1.3.2正弦函数的性质 (3)

知识探究二：
正弦函数是否是周期函数？说明原因？
正弦函数是周期函数 最小正周期T=2π
y=1

y

2
4
7 2

3
5 2

2
3 2



2

3 2
2
5 2
7 2
3
4
x
x
y=-1
知识探究三：
观察正弦函数图象分析图像对称性与奇偶性
（1）中心对称点 （2）轴对称方程
x k
2
5 2
7 2
3
4
x
x
y=-1 注意：
1 、根据函数的单调性比较函数值的大小，可以通过 图象来判断； 2 、在角度（自变量）比较简单时，可以直接找单调 区间；若比较复杂，则 可以通过诱导公式将角度化得 简单后再比较。 强调：两个角度（自变量）必须在同一单调区间
练习．sin 1，sin 2，sin 3，sin 4 按从小到大的顺序排列为( C )
A．sin 1<sin 2<sin 3<sin 4 B．sin 4<sin 3<sin 2<sin 1 C．sin 4<sin 3<sin 1<sin 2 D．sin 4<sin 2<sin 3<sin 1
解析
π 3π ∵0<1< <2<3<π<4< ， 2 2
∴sin 4<0，sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3) π π 0 ， 而 0<π－3<1<π－2< ，正弦函数 y＝sin x 在 2上为增函数． 2 ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)， 即 sin 2>sin 1>sin 3>sin 4.
对点讲练
知识点一 求三角函数的周期 例 1 求下列函数的周期． π (1)y＝sin2x＋ (x∈R)； 3 (2)y＝|sin 2x| (x∈R)．
π 解 (1)方法一 令 z＝2x＋ ， 3 ∵x∈R，∴z∈R，函数 f(x)＝sin z 的最小正周期是 2π， 就是说变量 z 只要且至少要增加到 z＋2π， 函数 f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得， π π 而 z＋2π＝2x＋ ＋2π＝2(x＋π)＋ ，所以自变量 x 只要 3 3 且至少要增加到 x＋π，函数值才能重复取得，从而函数 π f(x)＝sin2x＋3 (x∈R)的周期是 π.
y
y=1
4
7 2
3
5 2
2
3 2


2

2

3 2
2
5 2
7 2
3
4
x
y=-1 一般地，对于函数 y=f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使 得对于函数定义域内的任意 X，等式 f(x)=f(x+T)恒成立，那么称 函数 为周期函数.其中常数 T叫做该函数的周期.如果这样的常数 中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做该函数的最 小正周期.


2


3 2
2
5 2
7 2
3
4
x
y=-1
例三：比较下列各对正弦值的大小
(1) sin(

14 15 4 3 sin (2) sin 5 4 ____
sin( ) ____

)
y=1
4
7 2
y
2
3
5 2
2
3 2


2


3 2
知识点二
判断三角函数的奇偶性
例 2 判断下列函数的奇偶性． 1 π (1)f(x)＝cos－ x＋ ； 2 2 (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； 1＋sin x－cos2x (3)f(x)＝ . 1＋sin x
1 解 (1)显然 x∈R，f(x)＝sin x， 2 1 1 f(－x)＝sin－2x ＝-sin x＝-f(x) 2 ∴f(x)是奇函数．
解
(1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x) ＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． 1－2sin x≥0 1 (2)由 ，得 sin x＝ . 2 2sin x－1≥0 π 5 ∴函数 f(x)的定义域为{x|x＝2kπ＋ 或 x＝2kπ＋ π，k∈Z}． 6 6 ∵f(x)的定义域不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数．
ymin 2(sin x)min 2
(3) y 3 sin x
ymax 3 (sin x)max 4 ymin 3 (sin x)min 2
(4) y 4sin x
ymax 4(sin x)min 4
ymin 4(sin x)max 4
作业：
1.课本P43 B组第3题 3.预习下节课内容（图像变化）
知识点三 求三解函数的最值（或值域） 例 3 求函数 y＝cos2x＋3sin x 的最大值和最小值．
解 y＝cos2x＋3sin x ＝1－sin2x＋3sin x ＝－sin2x＋3sin x＋1 3 2 13 ＝－sin x－2 ＋ . 4
3 ∵－1≤sin x≤1，sin x≠ ， 2 π ∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋ (k∈Z)时，ymax＝3； 2 π 当 sin x＝－1，即 x＝2kπ－ (k∈Z)时，ymin＝－3. 2
2
5 2
7 2
3
4
x
y=-1
知识探究四：
观察正弦函数图像，讨论交流正弦函数的单调性 （1）单调递增区间 （2）单调递减区间
[2k

, 2k ]kZ 2 2

3 [2k , 2k ]kZ 2 2

y=1
4
7 2
y
2
3
5 2
2
3 2
(2)2sin x 3
1 (3)sin x 2
2
例题二 求出下列函数的最大值和最小值：
(1) y 1 sin x
ymax 1 (sin x)min 2 ymin 1 (sin x)max 0
(2) y 2sin x
ymax 2(sin x)max 2
回顾归纳 判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于 原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前 提条件．然后再判断 f(－x)与 f(x)之间的关系．
变式训练 2 判断下列函数的奇偶性． 3 2 (1)f(x)＝cos π＋2x ＋ x · sin x； 2 (2)f(x)＝ 1－2sin x＋ 2sin x－1.
方法二
π 2π f(x)＝sin2x＋3的周期为 ＝π. 2
(2)作出 y＝|sin 2x|的图象．
π 由图象可知, y | sin 2 x | 的周期为 . 2 回顾归纳 对于形如函数 y＝Asin(ωx＋φ)， ω≠0 时的周期求 2π 法常直接利用 T＝ 来求解， 对于 y＝|Asin ωx|的周期情况常 |ω|
正弦函数的性质 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 R [-1,1] 奇函数 最小正周期2π
-11 在x 2k , 2k 上是增函数； 2 2 (k∈Z) 3 在x 2k , 2k 上是减函数； 2 2 1-1
1－ sin (2)由 1＋ sin
x>0 x>0
，得－1<sin x<1.
π 解得定义域为x|x∈ R且x≠kπ＋ ， k∈Z. 2
∴ f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋ sin x) ∴ f(－ x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋ sin(－x)] ＝ lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)． ∴ f(x)为奇函数． (3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－ 1， π ∴ x∈R 且 x≠ 2kπ－ ，k∈Z. 2 ∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数．
结合图象法来求解．
变式训练 1 求下列函数的周期： 3 2 (1)y＝cos 2π－3x ； 1 π (2)y＝sin－2x＋3.
2 2π 解 (1)y＝－sin x，T＝ ＝3π. 3 2 3 1 π 2π 1 (2)y＝sin2x－3，T＝ × ＝2π. 1 2 2
最值
2 (k∈) 3 当x 2k 时，ymin 1 2
当x 2k

时，ymax 1
课堂小结 1．求函数的最小正周期的常用方法： (1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数 所具有的某些性质推出使 f(x＋T)＝f(x)成立的 T. (2)图象法，即作出 y＝f(x)的图象，观察图象可求出 T.如 y ＝|sin x|. (3)结论法，一般地，函数 y＝Asin(ωx＋φ) (其中 A、ω、φ 2π 为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期 T＝ . ω 2．判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求定 义域，看它是否关于原点对称． 3．求形如 f(x)＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的函数值域，换元后转 化为二次函数在闭区间[－1,1]上的值域问题
回顾归纳 形如 f(x)＝asin2x＋bsin x＋c (a≠0)的函数的值 域问题，可以通过换元转化为二次函数 g(t)＝at2＋bt＋c 在 闭区间[－1,1]上的最值问题．若解析式中含有参数，要注意 分类讨论．