江苏省镇江市2020年重点高中提前招生数学模拟试题及答案

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镇江2020中考数学综合模拟测试卷(含答案)

2020镇江市初中毕业升学模拟考试数学试题（含答案全解全析）一、填空题(本大题共有12小题,每小题2分,共计24分)1.|-5|= .2.计算:-×3=.3.化简:(x+1)(x-1)+1= .4.分式在实数范围内有意义,则x的取值范围是.-5.如图,CD是△ABC的中线,点E、F分别是AC、DC的中点,EF=1,则BD= .6.如图,直线m∥n,Rt△ABC的顶点A在直线n上,∠C=90°.若∠1=25°,∠2=70°,则∠B= °.7.一组数据:1,2,1,0,2,a,若它们的众数为1,则这组数据的平均数为.8.若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根,则m= .9.已知圆锥的底面半径为3,母线长为8,则圆锥的侧面积等于.10.如图,将△OAB绕着点O逆时针连续旋转两次得到△OA″B″,每次旋转的角度都是50°,若∠B″OA=120°,则∠AOB= °.11.一辆货车从甲地匀速驶往乙地,到达乙地后用了半小时卸货,随即匀速返回,已知货车返回时的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍,货车离甲地的距离y(千米)关于时间x(小时)的函数图象如图所示,则a= (小时).12.满足≥2014×(-+1)的n可以取得的最小正整数是.二、选择题(本大题共有5小题,每小题3分,共计15分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项符合题目要求)13.下列运算正确的是( )A.(x3)3=x9B.(-2x)3=-6x3C.2x2-x=xD.x6÷x3=x214.一个圆柱如图放置,则它的俯视图是( )A.三角形B.半圆C.圆D.矩形15.若实数x、y满足-+2(y-1)2=0,则x+y的值等于( )A.1B.C.2D.16.如图,△ABC内接于半径为5的☉O,圆心O到弦BC的距离等于3,则∠A的正切值等于( )A. B. C. D.17.已知过点(2,-3)的直线y=ax+b(a≠0)不经过第一象限.设s=a+2b,则s的取值范围是( )A.-5≤s≤-B.-6<s≤-C.-6≤s≤-D.-7<s≤-三、解答题(本大题共有11小题,共计81分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(本小题满分8分)(1)计算:-+cos45°-;(2)化简:-÷--.19.(本小题满分10分)(1)解方程:-=0;(2)解不等式:2+-≤x,并将它的解集在数轴上表示出来.20.(本小题满分6分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC、BD相交于点O,点E在AO上,且OE=OC.(1)求证:∠1=∠2;(2)连结BE、DE,判断四边形BCDE的形状,并说明理由.21.(本小题满分6分)为了了解“通话时长”(“通话时长”指每次通话时间)的分布情况,小强收集了他家1000个“通话时长”数据,这些数据均不超过18(单位:分钟),他从中随机抽取了若干个数据作为样本,统根据图、表提供的信息,解答下面的问题:(1)a= ,样本容量是,并将这个频数分布直方图补充完整;(2)求样本中“通话时长”不超过9分钟的频率;(3)请估计小强家这1000次通话中“通话时长”超过15分钟的次数.22.(本小题满分6分)在一只不透明的布袋中装有红球、黄球各若干个,这些球除颜色外都相同,充分摇匀.(1)若布袋中有3个红球,1个黄球.从袋中一次摸出2个球,计算“摸出的球恰是一红一黄”的概率(用“画树状图”或“列表”的方法写出计算过程);(2)若布袋中有3个红球,x个黄球.请写出一个x的值,使得事件“从袋中一次摸出4个球,都是黄球”是不可能事件;(3)若布袋中有3个红球,4个黄球.我们知道:“从袋中一次摸出4个球,至少有一个黄球”为必然事件.请你仿照这个表述,设计一个必然事件: .23.(本小题满分6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+4(k≠0)与y轴交于点A.(1)如图,直线y=-2x+1与直线y=kx+4(k≠0)交于点B,与y轴交于点C,点B的横坐标为-1.①求点B的坐标及k的值;②直线y=-2x+1、直线y=kx+4与y轴所围成的△ABC的面积等于;(2)直线y=kx+4(k≠0)与x轴交于点E(x0,0),若-2<x0<-1,求k的取值范围.24.(本小题满分6分)如图,小明从点A处出发,沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B,sinα=,然后又沿着坡度为i=1∶4的斜坡向上走了1千米到达点C.问小明从A点到C点上升的高度CD 是多少千米(结果保留根号)?25.(本小题满分6分)六·一儿童节,小文到公园游玩,看到公园的一段人行弯道MN(不计宽度),如图,它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN(MP⊥OP,NQ⊥OQ),他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等,比如:A、B、C是弯道MN上三点,矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等.爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如图),图中三块阴影部分的面积分别记为S1、S2、S3,并测得S2=6(单位:平方米),OG=GH=HI.(1)求S1和S3的值;(2)设T(x,y)是弯道MN上的任一点,写出y关于x的函数关系式;(3)公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造,在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外),已知MP=2米,NQ=3米.问一共能种植多少棵花木?26.(本小题满分8分)如图,☉O的直径AC与弦BD相交于点F,点E是DB延长线上一点,∠EAB=∠ADB.(1)求证:EA是☉O的切线;(2)已知点B是EF的中点.求证:以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似;(3)已知AF=4,CF=2,在(2)的条件下,求AE的长.27.(本小题满分9分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点M为抛物线y=-x2+2nx-n2+2n的顶点,过点(0,4)作x轴的平行线,交抛物线于点P、Q(点P在点Q的左侧),PQ=4.(1)求抛物线的函数关系式,并写出点P的坐标;(2)小丽发现:将抛物线y=-x2+2nx-n2+2n绕着点P旋转180°,所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O.你认为正确吗?请说明理由;(3)如图2,已知点A(1,0),以PA为边作矩形PABC(点P、A、B、C按顺时针的方向排列),=.①写出C点的坐标:C( , )(坐标用含有t的代数式表示);②若点C在题(2)中旋转后的新抛物线上,求t的值.28.(本小题满分10分)我们知道平行四边形有很多性质.现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折,会发现这其中还有更多的结论.【发现与证明】▱ABCD中,AB≠BC,将△ABC沿AC翻折至△AB'C,连结B'D.结论1:B'D∥AC;结论2:△AB'C与▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形.……请利用图1证明结论1或结论2(只需证明一个结论).【应用与探究】在▱ABCD中,已知∠B=30°,将△ABC沿AC翻折至△AB'C,连结B'D.(1)如图1,若AB=,∠AB'D=75°,则∠ACB= °,BC=;(2)如图2,AB=2,BC=1,AB'与边CD相交于点E,求△AEC的面积;(3)已知AB=2,当BC长为多少时,△AB'D是直角三角形?答案全解全析：一、填空题1.答案5解析负数的绝对值是它的相反数,所以|-5|=5.2.答案-1解析-×3=-=-1.3.答案x2解析(x+1)(x-1)+1=x2-1+1=x2.4.答案x≠1解析要使有意义,则x-1≠0,所以x≠1.-5.答案2解析∵点E、F分别是AC、DC的中点,∴EF是△ACD的中位线,∴AD=2EF=2,又∵CD是△ABC的中线,∴BD=AD=2.6.答案45解析∵m∥n,∴∠2=∠BAC+∠1,∴∠BAC=∠2-∠1=45°,∴∠B=90°-∠BAC=45°.7.答案解析一组数据1,2,1,0,2,a的众数为1,所以a=1,则这一组数据的平均数为=.评析本题考查了众数和平均数的概念,属容易题.8.答案解析因为一元二次方程有两个相等的实数根,所以Δ=12-4m=0,解得m=.9.答案24π解析S侧面积=×2π×3×8=24π.评析圆锥侧面展开图的弧长是圆锥的底面周长,半径是圆锥的母线长,属容易题.10.答案20解析∠B″OA=2×50°+∠AOB,所以∠AOB=120°-100°=20°.11.答案5解析由题意可知,货车从甲地到乙地所用的时间为3.2-0.5=2.7小时,所以货车从乙地返回到甲地所用的时间为=1.8小时,所以a=3.2+1.8=5小时.12.答案7解析由题意可得,a2+b2+c2=3(a1+b1+c1)=32(++1),同理,a3+b3+c3=3(a2+b2+c2)=32(a1+b1+c1)=33(++1),…,a n+b n+c n=3n(++1),所以==3n(-+1),不等式≥2014×(-+1)可转化为:3n≥2014,而36<2014<37,所以n可以取得的最小正整数是7.评析本题首先要观察a1+b1+c1,a2+b2+c2,a3+b3+c3,…,a n+b n+c n前后项的关系,进而得出a n+b n+c n的表达式,在解不等式3n≥2014时,主要看2014和3的几次幂相接近,从而找到最小的正整数n,属难题.二、选择题13.A (x3)3=x3×3=x9,所以A正确,故选A.14.D 从上往下看该圆柱得到的图形是矩形,故选D.15.B 由完全平方式和二次根式的非负性可知,2x-1=0,y-1=0,所以x=,y=1,所以x+y=.故选B.16.D 连结CO并延长交☉O于点D,则CD为☉O的直径,连结BD,作OE⊥BC交BC于点E,依题意可得BD=2OE=6,又CD=2×5=10,所以BC=-=8,所以tan D===.又因为∠A=∠D,所以tan A=,故选D.评析本题综合考查圆周角定理,垂径定理,解直角三角形等有关知识,属中等难度题.17.B ∵直线y=ax+b(a≠0)不经过第一象限,∴a<0,b≤0,又∵直线过点(2,-3),∴2a+b=-3,∴b=-2a-3,∴s=a+2b=-3a-6,解不等式组--得-≤a<0,∴-6<-3a-6≤-,即-6<s≤-.三、解答题18.解析(1)原式=2+×-3(3分)=0.(4分)(2)原式=---÷--(1分)=--·--(3分)=3x-3.(4分)19.解析(1)去分母,得3x+6-2x=0,(2分)解得x=-6,(4分)经检验,x=-6是原方程的解.故原方程的解为x=-6.(5分)(2)去分母,得6+2x-1≤3x,(2分)解得x≥5.(4分)它的解集在数轴上表示如下:(5分)评析本题考查了分式方程和一元一次不等式的解法,解分式方程时一定要注意验根.在数轴上表示不等式的解集时要注意方向和实心圆与空心圆的判断,属容易题.20.解析(1)在△ABC与△ADC中,AB=AD,BC=DC,AC=AC,∴△ABC≌△ADC,(2分)∴∠1=∠2.(3分)(2)菱形.理由:∵BC=DC,∠1=∠2,∴OD=OB,OC⊥BD.(4分)∵OE=OC,∴四边形BCDE是平行四边形.(5分)∵OC⊥BD,∴▱BCDE是菱形.(6分)21.解析(1)24;100;频数分布直方图补充完整如下图.(3分) (2)=0.68.答:“通话时长”不超过9分钟的频率为0.68.(4分)(3)1000×=120.答:“通话时长”超过15分钟的次数为120.(6分)评析本题考查了数据分析的方法及用样本估计总体的思想,属容易题.22.解析(1)设三个红球分别为红1,红2,红3,列表如下:(2分)∴共有12种等可能的结果,∴P(摸出的球恰是一红一黄)=.(4分)(2)1.(答案不唯一,x可取1≤x≤3之间的整数)(5分)(3)答案不唯一.(6分)23.解析(1)①当x=-1时,y=-2×(-1)+1=3,∴B(-1,3).(1分)将B(-1,3)代入y=kx+4,得k=1.(2分)②.(4分)(2)2<k<4.(6分)评析本题考查两直线的交点,直角坐标系中三角形面积的计算等,属容易题.24.解析作BE⊥AD于E,BF⊥CD于F,则sinα==,∴BE=AB×=0.65×=.(2分)∵i==,(3分)设CF=x,则BF=4x,∴BC=x=1,∴CF=x=.(5分)∵BE⊥AD,BF⊥CD,CD⊥AD,∴四边形BEDF是矩形,∴BE=DF,∴CD=CF+DF=CF+BE=千米.答:小明从A点到C点上升的高度CD是千米.(6分)25.解析(1)根据题意:S1+S2+S3=2S2+2S3=3S3,(1分)又∵S2=6,∴S1=18,S3=12.(3分)(设面积为k,表示出各点坐标的解题方法相应给分)(2)点T(x,y)是弯道MN上任一点,根据弯道MN上任一点到围墙两边的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等,得xy=3S3=36,∴y=.(4分)(3)一共能种植17棵花木.(6分)26.解析(1)连结BC,∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,(1分)∴∠BAC+∠ACB=90°,∵∠ADB=∠ACB,又∵∠EAB=∠ADB,∴∠EAB=∠ACB,∴∠BAC+∠EAB=90°,即∠EAC=90°,(2分)又∵点A在☉O上,∴EA是☉O的切线.(3分)(2)∵点B是EF的中点,∠EAC=90°,∴AB=BE=BF=EF,∴∠EAB=∠AEB,(4分)又∵∠EAB=∠ACB,∴∠AEB=∠ACB.∵∠EAC=∠ABC=90°,∴△AEF∽△BCA.(5分)(3)∵△AEF∽△BCA,∴=,∴=,∴AB=2.(7分)∴EF=4.∴AE=-=-=4.(8分)评析本题考查圆的切线的判定方法,相似三角形的判定及性质,属中等难度题.27.解析(1)解法一:在y=-x2+2nx-n2+2n中,令y=4,得-x2+2nx-n2+2n=4,∴x1=n+-,x2=n--,(1分)∴PQ=2-=4,∴n=4,∴抛物线的函数关系式为y=-x2+8x-8,(3分)∴点P(2,4).(4分)解法二:∵y=-x2+2nx-n2+2n=-(x-n)2+2n,∴M(n,2n).根据抛物线的对称性可设P(n-2,4),Q(n+2,4),(1分)把点P(n-2,4)代入抛物线y=-(x-n)2+2n,得-(n-2-n)2+2n=4,解得n=4,∴抛物线的函数关系式为y=-x2+8x-8,(3分)点P(2,4).(4分)(2)解法一:由(1)可得M(4,8),∴直线OM的函数关系式为y=2x.∵点P(2,4)满足直线OM的函数关系式,∴点P在直线OM上.(5分)易知OP=2,OM=4,∴点P是线段OM的中点,∴将抛物线y=-x2+8x-8绕着点P旋转180°,所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O.(6分)解法二:由(1)可得M(4,8).设P'是线段OM的中点,过点P'、M分别作P'D⊥x轴,ME⊥x轴,垂足分别为D、E,∴P'D∥ME,∴△OP'D∽△OME.∵P'为线段OM的中点,∴===,∴P'D=ME=4,OD=OE=2,∴点P'的坐标为(2,4),(5分)∴点P与点P'重合,∴点P是线段OM的中点,∴将抛物线y=-x2+8x-8绕着点P旋转180°,所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O.(6分) (3)C(2-4t,4+t).(8分,横纵坐标答对各给1分)在(2)中旋转后的新抛物线的解析式为y=x2,把C(2-4t,4+t)代入y=x2,得t=0(舍去)或t=.(9分)28.解析【发现与证明】证明:如图1,设AD与B'C相交于点F,∵△ABC沿直线AC翻折至△AB'C,∴△ABC≌△AB'C,∴∠ACB=∠ACB',BC=B'C,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,图1∴B'C=AD,∠ACB=∠CAD,∴∠ACB'=∠CAD=-,∴AF=CF,(1分)∴B'F=DF,∴∠CB'D=∠B'DA=-.∵∠AFC=∠B'FD,∴∠ACB'=∠CB'D,∴B'D∥AC.(2分)【应用与探究】(1)45;(3分)+.(4分)(2)解法一:过点C分别作CG⊥AB,CH⊥AB',垂足分别为G、H,∴CG=CH.在Rt△BCG中,∠BGC=90°,BC=1,∠B=30°,∴CG=,BG=.∵AB=2,∴AG=,∴CH=CG=.由△AGC≌△AHC,得AH=AG=.设AE=x,则CE=x,由CE2=CH2+HE2,得x2=+-,解得x=,(5分)∴△ACE的面积=AE·CH=.(6分)解法二:分别过点C、A作CG⊥AB,AI⊥CD,垂足分别为G、I,∵AB∥CD,∴四边形AGCI是矩形,∴CG=AI,AG=CI.在Rt△BCG中,∠BGC=90°,BC=1,∠B=30°,∴CG=,BG=.∵AB=2,∴AG=,∴AI=CG=,CI=AG=,设AE=x,则CE=x,由AE2=EI2+AI2,得x2=+-,∴x=,(5分)∴△ACE的面积=AI·CE=.(6分)(3)解法一:按△AB'D中的直角分类:①当∠B'AD=90°时,如图3,∠ACB=30°,BC=6;如图4,∠BAC=30°,BC=2;②当∠AB'D=90°时,如图5,∠ACB=60°,BC=4;③当∠ADB'=90°时,如图6,∠ACB=90°,BC=3;综上,BC的长为6,2,4或3.(10分,各1分)解法二:按点B'在直线AD上方、下方的位置分类:第一种情形:点B'在直线AD上方,设∠ACB=α,可得∠B'AD=150°-2α,∠B'DA=α,∠AB'D=30°+α,由∠B'AD=150°-2α>0,得0°<α<75°.①当∠B'AD=90°时,150°-2α=90°,∴α=30°,BC=6;②当∠AB'D=90°时,30°+α=90°,∴α=60°,BC=4;③当∠ADB'=90°时,α=90°(舍去);第二种情形:点B'在直线AD下方,设∠ACB=α,可得∠B'AD=2α-150°,∠B'DA=180°-α,∠AB'D=150°-α,同理可得:75°<α<150°.①当∠B'AD=90°时,2α-150°=90°,∴α=120°,BC=2;②当∠AB'D=90°时,150°-α=90°,∴α=60°(舍去);③当∠ADB'=90°时,180°-α=90°,∴α=90°,BC=3.综上,BC的长为6,2,4或3.(10分,各1分)图3 图4图5 图6评析本题考查利用勾股定理构造方程求线段的长度,以及分类讨论思想,属难题.。

江苏省镇江市2020届高三下学期6月第三次模拟数学试题(解析版)

江苏省镇江市2020届高三第三次模拟考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1.已知集合{}=1,2A ，{}2=1,B a-，若{}A B a =，则实数a =__________．【答案】1【解析】【分析】根据集合的交集的含义，有集合A 和B 必然含有共同元素a ，又由集合A ，B 可得2a a =，且21a =或22a =，从而求得结果.【详解】根据题意，若{}AB a =，则A 和B 必然含有共同元素a ，又由{}=1,2A ，{}2=1,B a-，则有2a a =，且21a =或22a =，故解得1a = 故答案为：1【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，利用两个集合的交集中的元素来确定有关参数的取值问题，属于基础题目.2.若复数z 满足()133i z i +=+，其中i 是虚数单位，z =__________．【答案】3455-i 【解析】【分析】由除法法则计算．【详解】由题意23(3)(13)3933413(13)(13)1055i i i i i i z i i i i ++--+-====-++-，故答案为：3455-i ．【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题．3.已知α，β是某个平行四边形的两个内角，命题:P αβ=；命题:sin sin Q αβ=，则命题P 是命题Q的__________条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）．【答案】充分不必要【解析】【分析】根据平行四边形性质，即可由充分必要条件的定义判断结论.【详解】α，β是某个平行四边形的两个内角，则αβ=或αβπ+=，当αβ=或αβπ+=时，命题:P αβ=可以推出命题:sin sin Q αβ=，当αβπ+=时，命题:sin sin Q αβ=不能推出命题:P αβ=，因而命题P 是命题Q 的充分不必要条件，故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，属于基础题.4.为了研究疫情病毒和人的血型间的关系，在被感染的600人中，O 型血有200人，A 型血有150人，B 型血有150人，AB 型血有100人．在这600人中，为抽取一个容量为60人的样本，则应从O 型血中抽取的人数为__________．【答案】20【解析】【分析】直接根据其所占比例求解即可.【详解】解：因为在被感染的600人中，O 型血有200人，A 型血有150人，B 型血有150人，AB 型血有100人，即O 型血的人数占2001=6003，所以应从O 型血中抽取的人数为160=203⨯ 故答案为：20【点睛】此题考查了分层抽样，解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，属于基础题. 5.已知直线1:230l x y -+=，2:20x k l y k ++=，且12l l //，则直线1l ，2l 间距离为__________．【解析】【分析】根据两直线平行列关于k 的方程，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足12l l //，即可得出实数k 的值，最后利用平行直线得距离公式即可求解. 【详解】直线1:230l x y -+=，2:20x k l y k ++=，且12l l //，则()122k ⨯=-⨯，解得4k =-当4k =-时，直线1:230l x y -+=，2:2440x y l --=，化简得2:220x y l --=，此时，12l l //，两直线平行，满足题意，因此，4k =-，则直线1l ，2l 间的距离为d ==【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，在求出参数后，还应将参数的值代入两直线方程，验证两直线是否平行，最后再利用两直线平行的距离公式来求解，考查运算求解能力，属于基础题.6.一周后的6月25日为端午节，国家规定调休放假3天，甲、乙、丙三人端午节值班，每人值班一天，每天一人值班，则甲在乙前面值班的概率为__________．【答案】12 【解析】【分析】首先根据题意列出甲、乙、丙三人值班的全部情况，再列出甲在乙前面值班的情况，最后利用古典概型公式计算即可.【详解】甲、乙、丙三人每人值班一天，每天一人值班共有：（甲乙丙），（甲丙乙），（乙甲丙），（乙丙甲），（丙甲乙），（丙乙甲），6种情况.其中甲在乙前面值班共有：（甲乙丙），（甲丙乙），（丙甲乙），3种情况. 所以甲在乙前面值班的概率为3162=. 故答案为：12【点睛】本题主要考查古典概型，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.7.中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．意思是把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次排列分绵，每个弟弟都比前面的哥哥多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵的斤数为__________．【答案】184【解析】【分析】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成等差数列，若以第8个儿子分的绵得斤数为首项则公差d =-17，即可根据等差数列的和求出答案.【详解】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成以第8个儿子分到的绵的斤数为首项，公差为d =-17的等差数列，其中 n =8，S 8=996,所以()188********a ⨯-+⨯-=（），解得a 1=184，故答案为：184【点睛】本题主要考查了数学文化,考查等差数列的定义、求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.8.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y 2＝4x 的准线是双曲线22212x y a -=(a ＞0)的左准线,则实数a 的值是_______．【解析】【分析】根据抛物线以及双曲线的准线方程列式求解即可.【详解】因为抛物线y 2＝4x 的准线是双曲线22212x y a -=(a ＞0)的左准线,故21-=,即()()24222210a a a a +=⇒-+=,因为0a >故解得a ．【点睛】本题主要考查了抛物线与双曲线的简单性质,属于基础题.9.竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出圆锥的底面周长l 与高h ，计算其体积V 的近似公式为2136V l h =.该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π取近似值得到的.则根据你所学知识，该公式中π取的近似值为______.【答案】3【解析】【分析】首先求出圆锥体的体积，然后与近似公式对比，即可求出公式中π取的近似值. 【详解】由题知圆锥体的体积113V S h =⋅⋅，因为圆锥的底面周长为22l l R R ππ=⇒=，所以圆锥的底面面积224l S R ππ==，所以圆锥体的体积211312l h V S h π=⋅⋅=，根据题意与近似公式2136V l h =对比发现，公式中π取的近似值为3.故答案为：3.【点睛】本题考查了圆锥体的体积公式，属于基础题.10.已知圆()()221:24C x a y -++=与圆()()222:11x b y C +++=外切，则ab 的最大值为__________．【答案】2【解析】【分析】由圆心距等于半径之和得出,a b 的关系式，然后由基本不等式可得最值．【详解】圆心为1(,2)C a -，2(,1)C b --21=+，∴2()8a b +=，所以228222a ab b ab ab =++≥+，所以2ab ≤，当且仅当a b =时等号成立，故答案为：2．【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式求最值，解题关键是掌握两圆位置关系的判断． 11.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意为：今有直角三角形ABC ，勾（短直角边）BC 长5步，股（长直角边）AB 长12步，问该直角三角形能容纳的正方形DEBF 边长为多少？在如图所示中，求得正方形DEBF 的边长后，可求得tan ACE ∠=__________．【答案】144229【解析】【分析】首先设正方形DEBF 的边长a ，利用相似比求出a ，再求出tan ECB ∠和tan ACB ∠，利用两角差正切公式计算即可.【详解】设正方形DEBF 的边长a ，由题知：12512a a -=，解得6017a =. 所以601217tan 517ECB ∠==，12tan 5ACB ∠=. 1212144517tan tan()12122291517ACE ACB ECB -∠=∠-∠==+⨯. 故答案为：144229【点睛】本题主要以数学文化为背景，考查两角差的正切公式，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.12.已知在OAB中，OA =2OB =，135AOB ∠=︒，P 为平面OAB 上一点，且() O P OA OB λλ=+∈R ，当OP 最小时，向量OP 与OB 的夹角为__________．【答案】2π 【解析】【分析】由 O P OA OB λ=+得AP OP OA OB λ=-=，因此有//AP OB ，这样作出图形后易知OP 最小时P 点位置，从而得向量夹角．【详解】∵ O P OA OB λ=+，∴AP OP OA OB λ=-=，作//AC OB ，如图，则P 在AC 上，易知OP 最小时，OP AC ⊥，所以OP OB ⊥，所以向量OP 与OB 的夹角为2π．故答案为：2π．【点睛】本题考查平面向量的夹角，解题方法是几何法，通过向量线性运算的几何意义作出图形求解，减少了计算，结果一目了然．13.已知函数()e ,?13x x f x x ⎧≤⎪=<<，若函数()()2g x f x k x =-+有三个零点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】1e ,e 3⎛⎛⎤ ⎥ ⎝⎦⎝⎭ 【解析】【分析】先作图，再求分界线对应k 的值，结合图象确定取值范围.【详解】作()e ,?13x x f x x ⎧≤⎪=<<与2y k x =+图象，(2),0,2k x k x =+>>-得2222(1)(44)430k x k x k ++-++=由2222(44)4(1)(43)0k k k ∆=--++=得21015k k k =>∴=; 由(2),0,2y k x k x =+>>-过点(1,)e 得3e k =，对应图中分界线②；当(2),0,2y k x k x =+>>-与x y e =相切于00(,)x x e 时，因为e x y '=，所以0001(2)01,x k e k x k x k e==+>∴=-=，对应图中分界线③；因为函数()()2g x f x k x =-+有三个零点，所以实数k 的取值范围是1e ,e 3⎛⎛⎤ ⎥ ⎝⎦⎝⎭故答案为：1e ,e 3⎛⎛⎤ ⎥ ⎝⎦⎝⎭ 【点睛】本题考查根据图象交点求参数取值范围，考查数形结合思想方法，属中档题.14.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()sin cos sin cos b C A A C -=，且2a =，则tan tan tan A B C的最大值为__________．【答案】3【解析】【分析】由已知应用两角和的正弦公式和诱导公式得sin cos B A b=，结合正弦定理可求得tan A ，从而可得tan()B C +，利用两角和的正切公式与基本不等式可得tan tan B C 的最小值，从而得题设结论．【详解】由()sin cos sin cos b C A A C -=得cos sin cos sin cos sin()sin()sin b A C A A C A C B B π=+=+=-=，所以sin sin sin cos 2B A A A b a ===，所以tan 2A =， ∴tan()tan()tan 2BC A A π+=-=-=-即tan tan 21tan tan B C B C+=--，又,B C 为锐角，∴tan 0,tan 0B C >>，所以tan tan 2tan tan 2B C B C +=-≥tan tan =B C 时等号成立，解得tan tan B C ≥，所以tan 3tan tan A B C ≤=-故答案为：3【点睛】本题考查两角和的正弦公式、正切公式，考查诱导公式，正弦定理．三角函数问题中对角的认识尤其重要，观察已知角的未知角的关系，确定选用公式，才能寻找到正确的解题思路．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 中点，AB BC =，11A D AC ⊥．求证：（1）1//B C 平面1A BD ；（2）平面1A BD ⊥平面11AB C ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设1A B 与1AB 交于O ，连接OD ，利用中位线的性质得出1//OD B C ，再利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）证明出BD ⊥平面11AAC C ，可得出1AC BD ⊥，再由11A D AC ⊥结合线面垂直的判定定理可得出1AC ⊥平面1A BD ，最后利用面面垂直的判定定理可得出结论.【详解】（1）设1A B 与1AB 交于O ，连接OD ，在平行四边形11ABB A 中，O 为1AB 中点，D 为AC 中点，所以1//OD B C ，OD ⊂平面1A BD ，因1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ；（2）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD C C ⊥．又BD AC ⊥，1AC C C C =，所以BD ⊥平面11ACC A ．因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥，又11A D AC ⊥， 1A D BD D ⋂=，所以1AC ⊥平面1A BD ．又1AC ⊂平面11AB C ，所以平面11AB C ⊥平面1A BD ．【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题.16.在ABC 中，三角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A =，sin B C =．（1）求tan C 的值；（2）若a =ABC 的面积．【答案】（1）3；（2）3【解析】【分析】（1）由同角关系求得sin A ，由诱导公式及两角和的正弦公式化sin B C =为C 的关系，从而可求得tan C ；（2）由tan C 可得sin C ，cos C ，由已知得sin B ，再由正弦定理得c ，最后由面积公式得结论．【详解】解：在ABC 中，A B C π++=，0A π<<，sin 0A >，因为cos 5A =，得sin A===①．（1()()sin sin sin sin cos cos sinC B A C A C A C A Cπ==-+=+=+⎡⎤⎣⎦，55C C C=+．所以sin3cosC C=②．如果cos0C=，则sin0C=与22sin cos1C C+=③矛盾，所以cos0C≠．所以sintan3cosCCC==．（2）因为0Cπ<<，由tan30C=>，得02C<<π，则sin0C>，cos0C>．将（1）中②代入（1）中③解得：sin C=，cos C=．于是sin B C===将a=1）①代入正弦定理sin sina cA C==，得3c=．所以ABC的面积11sin33222S ac B==⨯⨯=．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和与差的正弦公式、诱导公式，考查正弦定理、三角形面积公式．解三角形中公式较多，掌握这些公式是解题基础，要善于从已知条件出发选用恰当地公式进行计算．本题属于中档题．17.在平面直角坐标系xOy中，椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>左、右焦点分别为1F，2F，离心率为2，两准线间距离为8，圆O的直径为12F F，直线l与圆O相切于第四象限点T，与y轴交于M点，与椭圆C 交于点N（N点在T点上方），且OM ON=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求直线l 的方程；（3）求直线l 上满足到1F ，2F距离之和为【答案】（1）22184x y +=（2）0x y --=．（3）()和,33⎛- ⎝⎭．【解析】【分析】(1) 根据椭圆的性质、离心率和两准线间的距离，列出以下方程：2c a =①，228a c =②，222a b c =+③，然后求解即可.(2) 法一：设切点()00,T x y ，则22004x y +=⑤, 利用0x 和0y 为核心参数，依次表示直线OT 的斜率，直线l 的方程，以及N 点的坐标，然后列方程求解即可求出0x 和0y ，进而即可求解.法二：设()0,M m ，(),N N N x y ，然后，以m ，N x ，N y 为核心参数，列出直线l 的方程，又因l 与22:4O x y +=相切，则列出圆心距d 的方程，最后根据(1)中的方程，联合求解即可.(3) 因为到1F ，2F距离之和为C ，所以满足题意的点为直线l 与椭圆C 的公共点，联立22184x y+=④和0x y --=⑨得：220184x y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，然后求解即可. 【详解】解：（1）设椭圆C 的焦距为2c，因为离心率为2c a =①，两准线间距离为228a c=②，又222a b c =+③，由①②③解得a =2b =．则椭圆C 的标准方程为22184x y +=④（2）法一：设切点()00,T x y ，则22004x y +=⑤，因T 在第四象限，所以00x >，00y <，直线OT 的斜率00OT y k x =，因为OT l ⊥，所以直线l 的斜率0x k y =-，直线()0000:x l y y x x y -=--，由⑤得：004x x y y +=⑥，令0x =，得040,M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为OM ON =，OT MN ⊥，所以，T 为MN 中点，所以00042,2N x y y ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入（1）中④得：()22000422=184y y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+，解得：0x0=y 代入⑥式得：直线l的方程为0x y --=．法二：设()0,M m ，(),N N N x y ，则2228N N x y +=⑤，设直线:l y kx m =+⑦，因为切点T 在第四象限，所以0N x >，0k >，0m <．因l 与22:4O x y +=相切，则圆心距2d ==，2244m k =+⑧，因为OM ON =，则22OM ON =，所以222N N x y m +=⑨，联立⑤⑨解得：2228N x m =-，228N y m =-，因为0N x >，所以N x =N y =则0N N y m k x -=-，由⑧得2=m =-2m =±．当2m =±时，0N x =，与0N x >矛盾．则m =-1k =，所以直线l方程为0x y --=⑨．（3）因为到1F ，2F距离之和为C ，所以满足题意的点为直线l 与椭圆C 的公共点，联立④⑨得：220184x y x y⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，得2380x -+=，即0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩33x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以满足条件的点的坐标为()和,33⎛- ⎝⎭．【点睛】本题考查椭圆的基本性质，离心率，准线的定义，以及如何利用核心参数根据椭圆的图像性质进行数形结合，进而列方程求解，难点在于列方程和运算，属于难题.18.镇江市长江路江边春江潮广场要设计一尊鼎型塑像（如图1），塑像总高度为12米，塑像由两部分组成，上半部分由四根垂直于水平地面的等高垂直立柱组成（立柱上凸起部分忽略不计），下半部分由正四棱台的上底面四根水平横柱和正四棱台的四根侧棱斜柱组成，如图2所示．设计要求正棱台的水平横柱长度为4米，下底面边长为8米，设斜柱与地面的所成的角为θ．（1）用θ表示塑像上半部分立柱的高度，并求sin θ的取值范围？（2/米（立柱上凸起部分忽略不计），下半部分横柱和斜柱的造价都为2千元/米，问当θ为何值时，塑像总造价最低？【答案】（1）()12θ-米，sin θ的范围为0,19⎛ ⎝⎭．（2）当3πθ=时，塑像总造价最低．【解析】【分析】（1）在平面AEGC 内作AM EG ⊥，利用面面垂直性质定理可得AM ⊥平面EFGH ，AEM ∠为斜柱与地面所成的角，由10sin sin 19A EM θ<<∠=即可求解. （2）设总造价为y ，则()()1442412y AA AE AB θ=⨯⨯+⨯=-442cos θ⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，利用导数即可求解.【详解】解：（1）由正四棱台定义，平面AEGC ⊥平面EFGH ，在平面AEGC 内作AM EG ⊥，交EG 于M ，平面AEGC 平面EFGH EG =，则AM ⊥平面EFGH ，则AEM ∠为斜柱与地面所成的角，即AEM θ∠=．显然1A ，A ，M 三点共线，在等腰梯形AEGC中，AC =EG =则EM =，AM θ=，立柱112AA θ=-，因为10sin sin 19A EM θ<<∠=，所以sin 0,19θ⎛∈ ⎝⎭．答：塑像上半部分的高度()12θ-米，sin θ的范围为0,19⎛ ⎝⎭．（2）cos AE θ=，设总造价为y ，则()1442y AA AE AB =⨯⨯+⨯，的()412442cos y θθ⎛⎫=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭)(2162cos θθ=++，记()2cos f θθθ-=，则()22sin cos f θθθ-'=，令()0f θ'=，则sin θ⎛= ⎝⎭，所以3πθ=，列表：所以当3πθ=时，()fθ有最小值．答：当3πθ=时，塑像总造价最低．【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、利用导数求函数的最值，属于中档题. 19.各项为正数的数列{}n a 如果满足：存在实数1k，对任意正整数n ，11n na k k a +≤≤恒成立，且存在正整数n ，使得1n n a k a +=或11n n a a k+=成立，则称数列{}n a 为“紧密数列”，k 称为“紧密数列”{}n a 的“紧密度”．已知数列{}n a 的各项为正数，前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，2n n n S Aa Ba C =++（A ，B ，C为常数）恒成立．（1）当14A =，12B =，14C =时， ①求数列{}n a 的通项公式；②证明数列{}n a 是“紧密度”为3的“紧密数列”；（2）当0A =时，已知数列{}n a 和数列{}n S 都为“紧密数列”，“紧密度”分别为1k ，2k ，且1k ，[]21,2k ∈，求实数B 的取值范围．【答案】（1）①21n a n =-②见解析；（2）(],1-∞- 【解析】【分析】（1）利用公式1n n n a S S -=-得到{}n a 是以首项为1，公差为2的等差数列，得到通项公式；计算11133n na a +≤≤≤恒成立，得到证明. （2）根据递推公式得到{}n a 是以首项10a >，公比1Bq B =-的等比数列，考虑1q >和01q <<两种情况，计算得到112q ≤<，根据1B q B =-解得答案.【详解】（1）①当14A =，12B =，14C =时，2111424n n n S a a =++，当2n ≥时，2111111424n n n S a a ---=++，相减得：221111114422n n n n n a a a a a --=-+-，整理得：()()()1111124n n n n n n a a a a a a ---+=+-，因为0n a >，则10n n a a ->+，即有12n n a a --=，当1n =时，21111111424S a a a ==++，则11a =．则{}n a 是以首项为1，公差为2的等差数列，则21n a n =-． ②21n a n =-，得121212121n n a n a n n ++==+--随着n 的增大而减小，则对任意正整数n ，11133n n a a +≤≤≤恒成立，且存在1n =，使得13n na a +=．则数列{}n a 是“紧密度”3的“紧密数列”．（2）当0A =时，n n S Ba C =+，11n n S Ba C ++=+，相减得：()11n n Ba B a +=-，若0B =，则上式右端中10n a +=，与0n a >矛盾；若1B =，则上式左端0n a =，与0n a >矛盾，则0B ≠，1B ≠．则11n n a B a B +=-为常数，即{}n a 是以首项10a >，公比1B q B =-的等比数列．因数列{}n a 为“紧密数列”，则0n a >，所以01B q B =>-，又11Bq B =≠-．当1q >时，111n na q q a +≤<≤，对任意正整数n 恒成立，且存在正整数n ，使得1n na q a +=，所以数列{}n a 的“紧密度”为[]11,2q k =∈，又1q ≠，即12q <≤，此时()111n n a q S q-=-，111111n n n n n S q q q S q q ++--==+--随n 的增大而减小，所以11111n nS q q S +≤<≤++，对任意正整数n 恒成立，且当1n =时，11n nS q S +=+，所以数列{}n S 的“紧密度”为[]211,2k q =+∈，则01q <<，与12q <≤矛盾，不成立；当01q <<时，111n n a q a q+≤<≤，对任意正整数n 恒成立，且存在正整数n ，使得1n na q a +=，则此时{}n a 的“紧密度”为[]111,2k q =∈，即112q ≤<．而()111111111nn n n n nn q q q S q q q S q q q++-+---===+---随着n 的增大而减小，则1111111n nn S qq q q S q+-≤<=+≤++-对任意正整数n 恒成立，且当1n =时，11n nS q S +=+，则{}n S 的“紧密度”[]211,2k q =+∈，即01q <<，故112q ≤<，即1121BB ≤<-，解得1B ≤-．综上所述：实数B 的取值范围为(],1-∞-．【点睛】本题考查了数列的新定义问题，求数列的通项公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，理解数列的新定义是解题的关键.20.已知函数()()xf x e ax a R =-∈，其中e 是自然对数的底数．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）如果对任意x ∈R ，不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）讨论函数()()xg x f x e -=-的零点个数．【答案】（1）()e 1y x =-（2）0a e ≤≤（3）当2a ≤时，函数()g x 有一个零点；当2a >时，()g x 有三个零点．【解析】【分析】（1）代入1a =的函数解析式，求得导函数及切点坐标，由导数的几何意义即可得切线方程；（2）求得导函数，并对a 分类讨论，即可确定()y f x =的单调性，进而由不等式恒成立求得a 的取值范围；（3）将()f x 的解析式代入可得()g x 解析式，结合基本不等式可知在2a ≤时，函数()g x 有唯一零点；当2a >时，可知()g x 为奇函数，由()0g x '=可判断()g x 的单调情况，进而构造()2xh x e x =-，可证明当2x >时，2x e x >，进而可知当0x >时，函数()g x 有唯一零点，即可判断2a >时()g x 的零点个数. 【详解】（1）当1a =时，()xf x e x =-，可得()1xf x e '=-，则有()11k f e ='=-，()11f e =-，即切点坐标为()1,1e -，则切线方程为()()111y e x e =--+-，化简可得()e 1y x =-.（2）函数()()xf x e ax a R =-∈，则()xf x e a '=-，当0a <时，()0xf x e a '=->恒成立，则函数()f x 在R 上单增，而110xf e a ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，与()0f x ≥恒成立矛盾，不合题意；当0a =时，()0xf x e =>恒成立，则符合题意；当0a >时，由()0x f x e a '=-=得ln x a =，则()f x (),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上为单调递增，则()()min ln ln 0f x f a a a a ==-≥，解得0a e <≤．综上：0a e ≤≤．（3）因()(), xxxg x f x e e eax x R -=-=--∈，当2a ≤时，因为()20x x g x e e a a a -'=+-≥=-≥恒成立，则()g x 在R 上为增函数，而()00g =，则此时函数()g x 有唯一零点．当2a >时，()()xx g x e e ax g x --=-+=-则()g x 为奇函数．只需研究0x ≥情形．由()210x x xxxe ae g x e e a e--+'=+-==，得210xxe ae -+=，则有xe =则1ln 02a x ==<，2ln 02a x =>，则()g x 在()20,x 上为减函数，在()2,x +∞上为增函数，则有()()200g x g <=．下面证明：当2x >时，2x e x >．证明：令()2xh x e x =-，则()e 2x h x x '=-，()2e 2e 20x h x ''=->->，即函数()h x '在()2,+∞上为增函数，故有()()22e 40h x h ''>=->，则()h x 在()2,+∞上为增函数，故有()()2240h x h e >=->，则2x e x >．当2x >时，有1x e -<，则()21xxg x e eax x ax -=-->--，取022a x +=>，则()002000010x x g x e e ax x ax -=-->--=，因为()g t 为连续函数，由零点存在性定理可得：存在唯一()20,t x x ∈，使得()0g t =，即当0x >时，函数()g x 有唯一零点，也即此时函数()g x 有三个零点．综上：当2a ≤时，函数()g x 有一个零点；当2a >时，()g x 有三个零点．【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究不等式恒成立问题，导函数与单调性、极值和最值的应用，由导函数证明不等式成立，构造函数分析函数零点个数的应用，综合性强，属于难题.。

江苏省镇江市 2020年中考数学模拟试卷(3月份) 解析版

2020年江苏省镇江市中考数学模拟试卷（3月份）一．填空题（共12小题）1．﹣的绝对值为．2．﹣27的立方根是．3．计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝．4．要使分式有意义，则字母x的取值范围是．5．△ABC中，三条中位线围成的三角形周长是15cm，则△ABC的周长是cm．6．如图△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1＝155°，则∠C的度数为°．7．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的众数为．8．当m＝时，一元二次方程x2﹣4x+m＝0（m为常数）有两个相等的实数根．9．若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是．10．如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后得到△AB1C1，且C1为BC的中点，AB与B1C1相交于D，若AC＝2，则线段B1D的长度为．11．小红从家到图书馆查阅资料然后返回，她离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果小红离家50分钟时离家的距离为0.3km，那么她在图书馆查阅资料的时间为．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合，直角三角板绕着点P旋转，两条直角边分别交AB边于M，N，则MN的最小值是．二．选择题（共6小题）13．下列计算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．3a﹣2a＝1C．a6÷a2＝a3D．（﹣a3b）2＝a6b214．下列立体图形中，俯视图是三角形的是（）A．B．C．D．15．已知，则ab的值为（）A．4B．﹣4C．﹣8D．816．已知方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，那么方程x2+6x+q＝0配方后是（）A．（x﹣p）2＝5B．（x+p）2＝5C．（x﹣p）2＝9D．（x+p）2＝7 17．如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作▱ABCD，AB＝4，⊙A交边AD于点E，当▱ABCD面积为最大值时，的长为（）A．πB．πC．πD．3π18．如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数y＝x位于第一象限的图象上运动，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD，且AB＝2，AD＝1，则OD的最大值是（）A．+B．+2C．+2D．2+三．解答题（共10小题）19．计算：（1）﹣2sin60°+（）﹣1﹣|1﹣|；（2）÷（x+2﹣）．20．（1）解方程：（2）解不等式，并把解集表示在数轴上．21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM 的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．22．为了进一步了解某校九年级1000名学生的身体素质情况，体育老师对该校九年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：组别次数x频数（人数）第1组80≤x＜1006第2组100≤x＜1208第3组120≤x＜14012第4组140≤x＜160a第5组160≤x＜1806请结合图表完成下列问题：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，试估计该年级学生不合格的人数大约有多少人？23．“垃圾分类，从我做起”，垃圾一般可分为：可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾．现小明提了一袋垃圾，小聪提了两袋垃圾准备投放．（1）直接写出小明所提的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求小聪所提的两袋垃圾不同类的概率．24．如图，直线l1与l2相交于点P，点P横坐标为﹣1，l1的解析表达式为y＝x+3，且l1与y轴交于点A，l2与y轴交于点B，点A与点B恰好关于x轴对称．（1）求点B的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）若点M为直线l2上一动点，直接写出使△MAB的面积是△P AB的面积的的点M 的坐标；（4）当x为何值时，l1，l2表示的两个函数的函数值都大于0？25．某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h（即m/s），交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度检测点A，在如图所示的坐标系中，A位于y 轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．（1）在图中直接标出表示60°和45°的角；（2）写出点B、点C坐标；（3）一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15s．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？（本小问中取1.7）26．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为⊙O 上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；（2）若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数；（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长．27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．28．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD 的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长．（2）设点Q2为（m，n），当＝tan∠EOF时，求点Q2的坐标．（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．参考答案与试题解析一．填空题（共12小题）1．﹣的绝对值为．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：∵|﹣|＝，∴﹣的绝对值为．故答案为：．2．﹣27的立方根是﹣3．【分析】根据立方根的定义求解即可．【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴＝﹣3故答案为：﹣3．3．计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝9y2﹣4x2．【分析】根据平方差公式解答即可．【解答】解：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝（﹣3y）2﹣（2x）2＝9y2﹣4x2．故答案为：9y2﹣4x24．要使分式有意义，则字母x的取值范围是x≠2．【分析】分式有意义的条件：分母不能为0．【解答】解：要使分式有意义，则2x﹣4≠0，解得x≠2．故答案是：x≠2．5．△ABC中，三条中位线围成的三角形周长是15cm，则△ABC的周长是30cm．【分析】设△ABC三边的中点分别为E、F、G，由三角形中位线定理可求得△ABC三边的和，可求得答案．【解答】解：设△ABC三边的中点分别为E、F、G，如图，∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，∴AB＝2EF，BC＝2DF，AC＝2DE，∴AB+BC+AC＝2（EF+DF+DE），∵△DEF的周长为15cm，∴EF+DF+DE＝15cm，∴AB+BC+AC＝2×15cm＝30cm，即△ABC的周长为30cm，故答案为：30．6．如图△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1＝155°，则∠C的度数为25°．【分析】先根据平角的定义求出∠EDC的度数，再由平行线的性质得出∠C的度数，根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数．【解答】解：∵∠1＝155°，∴∠EDC＝180°﹣155°＝25°，∵DE∥BC，∴∠C＝∠EDC＝25°．故答案是：25．7．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的众数为8．【分析】首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后求众数即可．【解答】解：∵两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，∴，解得a＝8，b＝4，则新数据3，8，8，5，8，6，4，众数为8，故答案为8．8．当m＝4时，一元二次方程x2﹣4x+m＝0（m为常数）有两个相等的实数根．【分析】根据题意可知△＝0，再根据△＝b2﹣4ac，可得16﹣4×1m＝0，解即可求m．【解答】解：∵x2﹣4x+m＝0（m为常数）有两个相等的实数根，∴△＝0，即16﹣4×1m＝0，解得m＝4，故答案是4．9．若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是3π．【分析】先求得圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式求得答案．【解答】解：圆锥的底面周长：2×1×π＝2π，侧面积：×2π×3＝3π．故答案为：3π．10．如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后得到△AB1C1，且C1为BC的中点，AB与B1C1相交于D，若AC＝2，则线段B1D的长度为3．【分析】由旋转的性质可得AC＝AC1，∠AC1B1＝∠C＝60°，可证△ACC1为等边三角形，可得BC1＝CC1＝AC＝2，可证∠B＝∠C1AB＝30°，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：根据旋转的性质可知：AC＝AC1，∠AC1B1＝∠C＝60°，∵旋转角是60°，即∠C1AC＝60°，∴△ACC1为等边三角形，∴BC1＝CC1＝AC＝2，∵C1为BC的中点，∴BC1＝AC1＝2＝AC1，∴∠B＝∠C1AB＝30°，∴∠BDC1＝∠C1AB+∠AC1B1＝90°，∴BC1＝2C1D，∴C1D＝1∴BC＝B1C1＝BC1+CC1＝4，∴B1D＝3，故答案为：3．11．小红从家到图书馆查阅资料然后返回，她离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果小红离家50分钟时离家的距离为0.3km，那么她在图书馆查阅资料的时间为30分钟．【分析】设她返回时距离y与离家的时间x之间的函数解析式为y＝kx+b，列方程组即可得到结论．【解答】解：设她返回时距离y与离家的时间x之间的函数解析式为y＝kx+b，∵小红离家50分钟时离家的距离为0.3km，∴，解得：∴y＝﹣x+3.3，当y＝0.9时，x＝40，40﹣10＝30，答：她在图书馆查阅资料的时间为30分钟．故答案为：30分钟．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合，直角三角板绕着点P旋转，两条直角边分别交AB边于M，N，则MN的最小值是2．【分析】取MN的中点D连接PD，则有MN＝2PD，要使MN的值最小，则PD要最小，只有法PD⊥MN时，其值就最小，求出此时的MN便可．【解答】解：取MN的中点D连接PD，∵∠MPN＝90°，∴MN＝2PD，∴当PD⊥MN时，PD值最小，此时MN的值最小，如图所示，∵∠A＝∠A，∠ADP＝∠ACB＝90°，∴△APD∽△ABC，∴，即，∴PD＝，∴MN＝2PD＝2．故答案为：2．二．选择题（共6小题）13．下列计算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．3a﹣2a＝1C．a6÷a2＝a3D．（﹣a3b）2＝a6b2【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．【解答】解：A、3a+2b，无法计算，故此选项错误；B、3a﹣2a＝a，故此选项错误；C、a6÷a2＝a4，故此选项错误；D、（﹣a3b）2＝a6b2，正确．故选：D．14．下列立体图形中，俯视图是三角形的是（）A．B．C．D．【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．【解答】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；故选：C．15．已知，则ab的值为（）A．4B．﹣4C．﹣8D．8【分析】根据非负数的性质得出a，b的值，再代入得出ab的值即可．【解答】解：∵，∴+（b﹣6）2＝0，∴3a+4＝0，b﹣6＝0，∴a＝﹣，b＝6，∴ab＝﹣×6＝﹣8，故选：C．16．已知方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，那么方程x2+6x+q＝0配方后是（）A．（x﹣p）2＝5B．（x+p）2＝5C．（x﹣p）2＝9D．（x+p）2＝7【分析】根据完全平方公式展开，求出p的值，再代入求出即可．【解答】解：∵方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，∴x2﹣2px+p2＝7，∴﹣6＝﹣2p，解的：p＝3，即（x﹣3）2＝7，∴x2﹣6x+9﹣7＝0，∴q＝2，即（x+3）2＝7，即（x+p）2＝7，故选：D．17．如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作▱ABCD，AB＝4，⊙A交边AD于点E，当▱ABCD面积为最大值时，的长为（）A．πB．πC．πD．3π【分析】因为S平行四边形ABCD＝AB•CF，AB是定值，推出CF定值最大时，平行四边形ABCD 的面积最大，因为CF≤AC，推出当AC⊥AB时，平行四边形ABCD的面积最大，再求出∠DAC的大小即可解决问题；【解答】解：如图，作CF⊥AB于F．∵四边形ABCD是平行四边形，∴S平行四边形ABCD＝AB•CF，∵AB是定值，∴CF定值最大时，平行四边形ABCD的面积最大，∵CF≤AC，∴当AC⊥AB时，平行四边形ABCD的面积最大，此时tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝60°，∵BC∥AD，∴∠DAC＝∠ACB＝60°，∴的长＝＝π，故选：B．18．如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数y＝x位于第一象限的图象上运动，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD，且AB＝2，AD＝1，则OD的最大值是（）A．+B．+2C．+2D．2+【分析】作△AOB的外接圆⊙P，连接OP、P A、PB、PD，作PG⊥CD，交AB于H，垂足为G，易得∠APH＝∠AOB，解直角三角形求得PH＝2，然后根据三角形三边关系得出OD取最大值时，OD＝OP+PD，据此即可求得．【解答】解：∵点A在一次函数y＝x图象上，∴tan∠AOB＝，作△AOB的外接圆⊙P，连接OP、P A、PB、PD，作PG⊥CD，交AB于H，垂足为G，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，四边形AHGD是矩形，∴PG⊥AB，GH＝AD＝1，∵∠APB＝2∠AOB，∠APG＝∠APB，AH＝AB＝＝DG，∴∠APH＝∠AOB，∴tan∠APH＝tan∠AOB＝，∴＝，∴PH＝1，∴PG＝PH+HG＝1+1＝2，∴PD＝＝＝，OP＝P A＝＝＝2，在△OPD中，OP+PD≥OD，∴OD的最大值为OP+PD＝2+，故选：B．三．解答题（共10小题）19．计算：（1）﹣2sin60°+（）﹣1﹣|1﹣|；（2）÷（x+2﹣）．【分析】（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝2﹣2×+2﹣+1＝3；（2）原式＝÷＝•＝．20．（1）解方程：（2）解不等式，并把解集表示在数轴上．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．【解答】解：（1）去分母得：2﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3），去括号得：2﹣x＝﹣1﹣2x+6，移项合并得：x＝3，经检验x＝3是增根，分式方程无解；（2）不等式去分母得：y﹣1﹣3（y﹣3）≥6，去括号得：y﹣1﹣3y+9≥6，解得：y≤1，表示在数轴上，如图所示：21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM 的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形．【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，∵CE∥AD，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形．22．为了进一步了解某校九年级1000名学生的身体素质情况，体育老师对该校九年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：组别次数x频数（人数）第1组80≤x＜1006第2组100≤x＜1208第3组120≤x＜14012第4组140≤x＜160a第5组160≤x＜1806请结合图表完成下列问题：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，试估计该年级学生不合格的人数大约有多少人？【分析】（1）用总人数50分别减去各个小组的人数即可求出a；（2）根据表格数据就可以补全频数分布直方图；（3）从表格中可以知道在一分钟内跳绳次数少于120次的有两个小组，共6+8＝14人，然后除以总人数即可求出该校九年级（1）班学生进行一分钟跳绳不合格的概率，然后即可得出人数．【解答】解：（1）频数之和等于总数哦，∴a＝50﹣6﹣8﹣12﹣6＝18．（2）由（1）得a＝18，所作图形如下：（3）抽样调查中不合格的频率为：，估计该年级学生不合格的人数大约有1000×0.28＝280（个）答：估计该年级学生不合格的人数大约有280个人．23．“垃圾分类，从我做起”，垃圾一般可分为：可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾．现小明提了一袋垃圾，小聪提了两袋垃圾准备投放．（1）直接写出小明所提的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求小聪所提的两袋垃圾不同类的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．【解答】解：（1）记可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾分别为A，B，C，D，∵垃圾要按A，B，C、D类分别装袋，小明拿了一袋垃圾，∴小明拿的垃圾恰好是厨余垃圾的概率为：；（2）画树状图如下：由树状图知，小聪拿的垃圾共有16种等可能结果，其中小聪拿的两袋垃圾不同类的有12种结果，所以小聪拿的两袋垃圾不同类的概率为＝．24．如图，直线l1与l2相交于点P，点P横坐标为﹣1，l1的解析表达式为y＝x+3，且l1与y轴交于点A，l2与y轴交于点B，点A与点B恰好关于x轴对称．（1）求点B的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）若点M为直线l2上一动点，直接写出使△MAB的面积是△P AB的面积的的点M 的坐标；（4）当x为何值时，l1，l2表示的两个函数的函数值都大于0？【分析】（1）先利用l1的解析表达式求出点A的坐标，再根据A、B关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数解答；（2）根据点P的横坐标是﹣1，求出点P的坐标，然后利用待定系数法列式求解即可；（3）根据三角形的面积，底边AB不变，只要点M的横坐标的长度等于点P的横坐标的长度的求出点M的横坐标，然后代入直线l2的解析式求解即可；（4）分别求出两直线解析式与x轴的交点坐标，根据x轴上方的部分的函数值大于0解答．【解答】解：（1）当x＝0时，x+3＝0+3＝3，∴点A的坐标是（0，3），∵点A与点B恰好关于x轴对称，∴B点坐标为（0，﹣3）；（2）∵点P横坐标为﹣1，∴（﹣1）+3＝，∴点P的坐标是（﹣1，），设直线l2的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线l2的解析式为y＝﹣x﹣3；（3）∵点P横坐标是﹣1，△MAB的面积是△P AB的面积的，∴点M的横坐标的长度是，①当横坐标是﹣时，y＝（﹣）×（﹣）﹣3＝﹣3＝﹣，②当横坐标是时，y＝（﹣）×﹣3＝﹣﹣3＝﹣，∴M点的坐标是（﹣，﹣）或（，﹣）；（4）l1：y＝x+3，当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6，l2：y＝﹣x﹣3，当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣，∴当﹣6＜x＜﹣时，l1、l2表示的两个函数的函数值都大于0．25．某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h（即m/s），交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度检测点A，在如图所示的坐标系中，A位于y 轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．（1）在图中直接标出表示60°和45°的角；（2）写出点B、点C坐标；（3）一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15s．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？（本小问中取1.7）【分析】（1）根据方向角的定义即可表示60°和45°的角；（2）已知OA＝100m，求B、C的坐标就是求OB、OC的长度，可以转化为解直角三角形；（3）先求出BC的长，除以时间就得到汽车的速度，再与60km/h（即m/s）比较就可以判断是否超速．【解答】解：（1）如图所示，∠OAB＝60°，∠OAC＝45°；（2）∵在直角三角形ABO中，AO＝100，∠BAO＝60度，∴OB＝OA•tan60°＝100，∴点B的坐标是（﹣100，0）；∵△AOC是等腰直角三角形，∴OC＝OA＝100，∴C的坐标是（100，0）；（3）BC＝BO+OC＝100+100≈270（m）．270÷15＝18（m/s）．∵18＞，∴该汽车在这段限速路上超速了．26．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为⊙O 上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；（2）若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数；（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长．【分析】（1）利用平角求出∠APD＝60°，即可得出结论；（2）先求出∠COD＝45°，进而判断出点D，P，E在同一条直线上，求出∠CED，即可得出结论；（3）①当点P在半径OA上时，利用（2）的方法求出∠CFD＝60°，∠COD＝120°，利用三角函数求出CD，进而求出DF，再用勾股定理求出OH，即可求出OP即可得出结论；②当点P在半径OB上时，同①方法求出BP＝3，即可得出结论．【解答】解：∠CPD是直径AB的“回旋角”，理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BPC＝∠APD，∴∠CPD是直径AB的“回旋角”；（2）如图1，∵AB＝26，∴OC＝OD＝OA＝13，设∠COD＝n°，∵的长为π，∴，∴n＝45，∴∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，∴∠BPC＝∠OPE，∵∠CPD为直径AB的“回旋角”，∴∠APD＝∠BPC，∴∠OPE＝∠APD，∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，∴点D，P，E三点共线，∴∠CED＝∠COD＝22.5°，∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，∴∠CPD＝45°，即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，（3）①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，∴PF＝PC，同（2）的方法得，点D，P，F在同一条直线上，∵直径AB的“回旋角”为120°，∴∠APD＝∠BPC＝30°，∴∠CPF＝60°，∴△PCF是等边三角形，∴∠CFD＝60°，连接OC，OD，∴∠COD＝120°，过点O作OG⊥CD于G，∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，∴DG＝OD sin∠DOG＝13×sin60°＝，∴CD＝13，∵△PCD的周长为24+13，∴PD+PC＝24，∵PC＝PF，∴PD+PF＝DF＝24，过O作OH⊥DF于H，∴DH＝DF＝12，在Rt△OHD中，OH＝＝5，在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，∴OP＝10，∴AP＝OA﹣OP＝3；②当点P在半径OB上时，同①的方法得，BP＝3，∴AP＝AB﹣BP＝23，即：满足条件的AP的长为3或23．27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．【分析】（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A、B点坐标，代入列方程组可解答；（2）根据∠ADC＝90°，∠ACD＝∠BCP，可知相似存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，证明△AOB∽△BNP，列比例式可得结论；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，可得P的纵坐标为﹣2，代入抛物线的解析式可得结论；（3）分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，作辅助线，构建相似三角形，证明△BOE∽△HPB，得，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），列方程可得结论；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，同理作辅助线，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t ﹣2），根据面积法表示PQ的长，证明△PBQ∽△EOF，可得BQ的长，最后根据勾股定理可得结论．【解答】解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）∵PM∥y轴，∴∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠BCP，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，设P（x，x2﹣x﹣2），则C（x，x﹣2），∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠PBN＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BNP＝90°，∴△AOB∽△BNP，∴，即＝，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣5）；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，∴x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣2）；综上，点P的坐标是（，﹣5）或（，﹣2）；（3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠BOA≠45°，∴∠BQP≠2∠BOA，∴分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，∴OE＝AE，∴∠OAB＝∠AOE，∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，∵OB∥PG，∴∠OBE＝∠PHB，∴△BOE∽△HPB，∴，由勾股定理得：AB＝＝2，∴BE＝，∵GH∥OB，∴，即，∴BH＝x，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，∴，解得：x1＝0，x2＝3，∴点P的横坐标是3；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ＝∠OEF，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t﹣2），∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，∵OB＝2，OA＝4，∴AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝，OF＝＝＝，∴EF＝＝＝，S△ABP＝＝，∴2PQ＝4（﹣t2+4t），PQ＝，∵∠OFE＝∠PQB＝90°，∴△PBQ∽△EOF，∴，即，∴BQ＝，∵BQ2+PQ2＝PB2，∴＝，化简得，44t2﹣388t+803＝0，即：（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，解得：t1＝5.5（舍），t2＝；综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或．28．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD 的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长．（2）设点Q2为（m，n），当＝tan∠EOF时，求点Q2的坐标．（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．【分析】（1）令y＝0，可得B的坐标，利用勾股定理可得BC的长，进而求出OE的长；（2）如图1，作辅助线，证明△CDN∽△MEN，得CN＝MN＝1，计算EN的长，根据面积法可得OF的长，利用勾股定理得OF的长，由＝tan∠EOF和n＝﹣m+4，可得结论；（3）①先设s关于t成一次函数关系，设s＝kt+b，根据当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，得t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，s＝2，根据Q3（﹣4，6），Q2（6，1），可得t＝4时，s＝5，利用待定系数法可得s关于t的函数表达式；②分三种情况：（i）当PQ∥OE时，如图2，根据cos∠QBH＝＝＝＝，表示BH的长，根据AB＝12，列方程可得t的值；（ii）当PQ∥OF时，如图3，根据tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，列方程为2t﹣2＝，可得t的值．（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行．【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x+4＝0，∴x＝8，∴B（8，0），∵C（0，4），∴OC＝4，OB＝8，在Rt△BOC中，BC＝＝4，又∵E为BC中点，∴OE＝BC＝2；（2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD，∵E是BC的中点∴M是OC的中点∴EM＝OB＝4，OE＝BC＝2∵∠CDN＝∠NEM，∠CND＝∠MNE∴△CDN∽△MEN，∴＝1，∴CN＝MN＝1，∴EN＝＝，∵S△ONE＝EN•OF＝ON•EM，∴OF＝＝，由勾股定理得：EF＝＝＝，∴tan∠EOF＝＝＝，∴＝＝，∵n＝﹣m+4，∴m＝6，n＝1，∴Q2（6，1）；（3）①∵动点P、Q同时作匀速直线运动，∴s关于t成一次函数关系，设s＝kt+b，∵当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，∴t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，∴s＝Q3C＝＝2，∵Q3（﹣4，6），Q2（6，1），∴t＝4时，s＝＝5，将或代入得，解得：，∴s＝﹣，②（i）当PQ∥OE时，如图2，∠QPB＝∠EOB＝∠OBE，作QH⊥x轴于点H，则PH＝BH＝PB，Rt△ABQ3中，AQ3＝6，AB＝4+8＝12，∴BQ3＝＝6，∵BQ＝6﹣s＝6﹣t+＝7﹣t，∵cos∠QBH＝＝＝＝，∴BH＝14﹣3t，∴PB＝28﹣6t，∴t+28﹣6t＝12，t＝；（ii）当PQ∥OF时，如图3，过点Q作QG⊥AQ3于点G，过点P作PH⊥GQ于点H，由△Q3QG∽△CBO得：Q3G：QG：Q3Q＝1：2：，∵Q3Q＝s＝t﹣，∴Q3G＝t﹣1，GQ＝3t﹣2，∴PH＝AG＝AQ3﹣Q3G＝6﹣（t﹣1）＝7﹣t，∴QH＝QG﹣AP＝3t﹣2﹣t＝2t﹣2，∵∠HPQ＝∠CDN，∴tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，∴2t﹣2＝，t＝，（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行，综上，当PQ与△OEF的一边平行时，AP的长为或．。

【2020年数学高考】江苏省镇江市2020届高三第一次模拟考试数学.doc

镇江市2020届高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－2，0，1，3}，B ＝{－1，0，1，2}，则A ∩B ＝________．2. 已知x ，y ∈R ，则“a ＝1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋1＝0平行”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)3. 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象两相邻对称轴的距离为________．4. 设复数z 满足3＋4iz＝5i ，其中i 为虚数单位，则|z|＝________．5. 已知双曲线的左焦点与抛物线y 2＝－12x 的焦点重合，则双曲线的右准线方程为________．6. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则该正四棱锥的体积为________．7. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－2，S 6＝9S 3，则a 5的值为________．8. 已知锐角θ满足tan θ＝6cos θ，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________．9. 已知函数f(x)＝x 2－kx ＋4，对任意x ∈[1，3]，不等式f(x)≥0恒成立，则实数k 的最大值为________．10. 函数y ＝cos x －x tan x 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π4，π4，则其值域为________．11. 已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C 的标准方程为________．12. 已知点P(1，0)，直线l ：y ＝x ＋t 与函数y ＝x 2的图象交于A ，B 两点，当PA →·PB →最小时，直线l 的方程为________．13. 已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝4，则1a 2＋1＋1b 2＋1的最大值为________．14. 已知k 为常数，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1， x ≤0，|ln x|， x>0，若关于x 的方程f(x)＝kx ＋2有且只有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos A＋a cos B＝－2c cos C.(1) 求角C的大小；(2) 若b＝2a，且△ABC的面积为23，求c的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，AB＝AC，BC1⊥B1D.求证：(1) A1C∥平面ADB1；(2) 平面A1BC1⊥平面ADB1.如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段．其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60°，杆AC长为1米．若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD的成本是4a元/米．设∠ADB ＝α，制作整个支架的总成本记为S元．(1) 求S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2) 问AD段多长时，S最小？如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，左焦点F(－2，0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 若M(－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程； (3) 设直线MA ，MB 与y 轴分别相交于点C ，D ，证明：OC·OD 为定值．已知b>0，且b≠1，函数f(x)＝e x＋b x，其中e为自然对数的底数．(1) 如果函数f(x)为偶函数，求实数b的值，并求此时函数f(x)的最小值；(2) 对满足b>0，且b≠1的任意实数b，证明：函数y＝f(x)的图象经过唯一定点；(3) 如果关于x的方程f(x)＝2有且只有一个解，求实数b的取值范围．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，总存在正数p ，q ，r ，使得a n ＝p n －1，S n ＝q n－r 恒成立；数列{b n }的前n 项和为T n ，且对任意正整数n ，2T n ＝nb n 恒成立．(1) 求常数p ，q ，r 的值；(2) 证明：数列{b n }为等差数列；(3) 若b 2＝2，记P n ＝2n ＋b 1a n ＋2n ＋2b 22a n ＋2n ＋b 34a n ＋…＋2n ＋b n －12n －2a n ＋2n ＋b n2n －1a n，是否存在正整数k ，使得对任意正整数n ，P n ≤k 恒成立？若存在，求正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．2020届高三年级第一次模拟考试(三)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC ＝BD ，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ，延长CA 至点F .求证：AE 是∠DAF 的平分线．B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1，其中a ，b 均为实数，若点A (3，－1)在矩阵M 的变换作用下得到点B (3，5)，求矩阵M 的特征值．C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，且曲线C 上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1) 求曲线C 的普通方程；(2) 若曲线C 上的A ，B 两点的极坐标分别为A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2，求1ρ21＋1ρ22的值．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋a |，若对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分)如图，AC ⊥BC ，O 为AB 的中点，且DC ⊥平面ABC ，DC ∥BE.已知AC ＝BC ＝DC ＝BE ＝2. (1) 求直线AD 与CE 所成角； (2) 求二面角OCEB 的余弦值．23. (本小题满分10分)某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A 等级的概率都是14，该学生各学科等级成绩彼此独立．规定：有一门学科获A 等级加1分，有两门学科获A 等级加2分，有三门学科获A 等级加3分，四门学科全获A 等级则加5分．记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A 等级的学科门数与未获A 等级学科门数的差的绝对值．(1) 求ξ1的数学期望； (2) 求ξ2的分布列．2020届镇江高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. {0，1}2. 充要3.π2 4. 1 5. x ＝836. 837. －328. 3＋229. 4 10. [22－π4，1] 11. (x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18 12. y ＝x ＋1213.2＋54 14. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1c 3∪(－e ，－1) 15. 解析：(1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且b cos A ＋a cos B ＝－2c cos C 得(2分) sin B cos A ＋sin A cos B ＝－2sin C cos C ，所以sin (B ＋A)＝－2sin C cos C.(3分)因为A ，B ，C 为三角形的内角，所以B ＋A ＝π－C ，所以sin C ＝－2sin C cos C.(4分)因为C ∈(0，π)，所以sin C>0.(5分) 所以cos C ＝－12，(6分)所以C ＝2π3.(7分)(2) 因为△ABC 的面积为23，所以12ab sin C ＝2 3.(8分)由(1)知C ＝2π3，所以sin C ＝32，所以ab ＝8.(9分)因为b ＝2a ，所以a ＝2，b ＝4，(11分)所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×⎝⎛⎭⎫－12＝28，(13分) 所以c ＝27.(14分)16. 解析：(1) 设A 1B ∩AB 1＝E. 因为ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1B 1B 为矩形，所以E 为A 1B 的中点．(1分)因为D 为BC 的中点，所以DE 为△BA 1C 的中位线，(2分) 所以DE ∥A 1C ，且DE ＝12A 1C.(3分)因为A 1C ⊄平面ADB 1，DE ⊂平面ADB 1，(5分)所以A 1C ∥平面ADB 1.(7分)(2) 因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC.(8分)因为ABCA 1B 1C 为直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC.因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD.(9分)因为BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B ，BC ∩BB 1＝B ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.(10分)因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥BC 1.(11分)因为BC 1⊥B 1D ，AD ⊂平面ADB 1，B 1D ⊂平面ADB 1，AD ∩B 1D ＝D ，所以BC 1⊥平面ADB 1.(13分) 因为BC 1⊂平面A 1BC 1，所以平面A 1BC 1⊥平面ADB 1.(14分)17. 解析：(1) 在△ABD 中，由正弦定理得1sin α＝BD sin π3 ＝ADsin⎝⎛⎭⎫2π3－α，(1分)所以BD ＝32sin α，AD ＝3cos α2sin α＋12，(3分)则S ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α＋12＋2a[1－(3cos α2sin α＋12)]＋4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－3cos α2sin α＋32，(6分)由题意得α∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3.(7分)(2) 令S′＝3a ·1－4cos αsin 2α＝0，设cos α0＝14.(11分)所以当cos α＝14时，S 最小，此时sin α＝154，AD ＝3cos α2sin α＋12＝5＋510.(12分) 18. 解析：(1) 因为e ＝c a ＝22且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2.(2分)所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(4分)(2) 设A(s ，t)，则B(－s ，t)，且s 2＋2t 2＝8.① 因为以AB 为直径的圆P 过M 点，所以MA ⊥MB ，所以MA →·MB →＝0，(5分) 因为MA →＝(s ＋6，t ＋1)，MB →＝(－s ＋6，t ＋1)，所以6－s 2＋(t ＋1)2＝0. ②(6分) 由①②解得t ＝13或t ＝－1(舍)，所以s 2＝709.(7分)因为圆P 的圆心为AB 的中点(0，t)，半径为AB2＝|s|，(8分)所以圆P 的标准方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －132＝709.(9分) (3) 设M(x 0，y 0)，则l AM 的方程为y －y 0＝t －y 0s －x 0·(x －x 0)，若k 不存在，显然不符合条件．令x ＝0得y C ＝－tx 0＋sy 0s －x 0；同理y D ＝－tx 0－sy 0－s －x 0，(11分)所以OC·OD ＝|y C ·y D |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－tx 0＋sy 0s －x 0·－tx 0－sy 0－s －x 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2(13分) ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2（8－2y 20）－（8－2t 2）y 208－2y 20－（8－2t 2）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8t 2－8y 202t 2－2y 20＝4为定值．(16分) 19. 解析：(1) 由f(1)＝f(－1)得e ＋b ＝1e ＋1b ，解得b ＝－e (舍)，或b ＝1e，(1分)经检验f(x)＝e x ＋1e x 为偶函数，所以b ＝1e .(2分)因为f(x)＝e x ＋1ex ≥2，当且仅当x ＝0时取等号，(3分)所以f(x)的最小值为2.(4分)(2) 假设y ＝f(x)过定点(x 0，y 0)，则y 0＝e x 0＋bx 0对任意满足b>0，且b ≠1恒成立．(5分) 令b ＝2得y 0＝e x 0＋2x 0；令b ＝3得y 0＝e x 0＋3x 0，(6分)所以2x 0＝3x 0，即⎝⎛⎭⎫32x 0＝1，解得唯一解x 0＝0，所以y 0＝2，(7分)经检验当x ＝0时，f(0)＝2，所以函数y ＝f(x)的图象经过唯一定点(0，2)．(8分)(3) 令g(x)＝f(x)－2＝e x ＋b x －2为R 上的连续函数，且g (0)＝0，则方程g (x )＝0存在一个解．(9分)(i) 当b >0时，g (x )为增函数，此时g (x )＝0只有一解．(10分)(ii) 当0<b <1时，令g ′(x )＝e x ＋b x ln b ＝e x (1＋(be )x ln b )＝0，解得x 0＝log ⎝⎛⎭⎫e b (－ln b )．(11分) 因为e x>0，0<b e <1，ln b <0，令h (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋⎝⎛⎭⎫b e x ln b ，h (x )为单调增函数，所以当x ∈(－∞，x e )时，h (x )<0，所以g ′(x )<0，g (x )为单调减函数；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )>0，所以g ′(x )>0，g (x )为单调增函数，所以g 极小(x )＝g (x 0)．因为g (x )定义域为R ，所以g min (x )＝g (x 0)．(13分)①若x 0>0，g (x )在(－∞，x 0)上为单调减函数，g (x 0)<g (0)＝0，而g (ln2)＝2＋b ln2－2＝b ln2>0，所以当x ∈(x 0，ln2)时，g (x )至少存在另外一个零点，矛盾．(14分) ②若x 0<0，g (x )在(x 0，＋∞)上为单调增函数，g (x 0)<g (0)＝0，而g (log b 2)＝elog b 2＋2－2＝elog b 2>0，所以g (x )在(log b 2，x 0)上存在另外一个解，矛盾．(15分)③当x 0＝log ⎝⎛⎭⎫e b (－ln b )＝0，则－ln b ＝1，解得b ＝1e ，此时方程为g (x )＝e x＋1e x －2＝0，由(1)得，只有唯一解x 0＝0，满足条件．综上所述，当b >1或b ＝1e 时，方程f (x )＝2有且只有一个解．(16分)20. 解析：(1) 因为S n ＝q n －r ，①所以S n －1＝q n －1－r ，(n ≥2)②①－②得S n －S n －1＝q n －q n －1，即a n ＝q n －q n －1，(n ≥2)，(1分)因为a n ＝p n －1，所以p n －1＝q n －q n －1，(n ≥2)，当n ＝2时，p ＝q 2－q ；当n ＝3时，p 2＝q 3－q 2. 因为p ，q 为正数，所以p ＝q ＝2.(3分)因为a 1＝1，S 1＝q －r ，且a 1＝S 1，所以r ＝1.(4分) (2) 因为2T n ＝nb n ，③当n ≥2时，2T n －1＝(n －1)b n －1，④③－④得2b n ＝nb n －(n －1)b n －1，即(n －2)b n ＝(n －1)b n －1，⑤(6分) 方法一：由(n －1)b n ＋1＝nb n ，⑥⑤＋⑥得(2n －2)b n ＝(n －1)b n －1＋(n －1)b n ＋1，(7分) 即2b n ＝b n －1＋b n ＋1，所以{b n }为等差数列．(8分) 方法二：由(n －2)b n ＝(n －1)b n －1，得b nn －1＝b n －1n －2，当n ≥3时，b n n －1＝b n －1n －2＝…＝b 21，所以b n ＝b 2(n －1)，所以b n －b n －1＝b 2.(6分)因为n ＝1时，由2T n ＝nb n 得2T 1＝b 1，所以b 1＝0，则b 2－b 1＝b 2，(7分)所以b n －b n －1＝b 2对n ≥2恒成立，所以{b n }为等差数列．(8分)(3) 因为b 1＝0，b 2＝2，由(2)知{b n }为等差数列，所以b n ＝2n －2.(9分)又由(1)知a n ＝2n －1，所以P n ＝2n 2n －1＋2n ＋22n ＋…＋4n －422n －3＋4n －222n －2，P n ＋1＝2n ＋22n ＋…＋4n －422n －3＋4n －222n －2＋4n 22n －1＋4n ＋222n ，所以P n ＋1－P n ＝4n22n －1＋4n ＋222n －2n 2n －1＝12n ＋2－4n·2n4n ，(12分)令P n ＋1－P n >0得12n ＋2－4n·2n >0，所以2n <6n ＋12n ＝3＋12n <4，解得n ＝1，所以当n ＝1时，P n ＋1－P n >0，即P 2>P 1，(13分) 当n ≥2时，因为2n ≥4，3＋12n<4，所以2n >3＋12n ＝6n ＋12n，即12n ＋2－4n·2n <0，此时P n ＋1<P n ，即P 2>P 3>P 4>…，(14分)所以P n 的最大值为P n ＝2×22＋2×2＋222＝72，(15分)若存在正整数k ，使得对任意正整数n ，P n ≤k 恒成立，则k ≥P max ＝72，所以正整数k 的最小值为4.(16分)21. A . 解析：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以∠DAE ＝∠BCD ，∠F AE ＝∠BAC ＝∠BDC .(4分) 因为BC ＝BD ，所以∠BCD ＝∠BDC ，(6分) 所以∠DAE ＝∠F AE ，(8分)所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线．(10分)B . 解析：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎩⎪⎨⎪⎧6－a ＝3，3b －1＝5，(3分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1.(5分)令f (λ)＝(λ－2)(λ－1)－6＝0，(7分) 解得λ＝－1或λ＝4，(9分)所以矩阵M 的特征值为－1和4.(10分)C . 解析：(1) 将M (2，3)及对应的参数φ＝π3，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，得⎩⎨⎧2＝a cos π3，3＝b sin π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，所以曲线C 1的普通方程为x 216＋y 24＝1.(5分)(2) 曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2代入得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，所以1ρ21＋1ρ22＝516.(10分) D . 解析：因为对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，所以f min (x )>a 2－3.(2分)因为|x －a |＋|x ＋a |≥|x －a －(x ＋a )|＝|2a |，所以|2a |>a 2－3， ①(4分) 方法一：即|a |2－2|a |－3<0，解得－1<|a |<3，(8分) 所以－3<a <3.(10分)方法二：①式等价于2a >a 2－3， ② 或2a <－a 2＋3， ③(6分) 由②得－1<a <3；(7分) 由③得－3<a <1，(8分) 所以－3<a <3.(10分)22. 解析：(1) 因为AC ⊥CB ，且DC ⊥平面ABC ，则以C 为原点，CB 为x 轴正方向，CA 为y 轴正方向，CD 为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．(1分)因为AC ＝BC ＝BE ＝2，所以C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，O(1，1，0)，E(2，0，2)，D(0，0，2)，AD →＝(0，－2，2)，CE →＝(2，0，2)．(2分) 所以cos 〈AD →，CE →〉＝422×22＝12.(4分)所以AD 和CM 的夹角为60°.(2) 平面BCE 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，设平面OCE 的一个法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)．(6分)由CO →＝(1，1，0)，CE →＝(2，0，2)，n ⊥CO →，n ⊥CE →，得⎩⎪⎨⎪⎧n·CE →＝0，n·CO →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋2z 0＝0，x 0＋y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z 0＝－x 0，y 0＝－x 0，(8分) 令x 0＝－1，则n ＝(－1，1，1)．(9分)因为二面角OCEB 为锐角二面角，记为θ，则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n||m||n|＝33.(10分) 23. 解析：(1) 记该学生有i 门学科获得A 等级为事件A i ，i ＝1，2，3，4.(1分) ξ1的可能取值为0，1，2，3，5.(2分) 则P(A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫14i ⎝⎛⎭⎫344－i，(3分) 即P(A 0)＝81256，P(A 1)＝2764，P(A 2)＝27128，P(A 3)＝364，P(A 4)＝1256，则ξ1的分布列为所以E(ξ1)＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋5×1256＝257256.(5分)(2) ξ2的可能取值为0，2，4，则 P (ξ2＝0)＝P(A 2)＝27128；(7分)P (ξ2＝2)＝P(A 1)＋P(A 3)＝2764＋364＝1532；(8分)P (ξ2＝4)＝P(A 0)＋P(A 5)＝81256＋1256＝41128，(9分)则ξ2的分布列为。

江苏镇江2020高三数学模拟考试试题

2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x 2－2x ≤0}，B ＝{－1，1，2}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z ＝1＋2i (其中i 为虚数单位)，则|z|＝________．3. 如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是________． Read S ←0For i from 1 to 9 step 2 S ←S ＋i End for Print S End(第3题)4. 顶点在原点且以双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线方程是________．5. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：x －my ＋m －2＝0，l 2：mx ＋(m －2)y －1＝0.若直线l 1∥l 2，则m ＝________．6. 从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是________．7. 若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．8. 将函数f(x)＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g(x)的图象，则g(π4)＝________．9. 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱B 1C 1上的任意一点，则三棱锥BECF 的体积为________．10. 已知等比数列{a n }的前三项和S 3＝42.若a 1，a 2＋3，a 3成等差数列，则公比q ＝________．11. 记集合A ＝[a ，b]，当θ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4时，函数f(θ)＝23sin θcos θ＋2cos 2θ的值域为B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，则b －a 的最小值是________．12. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（12）x ＋x 3，x ＜0，－2x －x 3，x ≥0.若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f(1－x)≤f(x ＋m)恒成立，则实数m 的取值范围是________．13. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为A.若存在定点B(x 0，y 0)，使得PA ＝ PB 恒成立，则x 0－y 0＝________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知三个点A(2，1)，B(1，－2)，C(3，－1)，点P(x ，y)满足(OP →·OA →)×(OP →·OB →)＝－1，则OP →·OC→|OP →|2的最大值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是AP 的中点，AB ⊥BD ，PB ⊥PD ，平面PBD ⊥底面ABCD.求证：(1) PC ∥平面BDE ； (2) PD ⊥平面PAB.16. (本小题满分14分)如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，AB ＝14，BD ＝6，BA →·BD →＝66. (1) 若C ＞B ，且cos(C －B)＝1314，求角C 的大小； (2) 若△ACD 的面积为S ，且S ＝12CA →·CD →，求AC 的长度．17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，左准线l 的方程为x ＝－4.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 直线l 1过椭圆E 的左焦点F 1，且与椭圆E 交于A ，B 两点． ①若AB ＝247，求直线l 1的方程；②过A 作左准线l 的垂线，垂足为A 1，点G(－52，0)，求证：A 1，B ，G 三点共线．18. (本小题满分16分)某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS 的长PS 为130米，宽RS 为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O ，圆O 与PS ，SR ，QR 分别相切于点A ，D ，C ，点T 为PQ 的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成：出发点N 在线段PT 上(不含端点，游客从点Q 处乘升降电梯至点N)，轨道第一段NM 与圆O 相切于点M ，再沿着圆弧轨道MA ︵到达最高点A ，然后在点A 处沿垂直轨道急速下降至点O 处，接着沿直线轨道OG 滑行至地面点G 处(设计要求M ，O ，G 三点共线)，最后通过制动装置减速沿水平轨道GR 滑行到达终点R.记∠MOT 为α，轨道总长度为l 米．(1) 试将l 表示为α的函数l(α)，并写出α的取值范围； (2) 求l 最小时cos α的值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ln x＋a(x2－x)(a∈R)．(1) 当a＝0，求证：f(x)≤x－1；(2) 如果函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，且f(x1)＋f(x2)≤k恒成立，求实数k的取值范围；(3) 当a<0时，求函数f(x)的零点个数．20. (本小题满分16分)已知n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝a n＋1－a1；数列{b n}的前n项和为T n，且满足T n＋b n＝n＋12n(1＋b n)，且a1＝b2.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 求数列{b n}的通项公式；(3) 设c n＝a nb n，问：数列{c n}中是否存在不同两项c i，c j(1≤i＜j，i，j∈N*)，使c i＋c j仍是数列{c n}中的项？若存在，请求出i，j的值；若不存在，请说明理由．2020届高三模拟考试试卷(三)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x ，1)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234对应的变换下得到点Q(y －2，y)，求M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .B. (选修43：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin 2α(α为参数)，求曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标．C. (选修44：不等式选讲)已知函数f(x) ＝|2x －1|＋|2x ＋2|的最小值为k ，且a ＋b ＋c ＝k ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线方程为y 2＝2px(p>0)．(1) 若直线y ＝－x ＋1与抛物线相交于M ，N 两点，且MN ＝26，求抛物线的方程；(2) 直线l 过点Q(0，t)(t ≠0)交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于点C ，如图，设QA →＝mAC →，QB →＝nBC →，求证：m ＋n 为定值．23. 我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来推导组合数恒等式．例如由等式(1＋x)2n ＝(1＋x)n (1＋x)n可得：等式左边x k 项系数为C k 2n (0≤k ≤n)，等式右边x k 项系数为C 0n C k n ＋C 1n C k －1n ＋C 2n C k －2n ＋…＋C k －1n C 1n ＋C k n C 0n ，所以我们得到组合数恒等式：C 0n C k n ＋C 1n C k －1n ＋C 2n C k －2n ＋…＋C k －1n C 1n ＋C k n C 0n ＝C k 2n .(1) 化简：(C 01 010)2＋(C 11 010)2＋(C 21 010)2＋…＋(C 1 0091 010)2＋(C 1 0101 010)2；(2) 若袋中装有n(n ∈N *)个红球和n 个白球，从中一次性取出n 个球．规定取出k(0≤k ≤n)个红球得k 2分，设X 为一次性取球的得分，求X 的数学期望．2020届高三模拟考试试卷(三)(镇江)数学参考答案及评分标准1. {1，2}2. 53. 254. y 2＝16x5. －26. 257. 138. －39. 16 10. 2或12 11. 312. [－1，－13] 13. 2±2 14. 52415. 解：(1) 连结AC 交BD 于一点O ，连结OE ，因为底面ABCD 是平行四边形，所以点O 是AC 的中点．(1分) 因为点E 是AP 的中点，所以OE 是△PAC 的中位线，(2分) 所以OE ∥PC.(3分)因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE.(7分)(2) 因为平面PBD ⊥底面ABCD ，AB ⊥BD ，平面PBD ∩底面ABCD ＝BD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PBD.(9分)因为PD ⊂平面PBD ，所以AB ⊥PD.(11分)因为PB ⊥PD ，PB ∩AB ＝B ，PB ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以PD ⊥平面PAB.(14分)16. 解：(1) 在△ABD 中，AB ＝14，BD ＝6，则BA →·BD →＝BA·BD·cos B ＝14×6·cos B ＝66，得cos B ＝1114.(1分)在△ABC 中，sin B ＞0，sin B ＝1－cos 2B ＝1－（1114）2＝5314.(2分)又C ∈(0，π)，C ＞B ，则B ∈(0，π2)，则C －B ∈(0，π)．又cos(C －B)＞0，则C －B ∈(0，π2)，由cos(C －B)＝1314，则sin(C －B)＝1－cos 2（C －B ）＝1－（1314）2＝3314，(4分)则cos C ＝cos[B ＋(C －B)]＝cos B ·cos(C －B)－sin B ·sin(C －B) ＝1114×1314－5314×3314＝12.(6分) 又C ∈(0，π)，则C ＝π3.(7分)(2) 在△ACD 中，AD 2＝BA 2＋BD 2－2BA·BDcos B ＝142＋62－2×14×6×1114＝102，解得AD ＝10.(9分)由余弦定理得cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝102＋62－1422×10×6＝－12.又∠ADB ∈(0，π)，得∠ADB ＝2π3，则∠ADC ＝π3.(10分)因为S ＝12CA →·CD →，即12CA ·CD ·sin C ＝12CA ·CD ·cos C ，得tan C ＝1，又C 为锐角，C ＝π4.(12分)在△ACD 中，因为AD ＝10，C ＝π4，∠ADC ＝π3，则由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝AD sin C ，即AC 32＝1022，解得AC ＝5 6.(14分)17. (1) 解：设椭圆左焦点的坐标为(－c ，0)(c ＞0)，由2a ＝4，a 2c ＝4，解得a ＝2，c ＝1.(2分)由b 2＝a 2－c 2＝3，则所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(3分) (2) ①解：若直线AB 的斜率不存在，则AB ＝3≠247，所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k(x＋1)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝(8k 2)2－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)＞0，则x 1＝－4k 2－6k 2＋14k 2＋3，x 2＝－4k 2＋6k 2＋14k 2＋3 (Ⅰ)，x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3 (Ⅱ)．(4分)(解法1)由椭圆的第二定义知AF 1AA 1＝12，则AF 1＝12AA 1＝12(x 1＋4)＝12x 1＋2. 同理BF 1＝2＋12x 2，(5分)则AB ＝AF 1＋BF 1＝4＋12(x 1＋x 2)＝4＋12·－8k 24k 2＋3＝247.(6分)解得k ＝±1，则直线l 1的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1.(8分)(解法2)AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝1＋k 2（x 2－x 1）2＝1＋k 2|x 2－x 1|，(5分) 代入(Ⅰ)得AB ＝1＋k 2×12k 2＋14k 2＋3＝12（k 2＋1）4k 2＋3＝247.(下同解法1)(6分)②证明：当直线AB 的斜率不存在时，不妨设A(－1，32)，B(－1，－32)，则A 1(－4，32)．又G(－52，0)，kA 1G ＝32－4＋52＝－1，k BG ＝32－52＋1＝－1.则kA 1G ＝k BG ，所以A 1，B ，G 三点共线(9分)当直线AB 的斜率存在时，A(x 1，y 1)，A 1(－4，y 1)，又G(－52，0)，要证A 1，B ，G 三点共线，因为kA 1G ＝y 1－32，k BG ＝y 2x 2＋52，只要证y 1－32＝y 2x 2＋52.(10分)即证k(x 1＋1)(2x 2＋5)＋3k(x 2＋1)＝0.(12分)即证2x 1x 2＋5(x 1＋x 2)＋8＝0，代入(Ⅱ)，因为24k 2－124k 2＋3＋5－8k 24k 2＋3＋8＝－32k 2－244k 2＋3＋8＝－8＋8＝0，所以A 1，B ，G 三点共线．综上所述，A 1，B ，G 三点共线．(14分)18. 解：(1) 过点M 作ME ⊥TO ，垂足为E ，过点N 作NF ⊥ME ，垂足为F ，过点G 作GI ⊥OD ，垂足为I.因为圆O 与矩形的三边PS ，SR ，QR 相切，所以PS ＝130，SR ＝120，圆O 的半径r ＝60，弧长MA ＝60(π2－α)．(1分)在Rt △MNF 中，MN ＝NF sin α＝OT －OE sin α＝70－60cos αsin α.(2分) 在Rt △OCG 中，OG ＝60sin α，(3分)CG ＝60tan α＝60cos αsin α，GR ＝60－60cos αsin α，(4分)所以l(α)＝70－60cos αsin α＋60(π2－α)＋60＋60sin α＋60－60cos αsin α＝130－120cos αsin α－60α＋120＋30π.(7分)答：将l 表示为α的函数l(α)＝130－120cos αsin α－60α＋120＋30π，α的取值范围是(π4，π2)．(8分)(2) l′(α)＝60cos 2α－130cos α＋60sin 2α＝10·（2cos α－3）（3cos α－2）sin 2α.(10分)令l′(α)＝0，解得cos α＝23或cos α＝32(舍去)．(12分)记cos α0＝23，a 0∈(π4，π2)．α (π4，α0) α0 (α0，π2) l′(α)l (α)递减极小值递增 (14分)所以当cos α＝23时，l (α)最小．(15分)答：轨道总长度l 最小时，cos α的值为23.(16分)19. (1) 证明：当a ＝0时，f(x)＝ln x ，定义域为(0，＋∞)，记F(x)＝f(x)－(x －1)＝ln x －x ＋1，令F′(x)＝1x －1＝1－x x ＝0，解得x ＝1.(1分)当x ∈(0，1)时，F ′(x)＞0，则F(x)在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x)＜0，则F(x)在(1，＋∞)上单调递减，(2分) 所以F(x)≤F(1)＝0，则f(x)≤x －1.(3分)(2) 解：由题知f′(x)＝1x ＋2ax －a ＝2ax 2－ax ＋1x ①.(4分)因为f(x)有两个不同的极值点x 1，x 2，令g(x)＝2ax 2－ax ＋1 ②，则方程g(x)＝0的两正根为x 1，x 2，即x 1＝a －a 2－8a 4a ＞0，x 2＝a ＋a 2－8a4a＞0，等价于a ≠0，Δ＝a 2－8a ＞0 ③，x 1＋x 2＝12＞0 ④，x 1x 2＝12a ＞0 ⑤，解得a ＞8.(5分)令G(a)＝f(x 1)＋f(x 2)＝ln x 1＋a(x 21－x 1)＋ln x 2＋a(x 22－x 2) ＝ln(x 1x 2)＋a[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]－a(x 1＋x 2)，将④⑤代入得G(a)＝ln12a －14a －1＝－ln(2a)－14a －1.(6分) 因为G(a)在a ∈(8，＋∞)上为减函数，则G(a)＜G(8)＝－ln 16－3.(7分) 由f(x 1)＋f(x 2)≤k 恒成立，则k 的取值范围是[－ln 16－3，＋∞)．(8分) (3) 解：当a ＜0时，显然f(1)＝0，所以f(x)至少有一个零点为1.(9分) 由(2)中②③⑤知，此时Δ>0，x 1＋x 2＝12＞0，x 1x 2＝12a ＜0，则x 1＜0＜x 2.因为f′(x)＝2ax 2－ax ＋1x ＝2a （x －x 1）（x －x 2）x，x －x 1＞0，当x ∈(0，x 2)时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，x 2)上为增函数；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)＜0，f(x)在(x 2，＋∞)上为减函数，所以f(x)max ＝f(x 2)．(10分) 因g(1)＝2a －a ＋1＝a ＋1，1° 当a ＝－1时，g(1)＝0，则x 2＝1，f(x)max ＝f(x 2)＝f(1)＝0，此时f(x)有且只有一个零点．(11分)2° 当a ＜－1时，g(1)＜0，则0＜x 2＜1，又由f(x)在(x 2，＋∞)上单调递减，f(x 2)＞f(1)＝0，则f(x)在(x 2，＋∞)上有且仅有一个零点是1.(12分)又a ＜－1，则0＜－1a ＜1，－1a －x 2＝－2x 1x 2－x 2＝(2x 2－2)x 2＜0，则0＜－1a ＜x 2.由(1)知当x ＞0且x ≠1时，f(x)＜x －1＋a(x 2－x)＝(ax ＋1)(x －1)，则f(－1a )＜0 ⑥.因为f(x)为连续函数，且在(0，x 2)上递增，则f(x)在(0，x 2)上有且仅有一个零点，所以当a ＜－1时，f(x)共有两个零点．(13分)3° 当－1＜a ＜0时，g(1)＞0，则x 2＞1，又由f(x)在(0，x 2)上为增函数，f(x 2)＞f(1)＝0，则f(x)在(0，x 2)上有且仅有一个零点是1.(14分)又－1＜a ＜0，则－1a ＞1，－1a －x 2＝－2x 1x 2－x 2＝(2x 2－2)x 2＞0，则－1a ＞x 2.由⑥知，f(－1a )＜0，因为f(x)为连续函数，且在(x 2，＋∞)上为减函数，所以当－1＜a ＜0时，f(x)在(x 2，＋∞)上有且仅有一个零点，此时f(x)共有两个零点．(15分)综上所述，当a ＝－1时，f(x)有且只有一个零点；当a ＜－1或－1＜a ＜0时，f(x)共有两个不同零点．(16分) 20. 解：在T n ＋b n ＝n ＋12n(1＋b n )中，令n ＝1，得b 1＝1.令n ＝2，得b 2＝2，则a 1＝b 2＝2，(1分)当n ≥2时，由S n ＝a n ＋1－a 1，则S n －1＝a n －a 1，两式相减得S n －S n －1＝a n ＋1－a n ，即a n ＝a n ＋1－a n ，则a n ＋1a n＝2.(2分) 又由S n ＝a n ＋1－a 1，令n ＝1，得a 2a 1＝2，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，即a n ＝2n .(3分)(2) 当n ≥2时，由T n ＋b n ＝n ＋12n(1＋b n ) ①，则T n －1＋b n －1＝n －1＋12(n －1)(1＋b n －1) ②，①－②得b n ＋b n －b n －1＝32＋12nb n －12(n －1)b n －1，(n －4)b n －(n －3)b n －1＋3＝0 ③.(4分)当n ≥3时，则(n －5)b n －1－(n －3)b n －2＋3＝0 ④，两式相减得(n －4)b n －(2n －8)b n －1＋(n －4)b n －2＝0，所以当n ≥5时，b n ＋1＋b n －1＝2b n ，b n ＋1－b n ＝b n －b n －1，(5分)由(1)知b 1＝1，b 2＝2，在①中令n ＝3，4，5，求得b 3＝3，b 4＝4，b 5＝5，b 6＝6，(6分) 所以b n ＋1－b n ＝b n －b n －1＝…＝b 2－b 1＝1，所以数列{b n }为首项为1，公差为1的等差数列，即b n ＝n.(7分) (3) 由(1)(2)得c n ＝a n b n ＝2nn，c n ＋1－c n ＝2n ＋1n ＋1－2n n ＝n2n ＋1－（n ＋1）2n n （n ＋1）＝（n －1）2nn （n ＋1）≥0，则c 2＝c 1，当n ≥2时，且c n －1＞c n .(9分)假设存在不同两项c i ，c j ，使c i ＋c j 仍是{c n }中的第k(1≤i ＜j ＜k ，i ，j ，k ∈N *)项，即c i ＋c j ＝c k .由c i ＋c j ≤c j －1＋c j ＝2j －1j －1＋2j j ＝j2j －1＋（j －1）2j j （j －1）＝（3j －2）2j －1j （j －1）.(11分)又c k ≥c j ＋1＝2j ＋1j ＋1，(12分)则c k －(c i ＋c j )≥2j ＋1j ＋1－（3j －2）2j －1j （j －1）＝j （j －1）2j ＋1－（j ＋1）（3j －2）2j －1j （j －1）（j ＋1）＝（j 2－5j ＋2）2j －1j （j －1）（j ＋1）. 当j ≥5时，c k －(c i ＋c j )＞0，c i ＋c j ＝c k 无解．(14分) 又c 1＝2，c 2＝2，c 3＝83，c 4＝4，c 5＝325，c 6＝643，当j ＝2，3，4，5时，只存在不同两项c 1，c 2，使得c 1＋c 2＝c 4.综上所述，存在i ＝1，j ＝2，使得c 1＋c 2＝c 4.(16分)2020届高三模拟考试试卷(镇江) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：依题意，[1234][x1]＝[y －2y ]，即{x ＋2＝y －2，3x ＋4＝y ，解得{x ＝0，y ＝4.(4分)设逆矩阵M －1＝[a bcd]，由MM －1＝[1001]得a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，(7分)则逆矩阵M －1＝[－2 132－12]，(8分)所以M －1[xy ]＝[－2 132－12][04]＝[ 4－2]．(10分)B. 解：由θ＝π4，得曲线C 1的直角坐标系的方程为x －y ＝0.(4分)由{x ＝cos α，y ＝sin 2α，得曲线C 2的普通方程为x 2＋y ＝1(－1≤x ≤1)．(8分) 由{x －y ＝0，x 2＋y ＝1，得x 2＋x －1＝0，即x ＝1－52(舍去)或x ＝－1＋52，所以曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(－1＋52，－1＋52)．(10分)C. 解：f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|(2x －1)－(2x ＋2)|＝3，(2分) 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0，即－1≤x ≤12时取等号，则k ＝3.(3分)因为a ＋b ＋c ＝3，则由柯西不等式得(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c)2，(6分) 所以a 2＋b 2＋c 2≥（a ＋b ＋c ）23＝3，(7分)当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，(8分) 此时a 2＋b 2＋c 2的最小值为3.(10分)22. (1) 解：设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由{y 2＝2px ，y ＝－x ＋1，得x 2－2(1＋p)x ＋1＝0.(1分) 因为p ＞0，所以Δ1＝4(p 2＋2p)＞0，x 1＝p ＋1－p 2＋2p ，x 2＝p ＋1＋p 2＋2p.(2分)由MN ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝1＋k 2|x 2－x 1|＝22p 2＋2p ＝26，解得p ＝1.(3分) 所以抛物线的方程为y 2＝2x ①.(4分)(2) 证明：设A(x 3，y 3)，B(x 4，y 4)，由于直线l 过Q(0，t)(t ≠0)，点C(x 0，0)，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t ②.②代入①消去x ，得ky 2－2py ＋2pt ＝0，Δ2＝4p 2－8kpt ＞0，y 3＝p －p 2－2kpt k ，y 4＝p ＋p 2－2kpt k ，则y 3＋y 4＝2p k ③，y 3y 4＝2pt k④.(7分)又QA →＝(x 3，y 3－t)，AC →＝(x 0－x 3，－y 3)，OB →＝(x 4，y 4－t)，BC →＝(x 0－x 4，－y 4)，由QA →＝mAC →，QB →＝nBC →，则{y 3－t ＝－my 3，y 4－t ＝－ny 4，所以⎩⎨⎧m ＝t y 3－1，n ＝t y 4－1，(8分)则m ＋n ＝t y 3＋ty 4－2＝t y 3＋y 4y 3y 4－2，(9分)将③④代入得m ＋n ＝t 2pk2pt k－2＝－1为定值．(10分)23. 解：(1) 因为已知等式(1＋x)2n ＝(1＋x)n (1＋x)n ，令n ＝1 010，得(1＋x)1 010(1＋x)1 010＝(1＋x)2 020，等式右边展开式含x 1 010项的系数为C 1 0102 020.而等式左边展开式含x 1 010的系数为(C 01 010)2＋(C 11 010)2＋…＋(C 1 0091 010)2＋(C 1 0101 010)2，所以(C 01 010)2＋(C 11 010)2＋…＋(C 1 0091 010)2＋(C 1 0101 010)2＝C 1 0102 020.(3分)(2) X 的可能取值为0，12，22，…，k 2，…，n 2，且X 的分布表如下(5分)因为C k n＝n ！k ！（n －k ）！＝n （n －1）！k （k －1）！（n －k ）！＝n k （n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝n k C k －1n －1.(7分) E(X)＝∑nk ＝0k 2C k n C n －k n C n 2n＝∑n k ＝0k 2C k n C k n C n 2n ＝1C n 2n ∑n k ＝0(kC k n )2＝1C n 2n ∑n k ＝1(n·C k－1n －1)2＝n 2C n 2n ∑n k ＝1(C k －1n －1)2 ＝n 2C n 2n ∑n k ＝1C k －1n －1C n －k n －1＝n 2C n 2nC n －12n －2＝n 2（2n －2）！（n －1）！（n －1）！（2n ）！n ！n ！＝n 34n －2，所以X 的数学期望E(X)＝n 34n －2.(10分)。

2020年江苏省镇江市中考数学网上模拟训练试卷解析版

2020年江苏省镇江市中考数学网上模拟训练试卷一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）1．（2分）﹣2020的绝对值等于．2．（2分）已知分式的值等于0，则x＝．3．（2分）把化为最简二次根式为．4．（2分）截至2020年3月1日，江苏多家企业向湖北某市捐赠生活物资合计约372.46万元，372.46万元用科学记数法表示为元．5．（2分）x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣．6．（2分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为．7．（2分）点A（m，2），B（n，）在反比例函数y＝﹣的图象上，则m n（用“＜”或“＞”填空）．8．（2分）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面积为．（结果保留π）9．（2分）将容量为100的样本分成3个组，第一组的频数是35，第二组的频率是0.28，那么第三组的频率是．10．（2分）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C＝2∠A，则cos A＝．11．（2分）若二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x的图象经过点（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x＝0的根为．12．（2分）如图，O是▱ABCD的对称中心，点E在边BC上，AD＝7，BE＝3，将△ABE 绕点O旋转180°，设点E的对应点为E'，则＝．二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）13．（3分）点P（﹣1，2）到x轴的距离为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣214．（3分）下面计算正确的是（）A．a+a＝a2B．3a2﹣2a2＝1C．（3a）2＝6a2D．a•a3＝a4 15．（3分）一组数据为5，6，7，7，10，10，某同学在抄题的时候，误将其中的一个10抄成了16，那么该同学所抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（）A．极差B．平均数C．中位数D．众数16．（3分）如图，一个长方体从正面、上面看到的图形如图所示，则这个长方体的体积等于（）A．6B．9C．12D．1817．（3分）如图1，点P从Rt△ABC的顶点A出发，沿A→C→B的路径匀速运动到点B 停止，作PQ⊥AB于点Q，设点P运动的路程为x，PQ的长为y，若y与x之间的函数关系如图2所示，当x＝6时，PQ的长为（）A．1B．C．D．18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣9，7），B（﹣3，0），点P在x 轴的正半轴上运动，将线段AB沿直线AP翻折到AC，当点C恰好落在y轴上时，直线AP对应的函数表达式可以是（）A．y＝x+8B．y＝﹣C．y＝﹣x+1D．y＝﹣x+4三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）（1）计算：2sin30°+（﹣2）﹣2﹣（+1）0；（2）化简：．20．（10分）（1）解不等式组：；（2）解方程：．21．（6分）如图，AC是正方形ABCD的对角线，E、F分别为BC、CD边上的点，CE＝CF，连接AE、AF．（1）求证：AE＝AF；（2）连接EF，试证明：EF⊥AC．22．（6分）某小区为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为a（厨余）、b（可回收）、c （其他）三类，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱分别记为A、B、C．小亮将分类好的两袋垃圾（可回收、其他）随机投入到三种垃圾箱内，请用画树状图或列表格的方法，求小亮投放正确的概率．23．（6分）随着网络资源日趋丰富，更多人选择在线自主学习，在线学习方式有在线阅读、在线听课、在线答题、在线讨论．某校随机抽取部分学生进行“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（每位同学只能选一项），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数．24．（6分）某网点销售的粽子礼盒的成本为30元/盒，每天的销售量y（盒）与销售单价x 元/盒（x≤50）之间的函数关系如图所示．（1）从上周的销售数据显示，每天的销售量都不低于310盒，则上周的销售单价最高为多少元？（2）若销售单价满足30＜x≤45，问销售单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE∥AC，交劣弧于点E，过点E作射线l⊥AB，交弦BC于点D，在射线l上取点F，使FC＝FD．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）当△CFD为等边三角形时，判断以O，A，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．26．（8分）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝a．以AB为斜边，在AB所在直线的右侧作一个等腰Rt△ABD．（1）用尺规作图，保留作图痕迹；（2）请尝试用两种不同的方法计算四边形ACBD的面积，从而推导出sin75°＝．#DLQZ27．（11分）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图象交于点B（2，m），点P（a，0）在x轴上，a＜2，已知．（1）m＝，k＝；（2）求出点P的坐标；（3）将△ABP向下平移2t个单位，再向左平移t个单位（t＞0），得到△A'B'P'，边BP 的对应边B'P'与反比例函数y＝的图象交于点E．当点E为B'P'的中点时，求出实数t 的值．28．（11分）二次函数y＝a（x﹣3）2﹣1的图象记为抛物线C，它与x轴交于点A（2，0）、B，其对称轴与x轴交于点E，顶点为D，点P（m，n）在抛物线C上（异于点A、B、D）．小聪以点E为位似中心，把A、B、D、P为顶点的四边形按相似比2：1放大，并画出了过A、B、D的对应点的抛物线C1（如图），小明认为还可以找到一条过A、B、D 的对应点的抛物线C2．（1）a＝；抛物线C2对应的函数表达式为；（2）试证明：点P的对应点在抛物线C1或C2上；（选择其中一种情形证明）（3）设点P（1，3）落在抛物线C1、C2上的对应点分别为P1、P2，点Q在这个平面直角坐标系上，P1Q＝2，DQ+P2Q的最小值为．（直接写出结果）2020年江苏省镇江市中考数学网上模拟训练试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）1．（2分）﹣2020的绝对值等于2020．【分析】当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a，据此求出2020的绝对值等于多少即可．【解答】解：根据绝对值的概念可知：|﹣2020|＝2020，故答案为：2020．2．（2分）已知分式的值等于0，则x＝1．【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案．【解答】解：∵分式的值等于0，∴x﹣1＝0且x≠0，故x＝1．故答案为：1．3．（2分）把化为最简二次根式为2．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：＝＝2．故答案为：2．4．（2分）截至2020年3月1日，江苏多家企业向湖北某市捐赠生活物资合计约372.46万元，372.46万元用科学记数法表示为 3.7246×106元．【分析】科学记数法表示较大的数形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，10的指数n比原来的整数位数少1．【解答】解：372.46万元＝3724600元＝3.7246×106元．故答案为：3.7246×106．5．（2分）x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3．【分析】利用配方法整理即可．【解答】解：x2﹣4x+1＝x2﹣4x+4﹣3＝（x﹣2）2﹣3，故答案为3，6．（2分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为130°．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．【解答】解：∵∠1＝40°，∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，∴∠4＝180°﹣50°＝130°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2＝∠4＝130°．故答案为：130°．7．（2分）点A（m，2），B（n，）在反比例函数y＝﹣的图象上，则m＞n（用“＜”或“＞”填空）．【分析】由反比例函数的比例系数为负，那么图象过第二，四象限，根据反比例函数的增减性可得m和n的大小关系．【解答】解：∵点A（m，2），B（n，）在反比例函数y＝﹣的图象上，∵﹣3＜0，∴y随x的增大而增大．∵2＞，∴m＞n．故答案为：＞．8．（2分）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面积为6π．（结果保留π）【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝×3×2π×2＝6π．故答案为：6π．9．（2分）将容量为100的样本分成3个组，第一组的频数是35，第二组的频率是0.28，那么第三组的频率是0.37．【分析】首先求得第一组的频率，利用频数除以总数可求，再用1减去第一组的频率，减去第二组的频率即可求解．【解答】解：第一组的频率是：35÷100＝0.35，则第三组的频率为：1﹣0.35﹣0.28＝0.37．故答案为：0.37．10．（2分）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C＝2∠A，则cos A＝．【分析】首先利用圆内接四边形的性质及∠C＝2∠A求得∠A的度数，然后求其余弦值即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆，∴∠A+∠C＝180°，∵∠C＝2∠A，∴∠A＝60°，∴cos A＝cos60°＝，故答案为：．11．（2分）若二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x的图象经过点（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x＝0的根为0或3．【分析】确定二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x与x轴的交点为（0，0）和（3，0），即可求解．【解答】解：当x＝0时，y＝x2﹣（m﹣1）x＝0，即二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x的图象经过点（0，0），而二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x的图象也经过点（3，0），故二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x与x轴的交点为（0，0）和（3，0），故关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x＝0的根为0或3，故答案为0或3．12．（2分）如图，O是▱ABCD的对称中心，点E在边BC上，AD＝7，BE＝3，将△ABE 绕点O旋转180°，设点E的对应点为E'，则＝．【分析】首先根据题意画出图形，进而可得AE′的长度，▱ABCD和△AEE′是等高，设高为h，然后再利用平行四边形的面积和三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作△CDE′与△ABE关于点O对称，连接EE′，∵△CDE′与△ABE关于点O对称，∴BE＝DE′＝3，∵AD＝7，∴AE′＝4，设▱ABCD的高为h，则△AEE′的高也等于h，则＝＝，故答案为：．二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）13．（3分）点P（﹣1，2）到x轴的距离为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度解答．【解答】解：点P（﹣1，2）到x轴的距离是2．故选：B．14．（3分）下面计算正确的是（）A．a+a＝a2B．3a2﹣2a2＝1C．（3a）2＝6a2D．a•a3＝a4【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．【解答】解：A．a+a＝2a，故本选项不合题意；B.3a2﹣2a2＝a2，故本选项不合题意；C．（3a）2＝9a2，故本选项不合题意；D．a•a3＝a4，故本选项符合题意．故选：D．15．（3分）一组数据为5，6，7，7，10，10，某同学在抄题的时候，误将其中的一个10抄成了16，那么该同学所抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（）A．极差B．平均数C．中位数D．众数【分析】将一组数据为5，6，7，7，10，10，中的一个10抄成了16，不影响找第3、4位的两个数，因此中位数不变，其它的统计量如：平均数、方差、极差均会发生相应变化．【解答】解：将一组数据为5，6，7，7，10，10，中的一个10抄成了16，不影响找第3、4位的两个数，因此中位数不变，故选：C．16．（3分）如图，一个长方体从正面、上面看到的图形如图所示，则这个长方体的体积等于（）A．6B．9C．12D．18【分析】由主视图和俯视图知，该长方体的长为3、宽为2、高为1，根据长方体的体积公式即可得．【解答】解：由主视图和俯视图知，该长方体的长为3、宽为2、高为1，则这个长方体的体积为3×2×1＝6，故选：A．17．（3分）如图1，点P从Rt△ABC的顶点A出发，沿A→C→B的路径匀速运动到点B 停止，作PQ⊥AB于点Q，设点P运动的路程为x，PQ的长为y，若y与x之间的函数关系如图2所示，当x＝6时，PQ的长为（）A．1B．C．D．【分析】从图2知，AC＝3，BC＝4，则AB＝5，在Rt△PQB中，PQ＝BP sin B＝（7﹣x）×，即可求解．【解答】解：从图2知，AC＝3，BC＝4，在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，故sin B＝＝，当x＝6时，点P在BC上，如下图：在Rt△PQB中，PQ＝BP sin B＝（7﹣x）×，当x＝6时，PQ＝，故选：C．18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣9，7），B（﹣3，0），点P在x 轴的正半轴上运动，将线段AB沿直线AP翻折到AC，当点C恰好落在y轴上时，直线AP对应的函数表达式可以是（）A．y＝x+8B．y＝﹣C．y＝﹣x+1D．y＝﹣x+4【分析】连接BC，交P A于Q，由题意可知，P A垂直平分BC，设直线P A的解析式为y ＝kx+b，进一步得到直线P A的解析式为y＝kx+9k+7，设直线BC的解析式为y＝﹣x+n，把B（﹣3，0）代入得n＝﹣，即可得到C（0，﹣），进而得到Q（﹣，﹣），代入y＝kx+9k+7，然后解关于k的方程即可求得．【解答】解：连接BC，交P A于Q，由题意可知，P A垂直平分BC，设直线P A的解析式为y＝kx+b，把A（﹣9，7）代入得，7＝﹣9k+b，∴b＝9k+7，∴直线P A的解析式为y＝kx+9k+7，设直线BC的解析式为y＝﹣x+n，把B（﹣3，0）代入得0＝+n，∴n＝﹣，∴C（0，﹣），∴Q（﹣，﹣），∵Q在直线P A上，∴﹣＝﹣k+9k+7，整理得，15k2+14k+3＝0，解得k1＝﹣，k2＝﹣，∴直线P A的解析式为y＝﹣x+，或y＝﹣x+4，故选：B．三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）（1）计算：2sin30°+（﹣2）﹣2﹣（+1）0；（2）化简：．【分析】（1）根据实数的运算法则即可求出答案．（2）根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝＝．（2）原式＝＝．20．（10分）（1）解不等式组：；（2）解方程：．【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】（1）解：，由①得：x≥﹣2．由②得：x＞﹣3．所以原不等式组的解集是x≥﹣2；（2）方程两边同时乘以x（x﹣2），得，x﹣x（x﹣2）＝3（x﹣2），化简得，x2＝6，解得，x＝±，检验：当x＝±时，x（x﹣2）≠0，所以x＝±是原方程的解．21．（6分）如图，AC是正方形ABCD的对角线，E、F分别为BC、CD边上的点，CE＝CF，连接AE、AF．（1）求证：AE＝AF；（2）连接EF，试证明：EF⊥AC．【分析】（1）直接利用正方形的性质得出∠ACE＝∠ACF＝45°，再利用全等三角形的判定与性质得出答案；（2）直接利用等腰三角形的性质得出答案．【解答】证明：（1）在正方形ABCD中，则∠ACE＝∠ACF＝45°，在△AEC和△AFC中，∴△AEC≌△AFC（SAS），∴AE＝AF；（2）∵CE＝CF，∠ACE＝∠ACF，∴EF⊥AC．22．（6分）某小区为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为a（厨余）、b（可回收）、c （其他）三类，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱分别记为A、B、C．小亮将分类好的两袋垃圾（可回收、其他）随机投入到三种垃圾箱内，请用画树状图或列表格的方法，求小亮投放正确的概率．【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出小亮投放正确的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：画树状图：共有9种等可能的结果数，其中小亮投放正确的结果数为1，所以小亮投放正确的概率＝．23．（6分）随着网络资源日趋丰富，更多人选择在线自主学习，在线学习方式有在线阅读、在线听课、在线答题、在线讨论．某校随机抽取部分学生进行“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（每位同学只能选一项），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数．【分析】（1）根据在线答题的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，然后即可得到在线听课的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数．【解答】解：（1）本次调查的人数为：18÷20%＝90，在线听课的人数为：90﹣24﹣18﹣12＝36，补全的条形统计图如右图所示；（2）360°×＝96°，即扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数是96°．24．（6分）某网点销售的粽子礼盒的成本为30元/盒，每天的销售量y（盒）与销售单价x 元/盒（x≤50）之间的函数关系如图所示．（1）从上周的销售数据显示，每天的销售量都不低于310盒，则上周的销售单价最高为多少元？（2）若销售单价满足30＜x≤45，问销售单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据图象可知，销售单价越高，销售量越低，从而可以得到销售量不低于310盒，销售单价在45～50之前，然后求出这一段对应的函数解析式，令函数值不低于310，即可得到最高的销售单价；（2）根据函数图象中的数据，可以得到30＜x≤45对应的函数解析式，然后即可得到利润与销售单价的函数关系，再根据二次函数的性质，即可得到最大利润．【解答】解：（1）当45≤x≤50时，设y与x函数关系式为y＝kx+b，∵当x＝45时，y＝350，当x＝50时，y＝250，∴，得，即当45≤x≤50时，y＝﹣20x+1250，令﹣20x+1250≥310，得x≤47，∴上周的销售单价最高为47元；（2）当30＜x≤45时，设y与x函数关系式为y＝mx+n，∵当x＝30时，y＝500，当x＝45时，y＝350，∴，得，即当30＜x≤45时，y与x函数关系式为y＝﹣10x+800，设获得的利润为w元，w＝（﹣10x+800）（x﹣30）＝﹣10（x﹣55）2+6250，∵30＜x≤45，∴当x＝45时，w取得最大值，此时w＝5250，答：当销售单价定位45元时，每天获得的利润最大，最大利润为5250元．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE∥AC，交劣弧于点E，过点E作射线l⊥AB，交弦BC于点D，在射线l上取点F，使FC＝FD．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）当△CFD为等边三角形时，判断以O，A，C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．【分析】（1）连接CO，由等腰三角形的性质得出∠DCF＝∠CDF．得出∠DCF＝∠BDP．得出∠BPD＝90°．从而∠BDP+∠ABC＝90°，可证得结论；（2）连接OE，CE，证明△ACO是等边三角形，得出AO＝AC＝OE，则可得出结论．【解答】（1）证明：连接CO，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC．∵CF＝DF，∴∠DCF＝∠CDF．∵∠BDP＝∠CDF，∴∠DCF＝∠BDP．又∵l⊥AB，∴∠BPD＝90°．从而∠BDP+∠ABC＝90°，∴∠DCF+∠OCB＝90°，即∠OCF＝90°，∴FC是⊙O的切线；（2）解：连接OE，CE，以O，A，C，E为顶点的四边形是菱形，∵△CFD为等边三角形，∴∠DCF＝60°，∴∠OCB＝90°﹣60°＝30°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＝90°﹣∠OCB＝60°，∴△ACO是等边三角形，∴AO＝AC＝OE∵OE∥AC，∴四边形OACE是菱形．26．（8分）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝a．以AB为斜边，在AB所在直线的右侧作一个等腰Rt△ABD．（1）用尺规作图，保留作图痕迹；（2）请尝试用两种不同的方法计算四边形ACBD的面积，从而推导出sin75°＝．#DLQZ【分析】（1）作AB的垂直平分线，垂足为O点，再截取OD＝OA，则△ABD满足条件；（2）记四边形ACBD的面积为S，作DE⊥AC，BF⊥DE，如图，先计算出AB＝2a，AC ＝a，再利用△ABD为等腰直角三角形得到DA＝a，∠DAB＝45°，计算S△ABC+S得到S＝a2，接着证明△AED≌△BFD得到DE＝BF，则AE＝a﹣DE，利△ABD用S＝S△ADE+S梯形BCED得到（a﹣DE）×DE+（a+DE）×DE＝a2，则可计算出DE＝a，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义求sin∠DAE．【解答】解：（1）如图，△ABD为所作；（2）记四边形ACBD的面积为S，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝a．∴AB＝2a，AC＝a，作DE⊥AC于E，BF⊥DE于F，如图，∵△ABD为等腰直角三角形，∴DA＝DB＝AB＝a，∠DAB＝45°，∴S＝S△ABC+S△ABD＝×a×a+×a×a＝a2，∵∠AED＝∠BFD，∠ADE＝∠DBF，AD＝DB，∴△AED≌△BFD（AAS），∴DE＝BF，∴AE＝AC﹣CE＝AC﹣DE＝a﹣DE，∵S＝S△ADE+S梯形BCED＝•AE•DE+•（BC+DE）•CE∴（a﹣DE）×DE+（a+DE）×DE＝a2，∴DE＝a，在Rt△ADE中，sin∠DAE＝sin75°＝＝＝．27．（11分）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图象交于点B（2，m），点P（a，0）在x轴上，a＜2，已知．（1）m＝3，k＝；（2）求出点P的坐标；（3）将△ABP向下平移2t个单位，再向左平移t个单位（t＞0），得到△A'B'P'，边BP 的对应边B'P'与反比例函数y＝的图象交于点E．当点E为B'P'的中点时，求出实数t 的值．【分析】（1）用待定系数法，即可求解；（2），则9AB2＝4PB2，即可求解；（3）设BP的中点F（a，b），由a﹣＝2﹣a，b﹣0＝3﹣b，解得：a＝，b＝，则平移后的点E坐标为（，），故，即可求解．【解答】解：（1）将点B的坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝3，故点B（2，3），将点B的坐标代入y＝kx+2并解得：k＝，故答案为：3，；（2）∵，∴9AB2＝4PB2，即：9×（4+1）＝4×[（a﹣2）2+9]，解得：（舍去），∴点P坐标为（，0）；（3）设BP的中点F（a，b），由a﹣＝2﹣a，b﹣0＝3﹣b，解得：a＝，b＝，∴点F坐标为（，），平移后的点E坐标为（，），∴，解得：（舍去）．28．（11分）二次函数y＝a（x﹣3）2﹣1的图象记为抛物线C，它与x轴交于点A（2，0）、B，其对称轴与x轴交于点E，顶点为D，点P（m，n）在抛物线C上（异于点A、B、D）．小聪以点E为位似中心，把A、B、D、P为顶点的四边形按相似比2：1放大，并画出了过A、B、D的对应点的抛物线C1（如图），小明认为还可以找到一条过A、B、D 的对应点的抛物线C2．（1）a＝1；抛物线C2对应的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+2；（2）试证明：点P的对应点在抛物线C1或C2上；（选择其中一种情形证明）（3）设点P（1，3）落在抛物线C1、C2上的对应点分别为P1、P2，点Q在这个平面直角坐标系上，P1Q＝2，DQ+P2Q的最小值为2．（直接写出结果）【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图1中：按照小聪的作法作出点P的对称点P'．过点P（m，n）作PM⊥x轴，过它的对应点P'（a，b）作P'N⊥x轴，M、N是垂足（如图），想办法求出P′坐标（用m表示），如何利用待定系数法求解即可．（3）如图2中，连接PQ，PD，DQ，P1Q，P2Q，由题意点P（1，3），P1（﹣1，6），P2（7，﹣6），E（3，0），证明△P Q QP∽△Q1P2Q，推出＝＝，推出PQ＝QP2，推出DQ+QP2＝DQ+PQ≥DP，求出PD即可解决问题．【解答】解：（1）把点A（2，0）代入二次函数y＝a（x﹣3）2﹣1中，解得a＝1，由题意，抛物线C2的顶点（3，2），经过（1，0）和（5，0），∴可以假设抛物线C2的解析式为y＝a（x﹣3）2+2，把（1，0）代入得到a＝﹣，∴抛物线C2：．故答案为：1，y＝﹣（x﹣3）2+2．（2）如图1中：按照小聪的作法作出点P的对称点P'．过点P（m，n）作PM⊥x轴，过它的对应点P'（a，b）作P'N⊥x轴，M、N是垂足（如图），∴Rt△PME∽Rt△P'NE，相似比1：2，∴a﹣3＝2（3﹣m），0﹣b＝2（n﹣0），则点P'的坐标为（9﹣2m，﹣2n），P（m，n）在抛物线y＝（x﹣3）2﹣1上，∴n＝（m﹣3）2﹣1，即（m﹣3）2＝n+1，将x＝9﹣2m代入抛物线C2对应的函数表达式中，则y＝﹣（9﹣2m﹣3）2+2＝﹣2（m﹣3）2+2＝﹣2（n+1）+2＝﹣2n∴P'（9﹣2m，﹣2n）在抛物线C2上．（另一种情形的同法可证）．（3）如图2中，连接PQ，PD，DQ，P1Q，P2Q，由题意点P（1，3），P1（﹣1，6），P2（7，﹣6），E（3，0），∴P1E＝＝2，P1P＝，P1P2＝＝4，DP＝＝2，∴点Q是以点P1为圆心，PE长为半径的圆上，∴P1Q2＝P1P•P1P2，∴＝＝，∵∠QP1P＝∠QP1P2，∴△P Q QP∽△Q1P2Q，∴＝＝，∴PQ＝QP2，∴DQ+QP2＝DQ+PQ≥DP，∴DQ+QP2≥2，∴DQ+P2Q的最小值2．故答案为2．。

2020年江苏省丹阳高中、镇江一中、镇江中学高考数学模拟试卷(5月份)(含答案解析)

2020年江苏省丹阳高中、镇江一中、镇江中学高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知命题P：，，则命题为______．2.已知全集，，，则______．3.已知，，则______．4.若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为______ ．5.一枚硬币连续抛掷三次，则两次正面向上的概率为______．6.已知，且，则______．7.已知函数，若有两个零点，则实数m的取值范围为______．8.圆心在抛物线上，并且和抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为______ ．9.在直角坐标平面中，的两个顶点A、B的坐标分别为，，平面内两点G、M同时满足下列条件：；；，则的顶点C的轨迹方程为______．10.四面体ABCD中，，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于______．11.已知动点满足，O为坐标原点，若的最大值的取值范围为，则实数a的取值范围是______．12.设M是，定义n，，其中m、n、p分别是，，的面积，的最小值是______．13.已知定义在R上的函数和满足，，，令，则使数列的前n项和超过的最小自然数n的值为______．14.设正实数x，则的值域为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知在中，a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，．求角B的大小；若，求的值．16.在如图的多面体中，平面AEB，，，，，，，G是BC的中点．Ⅰ求证：平面DEG；Ⅱ求证：；Ⅲ求多面体ADBEG的体积．17.如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站其中边EF 在GH上，现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知，且．求y关于x的函数解析式；如果中转站四周围墙造价为1万元，两条道路造价为3万元，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？18.已知椭圆C：的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．求椭圆C的标准方程；设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OT平分线段其中O为坐标原点；当最小时，求点T的坐标．19.已知函数．当时，求在区间上的最大值和最小值；如果函数，，，在公共定义域D上，满足，那么就称为，的“活动函数”已知函数若在区间上，函数是，的“活动函数”，求a的取值范围．20.设数列满足：，且当时，．求，的值；比较与的大小，并证明你的结论．若，其中，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：，解析：解：命题P：，，则命题为：，．故答案为：，．根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出即可．本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题的问题，是基础题．2.答案：或解析：解：或，，则或，则或，故答案为：或．求出集合的等价条件，结合集合补集交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集交集的定义是解决本题的关键．3.答案：解析：解：，，．故答案为：．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．4.答案：16解析：【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．【解答】解：样本数据，，，的标准差为8，，即，数据，，，的方差为，则对应的标准差为，故答案为16．5.答案：解析：解：一枚硬币连续抛掷3次可能出现的结果为正，正，正正，反，正正，正，反反，正，正反，反，正反，正，反正，反，反反，反，反共8种，其中恰好有两次反面向上的有反，反，正反，正，反正，反，反共3种，故所求概率为故答案为：列举可得总的基本事件，找出恰好有两次反面向上的基本事件，由概率公式可得．本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属基础题．6.答案：解析：解：，，又，，则．故答案为：．由已知求得，再由，展开两角差的余弦得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的余弦，是基础题．7.答案：或解析：解：如图，作出函数的图象：若有两个零点，即直线与函数图象有2个交点，由图象可得：或，解得或，故答案为：或．作出函数的图象，数形结合即可．本题考查了函数的零点与方程的根及函数的图象的交点的关系应用，同时考查了学生作图与用图的能力，属于中档题．8.答案：解析：【分析】本题考查了求圆的标准方程，利用圆与直线相切的条件：圆心到直线的距离等于半径，求出圆心坐标和半径，是基础题．由题意设出圆心坐标，由相切列出方程求出圆心坐标和半径，代入圆的标准方程即可．【解答】解：由题意知，设为圆心，且准线方程为，圆与抛物线的准线及y轴相切，，解得，圆的标准方程为．故答案为：．9.答案：解析：解：由得，G为重心，由得，M为外心．所以M点在y轴上到AB两点距离相等．又，则．设M为，G为，由重心坐标公式得C为．再由，得整理得：．再设，由，得，．代入得：．所以的顶点C的轨迹方程为．故答案为：．由题目给出的条件，分别得到G为三角形ABC的重心，M为三角形ABC的外心，设出G点坐标，由，可知M和G具有相同的纵坐标，由重心坐标公式得到C点的坐标，然后由M到A和C的距离相等列式可得G的轨迹方程，利用代入法转化为C的轨迹方程．本题考查了轨迹方程，解答此题的关键是根据题目给出的条件判出G点是三角形ABC的重心，M为外心，考查了三角形的重心坐标公式，训练了代入法求曲线方程，此题属中档题．10.答案：解析：解：取CD的中点E连接AE、BE，取AB的中点F，连接EF由题意知，又面ABE又，其余的棱长均为5，，同理等腰底边AB上的高为的面积三棱锥ABCD的体积又设内切球的半径为R，则球心O到每个表面的距离为R，且球心O到每个表面的距离为R 三棱锥ABCD的体积故答案为：把四面体分割成四个小三棱锥，根据体积相等，即可得解本题考查求几何体的体积，利用等体积法求半径，本题采取了割补法的技巧．属中档题11.答案：解析：解：考虑的图象，如图，x必然是在0到2之间x取到0或2那么y只能取ax在两者之间y可以取两个值x 取到1则y可以取或，图象是，，，为端点的正方形，那么和O最远的应该是最远的两个端点之一，如果就是或如果就是或这样一来，平方的最大值就是：当，或当，或比较它们的大小：当时，；时，；时，．作以上函数图象，再读出y取值范围为时a取值范围是．故答案为：．先考虑的图象，图象是，，，为端点的正方形，那么和O最远的应该是最远的两个端点之一，再对a进行分类讨论，如果就是或；如果就是或再分类写出平方的最大值．最后利用分段函数的图象，再读出取值范围为时，a取值范围．本题主要考查了方程的曲线、向量的模及函数图象的应用，考查了数形结合思想、分类讨论思想．属于中档题．12.答案：18解析：解：由，得，所以，，则，当且仅当时，的最小值为18．故答案为：18由平面向量的数量积运算法则及的度数，求出的值，再由sin A的值，利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积为1，即，，的面积之和为1，根据题中定义的，得出，利用此关系式对所求式子进行变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．此题考查了平面向量的数量积运算，新定义的理解，以及基本不等式的应用，得出的值后，灵活变换所求的式子是求最小值的关键．13.答案：5解析：解：令，得到；令，．代入可得，化简得，即，解得或．，，从而可得是减函数，故．，．再由解得，故n的最小值为5，故答案为5．分别令x等于1和x等于代入得到两个关系式，把两个关系式代入得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，根据可知是减函数，对求得的a进行取舍，求出数列的通项公式，进而求得其前n项和，解不等式，即可求得结果．题考查学生会利用有理数指数幂公式化简求值，利用导数研究函数的单调性，等比数列求和等知识，综合性强，根据已知求出的单调性是解题的关键，考查运算能力和应用知识分析解决问题的能力，属中档题．14.答案：解析：解：令，则，，则令，，，，令，解的，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，，当时，，的值域为，故答案为：利用换元法，求出原函数的值域其实求出函数的值域，根据导数和函数的最值的关系即可求出．本题考查了导数和函数的最值关系，考查了运算能力和求解能力，转化与化归能力，属于中档题．15.答案：解：，由正弦定理可得，由，可得，即有，由于B为三角形的内角，可得，即；，由正弦定理可得，而．解析：由正弦定理可得，再由两角差的正弦公式，以及特殊角的正弦函数值，即可得到所求角；运用正弦定理和切化弦，以及两角和的正弦公式，计算即可得到所求值．本题考查三角形的正弦定理和三角函数的恒等变换，考查运算能力，属于中档题．16.答案：解：Ⅰ证明：，，．又，G是BC的中点，，四边形ADGB是平行四边形，．平面DEG，平面DEG，平面DEG．Ⅱ证明：平面AEB，平面AEB，，又，，EB，平面BCFE，平面BCFE．过D作交EF于H，则平面BCFE．平面BCFE，．，，四边形AEHD平行四边形，，，又，，四边形BGHE为正方形，，又，平面BHD，平面BHD，平面BHD．平面BHD，．Ⅲ平面AEB，，平面AEB，由知四边形BGHE为正方形，．，解析：Ⅰ先证明四边形ADGB是平行四边形，可得，从而证明平面DEG．Ⅱ过D作交EF于H，则平面BCFE，，再证，从而可证平面BHD，故BD．Ⅲ要求多面体ADBEG的体积，利用分割的思想转化为转化为求两个三棱锥的体积即可．本题考查证明线面平行、线线垂直的方法，求多面体的体积，采取分割的方法是常用的解题方法，属中档题．17.答案：解：，，．在中，，，，可得．由于，得．在中，根据余弦定理，可得，即，解得．且，．可得y关于x的函数解析式为，．由题意，可得总造价．令，则，当且仅当，即时，M的最小值为49．此时，．答：当x的值为时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．解析：本题给出实际应用问题，求能够使公司建中转站围墙和两条道路总造价最低的方案．着重考查了函数解析式的求法、运用基本不等式求最值和余弦定理及其应用等知识，属于中档题．根据题意得且，在中，然后在中利用余弦定理的式子建立关于x、y的等式，解出用x表示y的式子，即可得到y关于x的函数解析式；由求出的函数关系式，结合题意得出总造价然后换元：令，化简得到，利用基本不等式算出当时，M的最小值为由此即可得出当总造价M最低时，相应的x值．18.答案：解：依题意有解得所以椭圆C的标准方程为．设，，，PQ的中点为，证明：由，可设直线PQ的方程为，则PQ的斜率．由，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由知，直线TF的斜率，得．从而，即，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．由两点间距离公式得，由弦长公式得，所以，令，则当且仅当时，取“”号，所以当最小时，由，得或，此时点T的坐标为或．解析：第问中，由正三角形底边与高的关系，及焦距建立方程组求得，；第问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．19.答案：解：当时，，；对于，有，在区间上为增函数，，．在区间上，函数是，的“活动函数”，则令，对恒成立，且对恒成立，若，令，得极值点，，当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；当，即时，同理可知，在区间上，有，也不合题意；若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，所以．又因为，在上为减函数，，所以综合可知a的范围是解析：由题意得，，在区间上为增函数，即可求出函数的最值．由题意得：令，对恒成立，且对恒成立，分类讨论当或时两种情况求函数的最大值，可得到a的范围．又因为，在上为减函数，可得到a的另一个范围，综合可得a的范围．本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一．20.答案：解：依题意，由，可解得，则，；解：．证明如下：由得，，；证明：由于，由，则，，而，则，．又于，．，，而，且，故．，从而．解析：由已知首项结合数列递推式直接求得，的值；利用作差配方法证明；由于，且，得，由，得，从而可得；再由，得到利用裂项相消法得，从而得到．本题考查数列递推式，考查数列不等式的证明，训练了数列的裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2020届江苏省镇江市高三考前模拟(三模)数学试题Word版含解析

2020届江苏省镇江市高三考前模拟（三模）数学试题一、填空题1．已知集合{|02}A x x =<<，{}1B x x =，则A B ⋂=____.【答案】{}|12x x <<【解析】利用交集定义直接求解．【详解】Q 集合A {x |0x 2}=<<，{}B x x 1=，A B {x |1x 2}∴⋂=<<．故答案为：{x |1x 2}<<．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．设复数2(12)z i =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为_______.【答案】34i --【解析】根据复数运算整理出34z i =-+，根据共轭复数定义得到结果.【详解】14434z i i =+-=-+ z ∴的共轭复数为：34i --本题正确结果：34i --【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属于基础题.3．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为_______.【答案】-1【解析】执行此程序框图可知，当0x ≥时，121x +=-，此时方程无解；当0x <时，221x -=-，解得1x =-，所以输入x 的值为1-.4．已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是______．【答案】【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为： s 2=×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为_______. 【答案】25【解析】列举出任取两个球所有可能的结果，找到两个球不同色的所有情况，根据古典概型求得结果.【详解】设4个白球编号为：1,2,3,4；1个黑球为：A从中任取两个球的所有可能结果为：12、13、14、1A 、23、24、2A 、34、3A 、4A ，共10种所取的两个球不同色的有：1A 、2A 、3A 、4A ，共4种∴所求概率为：42105P == 本题正确结果：25【点睛】本题考查古典概型的概率问题的求解，考查列举法的应用，属于基础题.6．用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为_______.【答案】83π 【解析】由半圆弧长可求得圆锥的底面半径，从而得到圆锥的高，代入圆锥体积公式求得结果.【详解】半圆的弧长为：12442ππ⨯⨯= 42R ππ∴= 即圆锥的底面半径为：2R =圆锥的高为：224223h -=∴圆锥的体积为：2132333V π=⨯⨯⨯= 本题正确结果：833【点睛】本题考查圆锥侧面积、体积的相关问题的求解，属于基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线222C :1(0)16x y a a -=>的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线C 的方程为_______.【答案】221916x y -= 【解析】根据双曲线方程得到右顶点坐标和渐进线方程；利用点到直线距离公式构造出关于a 的方程，解方程求得a ，从而得到双曲线方程.【详解】双曲线的右顶点为：(),0a ；渐近线为：4y x a=±212516a =+，解得：3a = ∴双曲线C 的方程为：221916x y -= 本题正确结果：221916x y -= 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够熟练应用双曲线的几何性质，利用点到直线距离构造出方程.8．在等比数列{}n a 中，14a ，42a ，7a 成等差数列，则35119a a a a +=+_______. 【答案】14【解析】根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比q 满足32q =，将所求式子化为1a 和q 的形式，化简可得结果.【详解】14a Q ，42a ，7a 成等差数列 17444a a a ∴+=即：6311144a a q a q +=，解得：32q =243511108611911114a a a q a q a a a q a q q ++∴===++ 本题正确结果：14 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______.【答案】1【解析】根据图象过(可求得ϕ；利用图象关于()2,0-对称代入23k πωπ-+=，k Z ∈，结合01ω<<求得ω；从而可得()f x ，代入1x =-求得结果.【详解】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin 2ϕ= 02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈ 126k πωπ∴=-+，k Z ∈ 01ω<<Q 6πω∴= ()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， ()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：1【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数的解析式，利用解析式求值的问题，属于常规题型.10．已知圆C ：22(1)()16x y a -+-=，若直线20ax y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且CA CB ⊥，则实数a 的值为_______.【答案】1-【解析】利用CA CB ⊥求得42AB =；根据直线被圆截得的弦长等于222R d -可利用a 表示出弦长AB ，从而得到方程，解方程求得结果.【详解】圆心C 的坐标为：()1,C a ，半径4R =CA CB ⊥Q ∴弦长224442AB =+=圆心C 到直线20ax y +-=的距离为：2221a d a -=+∴弦长()22222421|22|2421611a a a AB a a -+⎛⎫-=-=- ⎪++⎝⎭()22421216421a a a -+∴-=+2210a a ++=解得：1a =-本题正确结果：1-【点睛】本题考查利用直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，关键是能够明确直线被圆截得的弦长等于222R d -11．已知函数ln ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.【答案】()2,+∞【解析】将问题转变为()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点，画出()f x 的图象，通过平移直线y x =-找到符合题意的情况，从而确定参数范围.【详解】由()0y f x x a =+-=得：()f x x a =-+∴函数()0y f x x a =+-=有且只有一个零点等价于：()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点画出函数()ln ,021,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩的图象如下图：y x a =-+的图象经过点()0,2A 时有2个交点，平移y x =-，由图可知，直线与y 轴的交点在A 点的上方时，两图象只有1个交点，在A 点下方时，两图象有2个交点2a ∴>，即()2,a ∈+∞本题正确结果：()2,+∞【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围，涉及到指数函数、对数函数图象的应用，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式，结合直线的平移得到结果.12．在等腰中，，，则面积的最大值为__________．【答案】4【解析】由题意建立坐标系，结合向量模的坐标运算及基本不等式求解即可．【详解】以为轴，以的垂直平分线为轴，设，，，，，，，，，当且仅当时，即，，面积的最大值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查了用解析的方法解决平面几何问题，考查了向量的坐标运算，模的计算，考查了基本不等式的应用，属于中档题．13．若x，y均为正实数，则221(2)x yx y+++的最小值为_______.25【解析】将所求式子变为()222112x ty t y xy y++-++，利用基本不等式可求得()22122x y x y xy y +++≥++，则可知当12=时，可求得最小值. 【详解】()()2222211122x ty t y x y x yxy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时 ()2212x y x y +++5=【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够配凑出符合基本不等式的形式，易错点是忽略等号成立的条件.14．设()f x t =，若存在实数,()m n m n <，使得()f x 的定义域和值域都是()()f x g x +，则实数t 的取值范围为_______. 【答案】9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】根据()f x 单调性可得()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩p =q =，由m n <可整理出1p q p p =+>+，从而求得102p ≤<，将方程组变为2233p t q q t p ⎧-+=-⎨-+=-⎩，整理可得21924t p ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据p 的范围求得t 的取值范围.【详解】()f x t =在[3,)-+∞是减函数 ()()f m n f n m ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩即：33m t nn t m ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩……①设3m p+=，3n q+=23m p=-，23n q=-，1p q+=由m n<，得p q<1p q p p∴=+>+12p∴≤<则①变为：2233p t qq t p⎧-+=-⎨-+=-⎩()2226p q t p q∴-++=+-，即：2212(1)6t p p-+=+--2222(1)5192224p pt p p p+--⎛⎫∴==--=--⎪⎝⎭924t∴-<≤-本题正确结果：9,24⎛⎤--⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数定义域和值域的应用问题，关键是能够根据单调性确定最值取得的点从而构造出方程组，通过换元的方式可将问题转化为二次函数值域的求解问题；易错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO中点.（1）若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；（2）若2AB PC=，求证：CG⊥平面PBD.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）连接OE ，根据线面平行的性质定理可知//PD OE ，又O 为BD 中点，可证得结论；（2）利用线面垂直的性质可知PC BD ⊥，正方形可得AC BD ⊥，根据线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面PAC ，根据线面垂直性质可知BD CG ⊥，根据等腰三角形三线合一可知CG PO ⊥，根据线面垂直判定定理可证得结论. 【详解】（1）连接OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 中点//PD Q 平面ACE ，PD ⊂面PBD ，面PBD I 面ACE OE = //PD OE ∴O Q 为BD 中点 E ∴为PB 的中点（2）在四棱锥P ABCD -中，2AB PC =Q 四边形ABCD 是正方形 2OC AB ∴= PC OC ∴= Q G 为PO 中点 CG PO ∴⊥又PC ⊥Q 底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD PC BD ∴⊥ 而四边形ABCD 是正方形 AC BD ∴⊥,AC CG ⊂Q 平面PAC ，AC CG C ⋂= BD ∴⊥平面PAC 又CG ⊂平面PAC BD CG ∴⊥,PO BD ⊂Q 平面PBD ，PO BD O =ICG ∴⊥平面PBD 【点睛】本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面位置关系的证明问题，涉及到线面平行性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于常规题型.16．已知,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C 所对的边，若向量(,cos )m b B =u r，(cos ,2)n C c a =-r ，且m n ⊥u r r.（1）求角B ；（2）若||m =u r ，且24ac =，求边,a c .【答案】（1）3B π=；（2）64a c =⎧⎨=⎩或46a c =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）利用向量垂直可知数量积等于零，从而得到()cos 2cos 0b C c a B +-=，利用正弦定理可整理为()sin 2sin cos 0B C A B +-=，从而可求得1cos 2B =，根据()0,B π∈求得B ；（2）利用m =u r 构造方程求得b ，利用余弦定理可构造关于,a c 的方程，解方程求得结果.【详解】（1）m n ⊥u r r Q 0m n ∴⋅=u r r，又向量(),cos m b B =u r ，()cos ,2n C c a =-r ，故()cos 2cos 0b C c a B +-= 由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得：sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C A B +-= ()sin 2sin cos 0B C A B ∴+-=又()()sin sin sin B C A A π+=-= sin 2sin cos 0A A B ∴-=sin 0A ≠Q 1cos 2B ∴= 又()0,B π∈ 3B π∴=（2）由（1）知3B π= 1,2m b ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭u rm ∴==u r ∴2111344b ∴+=，即：228b =，解得：b =在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+- 又3B π=，故2228a c ac =+-，即：()2283a c ac =+-又24ac =，解得：64a c =⎧⎨=⎩或46a c =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到向量模长的求解和垂直关系的应用、正弦定理化简边角关系式、三角形内角和的应用、余弦定理解三角形，属于中档题.17．江心洲有一块如图所示的江边，OA ，OB 为岸边，岸边形成120︒角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l ：在岸边OB 上取两点,P Q ，用长度为1km 的围网依托岸边线PQ 围成三角形MPQ （MP ，MQ 两边为围网）；方案2：在岸边OA ，OB 上分别取点,E F ，用长度为1km 的围网EF 依托岸边围成三角形EOF .请分别计算MPQ △，EOF △面积的最大值，并比较哪个方案好.【答案】MQP ∆，EOF ∆面积的最大值分别为218km 23.其中方案2好.【解析】分别在三角形面积公式中应用基本不等式、余弦定理中利用基本不等式计算出方案1和方案2中MPQ ∆和EOF ∆面积的最大值，通过最大值的比较可知方案2好. 【详解】方案1：设MP xkm =，MQ ykm =由已知“用长度为1km 的围网，MP ，MQ 两边为围网”得(),0,1x y ∈且1x y +=2211111sin sin 12222228MPQx y S xy PMQ π+⎛⎫⎛⎫∴=∠≤⋅=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当12x y ==且2PMQ π∠=时，等号成立 MPQ ∴∆面积的最大值为218km方案2：设OE akm =，OF bkm =在EOF ∆中，由余弦定理得：2222cos EF OE OF OE OF EOF =+-⋅⋅∠即222212cos3a b a b π=+-⋅⋅22123a b a b ab ab ab ∴=++⋅≥+=（当且仅当a b ==1211sin 2323EOF S ab π∆∴=≤⨯=（当且仅当a b ==时等号成立）EOF ∴∆21128>Q∴方案2好【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要是求解三角形面积的最大值，涉及到基本不等式的应用，属于常规题型.18．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于,M N 两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>.（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；（2）已知直线l 与圆C 相交于,A B 两点.（i ）2OA AB =u u u r u u u r，求直线l 的方程；（ii ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）:l y =；（2）（i ）直线l 的方程为y x =；（ii ）存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立.【解析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径构造关于k 的方程，解方程求得结果；（2）（i ）设()11,A x y ，由2OA AB =u u u r u u u r 可得1133,22B x y ⎛⎫⎪⎝⎭，代入圆的方程可求解出A 点坐标，从而得到斜率，求得直线方程；（ii ）将直线AM 方程代入圆的方程可求得A 点坐标；同理将直线BN 方程代入圆的方程可求得B 点坐标；利用OA OB k k =可求得12,k k 的关系，利用12,k k 表示出P 点坐标，整理可得3115k k =，进而可得到123,,k k k 满足1232k k k +=，得到常数a .【详解】（1）由题意，0k > ∴圆心C 到直线l的距离d =Q 直线l 与圆C 相切1d ∴==，解得：k =∴直线l方程为：15y x =（2）（i ）设()11,A x y ，由2OA AB =u u u r u u u r 得：1133,22B x y ⎛⎫⎪⎝⎭由()2211221141334122x y x y ⎧-+=⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：11258x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k ∴= ∴直线l的方程为：25y x =（ii ）由题意知：()3,0M ，()5,0N则()1:3AM l y k x =-，与圆()22:41C x y -+=联立得：()()()221131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦ 3M x =Q 2121351A k x k +∴=+ 2112211352,11k k A k k ⎛⎫+∴ ⎪++⎝⎭同理可得：2222222532,11k k B k k ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭OAOB k k =Q 122212221222122211355311k k k k k k k k -++∴=++++，整理可得：()()12121350k k k k ++=121k k ≠-Q 2135k k ∴=-设()00,P x y ()()01002035y k x y k x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩ 1201212012352k k x k k k k y k k -⎧=⎪-⎪∴⎨-⎪=⎪-⎩12121212352,k k k k P k k k k ⎛⎫--∴ ⎪--⎝⎭，即1315,44k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1313141554k k k ∴== 1213225k k k k ∴+==∴存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求解直线方程、直线与圆中的存在性、定值类问题，关键是能够灵活运用直线与圆联立，将所涉及的变量用同一变量来表示，从而可整理得到所求参数的值.19．已知函数()()xf x mx n e -=+（,m n R ∈，e 是自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为30x ey +-=，试确定函数()f x 的单调区间；（2）①当1n =-，m R ∈时，若对于任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立，求实数m 的最小值；②当1m n ==时，设函数()()()()xg x xf x tf x e t R -'=++∈，是否存在实数[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增；（2）①212e +；②存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，使得命题成立【解析】（1）利用切线方程可知()21f e =，()11f e'=-，从而构造出方程组求得,m n ，得到()f x 解析式，根据导函数的符号确定()f x 的单调区间；（2）①将问题转化为1xm e x ≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立；设()1x x e x ϕ=+，利用导数求解()max x ϕ，可得()max m x ϕ≥；②设存在[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，将问题转化为()()()()min max 2g x g x <，利用导数分别在1t ≥，0t ≤和01t <<研究()g x 的最大值和最小值，从而根据最值的关系可求得t 的取值范围. 【详解】（1）由题意()()()()2x xxx me mx n e mx m n f x e e -+-+-'==()f x Q 在点()()1,1f 处的切线方程为：30x ey +-=()21f e ∴=，()11f e '=-，即：21m n e en ee +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得：1m =，1n =()1x x f x e +∴=，()xxf x e '=- 当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>()f x ∴在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增（2）①由1n =-，m R ∈，1x mx x e -≥，即：1xm e x≥+ 对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立等价于1xm e x ≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立记()1x x e x ϕ=+，()21xx e xϕ'=-设()21xh x e x =-()320xh x e x '∴=+>对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立 ()21x h x e x ∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增而1402h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()21204h e =->()21x x e x ϕ'∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点0x 当01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，当()0,2x x ∈时，()0x ϕ'>()x ϕ∴在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()02x ,上单调递增()x ϕ∴的最大值是12ϕ⎛⎫⎪⎝⎭和()2ϕ中的较大的一个∴()122m m ϕϕ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪≥⎩，即2212m m e ⎧≥⎪⎨≥+⎪⎩ 212m e ∴≥+， m ∴的最小值为212e +②假设存在[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，则问题等价于()()()()min max 2g x g x <()()211xx t x g x e +-+=Q ()()()1x x t x g x e ---'∴= ⑴当1t ≥时，()0g x '≤，则()g x 在[]0,1上单调递减()()210g g ∴<，即321t e -⋅<，得：312e t >-> 3,2e t ⎛⎫∴∈-+∞ ⎪⎝⎭②当0t ≤时，()0g x '≥，则()g x 在[]0,1上单调递增()()201g g ∴<，即32te-<，得：320t e <-< (),32t e ∴∈-∞- ③当01t <<时，当[)0,x t ∈时，()0g x '<；当(],1x t ∈时，()0g x '>，()g x ∴在[)0,t 上单调递减，在(],1t 上单调递增 ∴()()(){}2max 0,1g t g g ∴<，即132max 1,t t t e e +-⎧⎫⨯<⎨⎬⎩⎭……（）由（1）知()1t t f t e +=在[]0,1t ∈上单调递减，故142t t e e+⨯≥，而33t e e -< ∴不等式（）无解综上所述，存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，使得命题成立【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数的几何意义的应用、研究函数的单调性、恒成立问题的求解.本题的解题关键是能够将问题转化为函数最值之间的关系，从而将恒成立问题进行等价转化，转变为函数最值的求解问题，20．对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-L L ，1,2,3,k =L ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.其中{}12max ,,,k a a a L ，{}12min ,,,k a a a L 分别表示12,,,k a a a L 中的最大数和最小数.已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”. （1）若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和；（2）证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；（3）若121(1)(1)(1,2,3,)22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=L L 且11a =，22a =，求所有满足该条件的{}n a .【答案】（1）(1)n n -；（2）详见解析；（3）12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥.【解析】（1）根据21n a n =+可得{}n a 为递增数列，从而可得22n b n =-，利用等差数列求和公式可得结果；（2）可证得{}{}121121max ,,,min ,,,n n a a a a a a ++⋅⋅⋅-⋅⋅⋅{}{}1212max ,,,min ,,,n n a a a a a a ≥⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，即1n n b b +≥，则可知{}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=，可证得结论；（3）令1,2,3n =猜想可得12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥，整理可知此数列满足题意；利用反证法可证得不存在数列不满足12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的{}n a 符合题设条件，从而可得结论.【详解】（1）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列{}{}12121max ,,,min ,,,21322n n n n b a a a a a a a a n n ∴=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=+-=- 由通项公式可知{}n b 为等差数列{}n b ∴的前n 项和为：()2212n n n n -⨯=- （2）{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=⋅⋅⋅Q{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}{}{}{}1211211212max ,,,min ,,,max ,,,min ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ++∴⋅⋅⋅-⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅-⋅⋅⋅()11,2,3,n n b b n +∴≥=⋅⋅⋅，又1110b a a =-= {}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ∴⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-= {}n b ∴的“收缩数列”仍是{}n b （3）由()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅可得：当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即()()3213132b a a a a =-+-（），若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（）可得()32133a a a a -=- 所以32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤矛盾；若32a a ≥，则331b a a =-，由（）可得32a a =. 猜想：满足()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅的数列{}n a 是： 12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥经验证，左式()()12121211212n n n S S S na n a na a -=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-=+⎡⎤⎣⎦ 右式()()()()()()1121121111122222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--=+=+-=+ 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥是成立的假设k a 是首次不符合12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的项，则1231k k a a a a a -≤==⋅⋅⋅=≠由题设条件可得()()2211112222k k k k k k k a a a b ----+=+（）若12k a a a ≤<，则由（）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾；若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（）可得()()2112k k k k a a a a --=- 所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤矛盾；所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（）化简可得2k a a =. 这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的{}n a 符合题设条件综上所述：12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥【点睛】本题考查新定义运算的问题求解，关键是能够明确新定义的具体意义，从而将问题转化为最大项与最小项的问题，涉及到递增数列、猜想与证明、反证法等知识，对于学生理解与应用能力、转化与化归能力要求较高，属于难题.21．已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求直线的方程．【答案】.【解析】分析：先求出AB ＝，再设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )，再求直线的方程．详解：因为A ＝，B ＝，所以AB ＝．设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )．因为P 0(x 0，y 0)在直线l : x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0． ①由AB ，即，得, 即,②将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0．点睛：本题主要考查矩阵和矩阵变换下直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.22．极坐标中，过点2,4P π⎫⎪⎭作曲线2cos ρθ=的切线l ，求直线l 的极坐标方程.【答案】sin 1ρθ=【解析】将极坐标方程化为普通方程，可验证出点P 在圆上，从而可得过P 点切线的直角坐标方程，将直角坐标方程再化回极坐标方程即可. 【详解】曲线2cos ρθ=的直角坐标方程为：()2211x y -+=点2,4P π⎫⎪⎭的直角坐标为()1,1 ∴点P 在圆上，又因为圆心()1,0故过点P 的切线为1y =∴所求的切线的极坐标方程为：sin 1ρθ=【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，涉及到过圆上一点的圆的切线的求解，属于常规题型. 23．已知,0x y >，且1x y +=116x y ++≤【答案】详见解析【解析】根据柯西不等式可证得结果. 【详解】()()2221111x y++++≤Q又1x y+=26∴+≤≤【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式的问题，属于常规题型.24．某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X. （1）若取球过程是无放回的，求事件“2X=”的概率；（2）若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望()E X.【答案】（1）1528；（2）详见解析.【解析】（1）利用超几何分布概率公式即可计算概率；（2）随机变量X的可能取值为：0,1,2,3；且53,8X B⎛⎫⎪⎝⎭:，根据二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用二项分布数学期望的计算公式求得期望.【详解】（1）根据超几何分布可知：()21533815228C CP XC===；（2）随机变量X的可能取值为：0,1,2,3；且53,8X B⎛⎫⎪⎝⎭:()335388kkkP X k C-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3k=∴分布列如下：()515388E X =⨯=【点睛】本题考查超几何分布的概率问题求解、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够明确有放回与无放回所符合的分布类型.25．设{}n a 为下述正整数N 的个数：N 的各位数字之和为n ，且每位数字只能取1，3或4 （1）求1a ，2a ，3a ，4a 的值；（2）对*n N ∀∈，试探究222n n a a +⋅与221n a +的大小关系，并加以证明.【答案】（1）11a =，21a =，32a =，44a =；（2）222221n n n a a a ++=，证明详见解析.【解析】（1）根据已知条件，依次取1,2,3,4n =，列出符合的正整数N ，从而得到个数，得到所求结果；（2）由（1）猜想可知：222221n n n a a a ++=，首先证得当4n >时，134n n n n a a a a ---=++，再用数学归纳法证得21221n n n a a a +-=+，接着用数学归纳法证明猜想的结论成立. 【详解】（1）1n =，则1N = 11a ∴=；2n =，则11N = 21a ∴=；3n =，则111N =或3N = 32a ∴=；4n =，则1111N =，13N =，31N =，4N = 44a ∴=；综上：11a =，21a =，32a =，44a =（2）由（1）猜想：222221n n n a a a ++=；记12k N x x x ⋅⋅⋅=，其中{}12,,,1,3,4k x x x ⋯∈且12k x x x n ++⋯+=假定4n >，删去1x ，则当1x 依次取1,3,4时，23k x x x ++⋯+分别等于1n -，3n -，4n - 故当4n >时，134n n n n a a a a ---=++先用数学归纳法证明下式成立：21221n n n a a a +-=+①1n =时，由（1）得：312a a a =+，结论成立； ②假设当n k =时，21221k k k a a a +-=+当1n k =+时，2322221k k k k a a a a ++-=++=222212()k k k k a a a a ++++-2221k k a a ++=+∴当1n k =+时，结论成立；综合①②，21221n n n a a a +-=+，*n N ∈再用数学归纳法证明下式成立：222221n n n a a a ++=①当1n =时，由（1）得：2243a a a =，结论成立； ②假设当n k =时，222221k k k a a a ++=当1n k =+时，()2222422232122223222121k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a ++++++++++=++=++= ()()222232122212223212323222123k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a +++++++++++++++=+=+=∴当1n k =+时，结论成立；综合①②，222221n n n a a a ++=，*n N ∈【点睛】本题考查利用数学归纳法证明数列中的递推关系的问题，关键是能够明确n a 的定义，通过赋值的方式求解数列中的项；进而采用猜想的方法得到结论，再利用数学归纳法进行证明.。

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