北师大版数学高一必修1练习 二次函数的性质

[A 基础达标]1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋5(0≤x <5)的值域为( )A ． (0，5]B ．[0，5]C ．[5，9]D ．(0，9]解析：选D.f (x )＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9(0≤x <5)，当x ＝2时，f (x )最大＝9；当x >0且x 接近5时，f (x )接近0，故f (x )的值域为(0，9]．2．已知函数y ＝x 2－6x ＋8在[1，a )上为减函数，则a 的取值范围是( )A ．a ≤3B ．0≤a ≤3C ．a ≥3D ．1<a ≤3解析：选D.函数y ＝x 2－6x ＋8的对称轴为x ＝3，故函数在(－∞，3]上为减函数，由题意[1，a )⊆(－∞，3]，所以1<a ≤3.3．已知函数f (x )＝ax 2－x ＋a ＋1在(－∞，2)上是递减的，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，14B.⎣⎡⎦⎤0，14C.[)2，＋∞D.[]0，4解析：选B.当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1在R 上是递减的，符合题意；当a <0时，不符合题意；当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝12a，在⎝⎛⎦⎤－∞，12a 上是递减的，由题意(－∞，2)⊆⎝⎛⎦⎤－∞，12a ， 所以2≤12a ，即a ≤14，综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，14. 4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析：选D.函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图像的对称轴为x ＝12，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D. 5．设二次函数f (x )＝－x 2＋x ＋a (a <0)，若f (m )>0，则f (m ＋1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．正数、负数或零都有可能解析：选B.由题意可得，f (x )＝－x 2＋x ＋a 的函数图像开口向下，对称轴为x ＝12，又a <0，则函数f (x )的图像与y 轴的交点在y 轴负半轴上，如图所示．设使f (m )>0的m 的取值范围为12－k <m <12＋k ⎝⎛⎭⎫0<k <12， 所以1<32－k <m ＋1<32＋k ，所以f (m ＋1)<0，故选B. 6．函数y ＝－x 2＋2x ＋3 在区间________上是减少的．解析：令y ＝u ，u ＝－x 2＋2x ＋3≥0，则x ∈[－1，3]，当x ∈[－1，1]时，u ＝－x 2＋2x ＋3增加，y ＝u 增加；当x ∈[1，3]时，u ＝－x 2＋2x ＋3减小，y ＝u 减小．答案：[1，3]7．若函数y ＝1x 2－ax ＋4在[2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：设u ＝x 2－ax ＋4，则函数u (x )在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上是增函数，y ＝1u 在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上是减函数，所以a 2≤2即a ≤4，又u (x )在[2，＋∞)应满足u (x )>0， 因此u (2)>0即4－2a ＋4>0，所以a <4.答案：(－∞，4)8．已知二次函数f (x )的二次项系数a ＜0，且不等式f (x )＞－x 的解集为(1，2)，若f (x )的最大值为正数，则a 的取值范围是________．解析：由不等式f (x )＞－x 的解集为(1，2)，可设f (x )＋x ＝a (x －1)(x －2)(a ＜0)，所以f (x )＝a (x －1)(x －2)－x ＝ax 2－(3a ＋1)x ＋2a＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3a ＋12a 2－（3a ＋1）24a ＋2a ，其最大值为－（3a ＋1）24a＋2a ， 若－（3a ＋1）24a＋2a ＞0，可得8a 2＜(3a ＋1)2， 即a 2＋6a ＋1＞0，解得a ＜－3－22或a ＞－3＋2 2.答案：(－∞，－3－22)∪(－3＋22，0)9．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )在 [2，＋∞)上是增加的，求a 的取值范围．解：(1)因为函数的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0，即2a 2－a －3＝0，所以a ＝－1或a ＝32. (2)函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6在[－2a ，＋∞)上是增加的，要使函数f (x )在[2，＋∞)上是增加的，只需－2a ≤2，所以a ≥－1，故a 的取值范围是[－1，＋∞)．10．即将开工的上海与周边城市的城际列车路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果一列火车每次拖7节车厢，每天能来回10次．每天来回次数t 是每次拖挂车厢个数n 的一次函数．(1)写出n 与t 的函数关系式；(2)每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数y 最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数)解：(1)这列火车每天来回次数为t 次，每次拖挂车厢n 节，则设t ＝kn ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝24.所以t ＝－2n ＋24.(2)每次拖挂n 节车厢每天营运人数为y ，则y ＝tn ×110×2＝2(－220n 2＋2 640n )，当n ＝2 640440＝6时，总人数最多，最多为15 840人．故每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多，最多为15 840人．[B 能力提升]1．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)<f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定解析：选B.因为x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，a >0，所以f (x 1)－f (x 2)＝ax 21＋2ax 1＋4－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 21－x 22)＋2a (x 1－x 2)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝2a (x 1－x 2)<0，所以f (x 1)<f (x 2)．2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1(a ＞0)，若f (m )＜0，则f (m ＋2)与1的大小关系为________． 解析：二次函数的对称轴为x ＝－1，因为f (m )＝f (－2－m )＜0，且f (0)＝1＞0，所以－2－m ＜0，所以2＋m ＞0.因为二次函数在区间(0，＋∞)上为增函数，故f (2＋m )＞f (0)＝1.答案：f (2＋m )＞13．已知函数f (x )＝x 2－x ＋a ＋1.(1)若f (x )≥0对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )在区间[a ，a ＋1]上是单调函数，求a 的取值范围．解：因为f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋a ＋34， 所以f (x )min ＝a ＋34. (1)若f (x )≥0对一切x ∈R 恒成立，所以a ＋34≥0，所以a ≥－34. (2)f (x )在区间[a ，a ＋1]上是单调函数，所以a ≥12或a ＋1≤12， 即a ≥12或a ≤－12.4．(选做题)定义：已知函数f (x )在[m ，n ](m <n )上的最小值为t ，若t ≤m 恒成立，则称函数f (x )在[m ，n ](m <n )上具有“DK ”性质．(1)判断函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，2]上是否具有“DK ”性质，说明理由；(2)若f (x )＝x 2－ax ＋2在[a ，a ＋1]上具有“DK ”性质，求a 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[1，2]，所以f (x )min ＝1≤1，所以函数f (x )在[1，2]上具有“DK ”性质．(2)f (x )＝x 2－ax ＋2，x ∈[a ，a ＋1]，其对称轴为x ＝a 2. ①当a 2≤a ，即a ≥0时，函数f (x )min ＝f (a )＝a 2－a 2＋2＝2. 若函数f (x )具有“DK ”性质，则有2≤a 总成立，即a ≥2.②当a <a 2<a ＋1，即－2<a <0时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24＋2. 若函数f (x )具有“DK ”性质，则有－a 24＋2≤a 总成立，解得a ∈∅. ③当a 2≥a ＋1，即a ≤－2时，函数f (x )的最小值为f (a ＋1)＝a ＋3. 若函数f (x )具有“DK ”性质，则有a ＋3≤a ，解得a ∈∅.综上所述，若f (x )在[a ，a ＋1]上具有“DK ”性质，则a 的取值范围为[2，＋∞)．。