五年级最大与最小学生版
五年级奥数专题 约数、倍数、完全平方数(学生版)
学科培优数学“约数、倍数、完全平方数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点并不难理解,对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过,所以重点在于一些性质的应用,完全平方数在考试中经常出现,所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.知识梳理一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。
即若(,),(,),=⨯=⨯那么(,)1a b=A a a bB b a b(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即(,)[,]⨯=⨯a b a b a b(3)对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍二、约数个数与所有约数的和(1)求任一整数约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
(2)求任一整数的所有约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和。
三、完全平方数常用性质1.主要性质●完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。
不可能是2,3,7,8。
●在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
●完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
●若质数p整除完全平方数2a,则p能被a整除。
2.一些推论●任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
●一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
●自然数的平方末两位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。
五年级奥数约数与倍数(二)学生版
1. 五年级奥数约数与倍数（二）学生版2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识, 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构,而且表达形式唯一”一、 约数、公约数与最大公约数概念(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除,a 叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数；(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”；(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；(4)0被排除在约数与倍数之外1． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯,22252237=⨯⨯,所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘．例如：2181239632,所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止．那么,最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的)．例如,求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数；②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以知识点拨 教学目标5-4-2.约数与倍数（二）n ．3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,那么这些倍数就叫做它们的公倍数(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
数学春季教案 五年级-4 最大公因数与最小公倍数
第4讲最大公因数与最小公倍数
【教学内容】
五年级春季精英版，第4讲——最大公因数与最小公倍数。
【教学目标】
知识技能
1．使学生能根据提供的情境探索并掌握求两个数的公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的方法。
2．使学生从不同的角度找出两个数最大公因数和最小公倍数的的区别和联系，从而培养学生的分析、归纳等思维能力。
数学思考
通过自主探索和小组合作学习，使学生能根据应用题的具体情况选择解题方法，培养学生主动获取知识的能力和习惯。
问题解决
学会用公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的知识解决简单的实际问题，体验数学与生活的密切联系。
情感态度
1．培养学生的动手操作能力和合作探究问题的习惯。
2．培养学生用不同的方法解决问题的思维方式，渗透在多种方法中选择最简单的方法解决问题。
3．培养学生独立探究的好习惯，并渗透美育。
4．让学生体验到小组协作学习的快乐。
【教学重难点】
教学重点
掌握用最大公因数和最小公倍数解决实际问题的计算方法。
教学难点
区分用最大公因数与最小公倍数解决实际问题数量间的相等关系。
【教学准备】
动画多媒体语言课件。
第一课时教学过程：
第二课时教学过程：
教材及练习题答案附表：例题：
例1：12盏。
例2：60人。
例3：15厘米。
例4：15位同学。
例5：15和90或30和45。
拓展练习：
1．48人
2．9面
3．6块
4．98
5．20：00
6．396或180。
小学数学5年级培优奥数讲义 第29讲 最大最小问题(学生版)
第29讲最大最小问题学会在题目中判断出限制条件；学会分数知识的综合运用；从题目限制条件中分析最大最小问题。
在日常生活中,人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题,这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题,最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题,我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：1、枚举比较法。
当题中给定的范围较小时,我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2、着眼于极端情形,即充分运动已有知识和生活常识,一下子从“极端”情形入手,缩短解题过程。
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题,最终都表现为数学上的极值问题,即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学的各种知识。
考点一：简单最大最小问题例1、把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里,使每边上7个小三角形内数的和相等。
问这个和最大值是多少？例2、有8个西瓜,它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。
把它们分成三堆,要使最重的一堆西瓜尽可能轻些,那么,最重的一堆应是多少千克？典例分析知识梳理学习目标例3、一次数学考试满分100分,6位同学平均分为91分,且6人分数互不相同,其中得分最少的同学仅得65分,那么排第三名的同学至少得多少分？(分数取整数)例4、一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米,每一种庄稼需要先收割好、捆好,然后往回运输。
现由两个小组分别承包这两项工作,工时如下表(一种庄稼不割好、捆好,不准运输),这两组从开工到完工最少经过多少小时？例5、A、B、C是三个风景点,从A出发经过B到达C要走18千米,从A经过C到B要走16千米,从B经过A到C要走24千米。
相距最近的是哪两个风景点？它们之间相距多少千米？考点二：数论中的极端思想例1、1～8这八个数字各用一次,分别写成两个四位数,使这两个数相乘的乘积最大。
小学五年级奥数568最值问题(学生版)专项练习题
学科培优数学“最值问题”学生姓名授课日期教师姓名授课时长在日常生活、工作中，经常会遇到有关最短路线、最短时间、最大面积、最大乘积等问题，这就是在一定条件下的最大值或最小值方面的数学问题。
这类问题涉及的知识面广，在生产和生活中有很大的实用价值。
这一讲就来讲解这个问题。
【授课批注】本讲的最值问题是从多方面入手，方法思路比较开阔！教师要多多鼓励学生思考，调动课堂气氛！关于解决最值问题的常用结论：1. 两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小.2. 如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。
特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大.3.整数分拆的原则：不拆1，少拆2，多拆3【重点难点解析】1. 有关数的最值问题2. 面积与周长的最值问题3. 整数的分拆4. 路线与时间的最值问题【竞赛考点挖掘】1. 分类思想在最值问题中的应用2. 一笔画问题与最短路线问题的结合3. 实际生活问题中的最值问题例题精讲【试题来源】【题目】用铁丝围成一个面积为36平方厘米的长方形，最少要用多少厘米铁丝？【试题来源】【题目】用60米长的篱笆围成一个长方形鸡舍，若长方形借助一个墙角（两面墙的夹角为90度，如右图），长和宽各为多少时面积最大？最大面积是多少？【试题来源】【题目】用60米长的篱笆围成一个长方形鸡舍，当长和宽各是多少时面积最大？最大面积是多少？【试题来源】【题目】用60米长的篱笆围成一个长方形鸡舍，若长方形一面靠墙（如右图），长和宽各为多少时面积最大？最大面积是多少？【试题来源】【题目】用60米长的篱笆围成5个面积相等的长方形鸡舍，若5个鸡舍相连且均有一面靠。
短除法求最大公因数和最小公倍数【说课稿】苏教版五年级下册数学
短除法求最大公因数和最小公倍数（说课稿）背景简介本节课的内容属于数学的基础知识，是初步学习数学的重要一步。
这是苏教版五年级下册数学的一个重要章节，讲述了如何用短除法来求最大公因数和最小公倍数。
教学目标1.掌握短除法求最大公因数和最小公倍数的方法；2.能够在实际问题中应用所学知识求解；3.发扬团队合作精神，共同学习、共同进步。
教学重难点1.让学生理解最大公因数和最小公倍数的概念及其作用；2.学会用短除法求解；3.学会将短除法运用到实际问题中。
教学内容及步骤一、导入（5分钟）1.列出一组数：18和24，要求求这两个数的最大公因数和最小公倍数；2.引导学生思考如何求解。
二、讲授（15分钟）1.编写短除法表格：将18和24先进行除法运算，将商写在一列，余数写在隔一列的下一列；2.然后将24和余数（6）进行除法运算，将商写在下一列，余数写在隔一列的下一列；3.接下来，将6和余数（0）进行除法运算，将商（1）和余数（0）记录在最后一列；4.将上述过程中求得的余数相加，得到18和24的最大公因数；5.将上述过程中求到的所有商和1相乘，得到18和24的最小公倍数。
三、练习（20分钟）1.学生自主练习；2.老师随堂巡视，发现问题及时引导学生；3.学生互相合作，相互帮助，能够发扬团队合作精神，共同进步。
四、总结（5分钟）1.小结短除法求最大公因数和最小公倍数的方法；2.让学生总结短除法的特点和优点。
教学方式及手段教学方式授课、互动、讨论和合作学习。
教学手段PPT、黑板、白板、教具等。
注意事项1.在讲解时，要将短除法的每个步骤都详细讲解清楚；2.在练习环节中，老师要引导学生相互合作，相互讨论，并发扬团队合作精神。
教学评估1.在练习环节中，老师要抽查学生答题情况；2.在总结环节中，要求学生回答本节课的问题。
教学反思与改进本节课的讲解需要鉴定学生的掌握程度，如果学生掌握的不太好，可以通过课外的练习来弥补实际操作上的不足。
最大公因数和最小公倍数优质教案五年级上册数学北
最大公因数和最小公倍数优质教案五年级上册数学北一、教学内容本节课选自五年级上册数学教材第十一章“数的整除”，详细内容为最大公因数和最小公倍数的概念及其求法。
具体涉及章节为第1节“最大公因数”和第2节“最小公倍数”。
二、教学目标1. 理解最大公因数和最小公倍数的概念，能够熟练运用求最大公因数和最小公倍数的方法。
2. 能够运用最大公因数和最小公倍数解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和合作意识。
三、教学难点与重点重点：最大公因数和最小公倍数的概念及求法。
难点：求法中的分解质因数方法及其应用。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
学具：练习本、笔、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个例子，让学生了解最大公因数和最小公倍数在实际生活中的应用。
2. 新课导入（1）回顾因数和倍数的概念。
（2）引出最大公因数和最小公倍数的概念。
（3）讲解最大公因数和最小公倍数的求法。
3. 例题讲解（1）求两个数的最大公因数。
（2）求两个数的最小公倍数。
4. 随堂练习（2）运用最大公因数和最小公倍数解决实际问题。
5. 小组讨论学生分小组讨论如何快速求最大公因数和最小公倍数。
六、板书设计1. 最大公因数和最小公倍数的概念。
2. 最大公因数和最小公倍数的求法。
3. 例题解答步骤。
七、作业设计1. 作业题目（2）小华和小红同时做家务，小华每3天做一次，小红每4天做一次。
他们同时做家务的最小公倍数是多少？2. 答案（1）18和24的最大公因数是6，最小公倍数是72；28和35的最大公因数是7，最小公倍数是140；30和45的最大公因数是15，最小公倍数是90。
（2）小华和小红同时做家务的最小公倍数是12。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思通过本节课的学习，让学生回顾最大公因数和最小公倍数的概念和求法，加深对这两个概念的理解。
2. 拓展延伸引导学生思考如何求三个或更多数的最大公因数和最小公倍数，激发学生的学习兴趣和探究精神。
五年级奥数专题 年龄问题(学生版)
学科培优数学年龄问题学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本章内容主要围绕年龄问题进行展开分析,通过本章知识的学习,要求同学们能熟练运用和差、和倍、差倍以及图示等方法计算有关年龄问题．年龄问题的解题正确率保证：验算！重点难点：1．抓住“年龄差”不变规律2．年龄问题转化成“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式.3．学会画年龄关系图帮助解题考点： 1. 多人之间的年龄关系问题2. 年龄问题与简单逻辑问题的结合3. 年龄问题与数论（倍数）问题的结合知识梳理1．小明的爸爸去年比小明大25岁,明年爸爸比小明大多少岁？2．今年陈老师的年龄是王芳的2倍,明年陈老师的年龄还是王芳的2倍吗？3．前年红红和姐姐的年龄和是30岁,今年两人的年龄之和为多少岁？根据以上题目,我们得出年龄问题的三大规律：1、两人的年龄差是不变的；2、两人年龄的倍数关系是变化的量；3、随着时间的推移,两人的年龄都是增加相等的量．【授课批注】只要我们掌握了关于年龄问题的几点规律,再借助线段图来处理一些较复杂的问题,那么年龄应用题就不难解决了.年龄问题的解题要点是：1、入手：分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系.2、关键：抓住“年龄差”不变.3、解法：应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式.本讲主要学习两种类型的年龄问题：1、理解掌握可以转化为和差、和倍、差倍问题的年龄问题；2、其他特殊类型的年龄问题例题精讲（一）可以转化为和差、和倍、差倍问题的年龄问题【试题来源】【题目】今年姐姐13岁,弟弟今年10岁,当姐弟年龄之和达101岁时,姐弟各是多少岁？【试题来源】【题目】小英比小明小3岁,今年他们的年龄和是老师年龄的一半,再过15年,他们的年龄和就等于老师的年龄,今年小英的年龄是多少岁？【试题来源】【题目】四个人年龄之和是87岁,最小的一个12岁,他与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大7岁,那么这四个人中年龄最大的一个年龄是多少?【试题来源】【题目】小明与爸爸的年龄和是53岁,小明年龄的4倍比爸爸的年龄多2岁,小明与爸爸的年龄相差几岁？【试题来源】【题目】一家三口人,三人年龄之和是72岁,妈妈和爸爸同岁,妈妈的年龄是孩子的4倍,三人各是多少岁？【试题来源】【题目】6年前,母亲的年龄是儿子的5倍,6年后母子年龄和是78岁．问：母亲今年多少岁?【试题来源】【题目】甲、乙、丙、丁四个人的年龄之和是64岁,甲21岁时,乙17岁；今年甲18岁,丙的年龄是丁的3倍．问丁今年的年龄?【试题来源】【题目】今年父亲的年龄是儿子的5倍,15年后,父亲的年龄是儿子年龄的2倍,问：现在父子的年龄各是多少岁？【试题来源】【题目】甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候,你的岁数是我今年岁数的一半．”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候,你的岁数是我今年岁数的2倍减7．”问：甲、乙二人现在各多少岁？【试题来源】【题目】甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数的时候,你才5岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数的时候,你将50岁．”问：甲、乙二人现在各多少岁？（二）其它特殊类型的年龄问题【试题来源】【题目】甲现在的年龄是乙过去某一时刻年龄的2倍,那时甲正好是乙现在这样大,当乙到了甲现在的年龄时,甲与乙年龄之和为63,那么现在甲、乙年龄分别是多少岁？【试题来源】【题目】今年,祖父的年龄是小明年龄的6倍,几年后,祖父的年龄将是小明的年龄的5倍,又过几年后,祖父的年龄将是小明年龄的4倍,求：祖父今年是多少岁？【试题来源】【题目】梁老师问陈老师有多少子女,她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍；两年前,我们的年龄和是子女年龄和的10倍；六年后,我们的年龄和是子女年龄和的3倍．”问陈老师有多少子女．【试题来源】【题目】全家4口人,父亲比母亲大3岁,姐姐比弟弟大2岁．四年前他们全家的年龄和为58岁,而现在是73岁．问：现在各人的年龄是多少？【试题来源】【题目】已知祖孙三人,祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同,祖父和孙子年龄之和为82岁,明年祖父的年龄恰好等于孙子年龄的5倍。
五年级奥数-质数和合数(学生版)
第十三讲质数和合数1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.（1）质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
（2）合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
（3）1：只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
③ 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）④ 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、972、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
树状图例：分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。
把36分解质因数是：36=2×2×3×35、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。
例：分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。
具体步骤是：6、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和87、两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；教学重点：质数和合数的概念。
五年级奥数专题 估算、比较大小(学生版)
学科培优 数学 “估算、比较大小” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位本讲中的知识点并不难理解,对于比较大小我们在学校的课本上都已经学习过,所以重点在于一些性质的应用,估算在考试中经常出现,所以同学们一定要认真学习这讲,特别是性质和意义！ 知识梳理一、分数的大小比较常用方法：（1）通分母：分子小的分数小.（2）通分子：分母小的分数大.（3）比倒数：倒数大的分数小.（4）与1相减比较法：分别与1相减,差大的分数小。
（适用于真分数）（5）重要结论：① 对于两个真分数,如果分子和分母相差相同的数,则分子和分母都大的分数比较大；② 对于两个假分数,如果分子和分母相差相同的数,则分子和分母都小的分数比较大．二、估算：估算中常用到放缩法,求近似值或整数部分等需要进行估算的计算题,估算的关键在于确定已知数据具有恰当精度的近似值．例题精讲【试题来源】【题目】（1）比较以下小数,找到最大的数：1.1211.1211.121.121211.12••••，，，， .（2）比较以下5个数,排列大小：351,0.42,,1.667,73•• .【试题来源】【题目】除式12345678910111213÷31211101987654321计算结果的小数点后前三位数字是多少?【试题来源】【题目】比较下列几组分数的大小,尽可能多的用不同方法找到答案。
（1）如果a＝20052006,b=20062007,那么a,b中较大的数是；（2）试比较1111111和111111111的大小；【试题来源】【题目】在111111,,,,,,23499100中选出若干个数使它们的和大于3,最少要选多少个数?【试题来源】【题目】数1111110111219++++的整数部分是几?【题目】8.01×1.24+8.02 ×1.23+8.03×1.22的整数部分是多少?【试题来源】【题目】(1)如果111111110=222222221A,444444443=888888887B,那么A与B中较大的数是哪一个?(2)请把6565226798,,,6575326809这4个数从大到小排列。
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最大与最小知识要点在日常生活和工作中，经常会遇到这样一类问题：怎样安排时间最省、怎样行走路线最短、怎样管理费用最低、怎样设计面积最大、怎样合作效率最高、怎样加工利用率最大等等，它们都可以归结为在一定条件下的最大值或最小值方面的数学问题。
最大和最小都是在某一固定范围內比较的结果。
固定的范围就是一个定值，抓住这个“定值”就抓住了解题的关键。
解决极值问题的策略，常常因题而异，归纳起来主要有以下四个“突破口”：①从极端情况入手；②用枚举比较入手；③由分析推理入手；④凭构造方程入手。
最小1.（2008年4月13日第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第2试第4题）有一排椅子有27个座位，为了使后去的人随意坐在哪个位置都有人与他相邻，则至少要先坐_______人。
2.圆桌周围恰好有12把椅子，现在已经有一些人在桌边就坐。
当再有一人入座时，就必须和已就坐的某人相邻。
问：已就坐的最少有多少人？3.阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就座时，某些排坐着的人数就一样多。
我们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？4.（2007年台湾第十一届小学数学世界邀请赛个人赛第6题）商店里销售的铅笔有两种包装，五支包装的每包售价6元，七支包装的每包售价7元。
某校至少要购买铅笔111支，请问至少要花费_______元。
5.若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？6.（2007年“我爱数学夏令营”综合测试题第7题）一个小公司有5个职工，月平均工资为2700元。
已知最高工资是最低工资的2倍，那么最高月工资最少为_______元。
7.（1999年第八届日本小学数学奥林匹克大赛决赛第7题）有一批货物，它们的总重量是19500千克，不知道每一件货物的重量，但没有一件货物的重量超过350千克。
现在有若干辆大卡车，每辆最多可运1500千克货物，想一次把这批货物全部运走。
不管每一件货物的重量是多少，为了必须一次运完所有的货物，至少需要多少辆大卡车？（不考虑货物的体积）8.（2001年第十届日本小学数学奥林匹克大赛决赛第2题）某年的算术奥林匹克决赛所有参加者的分数都是整数，合计是8640分。
80分以上的高分者只有三人，分别是92、85和81分，最低分是25分。
这次决赛中得相同分数的最多只有三人。
那么在这次决赛中包括高分的三人在内得60分以上的至少有几人？9.（2005年第十四届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第8题）有100人参加算术测验，从第1题到第5题共有5道题。
答对每道题的人数分别是：第1题92人；第2题86人；第3题61人；第4题87人；第5题57人。
这次测验规定，5道题中只要做对3道题就算及格。
请问：最少有多少人及格？10.（2007年第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛五年级初赛第8题）一个偶数的数字和是40，这个偶数最小是_______。
11.有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为2003，那么这类自然数中最小的是几？12.（2001年第十届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第3题）有六个不同的整数，这六个整数的和是365，六个整数中最大数为65。
求其中的最小数是多少？13.给算式“1098765432÷÷÷÷÷÷÷÷”添上若干个括号，使算式的计算结果是自然数。
问：这个结果最小是多少？怎样添括号？14.用18~这八个数字组成四个两位数，并使这四个数的和等于144。
这四个数中最小数与最大数的乘积最小是多少？15.（2000年第九届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第7题）有大于等于1的47个不同的整数，它们的和是2000，这47个整数里面，最少有多少个偶数？16.一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算。
为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？17. 一个34 正方形网中，每个小方格的中心都放有一枚棋子，请从网中抽出几枚棋子，使得剩下的棋子中任意四枚不能构成一个正方形的四个顶点。
问：最少需要抽出几枚棋子？ 232323432图218. （2008年3月22日第八届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级决赛第二（3）题）图1中以黑点为顶点的正方形共有14个，要是这个图中任意四点都不能组成正方形，至少要拿走_______个黑点，请你在图2中的相应位置画出留下的黑点。
图2图1最大1. 31个同学围成一个圆圈，坐好后发现任何两个男生之间至少有两个女生，那么男生最多有多少人？2. （2001年第八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第11题）自行车轮胎安装在前轮上行驶5000千米后报废，若安装在后轮上只能行驶3000千米。
为行驶尽可能多的路，如果采用当自行车行驶一定路程后将前后轮胎调换的方法，那么安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米？3.数字和为40的最大的五位奇数为几？4.有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数中最大的自然数是多少？5.设自然数n有下列性质：从1、2、…、n中任取50个不同的数，其中必有两数之差等于7，这样的n最大不能超过多少？6.（2007年第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛六年级初赛第8题）从1，2，3，4，…，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除。
N 最大为_______。
7.从149中取出若干个数围成一圈，使得任意两个相邻的数乘积均小于100，则最多可以取出多少个数？8.最多可以写出多少个各不相同的正整数，使得其中任何3个的和都是质数？9.有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数中最大的自然数是多少？10.将200分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能的小，那么此时这个最大的质数是多少？11.如果连续N个自然数，每个自然数的数字和都不是11的倍数，则称这连续的N个自然数为一条“龙”，N为这条龙的长度。
比如1，2，3，…，28就是一条龙，它的长度是28。
问：龙的长度最长可以为多少？写出一条最长的龙。
12.（1998年全国小学数学奥林匹克“我爱数学”夏令营第11题）在如图所示的28⨯方格表中，第一行的8个方格内依次写着1，2，3，4，5，6，7，8。
如果再把1，2，3，4，5，6，7，8按适当顺序分别填入第二行的8个方格内，使得每列两数之差（大减小）的8个差数两两不同，那么第二行所显示的八位数的最大可能值是多少？4312568713.（1997年第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组决赛一试第3题）将1，2，3，…，49，50任意分成10组，每组5个数，在每组中取数值居中的那个数为“中位数”，求这10个中位数之和的最大值及最小值。
14.22222=+=++，可以断定26最多能表示为3个互不相等的正整数的平方和。
问：255能否表2615134示为一些互不相等的正整数的平方之和？如果可以，最多能表示为多少个互不相等的正整数的平方之和？15.（1996年全国小学数学奥林匹克决赛B卷第4题）10位小学生的平均身高是15.米。
其中有一些低于15.米的，他们的平均身高是12.米；另一些高于15.米的平均身高是17.米。
那么最多有多少位同学的身高恰好是15.米？16.有一种商品，买2个要1角钱，买5个要2角钱，买11个要4角钱，小明和小红都有整数角钱，小明的钱最多能买这种商品51个，要是他们的钱合在一起，则最多能买115个这种商品，那么小红的钱最多能买这种商品_______个。
17.一个口袋中放了相同大小的红、黄、蓝三种颜色的球若干个，小明闭着眼睛从口袋中任意取出7个球，他发现不管怎么取，这7个球中都有红、黄、蓝色的球各至少一个，那么口袋中最多可能有多少个球？一课一练1.一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。
问：在乐乐之前已就座的最少有几人？2.小明去听报告，发现报告厅里只有最后一排没坐满，但他无论坐那个位子，都会和另一听众相邻。
已知每排均有19个位子，问最后一排最少坐了几个人？3.甲地有70吨的货物要运到乙地，大货车的载重量是11吨，小货车的载重量是6吨，大货车运一趟耗油11升，小货车运一趟耗油7升，问：运完这批货物最少耗油_______升。
4.现有10吨货物，分装在若干箱内，每箱不超过一吨，现调来若干货车，每车至多装3吨，问至少派出几辆车才能保证一次运走？5.有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超过60块，那么这四袋糖块的总和至少有多少块？6.如果一个自然数N的各个位上的数字和是1996，那么这个自然数最小是几？7.（2008年日本初小小学算术奥林匹克大赛初赛第4题）现将0到9这十个数字分成两部分，每个部分有五个数字，然后各组成一个五位数，则这两个五位数的差（以大减小）最小是_______。
8.从1100中取出若干个数围成一圈，使得任意两个相邻的数字乘积均小于200，则最多可以取出多少个数？9.从1到1993这1993个数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？10.将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1234567891011129899100L L，从中划去100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？11.已知两位数ab，满足()=+，满足此条件的最大两位数是_______。
ab a b412.公园里有一排彩旗，按3面黄旗、2面红旗、4面粉旗的顺序排列，小红看到这排旗的尽头是一面粉旗。
已知这排旗不超过200面，那么这排旗子最多有多少面？13.在五位数22576的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的六位数中最大的是多少？14.有4个数，每次取其中两个相加，和分别是15、18、19、21、22、25，问这四个数中最大的数是_______。
15.从1100中最多可以选择多少个自然数，使得其中任意两个数的和都不是3的倍数？16.一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？17.有13个不同的正整数，它们的和是100。
问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？18.有一些小朋友排成一行，从左到右第一人发一块糖，以后每隔2人发一块糖；从右到左第一人发一个苹果，以后每隔4人发一个苹果，结果有11个小朋友糖和苹果都拿到，那么这些小朋友最多有多少人？19.一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。