高等数学 曲线积分与曲面积分习题课 非常有用
曲线积分与曲面积分常见题型攻略
曲线积分与曲面积分常见题型攻略以心同学整理一、计算第一类曲线积分步骤：（一）平面曲线积分t t g y t x L ,)()(:1.化简（1）代入化简【常用在k t g t f )](),([ （常数）的情形】Lds y x f ),(Lds t g t f )](),([ kskds L其中s 为积分曲线L 的长度。
（2）利用奇偶对称性化简①若积分曲线L 关于坐标轴y 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L x y x f ds y x f x y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为y 轴右边部分。
②若积分曲线段L 关于坐标轴x 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L y y x f ds y x f y y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为x 轴上边部分。
（3）利用轮换对称性化简若积分曲线L 中把x 与y 互换，积分曲线不变，则有Lds y x f ),( Ldsx y f ),(2.确定积分曲线L 的参数式方程t t g y t x L ,)()(:注：积分曲线一般以)(x f y 或)(y g x 的形式出现，此时参数式为：b x a x f y x x L,)(:，dy c y y y g x L,)(:3.套公式（一代二换三定限）化为定积分Lds y x f ),(dtt g t t g t f )()()](),([22注意：上限 大于下限 4.计算定积分例1【2017-2018期末】设L 是直线)40(1243 x y x 的一段，则Lds y x )43(60；解：Lds y x )43( Lds12代入化简6012 s 。
例2【2018-2019期末】计算Lds x y)(2，其中L 为圆周422 y x .解：法一：L 的参数方程为sin 2cos 2y x （ 20 ），d d ds 2)cos 2()sin 2(22 ，于是Lds x y )(22022)cos 2sin 4(d 0sin 8202d822148 .法二：由对称性有Lds y 2 Lds x 2（轮换对称），0 Lxds （奇偶对称）所以Lds x y )(2 Lds y 2L ds y x )(2122 Lds 421（代入化简）8422 Lds .例3【2019-2020期末】计算曲线积分Lds y xy x )(22，其中L 为平面区域}0,1|),{(22 y y x y x D 的边界曲线。
高等数学 曲线积分与曲面积分习题课 非常有用
+
∂Q ∂y
+
∂R ∂z
)dv
=
∫∫ Σ
Pdydz
+
Qdzdx
+
Rdxdy
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
∫∫
Σ
∂R ( ∂y
−
∂Q )dydz
∂z
+
∂P (
∂z
−
∂R )dzdx
∂x
+
∂Q (
∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz Γ
斯托克斯公式
高等数学十
Green公式,Guass公式,Stokes公式之1144//228★8
f2 x
+
f
2 y
)dσ
D
∫+ f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
高等数学十
2222//228★8
2
2
例 3 求柱面 x 3 + y 3 = 1在球面 x2 + y2 + z2 = 1内
的侧面积.
解 由对称性
∫ S = 8 zds L ∫= 1 − x2 − y2ds L
Q
2
L: x3 +
2
y3
系Σ
Σ
计
∫∫ f (x, y,z)ds
Σ
∫∫R(x, y,z)dxdy
Σ
= ∫∫ f[x, y,z(x, y)] 1+ zx2 + z2ydxdy = ±∫∫R[x, y,z(x, y)]dxdy
Dxy
Dxy
算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
高等数学D10习题课
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
（三）场论初步
梯度 gra duiu u juk x y z
通量 散度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
计
f(x, y,z)ds
R(x,y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdyR[x,y,z(x,y)d] xdy
D xy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
Green公式,Guass公式,Stokes公式 之间的关系
旋度 rA o ( R t Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k y z z x x y
二、典型例题
例 1 计 算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y L
其 中 L为 由 点 O(0,0)到 点 A(1,1)的 曲 线 ysi nx. 2
(PcosQcos Rcos)ds
第四章 曲线积分与曲面积分 习题课(一)
2 [ a cos t ( a sin t ) b sin t ( b cos t )] dt 0
- 12 -
a b
2
2
2
习 题 课（一）
三 格林公式及其应用 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
第 十 章
在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P x y d xd y D
y dx
L
2
2
2
-8-
习 题 课（一）
（3） L ( y z ) dx ( z x ) dy ( x y ) dz , 其中
2 2 2 2 2 2
L
为球面的一部分
x y z 1, x 0 , y 0 , z 0
2 2 2
第 的围线，其方向从 z 正向看去是逆时针的。 十 y2 z2 1 章 z 解 L L1 L 2 L 3 x 0 曲 L2 x2 z2 1 x cos t 线 积 L y 0 L3 t :0 1 y sin t 分 2 o 与 z 0 L1 曲 x x2 y2 1 面 积 z 0 分 y cos t z cos t t :0 L 3 x sin t L 2 z sin t t :0 2 2 x 0 y 0
Pd x Qd y
L
曲 在D 内具有一 线 设D 是单连通域 , 函数 积 分 阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: 与 P Q . 曲 (1) 在 D 内每一点都有 y x 面 积 Pd x Qd y 0 . 分 (2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L
高等数学《曲线积分与曲面积分》习题课
L( A,B)
b
f (x, y)
1 y2dx
a
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
z z f (x, y)
S
(1
1
f2 x
f
2 y
)d
D
f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
2
2
例 3 求柱面 x 3 y 3 1在球面 x2 y2 z 2 1内
的侧面积.
解 由对称性
S 8Lzds 1 x2 y2ds
2
解
z
y 1绕y轴旋转面方程为
x 0
y 1 z2 x2
(如下图)
欲求
I
(8
y
1) xdydz
2(1
2
y
)dzdx
4
yzdxdy
z
且有 I
* *
P Q R
*
(
x
y
z
)dxdydz
x
2
o1
*
y
3
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz dv
3
2
2
3
dxdz
D
8
a 0 dx (e x m) 0 0, OA 0
M
A(a,0) x
I
m a2 0 m a2.
AMOA OA
8
8
曲面面积的计算法
z
z f (x, y) S
z
z f (x, y)
o
Dxy
y
a
bo
A
s LB
y
x S dS
1
z
2 x
z
2 y
第四章 曲线积分与曲面积分 习题课(二)
R ( x , y , z ) dxdy
0
( x , y ) D xy
R ( x , y , z ) dxdy
D xy
R ( x , y , z ( x , y )) dxdy
上正下负
-5-
习 题 课（二）
Q ( x , y , z ) dzdx 的计算
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
d
1
dz
0
2
d
0
1
( cos 1 ) d
2 2
9 4
- 16 -
习 题 课（二）
例5 计算曲面积分
为柱面 x 2 y 2 1
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
x dydz y dzdx z dxdy
2 2 2
其中
zox 面 ,
: y y ( x , z ),
Q ( x , y , z ) dzdx
0
( x , z ) D zx
R ( x , y , z ) dzdx
R ( x , y ( x , z ), z ) dzdx
D zx
右正左负
三 两类曲面积分的关系
1 2
D xy
2
（1）
( x y ) dS ,
2 2
其中 为由锥面 z
z
2
x y
2
2
与
1
2
o x
y
D xy
( x y ) 2 dxdy
2 2
(1
曲线积分与曲面积分的应用
曲线积分与曲面积分的应用曲线积分与曲面积分是微积分的重要概念，在应用数学和物理学领域经常被用到。
本文将介绍曲线积分与曲面积分的概念、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、曲线积分的概念与计算方法曲线积分用于计算曲线上的某个向量场的沿曲线的积分。
设曲线C 为参数方程r(t)=(x(t), y(t), z(t)), 其中t∈[a, b]。
向量场F(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))在曲线C上的曲线积分定义为：∫[a,b] F·dr = ∫[a,b] (Pdx + Qdy + Rdz)计算曲线积分的方法有两种，一种是根据参数方程直接计算，另一种是通过换元法转化为定积分。
无论使用哪种方法，都需要注意确定积分路径的方向。
二、曲线积分的应用1. 力的做功：假设有一个物体沿曲线C移动，受到力F(x, y, z)的作用。
则力F在曲线C上做的功可以通过曲线积分来计算。
例如，当物体受到重力作用时，曲线积分可以用于计算物体从一个位置到另一个位置的重力做功。
2. 流量计算：曲线积分还可以用于计算流体通过给定曲线边界的流量。
例如，在计算液体或气体通过管道的流量时，可以通过曲线积分来确定通过给定管道截面的流体的体积流量。
三、曲面积分的概念与计算方法曲面积分用于计算曲面上的某个向量场的通过曲面的流量。
设曲面S由参数方程r(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v))定义，其中(u, v)∈D。
向量场F(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))在曲面S上的曲面积分定义为：∬S F·dS = ∬D (F·(ru×rv)) dA其中，ru和rv分别是参数方程r(u, v)对u和v的偏导数向量，ru×rv 是其叉乘，dA是面积元素。
计算曲面积分的方法包括参数化法、单位法向量法和投影法等。
大学高数第十章曲线积分与曲面积分课后参考答案及知识总结
，
原式=
注：利用二重积分的被积函数的奇偶性及积分区域的对称性有 .
★★4.利用曲线积分，求星形线 所围成图形的面积。
解：由公式
★★5.求双纽线 所围区域的面积。
解：双纽线的极坐标方程为：
由图形的对称性知：
★★6.计算 ，其中 为圆周 的顺时针方向。
解： 参数方程为： 变化从 到
原式
原式
法二： 线积分与路径无关。
原式 =
★★15.利用曲线积分，求下列微分表达式的原函数：
(1) ;
(2) ;
(3) .
解：(1) ,
是某函数的全微分
.
(2)
是某函数的全微分
.
(3)
是某函数的全微分
★★16.设有一变力在坐标轴上的投影为 ， ，改变力确了一个力场.
证明质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关.
(1)螺旋形弹簧关于 轴的转动惯量 ;
(2)螺旋形弹簧的重心.
解:
(1)
.
(2)
螺旋形弹簧关于 平面的静力矩分别为：
同法得：
.
,
.
提高题
★★★1.计算 ，其中 为正向圆周 ，直线 及 轴在第一项限内所围成的扇形的整个边界.
解： 与 在第一象限的交点为 .
如图：
;
; .
则原式
★★★★2.计算 ，其中 为圆柱面 与锥面 的交线.
解：摆线的参数方程为：
原式
★★5.计算曲线积分 ，其中 为螺旋线 上相应于 从 到 的一段弧。
解：
原式
★★6.计算曲线积分 ，其中 为折线 ,这里 , , , 依次为点 ， ， ， .
解：如图，原式=
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= 1,
参数方程为⎨⎧ ⎩
x y
= =
cos3 sin 3
t, t,
(0 ≤ t ≤ π) 2
高等数学十
ds = ( xt′)2 + ( y′t )2dt = 3sin t cos tdt,
π
∫ S = 8 2 1 − cos6 t − sin6 t 3sin t cos tdt 0
π
∫ = 24 2 3sin2 t cos2 t sin t cos tdt 0
[P(ξi ,ηi
)Δxi
+Q(ξi
, ηi
)Δyi
]
联
系
∫LPdx+Qdy= ∫L(Pcosα +Qcosβ)ds
计 ∫L f (x, y)ds
∫=
β
f [ϕ, ψ]
ϕ′2 + ψ′2dt
α
算 三代一定
(α < β)
∫LPdx + Qdy
∫=
β
[
P
(ϕ,
ψ)ϕ′
+
Q(ϕ,
ψ
)ψ′]dt
α
二代一定 (与方向有关)
∂Q = ∂ (e x cos y − m) = e x cos y ∂x ∂x
即 ∂P ≠ ∂Q ∂y ∂x
(如下图)
高等数学十
1188//228★8
1199//228★8
∫ ∫ ∫ ∫ I = − = −
y
L+OA O A AMOA OA
∫ ∫∫= (∂Q − ∂P )dxdy
AMOA D ∂x ∂y
一、主要内容 二、典型例题
22//228★8
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
高等数学十
（一）曲线积分与曲面积分
对对弧弧长长的的
对对面面积积的的
曲曲
曲曲线线积积分分
曲曲面面积积分分
线线 积积 分分
定定 义义
联 系
计计 算算
定定 联 义义 系
计计 算算
对对坐坐标标的的 曲曲线线积积分分
系Σ
Σ
计
∫∫ f (x, y,z)ds
Σ
∫∫R(x, y,z)dxdy
Σ
= ∫∫ f[x, y,z(x, y)] 1+ zx2 + z2ydxdy = ±∫∫R[x, y,z(x, y)]dxdy
Dxy
Dxy
算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
高等数学十
77//228★8
D
a y1 ( x )
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ f ( x, y, z)dV =
b
dx
y2
(
x
)
dy
z2( x,y) f ( x, y, z)dz, (dV体元素)
Ω
a
y1 ( x )
z1 ( x , y )
∫ ∫ f ( x, y)ds =
b
f [ x, y( x)]
1 + y′2dx, (ds线元素(曲))
（三）场论初步
梯度 gradu = ∂u ir + ∂u rj + ∂u kr ∂x ∂y ∂z
通量 散度
Φ = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Σ divAr = ∂P + ∂Q + ∂R ∂x ∂y ∂z
∫ 环流量 Γ = Pdx + Qdy + Rdz Γ
旋度
r rotA
=
(
曲线积分 当Σ → R3上空间曲线Γ时,
∫Σ f (M )dσ = ∫Γ f ( x, y, z)ds.
曲面积分 当Σ → R3上曲面S时,
∫Σ f (M )dσ = ∫∫ f ( x, y, z)dS. S
高等数学十
1100//228★8
计算上的联系
∫∫ ∫ ∫ f ( x, y)dσ =
b
[
y2( x) f ( x, y)dy]dx, (dσ面元素)
− 1 [2 f ( x, y, z) + y]dzdx + 1 [ f ( x, y, z) + z]}ds
3
3
=
1 3
∫∫
∑
(
x
−
y
+
z)ds
∫∫ = 1 1⋅ 3dxdy = 1 .
3 Dxy
2
高等数学十
2266//228★8
向量点积法
{ } 设Σ :
z=
f ( x, y),
法向量为
−
f
′
x
高等数学十
2277//228★8
例５ 计算 I = ∫∫ ydydz − xdzdx + z2dxdy, 其中 ∑ 为 ∑
锥面 z = x2 + y2 被平面 z = 1, z = 2 所截部分的外侧．
23 . 15
高等数学十
例 2 计算
∫ I = (e x sin y − my )dx + (e x cos y − m)dy , L
其中 L为由点(a ,0)到点(0,0)的上半圆周 x 2 + y2 = ax, y ≥ 0.
解
Q
∂P = ∂ (e x sin y − my) = e x cos y − m ∂y ∂y
+
∂Q ∂y
+
∂R ∂z
)dv
=
∫∫ Σ
Pdydz
+
Qdzdx
+
Rdxdy
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
∫∫
Σ
∂R ( ∂y
−
∂Q )dydz
∂z
+
∂P (
∂z
−
∂R )dzdx
∂x
+
∂Q (
∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz Γ
斯托克斯公式
高等数学十
Green公式,Guass公式,Stokes公式之1144//228★8
∫π
= 24 3 2 sin2 t cos2 tdt
= 3 3 π.
0
2
高等数学十
2233//228★8
2244//228★8
例４ 计算
I = ∫∫[ f ( x, y, z) + x]dydz + [2 f ( x, y, z) + y]dzdx ∑
+ [ f ( x, y, z) + z]dxdy, 其中 f ( x, y, z) 为连续函数,
∑ 为平面 x − y + z = 1在第一卦限部分的上侧 ．
z
解 利用两类曲面积分之间的关系
1
Q ∑ 的法向量为 nr = {1,−1,1},
∑
∴cosα =
1
, cos β =
1
, cosγ
=
1
−1
.
3
3
3
o
1
x
y
高等数学十
2255//228★8
I
=
∫∫ {
∑
1[ 3
f
( x,
y,z) +
x]dydz
o
Dxy
y
bo
a
s
y
LB
A
x S = ∫∫ dS
Σ
∫∫ =
1
+
z
2 x
+
z
2 y
dxdy
Dxy
∫ x S =
f ( x, y)ds
L( A,B)
∫=
b
f (x, y)
1 + y′2dx
a
高等数学十
曲顶柱体的表面积
2211//228★8
如图曲顶柱体，
z z = f (x, y)
∫∫ S =
(1 +
1+
I = ∫L Pdx + Qdy
∫ ∫∫ I =
( x, y)
Pdx
( x0 , y0 )
+ Qdy 非闭 ∂P
=
∂Q
∂P ≠ ∂Q 闭合 I =
(∂Q − ∂P )dxdy D ∂x ∂y
∫ I = L Pdx + Qdy =0闭合 ∂y ∂x ∂y ∂x 非闭 补充曲线或用公式
高等数学十
1177//228★8
∫∫ ( Ar ⋅ nr )ds = ∫∫∫ div Ar dv
Σ
Σ
Ω
∫Γ Pdx + Qdy + Rdz
dydz dzdx dxdy
∫∫ Pdydz+ Qdzdx+ Rdxdy
Σ
= ∫∫ Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
PQ R
=
∫Ω∫∫(∂∂Px
+
∂Q ∂y
+
∂R)dv ∂z
高等数学十
1155//228★8
∂R
−
∂Q
r )i
+
(
∂P
−
∂R)
r j
+
(∂Q
−
∂P
r )k
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
高等数学十
1166//228★8
∫ 例 1 计算I = ( x2 + 2xy)dx + ( x2 + y4 )dy, L
其中L为由点O(0,0)到点 A(1,1)的曲线 y = sin π x. 2