浙江专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数及其表示课件

3.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同 的式子来表示，这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集，其值域等于各段函数 的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
知识拓展 1. 函数实质上就是数集上的一种映射，即函数是一种特殊的映射，而 映射可以看作函数概念的推广. 2.函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个 特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象. 3.分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，同时要注意每段曲 线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点.
x 1 － 2 ≥0， 由题意得 解得－3＜x≤0. x＋3＞0，
所以函数f(x)的定义域为(－3,0].
f2x (2) 若函数 y ＝ f(x) 的定义域为 [0,2] ，则函数 g(x) ＝ 的定义域是 x－1 答案 解析 [0,1) ________.
由0≤2x≤2，得0＝2，
当t>0时，－t＋10＝2，得t＝8，
当t<0时，t2＋4＝2，无解，
当x0>0时，由－x0＋10＝8，得x0＝2，
当x0≤0时，由x2 0＋4＝8，得x0＝－2，
所以x0＝2或－2.
题型分类
深度剖析
题型一 函数的概念
1 |x| 例1 有以下判断： ①f(x)＝ 与 g(x)＝ x －1
跟踪训练3 已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)的解析式； 解答
设 x＋1＝t(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1).
(2)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)； 解答
设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k2x＋kb＋b， 即k2x＋kb＋b＝4x－1，
又x－1≠0，即x≠1，
所以0≤x＜1，即g(x)的定义域为[0,1).
引申探究
例2 (2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y＝f(x＋1) 1 3 [ ， 1) ∪ (1 ， ] f 2 x 的定义域为[0,2]”，则函数g(x)＝ 的定义域为________________. 2 2 x－1
如果按某一个确定的对应关系f，
对应关系
f：A→B
使对于集合A中的任意 一个元
素x，在集合B中都有唯一确定
的元素y与之对应
名称 记法
称 f：A→B
为从集合A到集 称对应f：A→B为从集合A到集
合B的一个函数
y＝f(x)，x∈A
合B的一个映射
对应f：A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
解析
A.1
B.2
C.3
D.4
①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，
②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，
③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.
(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是 x2－1 A.y＝x－1 和 y＝ x＋1
答案
解析
B.y＝x0 和 y＝1 C.f(x)＝x2 和 g(x)＝(x＋1)2 x2 x D.f(x)＝ x 和 g(x)＝ x2
跟踪训练2 (1)已知函数 f(x)的定义域为[3,6]， 则函数 y＝
f (2 x) log 1 (2 x) 的定
2
义域为
答案
解析
3 A.[2，＋∞)
3 B.[2，2)
3 C.(2，＋∞)
1 D.[2，2)
f (2 x) 要使函数 y＝ log 1 (2 x) 有意义，
2
3≤2x≤6， 需满足 log 1 (2 x) 0 2
答案 解析
由函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]， 得函数y＝f(x)的定义域为[1,3]，
1≤2x≤3， 1 3 令 得2≤x≤2且 x≠1， x－1≠0，
1 3 ∴g(x)的定义域为[2，1)∪(1，2].
命题点2 已知函数的定义域求参数范围 例3 (1)若函数f(x)＝ 2x2 2axa 1 的 定 义 域 为 R ， 则 a 的 取 值 范 围 为 [－1,0] 答案 解析 ________. 因为函数f(x)的定义域为R， 所以 2 即2
考点自测
1.( 教材改编 ) 若函数 y ＝ f(x) 的定义域为 M ＝ {x| － 2≤x≤2} ，值域为 N ＝ {y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是 答案
解析
A中函数的定义域不是 [－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不
是[0,2]，故选B.
2.(2016· 全国甲卷 )下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y＝10lg x的 定义域和值域相同的是 答案 A.y＝x B.y＝lg x
5x＋1 ∴f(x)＝ x2 (x≠0).
－x＋10，x>0， 4.(2016· 诸暨期末)已知函数 f(x)＝ 2 则 f[f(0)]＝________ ； 6 x ＋4，x≤0，
2或－2 若 f[f(x0)]＝2，则 x0＝________.
由题意知f(0)＝4，f(4)＝6，
答案
(换元法)
答案
解析
2 2 令 t＝ ＋1(t>1)，则 x＝ ， x t－1
2 2 ∴f(t)＝lg ，即 f(x)＝lg (x>1). t－1 x－1
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝ 2x＋7 ________.
答案 解析
(待定系数法)
(消去法)
1 1 在 f(x)＝2f(x)· x－1 中，用x代替 x， 1 1 得 f( )＝2f(x)· －1， x x 1 2fx 1 将 f ( x )＝ －1 代入 f(x)＝2f(x )· x－1 中， x
2 1 可求得 f(x)＝ x＋ . 3 3
思维升华
函数解析式的求法 (1) 待定系数法：若已知函数的类型 ( 如一次函数、二次函数 ) ，可用待 定系数法. (2) 换元法：已知复合函数 f(g(x)) 的解析式，可用换元法，此时要注意 新元的取值范围. (3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达 式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式. 1 或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构 (4)消去法：已知f(x)与f x 造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
x2 2 ax a
1≥ 0 对x∈R恒成立，
0
x2 2 ax a
≥ 2 ，x2＋2ax－a≥0恒成立，
因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
ax＋1 [0,3) (2)若函数 y＝ 2 的定义域为 R， 则实数 a 的取值范围是_____. ax ＋2ax＋3
答案 解析
ax＋1 因为函数 y＝ 2 的定义域为 R， ax ＋2ax＋3
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.( × ) (3)映射是特殊的函数.( × ) (4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射.( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × )
在 函 数 y ＝ f(x) ， x∈A 中 ， x 叫 做 自 变 量 ， x 的 取 值 范 围 A 叫 做 函 数 的 定义域
；与x的值相对应的y值叫做 函数值 ，函数值的集合 {f(x)|x∈A}
叫做函数的 值域 .
(2)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 和 值域 .
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有 解析法 、 图象法 和 列表法 .
3 ≤x≤3， ⇒2 0<2－x<1
3 ⇒2≤x<2.
mx－1 (2)若函数 y＝ 2 的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是 mx ＋4mx＋3 3 A.(0， ] 4 3 C.[0，4] 3 B.(0， ) 4 3 D.[0，4)
答案 解析
题型三 求函数解析式
2 2 lg (x>1) x－1 例 4 (1)已知 f(x＋1)＝lg x，则 f(x)＝____________.
设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17，不论x为何值都成立，
a＝2， a＝2， ∴ 解得 5a＋b＝17， b＝7，
∴f(x)＝2x＋7.
1 (3)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f(x)＝2f( x )· x－1，则 f(x)＝ 2 1 x ＋ 答案 解析 3 3 ________.
x≥0 表示同一函数； x<0
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
④若 f(x)＝|x－1|－|x|，则 f
1 f ＝0. 2
②③ 其中正确判断的序号是________. 答案
k＝2， k ＝4， ∴ ∴ 1 b＝－ kb＋b＝－1， 3
2
k＝－2， 或 b＝1.
1 故 f(x)＝2x－3或 f(x)＝－2x＋1.
(3)已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，求f(x). 解答 以－x代替x，得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1， ∴f(－x)＝－3f(x)－2x＋1， 代入f(x)＋3f(－x)＝2x＋1， 1 可得 f(x)＝－x＋4.