含30度角的直角三角形培优讲解学习
含30°角的直角三角形的性质-人教版八年级数学上册教案
含30°角的直角三角形的性质-人教版八年级数学上册教案教学目标•掌握含30°角的直角三角形的性质•能够应用所学知识解决相关问题•提高学生对几何中角度的理解教学重点•直角三角形的性质•含30°角的直角三角形的性质教学难点•让学生理解并应用30°角的性质教学过程一、引入现在我们要学习的是含30°角的直角三角形的性质，我们先来看下面这个直角三角形：A/\\/ \\C /____\\ B这个三角形中，角A是90°角，角B和角C是锐角或钝角。
现在我们来看一下，如果角B是30度，会发生什么变化呢？A/\\/ \\30° /____\\ BC 60°二、讲解我们可以发现，在这个三角形中，角C变成了60度，角B变成了30度，而角A还是90度。
接下来，我们来探究一下这个三角形的一些性质。
首先是角A，我们知道在任何一个直角三角形中，角A都是90度。
所以在这个三角形中，角A也是90度。
接着是角B和角C，我们知道在一个三角形中，三个角的和为180度。
所以在这个三角形中，角B和角C的和为150度。
而当角B是30度时，我们可以得出角C是60度。
我们再次观察这个三角形，我们可以发现这个三角形也是一个等腰三角形。
因为AC和BC的长度相等，即∠CAB = ∠CBA.另外，这个三角形也是一个等边三角形。
因为AC=BC，而AC和BC垂直（由于∠A=90°），所以ACB=60°，那么∠CAB = ∠ACB = ∠BCA = 30°，即三个角都是30度。
由于这个三角形满足等边、等腰、直角三种特殊情况的性质，所以它被称为“三六九十”三角形（三个角分别是30度、60度、90度，边长比分别是1：√3：2）。
三、练习1.在三角形ABC中，∠A = 90°，AB = AC，∠ABC = 30°，求∠BCA和∠CAB。
答案：∠CAB = ∠BCA = 60°2.在三角形ABC中，∠A = 90°，AB = AC，∠CAB = 30°，求∠ABC。
「初中数学」利用含30°角的直角三角形解题的几种技巧.doc
「初中数学」利用含30°角的直角三角形解题的几种技巧在初中数学中有这样一个定理:在直角三角形中，若一个锐角为30°，则它所对的边是斜边的一半.它通过角的关系揭示出了边的关系，从角的类别跨出到了边的类别，建立了不同类别之间的联系，所以非常重要，那么在证明线段之间的倍分关系时，我们就要注意提醒自己，题中是否含有30°、60°或120°的特殊角，或者通过某种方法构造含30°的直角三角形.这一定理运用比较广泛，下面结合八年级的习题分别说明。
一.直接运用含30°角的直角三角形的性质1.如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q.求证:BP=2PQ.【分析】由等边三角形ABC知，AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°且AE=CD，显然△ACD≌△BAE.结论要证BP=2PQ，想到在直角三角形BQP中，找30°角或60°，而∠BPQ=∠ABP+∠BAP，由△ACD≌△BAE，可知∠ABP=∠CAD，所以∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°则达到目的.证明:∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠C=∠BAC=60°，又AE=CD，∴△ACD≌△BAE，∴∠CAD=∠ABE，∵∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，∴∠ABE+∠BAP=∠BPQ=60°，∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=90°一∠BPQ=30°，∴BP=2PQ.2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°.求证:AD=DC.【分析】欲证，AD=CD，想到什么:等腰三角形三线合一;想到证底角相等？不管你想到哪个定理和性质，还得联系其他条件，条件有，等腰直角三角形BAC，有∠ABD=30°，这些条件又与结论怎样联系呢？那我们就要画辅助线试着分析一下，因为∠ABD=30°，AB=BD，可得，∠BAD=∠BDA=75°，过点A作AE⊥BD于E，E为垂足，使30°的角处于直角三角形中，则有∠EAD=15°，AE=AB/2，又分析出∠CAD=15°，则AD是∠CAE的角平分线，而DE⊥AE，于是想到过点D作DF⊥AC于F，则可证△EAD≌△FAD，得AF=AE=AB/2=AC/2，∴F是AC的中点，∴DF垂直平分AC，∴AD=DC，得证.如图证明:过点A作AE⊥BD于E，过点D作DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠AED=∠AFD90°则在Rt△AEB中，∵∠ABD=30°，∴AE=AB/2，又∵AB=AC，则AE=AC/2，在△ABD 中，∵AB=BD，∠ABD=30°，∴∠BAD=1/2(180°一30°)=75°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=15°，而在Rt△AED中，可知∠BAE=60°，∴∠EAD=15°，所以根据∠DAC=∠EAD=15°，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，可得△EAD≌△FAD，∴AF=AE=AC/2，即F是AC的中点，∴DF垂直平分AC，∴AD=DC.那么依据∠DAC=∠DCA是否也可证AD=DC呢？只要同学们善于分析，还是可以的，下面给出一种作辅助线的方法，希望同学们仔细体会.以BC为边在△ABC的同侧作等边三角形BEC，连接AE，如图，由于正三角形，等腰直角三角形的对称性可知，EA平分∠BEC，所以∠BEA=30°，由于∠ABC=60°，∠ABC=45°，∠ABD=30°，所以∠EBA=∠CBD=15°，而AB=BD，BE=BC，∴△EBA≌△CBD，∴∠BCD=∠BEA=30°，则∠ACD=15°，由上边证得知∠DAC=15°，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，此法关键是作出一个等边三角形，有同学要问，你怎么就知道作等边三角形呢？显然我也是学来的，多总结，多归纳，多记忆，多体会，你也会知道这种辅助线。
【教案】 含30°角的直角三角形的性质.doc
含30°角的直角三角形的性质【教学目标】1.知识与技能：使学生理解含30°角的直角三角形的性质。
2.过程与方法：（1）通过探究含30°角的直角三角形的性质，使学生进一步认识到数学来源于生活实践。
（2）体验用操作、归纳得出数学结论的过程。
（3）会用这一性质解决相关数学问题。
3.情感、态度与价值观：（1）通过拼等边三角形这一探究活动，培养学生的合作交流、乐于探究、大胆猜想等良好品质。
（2）使学生经历观察、探究、归纳、推理和证明的全过程，培养学生科学、严谨、求真的学习态度。
【教学重点：】理解含30°角的直角三角形的性质及应用。
【教学难点：】含30°角的直角三角形性质的探究。
【教学过程】活动一：旧知准备问题：已知△，∠60°，（）。
请你在括号内补充一个条件，使△能成为等边三角形。
学生活动：学生补充条件并说明。
教师活动：教师找学生补充条件，根据学生的叙述板书。
设计意图：此题的设计意图是通过问题形式回顾旧知，促使学生经常温故知新，同时为新课应用判定做铺垫。
传统的回顾旧知，一般是直接找学生背诵等边三角形的判定，容易产生误导：学习就是背诵定理、性质。
最终会造成学生会背性质、定理，却不能应用解决实际问题。
著名数学家哈墨斯曾经说过：“问题是数学的心脏！”这里通过一个半开放性的问题，可以使不同的学生想到不同的条件，如：∠60°（或∠60°）、、、等多种答案，对等边三角形的判定有一个深入的理解，而非机械记忆定理、性质所能解决的。
同时不同层次的学生也会在不同层面上体验到成功。
充分培养学生的创新精神和发散思维，使学生遇到问题学会思考，避免对性质、定理的学习停留在简单的对字面意思的理解上，有效克服学生的简单机械记忆。
活动二：探究直角三角形的性质１.拼一拼：你能用两个含有30°角的三角板摆放在一起构成一个等边三角形吗？你能借助这个图形，找到30°角所对的直角边与斜边之间的数量关系吗？组内交流自己的想法。
含30度角直角三角形的性质
角度与边长的关系
边长与角度的正弦关系
在30度角直角三角形中，较短的直角边（30度角所对的边）长度等于斜边长度的一半，即斜边长度 为2倍的较短的直角边长度。
边长与角度的余弦关系
在30度角直角三角形中，较长的直角边（60度角所对的边）长度等于斜边长度的根号3倍的一半，即 斜边长度为2倍的较长的直角边长度除以根号3。等腰三ຫໍສະໝຸດ 形的性质等腰三角形的两腰相等
在含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，因此，这个直角边和另一个直角边是等长的， 即构成等腰三角形。
等腰三角形的底角相等
由于两腰相等，根据等腰三角形的性质，两个底角也相等，均为60度。
等边三角形的性质
要点一
等边三角形的三边相等
在含30度角的直角三角形中，由于30度角所对的直角边等 于斜边的一半，另一条直角边等于斜边的根号3倍，因此， 三条边都相等，构成等边三角形。
边长与角度的关系
总结词
在含30度角的直角三角形中，斜边是较长直角边的2倍，是 较短直角边的√3倍。
详细描述
由于30度角的三角函数值已知，我们可以利用三角函数的知 识来推导边长与角度之间的关系。根据三角函数，当角度为 30度时，斜边是较长直角边的2倍，是较短直角边的√3倍。
边长与面积的关系
总结词
在含30度角的直角三角形中，面积与 较短的直角边长度成正比，与斜边的 长度无关。
特点
含30度角的直角三角形具有一些特殊的性质，如30度角所对的直角边等于斜边 的一半，以及30度角所对的直角边与邻边之比为$sqrt{3}$：$1$。
30度角直角三角形与其他三角形的关系
知识点总结：等边三角形及含30度直角的直角三角形
知识点总结：等边三角形及含30度直角的直角三角形一、引言本文将详细介绍等边三角形和含30度直角的直角三角形的定义、性质、应用及重难点精析。
等边三角形和直角三角形是初中数学中重要的基本图形，掌握它们的性质和判定对于解决数学问题具有重要意义。
二、等边三角形定义及性质1.等边三角形定义：三边长度相等的三角形称为等边三角形。
2.等边三角形性质：a. 三边长度相等，即任意两边之和等于第三边。
b. 三内角相等，即每个角均为60度。
c. 高等于一边长的一半。
三、含30度直角的直角三角形定义及性质1.含30度直角的直角三角形定义：有一个角为90度，另一个角为30度的三角形称为含30度直角的直角三角形。
2.含30度直角的直角三角形性质：a. 30度角对的直角边等于斜边的一半。
b. 勾股定理成立，即勾股定理中的三个边满足a^2 + b^2 = c^2.其中c为斜边。
c. 面积公式为：S = 1/2 * a * b，其中a和b分别为直角三角形的两直角边长。
四、等边三角形与含30度直角的直角三角形的联系与区别1.联系：等边三角形和含30度直角的直角三角形都是基本图形，具有一些共同的性质，例如三内角相等(等边三角形)或一个角为90度(直角三角形)等。
2.区别：等边三角形的三边长度相等，而含30度直角的直角三角形的斜边长度是直角边长度的两倍。
此外，等边三角形的三个内角均为60度，而含30度直角的直角三角形的两个锐角分别为30度和60度。
五、重难点精析1.等边三角形的证明：等边三角形的三边长度相等，因此可以使用三边长度相等的定理进行证明。
可以让学生们掌握等腰三角形性质并理解等边三角形的定义和判定方法。
2.含30度直角的直角三角形的证明：含30度直角的直角三角形可以使用勾股定理进行证明。
应该重点讲解勾股定理的推导过程及应用方法，以便学生们可以更好地掌握含30度直角的直角三角形的判定方法。
3.面积计算：无论是等边三角形还是含30度直角的直角三角形，面积计算都非常重要。
含30°角的直角三角形的性质(教学课件)-八年级数学上册(人教版)
如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边 缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧 立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的 最大宽度． 解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，
斜边的一半.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°. 证法②截半法
求证：BC=
1 2
AB.
证明：在BA上截取BD=BC，连接DC. ∵ ∠B=90°-∠A=60°，BD=BC
∴ △BCD是等边三角形 ∴ ∠BDC=60°，BD=DC=BC ∴ ∠DCA=∠BDC-∠A=30°=∠A
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点）
用两个含30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼成 一个等边三角形吗？说说你的理由.
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小 关系？能证明你的结论吗？
10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作
DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明
理由． 解： CD 1 DB.
2
理由如下：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE， ∴△AED≌△BED(ASA)，
含30度角的直角三角形的性质教案
含30度角的直角三角形的性质教案教案标题：含30度角的直角三角形的性质一、教学目标：1.理解含30度角的直角三角形的定义；2.掌握含30度角的直角三角形的性质；3.能够应用这些性质解决相关问题。
二、教学重点：1.含30度角的直角三角形的性质；2.运用这些性质解决相关问题。
三、教学难点：运用含30度角的直角三角形的性质解决相关问题。
四、教学方法：1.探究教学法：通过教师提问，引导学生分析、探究含30度角的直角三角形的性质；2.演绎法：通过推理、证明等方式，阐述含30度角的直角三角形的性质；3.课堂讨论：通过学生互相讨论和合作解决问题，加深对含30度角的直角三角形的理解。
五、教学准备：1.教师准备：教学设计、教学资料、示范练习；2.学生准备：学生课前预习、课堂展示。
六、教学过程：Step 1 导入（10分钟）1.教师出示一个三角形ABC，问学生三角形中是否有30度角，并请学生回答并说明理由；2.引导学生分析30度角的特点，并引出含30度角的直角三角形的定义。
Step 2 介绍含30度角的直角三角形的定义及性质（15分钟）1.教师介绍含30度角的直角三角形的定义：一个角是30度的直角三角形；2.教师引导学生分析并总结含30度角的直角三角形的性质，如：a.三角形中有一个角是30度，另外两个角之和是90度；b.三角形中的两条边与底边的夹角为30度；c.底边和斜边的比例关系等。
Step 3 示例演绎（20分钟）1.教师给出一些示例图形，通过演绎法帮助学生理解含30度角的直角三角形的性质；2.解答学生提出的问题，引导学生探究、证明其中的性质。
Step 4 知识扩展（20分钟）1.针对含30度角的直角三角形的性质，教师出示一些练习题，要求学生独立解答；2.学生相互交流解题思路，教师及时给予指导和反馈。
Step 5 知识应用（20分钟）1.教师出示一些生活实例，要求学生运用含30度角的直角三角形的性质解决实际问题；2.学生分组合作，完成教师布置的任务，并向全班展示解答过程和结果。
含30°角的直角三角形的性质课件
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4、如图，△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=120°， AD⊥AC交 BC?于点 D，
A
?求证： ?BC=3AD.
四、课后延伸
B
D
C
1、△ ABC 中，点 D 为 AC 的中点，∠ DBC=90 °， .∠ ABC=120 °. 证明： AB=2BC(4-5 法形内形外构造中位线或中点倍长）
只供学习与交流
找到 Rt△ ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗 ?
A
[ 归纳总结 ] ：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言叙述：在 Rt ABC 中 ∵ BAC 30
∴ BC
1 AC
2
D
B
C
二、应用举例
例 1、已知： 如，△ABC 中， ∠ACB=90 °，CD 是高， ∠ A=30 °．
只供学习与交流
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含
0
30
的角的直角三角形
[ 教学目标 ]
掌握有一个角为 30°的直角三角形的性质并能初步运用该性质，解决有关几何
问题
[ 重难点 ]
1. 有一个角为 30°的直角三角形的性质的推导
2. 有一个角为 30°的直角三角形的性质的推导及运用
一、性质的探究
请同学们将两个含有板有 30°的三角尺如图摆放在一起你能借助这个图形 ,
4、 如图，△ABC 中， AB=AC, ∠BAC=90 °,BD=AB, ∠ABD=30 ° 求证： AD=DC
（三线合一）
5、如图，在 ABC 中， ACB 90 ， CAB 30 ，以 AC 、 AB 为边在 等边 ACD 和等边 ABE ，连结 DE 交 AB 于 F . 求证： DF EF
C 1
求证： BD= AB ．
4
BD
A
例 2、等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20，求腰上的高 ．
例题 3、如图，在 Rt ABC 中， ACB 90 ， BAC 30 , CD 为斜边 AB 上的中线 . 求证： CD 1 AB
2
三、练习 只供学习与交流
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ABC 外侧作
只供学习与交流
此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 6、如图，点 D 是等边 △ ABC 边 AB 上的一点， AB=3AD ， DE⊥ BC 于点 E， AE 、CD 相交 于点 F． （1）求证： △ ACD ≌△ BAE ； （2）请你过点 C 作 CG⊥ AE ，垂足为点 G，探究 CF 与 FG 之间的数量关系，并证明．
1、如图， ABC 是等边三角形， AD BC ， DE AB ，若 AB 8 cm ，则 BD 的长为
cm ， BE 的长为
cm .
2、如图，在 Rt ABC 中， C 90 ， CAB 60 ， AD 平分 CAB ， DE AB 于点 E ，
且 DE 3cm . 求 BC 的长
3、如下图所示，∠ AOP=∠ BOP=15°， PC∥ OA,若 PC=4，求 PD的长。
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能力提升练习 1、在等边Δ ABC中，AE=CD，BGA，D 求证：BP=2PG。
2、 ABC 中， AB AC ， A 120 ， AB 的中垂线交 AB 于 D，交 CA 延长 线于 E，求证： DE 1 BC 。
2
3、△ ABC中，∠ BCA=90°，∠ BAC=30°. △ ABE与△ ACD都是等边三角形。点 F 为 BE的 中点， DF交 AC于 M. 证明 ;(1)FM=MD (2 ）AM=MC