第二章习题解答汇编

第二章
2-3 设系统传递函数为
3
42
)(2
++=
s s s G 初始条件0/)0(,1)0(=-=dt dc c 。

求单位阶跃输入r (t)=1(t)时，系统的输出响应c (t)。

【解】系统传递函数与微分方程是一一对应的，故通过传递函数先求出微分方程，然后通过拉氏变换的方法求解微分方程。

系统对应的微分方程为 4()3()2()c c t c t r t ++= 在给定的非零初始条件下，进行拉氏变换
22(43)()(0)(0)4(0)s s C s sc c c s
++---=
整理后
2221
()(43)(43)
s C s s s s s s +=
-++++
部分分式展开后，拉氏反变换
11122
3242/35/25/6()[()][][](43)(43)13
255326
t t s c t L C s L L s s s s s s s s e e -----+==-=-+++++++=
-+
2-4 在图2-48中，已知G (s) 和H (s)两方框对应的微分方程分别为
()2()5()4()3()6()
c t c t e t b t b t c t +=+=
图2-48 习题2-4系统结构框图
且初始条件为零，试求传递函数C (s)/R (s)。

【解】求出每个方框的传递函数，利用反馈等效的方法求C(s)/R(s)。

根据定义可得 5()2G s s =
+，6()43
H s s =+ 25
5
()5()25(43)10075(2)
56()1()()(2)(43)3041136
1(2)(43)
C s G s s s s R s G s H s s s s s s s +++====+++++++++
2-5 图2-49是由电阻、电容和运算法放大器组成的无源网络和有源网络，试列写以V in (t)
为输入量，V out (t)为输出量的传递函数。

(a) （b ）
(c) (d)
图2-49 习题2-5电路图
【解】(a) 1211211
,1
R
Z R Z C s RC s C s
=
==
+ 2
2112
121211
()1
()1
1Z C s RC s G s R Z Z R C C s RC s C s +=
=
=
++++
+
（b ） 211
2221
1
R Z R Z R Cs R Cs ==
=+ 2
222
111211
()1
R Z R Cs R G s Z R R R Cs +=-==-+ (c) 32321123
232321
()
(1)1()1()1R R R R Cs Cs Z R Z R R Cs R R Cs R R Cs
+
+==+=
=++++ 32323
2211132(1)()11
()()1
R R Cs R R Cs R Z R Cs G s Z R R R R Cs ++++=-=-=-++
(d) 本题和(b)、(c)做法图通，因为反馈通路有接地的部分。

根据理想运放的假定，负端输入
为虚地和虚开。

设R 2和R 3中间节点的电压为V ，则有
R R
122
301/in out V V R
R V V V V R R Cs ⎧=-⎪⎪⎨--⎪=+⎪⎩ 由此，得2123311()in out R V V R V V Cs R R R ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪++=⎪⎩ 在两式中消去V ，可得到V in 与V out 的关系式
23231
1
()out in V R R R R Cs V R =-++ 2-6设弹簧特性由下式描述
1.165.12y F =
其中，F 是弹簧力，y 是变性位移。

若弹簧在变性位移0.25附近做微小变化，试推导△F 的线性化方程。

2-8 已知系统结构图如图2- 51所示，试通过结构图等效变换求系统的传递函数C (s)/R (s)。

(c) (d)
(e)
(f)
)
(2s H )(3s G )
(1s H )
(s R )
(s C )
(1s G )
(2s G )
(3s G )
(s H )
(s (s C )
(1s G )
(2s G )
(2s G )
(s H )
(s R )
(s C )
(1s G )
(s G )
(s H )
(s R )
(s C )
(s B 10
(g)
图2-51 习题2-8 结构图
【解】
(a)
121234()()1()()G G C s R s G G G G +=++-, (b) 122212()
()1()
G G G C s R s G H H +=+-
©
()10(1)
()1C s GH R s H GH
-=+-, )
(s G )
(s H )
(s R )
(s C )
(s B 10
)
(2s G )
(s H )
(s R )
(s C )
(1s G )
(s G )
(s H )
(s R )
(s C )
(s B 10
)(3s G )
(1s H )
(s R )
(s C )(1s G )
(2s H )
(2s G
(d)
12
2
()()1G G C s R s G H
-=+
(e)
1323133()
()1G G G G C s R s G G G H
+=++
2-10 画出图2-53中各系统结构图对应的信号流图，并用梅逊增益公式求各系统的传递函数C (s)/R (s)和C (s)/N (s)。

【解】(a) 信号流图如下
13231424
1323
()()1G G G G G G G G C s R s G G G G +++=++ )
(2s G 2()()
H s G s )
(s R )
(s C )
(1s G )
(2s G 2()()
H s G s )
(s R )
(C )
(1s G )
(2s G )
(s H )
(s R )
(s C )
(1s G 1
1
G 2
G 1
R C
1N
3
G 41
-1
)
(3s G )
(s H )
(s (s C )
(1s G )
(2s G
(
)
1()
C s N s = (c) 信号流图如下
`
求C(s)/R(s)
112225345112
,,L G G H L G G L G G p G G =-=-==,
12313145
11L L L L L G G ∆=---+∆=-
12451225451245
(1)()
()1G G G G C s R s G G H G G G G G G HG G -=++-- 求C(s)/N(s)
112225345
1322145245
,,,,1,1L G G H L G G L G G p G p G G G G G =-=-===∆=-∆=-
23451225451245
()(1)()
()1G G G G C s N s G G H G G G G G G HG G +-=++-- 2-11 试用梅逊增益公式求图2-54中各系统信号流图的的传递函数C (s)/R (s)。

【解】 (a) 四条回路，3,4不接触，两条前向通路，第二余项1+G 3
123453123421231352352
(1)()
()1G G G G G G C s R s G G G G H G G G H G G H G G H ++=+++++ 1
1
G 2
G 1
R C
1N
3
G 4
G H
-1
-5
G 4G 3
G 1G 2
G 1
H -)(s R )
s C 1
1
-5
G 2
H -1
(b) 三条回路，两条回路不接触，两条前向通路，两个余项匀不为1
12341232331223312312313
(1)1(1)
()()1G G G G f G G f G f C s R s G G f G f f G G f f G f f -+⨯-+=-+-+-
© ()(1)()1C s abcd f ch agd
R s ae ch aech
+-+=--+
)
s
)
s。