3.2一元二次不等式及其解法(3)
【超级经典】一元二次不等式及其解法(含答案)
1 ， 2
由函数 y 4 x 4 x 1的图象为：
2
原不等式的的解集是 { } . 方法二：∵ 原不等式等价于： (2 x 1) 0 ,
2
1 2
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都戴氏教育温江校区
∴原不等式的的解集是 { } . （4）方法一：
2 2 因为 0 ，方程 x 4 x 5 0 无实数解，
函数 y x 4x 5 的简图为：
2
所以不等式 x 4 x 5 0 的解集是 .
2
所以原不等式的解集是 . 方法二：∵ x 4x 5 ( x 2) 1 1 0
2
函数 y x 5x 的简图为：
2
因而不等式 x 5x 0 的解集是 {x | 0 x 5} .
2
方法二： x 5x 0 x( x 5) 0
2
x 0 x 0 或 x 5 0 x 5 0
解得
x 0 x 0 或 ，即 0 x 5 或 x . x 5 x 5
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【经典例题】 类型一：解一元二次不等式 例 1. 解下列一元二次不等式 （1） x 5x 0 ；
2
（2） x 4 x 4 0 ；
2
（3） x 4 x 5 0
2
思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为 (5)2 4 1 0 25 0 所以方程 x 5x 0 的两个实数根为： x1 0 ， x2 5
一元二次不等式及其解法
（3）对相应的一元二次方程根的大小进行讨论，以
确定解集.
1.三个“二次”的关系
一元二次不等式解的端点值是对应一元二次方程
的根，也是对应一元二次函数的零点. 2.含参一元二次不等式的解法：
（1）对二次项系数分是否为0，是正还是负进行讨论；
（2）对判别式进行讨论； （3）对相应的一元二次方程根的大小进行分类讨论.
（1）化成不等式的标准形式:
ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根, 并画出对应的一元二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0)
的图象；
（3）由图象得出不等式的解集:
当Δ > 0时，方程ax2 + bx + c = 0有两个不等的实数根 x1，x（ 2 x1 < x2），
因为Δ = 49 > 0,
所以方程 3x2 + 5x - 2 = 0 有两个实数根 1 x1 = -2,x 2 = . 3 而 y = 3x2 + 5x - 2 的图象开口向上，
转化为一 般形式
1 所以原不等式的解集为 x x < -2或x > 3 .
【提升总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
y
O
x
例6
解关于 x 的不等式 ax2 -(a +1)x +1 < 0.
分析：题中二次项系数含有参数，因此要分
及
解：原不等式可化为 (ax - 1)(x - 1)< 0. (1) 当a = 0时,x > 1. 1 (2) 当a < 0时，不等式可化为 (x - )(x - 1)> 0. a 1 1 因为 < 1,所以x < 或x > 1. a a
3.2.2含参数的一元二次不等式的解法(例题精讲)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，()00652≠>+-a a ax ax解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(mm -=+--=∆，所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
§3.2.3一元二次不等式及其解法(三)
∴原不等式的解集为{x|4<x≤5}
2013-1-21
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
6
§3.2.3一元二次不等式及其解法(三)
例3.解关于x的不等式：
loga (4 3x x ) loga (2x 1) loga 2, (a 0, a 1)
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 7
2013-1-21
§3.2.3一元二次不等式及其解法(三)
当0<a<1时有
1 x 2 2 x 1 0 2 2 x4 1 x 4 4 3 x x 0 4 3 x x 2 2(2 x 1) x 3或x 2 1 ∴当a>1时不等式的解集为 { x | < x < 2} 2 当0<a<1时不等式的解集为 { x | 2 < x < 4}
2013-1-21
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
12
1 log a x 4或 log a x 2
x a 或0 x a
4
2013-1-21 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 11
§3.2.3一元二次不等式及其解法(三)
课堂练习 <<教材>> P.80
练习2
书面作业
<<教材>> P.80 习题3.2 A组3 B组1.2
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
5
§3.2.3一元二次不等式及其解法(三)
例2. 解不等式
logx3 ( x 1) 2
x 1 0 或 0 x 3 1 x 1 ( x 3) 2
3.2《一元二次不等式及其解法》PPT课件
二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
函数
f ( x) x 5 x
方程
x 5x 0
2
不等式
x 5x 0
2
y
方程的解
不等式的解集
y>0 y>0
O
x1 0, x2 5
x x 0或x 5
x2 5 x 0
不等式的解集
x 0 x 5
5
y<0
总结
【典型例题】
例4. 解不等式：
2 x 2 5 x 6 x2 x6
1 2
1 2
二、简单的一元二次含参不等式
常见含参不等式题型： 1).讨论参数，解含参不等式； 2).已知含参不等式解集，求参数的范围。
• 常见可利用的入手知识点： 1、一元二次不等式的解集端点与相应方程根的关系 （结合韦达定理）。 2、一元二次不等式与对应函数的图象关系。
【解析】 2)≤0，
(1)原不等式等价于(x－1)(x＋1)(x－2)(x＋
如下图所示的阴影区域：
∴原不等式的解集是 x|－2≤x≤－1或1≤x≤2 .
(2)原不等式等价于(x＋1)2(x＋2)(x－3)≥0，如图所示的 阴影区域：
∴不等式的解集是 x|x≤－2或x≥3或x＝－1 .
-2<a<2
a 2, 2
对一切
x R恒成立
不等式的恒成立问题 含参数的不等式恒成立问题的一般处理思路是： • 1、带参函数分析：将不等式化为f(x)>0（或<0） 的形式，然后构造函数f(x)，求函数的最小值 （或最大值），再令fmin(x)>0（或fmax(x)<0）
一元二次不等式及其解法(3)
§3.2一元二次不等式及其解法（第3课时）班级 姓名组别代码评价【使用说明与学法指导】1．在自习或自主时间复习一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。
训练案在自习或自主时间完成。
2． 重点复习：一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系。
3．把有疑问的题做好标记或写到后面“我的疑问处”。
【学习目标】1. 熟练掌握解一元二次不等式的方法、步骤，会应用一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系解决问题。
2.通过一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系合作探究解决问题的方法。
3．培养学生的逆向思维，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【学习重点】一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系【学习难点】会应用一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系解决问题。
【知识链接】1．一元二次方程)0（02≠=++a c bx ax的根为21,x x ，则根与系数关系为：。
【预习探究案】探究一：（1）不等式052<-x x 的解集为：，解集的端点值为，；方程052=-x x 的根是，；函数x x y 52-=的图像与x 轴交点的横坐标为：，。
（2）由（1）可知一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的，就是二次函数图像 。
例1． 若不等式02<++n mx x的解集为}21|{<<-x x 求m,n 的值。
练习：若关于x 的不等式mx x x >+221-2的解集为}20|{<<x x 求m 的值。
例2．已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为1{|3x x <或1}2x >，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.练习：已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，求不等式20ax bx c -+>的解集思维提升：一元二次不等式给出解集，可以确定对应的一元二次方程的两个根，可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a 的符号）吗？。
人教a版必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法(含答案)
3.2 一元二次不等式及其解法材拓展1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .若a ＝0，b <0，解集为R ；b ≥0，解集为∅. 2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)． 不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 － ＋ ＋ ＋ x －2 － － ＋ ＋ x －3 － － － ＋(x －3)(x －2)·(x －1) － ＋ － ＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}． 一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解 原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立；(2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布 二次函数的图象 充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1 解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .解 原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2 解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解 原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}； 当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k<－2.∴x <－3k ＋2k 或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ； 当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}； 当k >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅； 当k <－2时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3 已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．分析 题中不等式含有两个字母x ，p ，由(1)的条件可知，应视p 为变量，x 为常量，再求x 的范围；由(2)的条件可知，应视x 为变量，p 为常量，再求p 的范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1， 于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 四、一元二次方程根的分布 方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.五、一元二次不等式的实际应用 方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项 调整前 调整后税率 8% (8－x )%收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨)税收总收入 2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m×(8－x)%解 设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8， 所以0<x ≤2为所求．区突破1．忽略判别式的适用范围而致错例1 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． [错解] 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0， 对x ∈R 恒成立．⇔{ a －Δ<0 ⇔{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0 ⇔－2<a <2.[点拨] 当a －2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立． 当a －2≠0时，由题意得{ a －Δ<0， 即{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0， 解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2. 温馨点评 在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax 2＋bx ＋c 的问题时，要注意对x 2系数的讨论．2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴{ aΔ<0， 即{ a－4a 2<0，∴a >1. [错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0， ∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的．[正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ， 代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎨⎧a a －1a ≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.题多解例 解不等式：lg x －1≤3－lg x . 解 方法一 lg x －1≤3－lg x⇔{ lg x －1≥－lg x ≥x －1≤(3－lg x )2 ⇔{ 1≤lg x ≤2x －7lg x ＋10≥0 ⇔{ 1≤lg x ≤x ≤2或lg x ≥5 ⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二 设lg x －1＝t ， 则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)．∴lg x －1≤3－lg x⇔{ t ≥t ≤2－t 2⇔0≤t ≤1⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三 解方程lg x －1＝3－lg x ， 解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数，g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数． 且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )， 则10≤x ≤100.方法四 令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示： 易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )． 即lg x －1≤3－lg x 成立． 由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2， 解得：10≤x ≤100.题赏析1．(2009·江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.答案 2赏析 本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法． 2．(2009·天津)设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 (x －b )2>(ax )2，(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0，要使x 的解集中恰有3个整数，必须有a 2－1>0.又a ＋1>0，∴a >1.不等式变形为[(a －1)x ＋b ][(a ＋1)x －b ]<0.∵a >1，b >0，∴b a －1>0,0<ba ＋1<1，∴b 1－a <x <b a ＋1， 其中含三个整数，∴－3≤b 1－a <－2,2<ba －1≤3.∴2a －2<b ≤3a －3.∴{ 3a －3≥b >0，a －2<b <a ＋1，∴{ a >1，a <3，∴1<a <3. 答案 C赏析 本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．。
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
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• 由题目可获取以下主要信息： • ①限速40 km/h；②刹车距离s甲＞12 m， s乙＞10 m； • ③刹车距离s甲、s乙与车速关系确定． • 解答本题可将刹车距离直接代入关系式 分别得到一个关于x的一元二次不等式， 解此不等式即可求出x的范围，即汽车刹 车前的车速范围．
• [ 规范作答 ] 由题意，对于甲车，有 0.1x ＋ 0.01x2＞12，--------2分 • 即x2＋10x－1 200＞0. • 解得x＞30或x＜－40(舍去).--------4分 • 这表明甲车的车速超过 30 km/h ，但根据题意 刹车距离略超过12 m，由此估计甲车不会超过 限速40 km/h.---------6分 • 对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，---------8分 • 即x2＋10x－2 000＞0. • 解得x＞40或x＜－50(舍去).----------10分 • 这表明乙车的车速超过 40 km/h，超过规定限 速.--------------12分
【背景材料】
思考1：你能用含x的表达式分别表示投 入的成本、出厂价和年销售量吗? 成本：1+x； 出厂价: 1.2(1+0.75x)；
年销售量: 1000(1+0.6x) . 思考2：本年度的预期年利润y与投入成 本增加的比例x的函数关系如何？
y 60 x 20 x 200 (0 x 1)
【背景材料】
思考2：如何用不等式表示“选择甲公司 较合算”？ x(35 x)
20
1.5 x
思考3：如何根据上网时间选择到甲、乙 两家公司上网？
由上不等式，得x2-5x<0, ∴0<x<5
答：一次上网时间在5小时以内，去甲公司 上网；超过5小时，去乙公司上网； 恰好5小 时，去两家公司均可.
• 解析：
• 设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x 万元， • 征收的税金为70x·R%万元,其中x＝100－10R. • 由题意，得70(100－10R)R%≥112， • 整理，得R2－10R＋16≤0. • ∴ 2 ≤ R≤ 8 ． • 答：当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加 税金不少于112万元．
找准不等关系； • ②引进数学符号，用不等式表示不等关系 ( 或 表示成函数关系)； • ③解不等式(或求函数最值)；
• ④回扣实际问题．
• 练习1.汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后 还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称 这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交 通事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不 对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场勘 查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的 刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型 的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如 下关系： • s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2. • 试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学 数学知识给出判断的依据．
思考2：为了既减少耕地损失，又保证该 项税收一年不少于9000万元，实数t应满 足的不等式是什么？
t ( 20 2.5t ) 10 2.4 9000 100
4
思考3：为达到上述目的，应怎样确定t 的范围？ [3，5]
• [题后感悟]解不等式应用题，一般可按如下四
步进行：
• ①阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、
一元二次不等式的实际应用
问题提出
1.解一元二次不等式的应用性问题的基 本思路是什么？ 将题中的某个主变量设为x→用x表示其 他相关变量→根据题中的不等关系列出 不等式→解不等式得结论.
探究（一）：上网费用问题
某同学要把自己的计算机接入因特网，现有 甲、乙两家公司可供选择.甲公司每小时收费1.5 元(不足1小时按1小时计算)；乙公司收费原则为: 上网的第一小时内(含1小时，下同)收费1.7元， 第二小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若 用户一次上网超过17小时，按17小时计算). 思考1：假设一次上网时间为x小时(不足17小时)， 则在甲、乙两家公司上网所收取的费用分别为多 少元？ x(35 x) 乙: 元 . 甲：1.5x元； 20
练习3. 国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产
品m t．按规定，农民向国家纳税：每收入100元 纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减 轻农民负担，国家制定积极的收购政策，根据市 场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个 百分点，试确定x的取值范围．使税率调低后，国 家此项税收总收入不低于原计划的78%.
• 练习2.国家为了加强对烟酒生产的宏观调
控，实行征收附加税政策，现知某种酒 每瓶70元，不加收附加税时，每年大约 产销100万瓶，若政府征收附加税，每销 售100元要征税R元(叫做税率R %)，则每 年的销售将减少10R万瓶，要使每年在此 项经营中所收附加税金不少于112万元， 问R 应怎样确定？
2.解一元二次不等式的应用性问题时， 要注意结果必须有实际意义，并对问题 作出相应回答.
∴y≥2 400m×8%×78%， ∴x2+42x-88≤0 ∴－44≤x≤2. 又0<x≤8，所以0<x≤2. ∴x的取值范围是0<x≤2.
小结作业
1.解决一元二次不等式的应用性问题， 关键在于构造一元二次不等式模型.其基 本思路是：将题中的某个主变量设为x→ 用x表示其他相关变量→根据题中的不等 关系列出不等式→解不等式得结论.
探究（二）：成本与收益问题
某摩托车生产企业，上年度投入的成本为 1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量 为1000辆.本年度为适应市场需要，计划提高 产品档次.若每辆车投入成本增加的比例为 x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为 0.75x，同时预计销售量增加的比例为0.6x. 已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售 量.
解: “税率降低x个百分点”,即调节后税率为(8－x)%； “收购量能增加2x个百分点”时，总收购量为 m(1＋2x%)t，总收购款为2 400m(1＋2x%)元；
“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后， 税收总收入≥2 400m×8%×78%. 设税率调低后的“税收总收入”为y元，
y＝2 400m(1＋2x%)(8－x)% 12 2 ＝－ m(x ＋42x－400)(0<x≤8)， 25
2
思考3：如何用不等式表示“本年度的年 利润比上年有所增加”？
60 x 20 x 200 (1.2 1) 1000 (0润比上年有所 增加，投入成本增加的比例x应在什么范 围内？ 1
由上不等式，得3x2-x<0∴0<x<
1 （0，） 3 3
探究（三）：耕地税收问题
【背景材料】 某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地 价格2.4万元，为了减少耕地损失，决定 按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样 每年的耕地损失可减少2.5t万亩. 思考1：该省每年征收的耕地占用税为多 少万元？ t 4 ( 20 2.5t ) 10 2.4 100