<时，电子数目每增加一个，则费米能变化
00
1
()
F F E g E ?=
其中0
()F g E 为费米能级的能态密度。
解：热力学零度时费米能级2
2
2033()2π=
F
N E m V
。电子数目每增加一个，即费米能级的变化()2
22
220
3333()12π???=+-????
F
E N N m V ，且有()22223333121(1)(1)3+=+≈+
N N N N N ，31
02
222()4()()F
F m g E V E h
π=，带入后化简即可得00
1()F F E g E ?=。 3-7.试证明布洛赫函数不是动量的本征函数。
提示：只要证明?p
p ψψ≠即可，其中?p 为动量算符，ψ为布洛赫函数。 证明：布洛赫函数可以表示为()()r u e r k r
k i k
?=ψ，动量算符?-= i p
?作用在布洛赫函数上得[]
)()()()()(r p r u e i r k r u e i r i k k r
k i k k r k i k ψψψ≠?-=?-=?-??，即布洛赫函数不
是动量的本征函数。
3-8.电子在周期场中的势能
()()()()2
221201ω??=
-- -≤≤+?? = -+≤≤-????
V x m
b x la la b x la b l a b x la b
式中，ω，b a 4=是常数。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。
解：势能曲线如下图所示：
由势能曲线可知：)(x V 是以b a 4=为周期的周期函数，所以平均势能
()()22
223322
01111121()22236T la b la b V x V x dx m b x la dx m b b m b T a a ωωω+-????==?--=??-= ????
???
3-9.用近自由电子模型处理上题。求此晶体的第一个以及第二个禁带宽度。
解：由图可知：势能)(x V 在周期)2,2(b b -上是偶函数，将其展开成傅立叶级数为
()'0cos 2n n n V x V V x b π
??=+
???∑，其中221()cos 42b n b n V V x x dx b b
π
-??
=
???
?。即第一个禁带宽度 2
22222
2
11333282()cos 424b
g b m m b m b E V b x x dx b b b ωπωωππ-??
==
-=?= ???
?，第二个禁带宽度2
22222
22222
42()cos 44b
g b
m m b m b E V b x x dx b
b
b ωπ
ωωππ-??
==
-=?= ???
?。 3-10. 在一维周期场中运动的电子，每一个状态k 都存在一个与之简并的状态-k ，为什么只在
n a
π
附近才用简并微扰，而其它k 值却不必用简并微扰处理呢? 提示：由非简并微扰计算可得，只有两个状态k 之间必须满足2n
k k a
π'-=
（n 为整数）时，0≠'kk
H ，才会对微扰解有贡献，否则适用于非兼并微扰。 3-11. 能带宽窄由什么因素决定?它与晶体所包含的原胞总数N 有无关系
?
3-12. 布里渊区的边界面一定是能量的不连续面吗?
提示：不一定。对于一维情况，布里渊区的边界面一定是能量的不连续面，但二维和三维则不一定。可能存在第一布里渊区在某个k 方向上的能量最大值大于第二布里渊区另一方向上的能量最小值，使能带出现交叠，导致多个允带贯通，即很大范围内没有禁带，能级上都能填充电子。
3-13. 已知一维晶体的电子能带可写成
()2
271cos cos 288E k ka ka ma ??
=
-+ ???
其中a 是晶格常数，试求：
（a ）能带的宽度；
（b ）电子在波矢k 的状态时的速度； （c ）能带底部和顶部电子的有效质量。
解：（a ）首先求能量的最大值和最小值，由
0cos 211sin )(=??
?
??-=ka ka a dk k dE 得a n k π=。
当n 为偶数时,0)(min =k E ,当n 为奇数时,2
2
max 2)(ma
k E =，所以能带宽度=?E 2
2min
max 2)()(ma k E k E =-； （b ）速度)cos 211(sin 2sin 41sin )(1)(ka ka ma
ka ka ma dk k dE k v -=
??? ??-==
； （c ）有效质量ka ka m dk k E d m 2cos 21cos )(2
22-==*
,由（a ）可知：能带底处有a
n k π
=，n
为偶数，代入上式得m m
2=*底
，能带顶处有a n k π=
，n 为奇数，代入上式得m m 3
2-=*
顶。 3-14. 用紧束缚方法处理面心立方晶体的s 态电子，若只计最近邻的相互作用，试导出能带
为
()04cos cos cos cos cos cos 222222y y x x z z k a k a k a k a k a k a
E k E A J ??=--++ ??
?，
并求能带底部电子的有效质量。
解：任取一个格点为原点，最近邻格点有12个，它们的位置坐标分别为：
,,0),,,0),,0,),,0,),0,,),0,,)222222222222
（（（（（（±±-±±-±-±a a a a a a a a a a a a 。
带入紧束缚方法得到的能量式0()()s
s ik R i s R E k E J J R e -?=--∑=near
,得到面心立方s 态原子能
级相对应的能带：
()()()()()()()()()()()()????
??????+++++++++++--=+--+----+------+--+------+--+-z y z y z y z y z x z x z x z x y x y x y x y x k k a i k k a i k k a i k k a i k k a i k k a
i k k a
i k k a i k k a i k k a i k k a i k k a i e e e e e e e e e e e e
J A E k E 222222222222
0)(?
?????
???????????? ??+???? ??++???? ??+???? ??++???? ??+???? ??+--=------22222222222204a k i a k i a
k i a k i a k i a k i a k i a k i a k i a k i a k i a k i x x z z z z y y y y x x e e e e e e e e e e e e J A E 04(cos
cos cos cos cos cos )222222
y y x x z z k a k a k a k a k a k a E A J =--++ 由能带的表示式及余弦函数的性质可知,当0===z y x k k k 时,s E 取最小值,即在能带底
0===z y x k k k ，电子的有效质量J
a k k E m k x x
220
2
2
2
2)( =??==*，同理可得：J a m y 222 =*
，
J a m z
222 =*，即J
a m 222 =*
。
3-15. 紧束缚方法导出体心立方晶体s 态电子的能带
()08cos cos cos 222y x z k a k a k a E k E A J ??
=-- ??
?
试画出沿x k 方向（0y z k k ==）()x E k 和()x v k 的曲线。
解：（1）任取一个格点为原点，最近邻格点有8个，它们的位置坐标分别为：（2
,2,2a
a a ±±±）。 带入紧束缚方法得到的能量式0()()s s ik R i s R E k E J J R e -?=--∑
=near
,得到体心立方s 态原子能
级相对应的能带：
()()()()()()()()???
?
??????+++++++--=++--+-+-------+--+++z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x k k k a i k k k a i k k k a i k k k a
i k k k a
i k k k a i k k k a i k k k a i e e e e e e e e J A E k E 222222220)( ???
?
??--=????
?
?+???? ??+???? ??+--=---2cos 2cos 2cos 880222222
0a k a k a k J A E e e e e e e J A E z y x a k i a k i a k i a k i a k i a k i z z y y x x
沿x k 方向（0y z k k ==），能量()08cos 2
x x k a
E k E A J =--，最大值max 08E E A J =-+，最小值min 08E E A J =--，速度()1()4sin 2
x x x k a E k Ja
v k k ?=
=?，曲线略。 3-16.用图示法表示出金属，绝缘体，本征半导体的能带填充情况。画出费米能级的位置。
并注明能隙的经典数据。 解：
金属或导体的能带中一定有不满带，价带是满带，导带是半满带，费米能级在导带中； 绝缘体中的能带只有满带和空带，价带是满带，导带是空带，禁带很宽，费米能级在禁带中央；
半导体和绝缘体相似，能带中只有满带和空带，但禁带较窄，费米能级仍在禁带中央。 各能带示意如下图所示：
3-17.为何引入密度泛函理论处理能带问题，有何优点？
解：密度泛函理论直接用概率密度n(x)而不是波函数来描述电子运动，其基本量n 具有直观的电子云密度的含义，以密度n 为自变量进行数值分析能得到真实的密度解。
最新大学固体物理考试题及答案参考
固体物理练习题 1.晶体结构中，面心立方的配位数为 12 。 2.空间点阵学说认为 晶体内部微观结构可以看成是由一些相同的点子在三维空间作周期性无限分布 。 3.最常见的两种原胞是 固体物理学原胞、结晶学原胞 。 4.声子是 格波的能量量子 ，其能量为 ?ωq ，准动量为 ?q 。 5.倒格子基矢与正格子基矢满足 正交归一关系 。 6.玻恩-卡曼边界条件表明描述有限晶体振动状态的波矢只能取 分立的值 ， 即只能取 Na 的整数倍。 7.晶体的点缺陷类型有 热缺陷、填隙原子、杂质原子、色心 。 8.索末菲的量子自由电子气模型的四个基本假设是 自由电子近似、独立电子近似、无碰撞假设、自由电子费米气体假设 。 9.根据爱因斯坦模型，当T→0时，晶格热容量以 指数 的形式趋于零。 10.晶体结合类型有 离子结合、共价结合、金属结合、分子结合、氢键结合 。 11.在绝对零度时，自由电子基态的平均能量为 0F 5 3E 。 12.金属电子的 B m ,23nk C V = 。 13.按照惯例，面心立方原胞的基矢为 ???? ?????+=+=+=)(2)(2) (2321j i a a k i a a k j a a ，体心立方原胞基矢为 ???? ?????-+=+-=++-=)(2)(2) (2321k j i a a k j i a a k j i a a 。 14 .对晶格常数为a 的简单立方晶体,与正格矢k a j a i a R ???22++=正交的倒格子晶面族的面
指数为 122 , 其面间距为 a 32π 。 15.根据晶胞基矢之间的夹角、长度关系可将晶体分为 7大晶系 ，对应的只有14种 布拉伐格子。 16.按几何构型分类，晶体缺陷可分为 点缺陷、线缺陷、面缺陷、体缺陷、微缺陷 。 17. 由同种原子组成的二维密排晶体，每个原子周围有 6 个最近邻原子。 18.低温下金属的总摩尔定容热容为 3m ,bT T C V +=γ 。 19. 中子非弹性散射 是确定晶格振动谱最有效的实验方法。 1.固体呈现宏观弹性的微观本质是什么？ 原子间存在相互作用力。 2.简述倒格子的性质。 P29~30 3. 根据量子理论简述电子对比热的贡献，写出表达式，并说明为什么在高温时可以不考虑电子对比热的贡献而在低温时必须考虑？ 4.线缺陷对晶体的性质有何影响？举例说明。 P169 5.简述基本术语基元、格点、布拉菲格子。 基元：P9组成晶体的最小基本单元，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列构成。 格点：P9将基元抽象成一个代表点，该代表点位于各基元中等价的位置。 布拉菲格子：格点在空间周期性重复排列所构成的阵列。 6.为什么许多金属为密积结构?
固体物理习题与答案
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3r 3 4π，Vc=a 3 ，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3
固体物理学》概念和习题 答案
《固体物理学》概念和习 题答案 The document was prepared on January 2, 2021
《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）
16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。
固体物理精彩试题库(大全)
一、名词解释 1.晶态--晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。 2.非晶态--非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的围保持着有序性，或称为短程有序。 3.准晶--准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。 4.单晶--整块晶体原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体。 5.多晶--由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的固体材料。 6.理想晶体（完整晶体）--在结构完全规则的固体，由全同的结构单元在空间无限重复排列而构成。 7.空间点阵（布喇菲点阵）--晶体的部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵。 8.节点（阵点）--空间点阵的点子代表着晶体结构中的相同位置，称为节点（阵点）。 9.点阵常数（晶格常数）--惯用元胞棱边的长度。 10.晶面指数—描写布喇菲点阵中晶面方位的一组互质整数。 11.配位数—晶体中和某一原子相邻的原子数。 12.致密度—晶胞原子所占的体积和晶胞体积之比。 13.原子的电负性—原子得失价电子能力的度量；电负性＝常数（电离能＋亲和能） 14.肖特基缺陷—晶体格点原子扩散到表面，体留下空位。 15.费仑克尔缺陷--晶体格点原子扩散到间隙位置，形成空位－填隙原子对。 16.色心--晶体能够吸收可见光的点缺陷。 17.F心--离子晶体中一个负离子空位，束缚一个电子形成的点缺陷。 18.V心--离子晶体中一个正离子空位，束缚一个空穴形成的点缺陷。 19.近邻近似--在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用。 20.Einsten模型--在晶格振动中，假设所有原子独立地以相同频率E振动。 21.Debye模型--在晶格振动中，假设晶体为各向同性连续弹性媒质,晶体中只有3支声学波，且=vq 。 22.德拜频率D──Debye模型中g()的最高频率。 23.爱因斯坦频率E──Einsten模型中g()的最可几频率。 24.电子密度分布--温度T时，能量E附近单位能量间隔的电子数。 25.接触电势差--任意两种不同的物质A、B接触时产生电荷转移，并分别在A和B上产生电势V A、V B，这种电势称为接触电势，其差称为接触电势差。 25.BLoch电子费米气--把质量视为有效质量 m，除碰撞外相互间无互作用，遵守费米分布的
固体物理试题(A) 附答案
宝鸡文理学院试题 课程名称 固体物理 适 用 时 间 2010年1月12日 试卷类别 A 适用专业、年级、班06级物理教育1-3班 一、简要回答以下问题：(每小题6分，共30分) 1、试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。 2、试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。 3、什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？ 4、周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大， q 的取值将会怎样？ 5、金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？ 二、证明题(1、3题各20分；第2题10分，共50分) 1、试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。(20分) 2、已知由N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为（10） 2122)(2)(--= ωωπωρm N 。 式中m ω是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等于N 。 3、利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为（20分） （1）简单立方π / 6；（2 / 6； （3 / 6（4 / 6；（5 / 16。 三、计算题 （每小题10分，2×10＝20分） 用钯靶K α X 射线投射到NaCl 晶体上，测得其一级反射的掠射角为5.9°，已知NaCl 晶胞中Na ＋与Cl －的距离为2.82×10-10m ，晶体密度为2.16g/cm 3。 求： (1)、X 射线的波长； (2)、阿伏加德罗常数。
宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准 课程名称 固体物理学 适 用 时 间 2010年1月 12日 试卷类别 A 适用专业、年级、班 06物理教育1、2、3班 注意事项 一、简要回答以下问题（每小题6分，5×6＝30分） 1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。 解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。 另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。 2.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。 解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与 成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O ，F ，N 等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol 。 3. 什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？ 解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为 的声子平均数为11 )()/()(-=T k q w j B j e q n 对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。 4. 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大， 的取值将会怎样？ 解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第 个原子和第 个原子的运动情况一样，其中 ＝1，2，3…。 引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢 只能取一些分立的不同值。 如果晶体是无限大，波矢 的取值将趋于连续。 5. 金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？ 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而
复习-固体物理习题与思考题
第一章 晶体结构 思 考 题 2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 3. 基矢为=1a i a , =2a aj , =3a ()k j i ++2a 的晶体为何种结构? 若 =3a ()k j +2a +i 23a , 又为何种结构? 为什么? [解答] 有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积 23 321a = ??=a a a Ω. 由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量 =-=13a a u 2a ()k j i ++-, =-=23a a v 2a ()k j i +-, =-+=321a a a w 2a ()k j i -+. w v u ,,对应体心立方结构. 根据14题可以验证, w v u ,,满足选作基矢的充分条件.可见基矢为=1a i a , =2a aj , =3a ()k j i ++2a 的晶体为体心立方结构. 若 =3a ()k j +2a +i 23a , 则晶体的原胞的体积 23321a Ω= ??=a a a , 该晶体仍为体心立方结构. 4. 与晶列[l 1l 2l 3]垂直的倒格面的面指数是什么? [解答] 正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面(h 1h 2h 3)与倒格式=h K h 11b +h 22b +h 33b 垂直, 则倒格晶面(l 1l 2l 3)与正格矢=l R l 11a + l 22a + l 33a 正交. 即晶列[l 1l 2l 3]与倒格面(l 1l 2l 3) 垂直. 5. 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的? [解答] 在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性. 6.六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子? [解答] 六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体)包含两个原子.
固体物理经典复习题及答案(供参考)
一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间 无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶体 可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，
它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω，其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积。 10.布喇菲原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω,其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积 11.维格纳-赛兹原胞(W-S 原胞) 答：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面(或中垂线) 将空间 划分成各个区域。围绕原点的最小闭合区域为维格纳-赛兹原胞。 一个维格纳-赛兹原胞平均包含一个结点,其体积等于固体物理学原胞的体积。 12. 简单晶格 答：当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表 该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais 格子。 13.复式格子 答：当基元包含2 个或2 个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格 点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。显然，复式格子是由若干相同结构的子晶格相互位移套构而成。 14.晶面指数 答：描写晶面方位的一组数称为晶面指数。设基矢123,,a a a r u u r u u r ，末端分别落 在离原点距离为123d 、d 、h h h d 的晶面上，123、、h h h 为整数，d 为晶面间距，可以证明123、、h h h 必是互质的整数，称123、、h h h 3为晶面指数，记为()123h h h 。用结晶学原胞基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。 15.倒格子(倒易点阵)
固体物理习题解答
1. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 2. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [解答] 晶体中原子间距的数量级为10 10 -米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长 应小于10 10-米. 但可见光的波长为7.6?4.07 10-?米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光. 3. 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么? [解答] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥力起主导作用. 4. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答] 以s 态电子为例. 由图5.9可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分 r R r R r r r d )()]()([)(* n at s n at N at s s V V J ----=???Ω 的大小又取决于) (r at s ? 与相邻格点的)(n at s R r -?的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的 )(r at s ?与)(n at s R r -?交叠程度小, 外层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交迭程度大. 因此, 紧 束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽. 5. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答] 电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度 )(2n K V E g =, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数. 不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交. 6. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么? 对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式 λθn sin 2=hkl d 可知, 面间距hkl d 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角θ. 面间距hkl d 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角θ. θ越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.
固体物理学-期中考试试题及标准答案
固体物理学-期中考试试题及答案
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2005级 2007-2008学年第二学期固体物理学期中考试答案 一、简要回答下列问题：（30分） （1）简要说明热传导系数的温度依赖关系。 [答]晶格热导率的温度依赖关系如下：高温情况下，T>>德拜温度ΘD ，对于所有晶格振动模，平均声子数∝T ，温度升高时，声子间相互“碰撞”的几率增大，自由程减小，自由程与温度成反比；且在高温下，热容与温度无关。因此高温情况下热导率与温度成反比。 低温时，尽管晶格热容遵从德拜T 3 定律，但热导率κ随温度的变化主要决定于平均自由程λ的指数因子，即κ 随温度降低而指数增大。 极低温度的情况下，声子的平均自由程可以增大到与声子被晶格缺陷散射所决定的平均自由程相比拟，甚至可以与晶体样品的有限尺寸相比拟。这时的平均自由程不再是非谐效应引起的本征自由程，而应是以缺陷的空间分布或样品的尺寸所决定的与温度无关的平均自由程。因此，热导率的温度依赖关系将与晶格热容的温度依赖关系（T 3）相同。 （2）声子数的物理意义是什么？晶体中声子数目是否守恒？在极低温下，晶体 中的声子数与温度T 之间有什么样的关系？ ［答］声子是指格波的量子，它的能量等于i ωη。一个格波，也就是一种振动模， 称为一种声子。所以，声子数代表晶格振动的格波数。 频率为ωi 的格波的平均声子数为 ： 1 1)(/-= T k i B e n ωωη 即每一个格波的声子数都与温度有关，因此晶体中的声子数目不守恒，它随温度的改变而改变。
固体物理考题及答案三
一、 填空题 （共20分，每空2分） 目的:考核基本知识。 1、金刚石晶体的结合类型是典型的 共价结合 晶体, 它有 6 支格波。 2、晶格常数为a 的体心立方晶格，原胞体积Ω为 23a 。 3、晶体的对称性可由 32 点群表征，晶体的排列可分为 14 种布喇菲格子，其中六角密积结构 不是 布喇菲格子。 4、两种不同金属接触后,费米能级高的带 正 电，对导电有贡献的是 费米面附近 的电子。 5、固体能带论的三个基本近似：绝热近似 、_单电子近似_、_周期场近似_。 二、 判断题 （共10分，每小题2分） 目的:考核基本知识。 1、解理面是面指数高的晶面。 （×） 2、面心立方晶格的致密度为π61 （ ×） 3、二维自由电子气的能态密度()1~E E N 。 （×） 4、晶格振动的能量量子称为声子。 （ √） 5、 长声学波不能导致离子晶体的宏观极化。 （ √） 三、 简答题（共20分，每小题5分） 1、波矢空间与倒格空间（或倒易空间）有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为, 而波矢空间的基矢分别为, N1、N2、N3分别是沿正格子基矢方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 , 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 , 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N. 由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。 也就是说，波矢点在倒格空间看是极其稠密的。因此, 在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。 2、在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? 在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 321 b b b 、、 32N N / / /321b b b 、、 1N 321 a a a 、、*321) (Ω=??b b b N N b N b N b * 332211)(Ω=??
最新-(1)《固体物理》试卷A附答案
宝鸡文理学院试题 课程名称 固体物理 适 用 时 间 2011年1月 试卷类别 A 适用专业、年级、班 2008级物理教育专业 一、简答题（每题6分，共6×5=30分） 1、试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。 2、试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。 3、什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？ 4、周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？ 5、倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？ 二、试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。(20分) 三、一维晶格，晶格由两种离子组成，间距为R 0，计算晶格的Madelung 常数α。（15分） 四、用钯靶αK X 射线投射到NaCl 晶体上，测得其一级反射的掠射角为5.9°，已知NaCl 晶胞中Na ＋与Cl －的距离为2.82×10-10m ，晶体密度为2.16g/cm 3。求： （1）X 射线的波长；（2）阿伏加德罗常数。（20分） 五、写出量子谐振子系统自由能，证明在经典极限，自由能为：（15分） ???? ? ?+≈∑KT hw KT U F q q o ln
宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准 课程名称 固体物理 适 用 时 间 2011年1月 试卷类别 A 适用专业、年级、班07物理教育 一、简答题（每小题6分，5×6=30分） 1、试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。 解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与7 r 成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O ，F ，N 等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol 。 2、试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。 解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。 另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。 3、什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？ 解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为)(q w j 的声子平均数为 11 )()/()(-=T k q w j B j e q n 对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。 4、 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？ 解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第j tN +个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2，3…。 引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。 如果晶体是无限大，波矢q 的取值将趋于连续。 5、倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？
固体物理复习题答案完整版
一·简答题 1.晶格常数为a 的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。（答案参考教材P7－8） （1）体心立方基矢：123() 2()2() 2 a i j k a i j k a i j k ααα=+-=-++=-+，体积：31 2a ，最近邻格点数：8 （2）面心立方基矢：123() 2()2() 2 a i j a j k a k i ααα=+=+=+，体积：31 4a ，最近邻格点数：12 2.习题、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。 证明： 因为33121323 ,a a a a CA CB h h h h = -=-，112233G h b h b h b =++ 利用2i j ij a b πδ?=，容易证明 12312300 h h h h h h G CA G CB ?=?= 所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
3.习题、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足： 22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长； 解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥，123,,a ai a aj a ak === 由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π ?=??，3121232a a b a a a π?=??，123123 2a a b a a a π?=?? 倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a πππ = == 倒格子矢量：123G hb kb lb =++，222G h i k j l k a a a πππ =++ 晶面族()hkl 的面间距：2d G π= 2221 ()()()h k l a a a = ++ 4.习题、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。 解：(111) （1）、(111)面与(100)面的交线的AB ，AB 平移，A 与O 点重合，B 点位矢：B R aj ak =-+， (111)面与(100)面的交线的晶向AB aj ak =-+，晶向指数[011]。 （2）、(111)面与(110)面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢：
固体物理模拟试题参考答案
固体物理模拟试题参考 答案 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]
模拟试题参考答案 一、名词解释 1．基矢、布拉伐格子 为了表示晶格的周期性，可以取任一格点为原点，由原点到最近邻的格点可得三个独立的矢量a 1、a 2、a 3，则布拉伐格子中的任一格点的位置可以由原点 到该格点的矢量R l （332211a a a l l l R l ++=，l 1、l 2、l 3为整数）来表示，这样常称 a 1、a 2、a 3为基矢。 由于整个晶体可以看成是基元（组成晶体的最小单元）的周期性重复排列构成，为了研究晶体的周期性，常常把基元抽象成一个点，这些点称为格点（或结点），由这些格点在空间周期性的重复排列而构成的阵列叫布拉格点阵（或布拉伐格子）。 2．晶列、晶面 在布拉伐格子中，所有格点均可看成分列在一系列相互平行的直线上，这族直线称之为晶列，—个布拉伐格子可以有无限多族方向不同的晶列。布拉伐格子中的所有格点也可看成分列在一系列相互平行的平面上，这族相互平行的平面称为晶面。一个布拉伐格子也可以看成有无限多族方向不同的晶面。为了标志各个不问族的晶面。 3、格波与声子 晶格振动模式具有波的形式，称为格波。
在简谐近似下格波矢相互独立的，这样晶格振动的能量是量子化的，声子就是格波的能量量子，它不是真实存在的粒子，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。 4．能带 晶体中的电子，在零级近似中，被看成是自由电子，能量本征值0k E 作为k 的函数，具有抛物线的形式。晶格周期起伏势的微扰，使得k 状态与2k n a π+（n 为任意整数）状态相互作用，这个作用的结果使得抛物线在2n a π处断开而形成一个个的带，这些就称为能带。 5．Bloch 函数 晶体中电子的波函数具有这样的形式，()()ik r r e u r ψ?=，其中()()n u r R u r +=是具晶格周期性的函数。此处的()r ψ就是Bloch 函数。因此，Bloch 函数是一个平面波和一个晶格周期函数的乘积 6．施主，N 型半导体 在带隙中提供带有电子的能级的杂质称为施主。主要含施主杂质的半导体，导电几乎完全依靠由施主热激发到导带的电子。这种主要依靠电子导电的半导体，称为N 型半导体。 二．简答题 1．能带理论的三种近似分别是什么怎样定义的 答：绝热近似、单电子近似和周期场近似 绝热近似：由于原子核质量比电子的质量大得多，电子的运动速度远大于原子核的运动速度，即原子核的运动跟不上电子的运动。所以在考虑电子的运动时，认为原子实不动。
固体物理期末3套试题
2． 由完全相同的一种原子构成的格子，每个格点周围环境相同称为布拉菲格子； 倒格子基矢与正格子基矢满足)(2)(0{2j i j i ij j i b a == ≠==?ππδ ，由倒格子基矢 332211b l b l b l K h ++=（l 1, l 2, l 3为整数）,构成的格子，是正格子的傅里叶变换， 称为倒格子格子；由若干个布拉菲格子套构而成的格子称为复式格子。最常见的两种原胞是固体物理学原胞和结晶学原胞。 3．声子是格波的能量量子，其能量为? ，动量为?q 。 二．问答题（共30分，每题6分） 1.晶体有哪几种结合类型简述晶体结合的一般性质。 答：离子晶体，共价晶体，金属晶体，分子晶体及氢键晶体。 晶体中两个粒子之间的相互作用力或相互作用势与两个粒子的距离之间遵从相同的定性规律。 2.晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别 答：自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量，或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量称为晶体的结合能；原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能；在0K 时，原子还存在零点振动能，但它与原子间的相互作用势能的绝对值相比小很多，所以，在0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能。 3.什么是热缺陷简述肖特基缺陷和弗仑克尔缺陷的特点。 答：在点缺陷中，有一类点缺陷，其产生和平衡浓度都与温度有关，这一类点缺陷称为热缺陷，热缺陷总是在不断地产生和复合，在一定地温度下热缺陷具有一定地平衡浓度。肖特基缺陷是晶体内部格点上的原子（或离子）通过接力运动到表面格点的位置后在晶体内留下空位；弗仑克尔缺陷是格点上的原子移到格点的间隙位置形成间隙原子，同时在原来的格点位置留下空位，二者成对
最新-2011(1)《固体物理》试卷a附答案
宝鸡文理学院试题 课程名称固体物理 适用时间2011年1月试卷类别 A 适用专业、年级、班 2008级物理教育专业 一、简答题（每题 6分，共6×5=30分） 1、试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。 2、试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。 3、什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？ 4、周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎 样？ 5、倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？二、试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。(20分) 三、一维晶格，晶格由两种离子组成，间距为R 0，计算晶格的 Madelung 常数α。（15分） 四、用钯靶K X 射线投射到NaCl 晶体上，测得其一级反射的掠射角为 5.9°，已知NaCl 晶胞中Na ＋ 与Cl － 的距离为 2.82×10-10m ，晶体密度为 2.16g/cm 3 。求： （1）X 射线的波长；（2）阿伏加德罗常数。（20分） 五、写出量子谐振子系统自由能，证明在经典极限，自由能为：（15分） KT hw KT U F q q o ln
宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准 课程名称 固体物理 适 用 时 间 2011年1月 试卷类别 A 适用专业、年级、班07物理教育 一、简答题（每小题 6分，5×6=30分） 1、试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。 解：（1）离子键：无方向性，键能相当强； （2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强； （3） 金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于 非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合 力一般与 7 r 成反比函数关系，该键结合能较弱； （5）氢键：依靠氢原子与 2个电负性较大而原子半径较 小的原子（如O ，F ，N 等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其 结合能约为50kJ/mol 。 2、试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。 解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。 另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。 3、什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？ 解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为 )(q w j 的声子平均数为 1 1) () /()(T k q w j B j e q n 对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。4、周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值 将会怎样？ 解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响， 波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷 多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第j tN 个原子的运 动情况一样，其中 t ＝1，2，3…。 引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。 如果晶体是无限大，波矢 q 的取值将趋于连续。 5、倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？
固体物理学习题答案朱建国版
《固体物理学》习题参考 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 22 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b = 32 a 那么， Rf Rb =23a a =63 1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族 中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id ===g g g ……… (1) 由于a 3=–（a 1+ a 2） 把（1）式的关系代入，即得 根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010） 正方 a=b a^b=90° 六方 a=b a^b=120矩形 a ≠b a^b=90° 带心矩形 a=b a^b=90° 平行四边形 a ≠b