20-21版：3.3.1 抛物线及其标准方程（创新设计）

3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
新知探究
如图，把一根直尺固定在画图板内直线l 的位置上，截取一根绳子的长度等于AC 的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A 处，另一端用图钉固定在F 处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线.
问题 上图是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？
提示 上述情境中，点M 到点F 与点M 到直线l
的距离相等，即|
MC
|＝|MF |，得到的曲线是抛物线.
1.抛物线的定义 定点F 在直线外
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线标准方程的几种形式
参数p的几何意义是焦点到准线的距离，所以恒为正，p值越大，抛物线开口越大
拓展深化
[微判断]
1.若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.(√)
2.若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.(×)
提示由于定点F(1，0)在直线x＋y－1＝0上，所以点P的轨迹不是抛物线.
3.若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线.(√)
[微训练]
1.准线为x＝1的抛物线的标准方程为________.
解析由题知抛物线的焦点在x轴的负半轴上，p
2＝1，即p＝2，故抛物线的方程
y2＝－4x.
答案y2＝－4x
2.抛物线y2＝4x上的点P到焦点的距离是5，则P点坐标是________.解析设P点的坐标为(x0，y0)，
由题意得抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，则x0＋1＝5，x0＝4，∴y20＝16，y0＝±4，∴P点坐标为(4，±4).
答案(4，±4)
3.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆x2
6＋
y2
2＝1的右焦点重合，则p的值为
________.
解析椭圆x2
6＋
y2
2＝1的右焦点为(2，0)，所以抛物线y
2＝2px(p>0)的焦点为(2，0)，
则p＝4.
答案4
[微思考]
1.平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？
提示不一定.当定直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于定直线的一条直线；当定直线不经过定点时，点的轨迹是抛物线.
2.二次函数的图象也是抛物线，与本节所学抛物线相同吗？
提示不完全相同.当抛物线开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象，当开口向左或向右时不能看作二次函数的图象.
题型一抛物线的定义及应用
【例1】(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝5
4x0，
则x0等于()
A.1
B.2
C.4
D.8
(2)若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是()
A.y2＝－16x
B.y2＝－32x
C.y2＝16x
D.y2＝32
解析(1)由题意，知抛物线的准线方程为x＝－1 4.
因为|AF|＝5
4x0，根据抛物线的定义，得
x 0＋14＝|AF |＝5
4x 0，所以x 0＝1，故选A.
(2)∵点P 到点(4，0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1， ∴点P 到直线x ＝－4的距离等于它到点(4，0)的距离. 根据抛物线的定义，可知P 点的轨迹是以点(4，0)为焦点. 以直线x ＝－4为准线的抛物线.
设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，可得p
2＝4，得2p ＝16， ∴抛物线的标准方程为y 2＝16x ， 即P 点的轨迹方程为y 2＝16x ，故选C. 答案 (1)A (2)C
规律方法 依据抛物线定义可以实现点线距离与两点距离的转化.
【训练1】 (1)抛物线x 2＝4y 上的点P 到焦点的距离是10，则P 点的坐标为________.
(2)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0，2)的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B.2 C. 5
D.92
解析 (1)设点P (x 0，y 0)，由抛物线方程x 2＝4y ， 知焦点坐标为(0，1)，准线方程为y ＝－1. 由抛物线的定义，得|PF |＝y 0＋1＝10， 所以y 0＝9，代入抛物线方程得x 0＝±6. ∴P 点坐标为(±6，9). (2)如图，由抛物线定义知
|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PF |，
则所求距离之和的最小值转化为求|P A |＋|PF |的最小值， 则当A ，P ，F 三点共线时，|P A |＋|PF |取得最小值.
又A (0，2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，0，
∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AF | ＝
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0－122
＋（2－0）2＝
172. 答案 (1)(6，9)或(－6，9) (2)A 题型二 求抛物线的标准方程
【例2】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为(－2，0)； (2)准线为y ＝－1； (3)过点A (2，3)； (4)焦点到准线的距离为5
2.
解 (1)由于焦点在x 轴的负半轴上，且p
2＝2， ∴p ＝4，
∴抛物线的标准方程为y 2＝－8x . (2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p
2＝1，
∴p ＝2，
∴抛物线的标准方程为x 2＝4y .
(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)， 将点A (2，3)的坐标代入， 得32＝m ·2或22＝n ·3， ∴m ＝92或n ＝43.
∴所求抛物线的标准方程为y 2＝92x 或x 2＝4
3y .
(4)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝5
2. ∴所求抛物线的标准方程为
y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .
规律方法 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况
讨论.焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0).
【训练2】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(3，－4)；
(2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上.
解 (1)法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ， 得(－4)2＝2p ·3，32＝－2p 1·(－4)， 即2p ＝163，2p 1＝94.
∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－9
4y .
法二 抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0). 把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－9
4. ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－9
4y . (2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).
∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . 题型三 抛物线的实际应用问题
【例3】 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面上的部分高0.75 m ，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－16
5y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－5
4.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m 时，小船开始不能通航.
规律方法 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
【训练3】 如图所示，一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱口宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值.
解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 则点B 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
2，－a 4.
设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， ∵点B 在抛物线上，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22
＝－2p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫
－a 4，解得p ＝a 2， ∴抛物线方程为x 2＝－ay .
将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a . ∴点E 到拱底AB 的距离为
a 4－|y |＝a 4－0.64a >3.
当a ＝12时，a 4－0.64a <3；当a ＝13时，a 4－0.64a >3，且a 4－0.64
a 随a 的增大而增大，∴a 的最小整数值为13.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
2.抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上.
3.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝mx (m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝my (m≠0).
二、素养训练
1.抛物线y＝－1
8x
2的准线方程是()
A.x＝1
32 B.x＝
1
2
C.y＝2
D.y＝4
解析将y＝－1
8x
2化为标准方程x2＝－8y，由此可知准线方程为y＝2.
答案C
2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线x2
4－
y2
2＝1上，则抛物
线的方程为()
A.y2＝8x
B.y2＝4x
C.y2＝2x
D.y2＝±8x
解析由题意知，抛物线的焦点为双曲线x2
4－
y2
2＝1的顶点，即为(－2，0)或(2，0)，
所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
答案D
3.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()
A.2
B.3
C.11
5 D.
37
16
解析易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，
如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为PF 的长度，
其中F (1，0)为抛物线y 2＝4x 的焦点.由图可知，距离和的最小值即F 到直线l 1的距离d ＝
|4＋6|
42＋（－3）
2
＝2. 答案 A
4.若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________. 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9. 答案 9
5.若双曲线x 23－16y 2
p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.
解析 双曲线x 23－16y 2p 2＝1的标准方程为x 23－y 2
p 216＝1，
由此c 2
＝3＋p 216，左焦点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－ 3＋p 216，0.
由y 2＝2px 得准线为x ＝－p
2，
∴－ 3＋p 216＝－p
2，又p >0，
∴p ＝4. 答案 4。