九年级数学圆中常见辅助线作法
圆内辅助线方法
圆内辅助线方法
在圆内作辅助线的方法有以下几种：
1. 直径：通过圆心作直径，将圆分成两个相等的半圆，可以用于确定圆上某点的位置或者进行圆的对称性证明。
2. 弦：连接圆上的两个点，形成一条弦。
弦可以用来测量圆的直径、找到圆上的中点以及确定圆弧的长度和角度。
3. 切线：从圆外一点引切线与圆相切，切点即为切线与圆的交点。
切线与半径垂直，并且切线和半径的夹角等于相应弧的夹角。
4. 弧：圆上两点之间的曲线部分称为弧。
可以通过连接弧上的两点和圆心，构成一个扇形。
通过测量弧长和圆心角可以计算出圆的周长和面积。
5. 径向线：连接圆心与圆上的任意一点，称为径向线。
径向线可以用来分析圆上的几何性质，如角度和长度。
这些辅助线方法在解决圆相关的问题时非常有用，能够帮助我们理解圆的性质、推导定理以及进行计算和证明。
1。
人教版九年级数学上册例谈圆中常见作辅助线的方法.docx
初中数学试卷马鸣风萧萧例谈圆中常见作辅助线的方法圆是初中几何部分的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题型都需要添加辅助线来解决。
只要添上合适的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。
通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下：一、作弦心距——在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距例1 如图1，AB 为⊙Ｏ的直径，PQ 切⊙Ｏ于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙Ｏ于D ，AD=2，TC=3.求⊙Ｏ的半径。
解：过点O 作OM ⊥AC 于M ，∴AM=MD=AD/2=1.∵PQ 切⊙Ｏ于T ，∴OT ⊥PQ ．又∵AC ⊥PQ ，OM ⊥AC ， ∴∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°， ∴四边形OTCM 为矩形．∴OM=TC=3， ∴在Rt △AOM中，2AO =． 即⊙Ｏ的半径为2．例2 如图2，已知在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点. 求证：AC=BD.证明：过点O 作OE ⊥AB 于E ，则AE=BE ，CE=DE ，∴AE-CE=BE-DE. ∵AC=AE-CE ，BD=BE-DE. ∴AC=BD.二、连半径——与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径例3 如图3，⊙O 的直径CD=20cm ，直线l ⊥CO ，垂足为H ，交⊙O 于A 、B 两点，AB=16 cm ，直线l 平移多少厘米时能于⊙O 相切？ 解：连接OA ，· Ｃ Ｄ ＡＥ ＢＯ图2A 图1M∵l ⊥CO ，∴OC 平分AB ∴AH=8cm.在Rt △AHO 中，OH==-=-2222810AH AO 6cm. ∴CH=4cm ，DH=16 cm.答：直线l 向左平移4cm ，或向右平移16cm 时能于⊙O 相切。
例4 如图4，PA 是⊙O 的切线，切点是A ，过点A 作AH ⊥OP 于点H ，交⊙O 于点B. 求证：PB 是⊙O 的切线. 证明：连接OA 、OB.∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP=90°. ∵OA=OB ，AB ⊥OP ，∴∠AOP=∠BOP. 又∵OA=OB ，OP=OP ，∴△AOP ≌△BOP. ∴∠OPB=∠OAP=90°. ∴PB 是⊙O 的切线.三、既作弦心距又连半径——与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决例5 直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，若油最大深度为16厘米.那么油面宽度AB 的长是多少厘米？解：连接OA ，作OC ⊥AB 于C ，则AC=BC=21AB.在Rt △OAC 中，OA=21×52=26厘米，OC=26-16=10厘米，∴AC==-=-22221026OC OA 24厘米.∴AB=2AC=48厘米.四、连弦构造相似三角形或直角三角形——在圆中与弦或其他有关的计算或证明时，常作辅助线的方法是连弦，利用同弧所对的圆周角相等连弦构造相似三角形或利用直径所对的圆周角为直角这个性质连弦构造出直角三角形，从而将问题转化到相似三角形或直角三角形中去计算或证明例6 已知，如图6，在半径为4的⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞MC ．连结DE ，（1）求证：AM ·MB=EM ·MC ； （2）求EM 的长； （3）求sin ∠EOB 的值.解：（1）连接AC ，EB ，则∠CAM=∠BEM.又∠AMC=∠EMB, ∴△AMC ∽△EMB ．∴ EM MBAM MC =，即AM ·MB=EM ·MC ． （2）∵DC 为⊙O 的直径，A 图 4· BPOH A BO·图5C B图6∴∠DEC=90°，EC=7.== ∵OA=OB=4，M 为OB 的中点，∴AM=6，BM=2．设EM=x ，则CM=7－x ．代入（1）,得 62(7)x x ⨯=-.解得1x =3，2x =4．但EM ＞MC ，∴EM=4.（3）由（2）知，OE=EM=4，作EF ⊥OB 于F ，则OF=MF=41OB=1．在Rt △EOF 中，,15142222=-=-=OF OE EF∴sin ∠EOB =415=OE EF . 例7 如图7所示，△ABC 是直角三角形，∠ABC=90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，点D 是BC边的中点，连结DE ． （1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）若⊙O DE=3，求AE ． （1）证明：连结OE ，BE ，∵AB 是直径，∴BE ⊥AC. ∵D 是BC 的中点， ∴DE=DB ， ∴∠DBE=∠DEB.又OE=OB ， ∴∠OBE=∠OEB ， ∴∠DBE+∠OBE=∠DBE+∠OEB. 即∠ABD=∠OED.又∵∠ABC=90°，∴∠OED=90°， ∴DE 是⊙O 的切线.（2）解：∵346)32(2222=+=+=BC AB AC ，∴334632=⨯=⋅=AC BC AB BE ，∴33)32(2222=-=-=BE AB AE .五、作直径构造直角三角形——在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题转化到直角三角形中去解决例8 如图8, 点A 、B 、C 在⊙O 上（AC 不过O 点），若∠ACB=60°,AB=6，求⊙O 半径的长。
初中数学圆的辅助线添加方法总结
九年级数学沪科版下册：解题技巧专题：圆中辅助线的作法
解题技巧专题：圆中辅助线的作法——形成解题思维模式，快准解答◆类型一遇弦加弦心距或半径【方法4①】1．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若OE＝3，则AB的长是( )A．4 B．6C．8 D．10第1题图第2题图2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为( )A．33B．43C．53D．633．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上的两点，且AC＝BD，则△OCD是________三角形．第3题图第4题图4．如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A ，B，AB＝40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为________cm.5．(2017·乐山中考)如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25米，BD＝1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是________米．◆类型二遇直径添加直径所对的圆周角【方法4②】6．(2017·毕节中考)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数为( ) A．30°B．50°C．60°D．70°7．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD.若AC＝2，则cos D＝________.第7题图第8题图8．如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为________．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.(1)求证：BE ＝CE ；(2)若∠B ＝70°，求DE ︵的度数；(3)若BD ＝2，BE ＝3，求AC 的长．◆类型三 遇切线连接圆心和切点 10．(2017·长春中考)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ABC ＝29°，过点C 作⊙O 的切线交OA 的延长线于点D ，则∠D 的大小为【方法4③】( )A ．29°B ．32°C ．42°D ．58°第10题图第11题图 第12题图11．如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC ＝3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D .若CD ＝3，则线段BC 的长度等于________．【方法4③】12．如图，⊙O 与△ABC 中AB ，AC 的延长线及BC 边相切，切点分别为D ，F ，E ，AB ＝5，AC ＝4，BC ＝3，则⊙O 的半径是________．13．(2017·陕西中考)如图，已知⊙O 的半径为5，P A 是⊙O 的一条切线，切点为A ，连接PO 并延长，交⊙O 于点B ，过点A 作AC ⊥PB 交⊙O 于点C ，交PB 于点D ，连接BC ，其中∠P ＝30°.(1)求弦AC 的长；(2)求证：BC ∥P A .◆类型四 有交点证切线连接圆心和交点14．(2017·凉山州中考)如图，已知AB 为⊙O 的直径，AD ，BD 是⊙O 的弦，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC ∥AD ，BA ，CD 的延长线相交于点E .(1)求证：DC 是⊙O 的切线；【方法5①】(2)若AE ＝1，ED ＝3，求⊙O 的半径．◆类型五 添加辅助线计算阴影部分的面积【方法7】15．(芜湖期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为( )。
圆中常用的作辅助线的八种方法
习题课
阶段方法技巧训练（一）
202X
专训2 圆中常用的作辅助 线的八种方法
在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要
添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至
关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧
用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所
对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周
角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及
解：
又∵∠CDB＝∠DBO，DE＝BE，
02
∠CED＝∠OEB，
03
∴△CDE≌△OBE.
∴S△CDE＝S△OBE.
∴S阴影＝S扇形OCB＝ π·62＝6π(cm2)．
证明：
求DE的长． 如图，连接BE. ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC. ∵△ABC是等边三角形， ∴AE＝EC，即E为AC的中点． ∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线． ∴DE＝ AB＝ ×2＝1. 解：
7 遇切线巧作过切点的半径 方法 8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°， 点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.
解：
5
遇弦加弦心距或半径
方法
5．如图所示，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相 垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP 的长为( ) A．3 B．4 C．3 D．4
初三圆中常见的辅助线的相关定理有哪些？
初三圆中常见的辅助线的相关定理有哪些？
圆是初中数学中常见的几何图形之一。
在圆的研究中，我们会
遇到一些辅助线。
辅助线可以帮助我们理解圆的性质和解决相关问题。
下面是初三圆中常见的辅助线的相关定理：
1. 中垂线定理
如果两条线段的中点连线垂直于这两条线段，则这两条线段的
中点连线是它们的中垂线，并且中垂线会经过圆心。
2. 弦的垂直定理
如果一条弦上的两个弧所对应的圆心角相等（或为180度），
则此弦为这两个弧的弦的垂直平分线。
3. 弦长定理
如果两条弦在圆上的弦长相等，则它们所对应的圆心角相等。
4. 切线垂直弦定理
切线和半径的垂直性定理：切线与过切点的半径垂直。
5. 切割弦定理
切线和弦的切割定理：当一条切线和一条弦相交时，它们所夹的弧所对应的圆心角相等。
这些定理在解决圆相关问题时具有重要的作用。
通过应用这些辅助线的相关定理，我们可以更好地理解圆的性质，推导出其他定理，并解决一些与圆相关的几何问题。
以上是初三圆中常见的辅助线的相关定理。
希望对你有帮助！。
人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 专题(十) 圆中常见辅助线的作法
解：(1)证明：如图，连接OC，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CD， ∵AE⊥CD，∴AE∥OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵AE∥OC， ∴∠E＝∠OCB，∴∠E＝∠B，∴AE＝AB (2)如图，连接 AC，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ ACB＝90°，即 AC⊥BE，由(1)知 AB＝AE，∴ EC＝BC，∵BC＝16，∴EC＝16，在 Rt△ACB 中，由勾股定理，得 AC＝ AB2－BC2 ＝
二、遇直径添加直径所对的圆周角 5．(2020·阜新)如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若 ∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为( B ) A．57° B．52° C．38° D．26°
6．如图，△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D.若 AC＝6，BD＝5 2 ，则 BC 的长为___8_____．
A．π－1
B．π2 －1
C．π－21
D．π2 －12
14．(2020·重庆 B 卷)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，∠ABC＝120°，AB＝2 3 ，以点 O 为圆心，OB 长为半径画弧， 分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为_3__3__－__π__.(结果保留π)
202－162 ＝12，在 Rt△ACE 中，S△ACE＝21 ×
AC×CE＝12 ×AE×CD，∵AE＝AB＝20，∴21
×12×16＝21 ×20×CD，解得 CD＝9.6
五、添加辅助线进行扇形面积的有关计算 13．(2020·苏州)如图，在扇形 OAB 中，已知∠AOB＝90°，OA＝ 2 ， 过 AB 的中点 C 作 CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，E，则图中阴 影部分的面积为( B )
关于圆中常用的辅助线作法
图2A B 关于圆中常用的几种辅助线有关圆的中考，题目变化灵活，在历年各地中考题中均占有较大比例。
在解答与圆有关的题目时，常常需要作辅助线，以便在已知和结论之间“牵线搭桥”，从而使分散条件集中化，隐含条件明显化，难点分散简易化，达到解决问题的目的。
1、有弦时，可从圆心作与弦垂直的线段；或连结半径。
例1：(2006·广东)如图1，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE=BF ，请你找出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明。
解析：解法1，有弦，可从圆心作与弦垂直的线段，用垂径定理。
OE=OF 。
过点O 作OM ⊥AB 于点M ，则AM=BM ，又AE=BF ，故EM=FM ，从而OM 垂直平分EF ，所以OE=OF 。
解法2，此题也可利用全等来证明。
连结半径OA 、OB ，则OA=OB ，故∠A=∠B ，又AE=BF ，所以△AOE ≌△BOF(SAS)，由此OE=OF ； 本题源于课本，巧妙地加以变化，成了一道开放性试题，学生解题时因为有基础铺垫，既增加了自信，又可以提高数学素养。
2、遇到直径时，可作直径所对的圆周角。
例2：(2006·烟台)如图2，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，且⊙O 直径BD=6，连结CD 、AO 。
⑴求证：CD ∥AO ； ⑵设CD=ｘ，AO=ｙ，求ｙ与ｘ之间的函数关系式，并写出自变量ｘ的取值范围。
解析：有直径，可作直径所对的圆周角得直角。
⑴连结BC 交AO 于点E 。
∵AB 、AC 是⊙O 的切线，∴AB=AC ，∠CAO=∠BAO ，∴AO ⊥BC ，∴∠BEO=90°，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD=90°，∴∠BCD=∠BEO ，∴CD ∥AO ；⑵∵CD ∥AO ，∴∠D=∠AOB ，∵AB 是⊙O 的切线，BD 是直径，∴∠BCD=∠ABO=90°∴△BCD ∽△ABO ，∴BD ∶AO=CD ∶BO ，∴6∶y=x ∶3，∴y=x18，0＜x ＜6。
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圆中常见辅助线的作法 典型例题：
例题1、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是 弧AB 上
任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为12，则PA 长为______________
例题2、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥L 于C ，BD ⊥L 于D ，且AC+BD=AB 。
求证：直线L 与⊙O 相切。
例题3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°角，CD 与⊙O 切于C ，
交AB•的延长线于D ，求证：AC=CD ．
例题4、如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，
那么OP 的长的取值范围是_________．
B
A
C
B
1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时）
1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；
②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
2． 遇到有直径时
常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形
3． 遇到90°的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
4． 遇到有切线时
（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点
作用：利用切线的性质定理可得OA ⊥AB ，得到直角或直角三角形。
（2）常常添加连结圆上一点和切点
作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
5． 遇到证明某一直线是圆的切线时
（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线
段，再证垂足到圆心的距离等于半径。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。
6．遇到两相交切线时（切线长）
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；
②垂直关系；③全等、相似三角形。
7．遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：
①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；
②内心到三角形三条边的距离相等
8．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点
作用：外心到三角形各顶点的距离相等。
B
A
C
B
例题讲解
例题1、如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。
例题2、如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，
则∠C 的度数是________.
例题3、如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2,∠B= 例题4、如图，AB 、AC 是⊙O 的的两条弦，∠BAC=90°，
AB=6，AC=8，⊙O 的半径是
例题5、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥L 于C ，BD ⊥L 于D ，且AC+BD=AB 。
求证：直线L 与⊙O 相切。
例题7、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是弧AB 上任意一点，过C
作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为12，则PA 长为______________
例题8、如图，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=
例题9、如图，Rt △ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I 分别切AC ，BC ，AB 于D ，E ，F ，求Rt △ABC 的内心
I 与外心O 之间的距离．
课后练习
1、已知：P 是⊙O 外一点，PB ，PD 分别交⊙O 于A 、B 和C 、D 且AB=CD.求证：PO 平分∠BPD ．
2、如图，ΔABC 中，∠C=90°，圆O 分别与AC 、BC 相切于M 、N ，点O 在AB 上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O 的半径.
3、已知：□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O 点，BC 切⊙O 于E 点.求证：AD 也和⊙O 相切.
4、如图，学校A 附近有一公路MN ，一拖拉机从P 点出发向PN 方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A 周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？
A
B
C
D
O
E
N
5、如图，A 是半径为1的圆O 外的一点，OA=2，AB 是圆O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求阴影部分的面积.
6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E,BF ⊥CD ，垂足为F.求证：DE=CF.
7、如图，O 2是⊙O 1 上的一点，以O 2为圆心，O 1O 2为半径作一个圆交⊙O 1 于C ，D ．直线O 1O 2分别交⊙O 1 于延长线和⊙O 1 ，⊙O 2于点A 与点B ．连结AC ，BC ．⑴求证：AC=BC ；⑵设⊙O 1 的半径为r ，求AC 的长．⑶连AD ，BD ，求证：四边形ADBC 是菱形；⑷当r=2时，求菱形ADBC 的面积．
8、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连AC 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线EF ，交BC 于E 点.求证：OE //AC.
A
A C D O 1 O 2 B
. .。