数列不等式的证明方法
第8讲数列不等式的证明
第8讲 数列不等式的证明(一) ∑=><n i i n f a1)()(及)()(n f a i ><∏型不等式的证明解法突破：(1) 设∑==n i ib n f 1,)(证明i i b a <，同向相加∑∑===<⇒n i ni i i n f b a 11)( (2) 设i b n f ∏=)(证明i i b a <<0，同向同正相乘)(n f b a i i =∏<∏⇒ 例1. 求证：1)1(13121)2(2222+<++++<+n n n n n 变式1. 求证：2)2()1(32212)1(+<+++⨯+⨯<+n n n n n n 变式2. 求证：n nn 212111)11(2<+++<-+ 变式3. 求证：n n n <+++⨯+⨯)1(1321211 例2. 求证：1212414212+>+⨯⨯+⨯+n nn 变式1. 求证：12121-2n 654321+<⋅⋅⋅⋅n n 变式2. 求证：2231335623333+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n 变式3. 求证：1122642)12(531423121-+<⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+n nn 练习1. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知对*N n ∈∀，点),(n S n 均在函数)1,0(≠>+=b b r b y x (b,r 均为常数)的图像上(1) 求r 的值(2) 当2=b 时，记))(1(log 2*2N n a b n n ∈+=，求证：对*N n ∈∀，不等式11112211+>+⋅⋅+⋅+n b b b b b b nn 成立 练习2. 已知曲线),2,1(02:22: ==+-n y nx x C n ，从点)0,1(-P 向曲线n C 引切线n l ，且知其斜率为)0(>n n k k ，切点为),(n n n y x P(1) 求数列}{n x 的通项公式(2) 求证：nn n x x x x x x +-<⋅⋅⋅-1112531 练习3. 已知各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和满足1>n S ，且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=(1) 求}{n a 的通项公式(2) 设数列}{n b 满足1)12(=-⋅n bn a ，并记n T 为}{n b 的前n 项和，求证：*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+练习4. 已知x x x f -+=)1ln()(，记)(x f 在区间)](,0[*N n n ∈上的最小值为n b ，令n n b n a -+=)1ln(，求证：1122421231423121-+<+++-n n n a a a a a a a a a a a a a 例3. 求证：*,1211)1ln(113121N n nn n ∈+++<+<++++ 变式：求证：*,)1(2)1ln(131211N n n n n n ∈+++>++++ (二) ∑=><n i i C a1)(及C a i )(><∏（C 为常数）型不等式的证明例4. 求证：12121212132<++++n )(*N n ∈ 变式1. 求证：2223222132<++++n n )(*N n ∈ 变式2. 求证：112112112112132<++++++++n )(*N n ∈ 变式3. 求证：2232322212132<++++++++n n n )(*N n ∈ 例5. 求证：)(,21)12)(12(1751531311*N n n n ∈<+-+⨯+⨯+⨯ 变式1. 求证：113121222<+++n ),2(*N n n ∈≥ 变式2. 求证：2131211222<++++n)(*N n ∈ 变式3. 求证：47131211222<++++n )(*N n ∈变式4. 求证：35131211222<++++n )(*N n ∈ 练习1. 求证：45)12(151311222<-++++n )(*N n ∈ 练习2. 已知2n )1(),1(+=+=n b n n a n ，求证：1251112211<++++++n n b a b a b a 练习3. 设数列}{n a 的前n 项和n S ，已知*211,32312,1N n n n a n S a n n ∈---==+ (1) 求1a 的值(2) 求数列}{n a 的通项公式(3) 求证：对一切整数n ，有4711121<+++n a a a 例6. 求证：232312312312313322<-++-+-+-n n )(*N n ∈ 变式1. 求证：141723123123123132<-++-+-+-n )(*N n ∈ 例7. 已知122-=n nn a ，求证：3)1(1<-∑=n i i i a a 例8. 求100131211++++= S 的整数部分 常见的裂项放缩技巧。
求解数列不等式证明问题的方法
解题宝典证明数列不等式问题是一类综合性较强且难度较大的问题，不仅考查了数列知识，还考查了证明不等式的技巧.本文主要介绍三种证明数列不等式问题的方法，以供大家参考.一、利用数列的单调性我们知道，数列具有单调性.因此在证明数列不等式问题时，我们可以利用数列的单调性来讨论数列的变化趋势，进而证明不等式.利用数列的单调性解题的关键在于观察数列的特征，通过作差、作商等方法，构造出新数列，利用数列的单调性证明结论.例1.已知数列{}a n各项均为正数，前n项和S1>1，满足关系式6S n=(a n+1)(a n+2)，n∈N*.设数列{}bn满足关系式an(2b n-1)=1，令T n为数列{}b n的前n项和，求证：3T n+1>log2(a n+3)，n∈N*.证明：根据前n项和关系式可得a n=3n-1，将其代入到an(2b n-1)=1中可得b n=log23n3n-1，Tn=b1+b2+⋯+b n=log2(32×65×⋯×3n3n-1)，则3T n+1-log2(a n+3)=log2éë(32×65×⋯×3n3n-1)3ùû×23n+2.设f(n)=(32×65×⋯×3n3n-1)3×23n+2，则f(n+1)f(n)=(3n+3)3(3n+5)(3n+2)2，变形得(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，则数列{}f(n)单调递增.因此f(n)≥f(1)>1，则3T n+1-log2(a n+3)=log2f(n)>0，所以3T n+1>log2(a n+3).本题的难度较大，欲证明此题，首先需要从结论出发，构造数列f(n)，然后根据新数列的形式，利用作差法、作商法证明数列具有单调性，再利用其单调性证明结论.很多时候，我们并不能直接发现数列的单调性，往往需要对数列的递推式进行多次转换、变形，构造出新数列才能发现其单调性.二、放缩法放缩法是解答不等式问题的基本方法之一.在运用放缩法证明数列不等式问题时，我们必须紧紧围绕着放缩目标，掌握好放缩的尺度，灵活运用不等式的传递性证明不等式.常见的放缩技巧有添加或删除某些项、先放缩再求和（先求和再放缩）、先裂项再放缩（先放缩再裂项）等.但无论运用哪种放缩技巧，都需要把控放缩的尺度，否则容易得出错误的答案.例2.已知数列{}a n满足条件：a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N*)，试证明：n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n an+1<n2.证明：由a n+1=2a n+1,(n∈N*)，可得a n=2n-1，则akak+1=2k-12k+1-1=2k-12(2k-12)<2k-12(2k-1)=12，所以a1a2+a2a3+⋯+anan+1<12+12+⋯+12=n2.故akak+1=2k-12k+1-1=12·2k+1-22k+1-1=12(1-12k+1-1)=12-13×2k+2k-2≥12-13×12k(k=1,2,3,⋯)，即a1a2+a2a3+⋯+anan+1≥12-13(12+122+⋯+12n)=n2-13(1-12n)>n2-13.综合上述分析，即可证明不等式n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n a n+1<n2成立.本题主要运用了放缩法，首先结合数列不等式的表达式，对不等式进行缩放，构造出anan+1，再借助不等式的传递性证明了结论.三、导数法对于综合性较强的数列不等式问题，我们往往采用导数法来求解.首先结合不等式构造出函数模型，对函数求导，通过研究其导函数得到函数的单调性、最储文海42解题宝典值，进而证明不等式成立.例3：试证明12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1(n ∈N*).证明：令a n =1n +1、b n =1n ，于是当n ≥2时，S n -1=ln n 、S n =ln(n +1).则S n -S n -1=ln(n -1)-ln n =ln n +1n.欲证明原不等式成立，需要证明1n +1<ln n +1n<1n ，即证明1x +1<ln x +1x <1x ,x ≥1.设函数f (x )=ln x +1x -1x +1，对其进行求导可得到f ′(x )=1x +1-1x +1(x +1)2=-1x (x +1)2<0.令x +1x =t ，则1x =t -1，t -1t<ln t <t -1,(t >1).设函数h (t )=ln t -t -1t ，则h ′(t )=t -1t2>0，则函数h (t )在(1,+∞)单调递增，所以h (t )>h (1)=0，h (t )=ln t -t -1t>0，即是ln t >t -1t.同理可以证得ln t <t -1，即是ln t +1t <1t.综上可得，1t +1<ln t +1t <1t ，当t 分别取1,2,3,…,n -1时，12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1.运用导数法的根本目的是判断数列的单调性，求得数列的最值.这里首先构造出两个数列以及两个数列的和式，然后结合目标不等式的形式构造出函数模型，通过分析导函数确定函数的单调性，从而证明不等式.从上述分析我们不难看出，证明数列不等式问题的难度系数较大.在解答此类问题时，我们需要仔细分析数列不等式的特点，将其进行适当的变形、转化，并要学会联想，将其与不等式的性质、重要结论以及函数、导数的性质关联起来，才能将难题破解.（作者单位：江苏省华罗庚中学）立体几何是高考数学考查的重点.解答立体几何问题常用的方法是几何法和向量法.这两种方法是分别从几何和代数两个角度入手的，有着各自的优势.本文重点探讨这两种方法在解题中的应用.一、几何法几何法是指运用几何知识解答问题的方法.在解答立体几何问题时，我们需要根据题意绘制相应的图形，探寻空间中点、线、面之间的位置关系，通过延长线段，平移、变换、旋转图形，添加辅助线等方式，建立结论与已有条件之间的联系，灵活运用各种定理、定义、性质，对条件进行转化，顺利解答问题.例1.如图1，在三棱台ABC-DEF 中，已知平面BCEF ⊥平面ABC ，∠ACB -90°，BE =EF =FC =1，BC =2，AC =3，（1）求证：BF ⊥平面ACFD （2）求二面角B -AD -C 的余弦值.李鹏飞图143。
导数数列型不等式证明问题
导数数列型不等式的证明涉及到导数的概念、性质和运算，通常需要运用放缩、构造辅助函数、微分中值定理等方法。
以下是一些常见的导数数列型不等式的证明方法：
放缩法：通过放缩不等式，使得不等式的证明变得更加容易。
例如，可以利用导数的性质，将原不等式转化为容易证明的等式或不等式。
构造辅助函数法：根据导数的性质，构造出一个辅助函数，通过研究该函数的性质，证明不等式。
例如，可以构造一个函数，使其在指定区间上单调递增或递减，从而证明不等式。
微分中值定理法：利用微分中值定理，将不等式转化为一个容易证明的等式或不等式。
例如，可以根据微分中值定理，将原不等式转化为一个关于某个变量的函数，然后对该函数求导，证明其单调性，从而证明不等式。
需要注意的是，在证明导数数列型不等式时，需要充分理解导数的性质和运算规则，并能够灵活运用。
同时，还需要注重证明过程中的严谨性和准确性，避免出现错误。
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(无师自通)
1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n !求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1−+>++++n n n f f f ! 例3 求证),1(221321N n n n C C C Cn n nn n n ∈>⋅>++++−!.例4 已知222121n a a a +++=L ，222121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++!2211≤1.2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>−++++n n ! 例6 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+−++++=∗n N n a nn a n x f xx x x 给定!求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意∗∈N n 且2≥n 恒成立。
例7 已知112111,(1).2n nna a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L）例8 已知不等式21111[log ],,2232n n N n n ∗+++>∈>L 。
2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。
设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤>=−−n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+<n n b ba n再如：设函数()x f x e x =−。
（Ⅰ）求函数()f x 最小值；（Ⅱ）求证：对于任意n N ∗∈，有1().1nn k k ene =<−∑ 例9 设n n na )11(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4<n a3. 部分放缩例10 设++=a na 21111,23a aa n ++≥L ,求证：.2<n a例11 设数列{}n a 满足()++∈+−=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：2)(+≥n a i n ； 21111111)(21≤++++++na a a ii !. 4 . 添减项放缩例12 设N n n∈>,1，求证)2)(1(8)32(++<n n n . 例13 设数列}{n a 满足).,2,1(1,211!=+==+n a a a a nn n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；5 利用单调性放缩: 构造函数例14 已知函数223)(x ax x f −=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设∗+∈=<<N n a f a a n n ),(,21011，证明.11+<n a n 例15 数列{}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+n n n x a x x N n ∈． （I） 证明：对2≥n总有a x n≥；(II) 证明：对2≥n 总有1+≥n n x x6 . 换元放缩例16 求证).2,(1211≥∈−+<<∗n N n n n n例17 设1>a ，N n n ∈≥,2，求证4)1(22−>a n a n.7 转化为加强命题放缩例18 设10<<a ，定义a a a a a nn +=+=+1,111，求证：对一切正整数n 有.1>n a 例19 数列{}n x 满足.,212211nx x x x n n n +==+证明.10012001<x例20 已知数列｛a n｝满足：a 1＝32，且a n＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1∗≥∈－－（，）＋－ （1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n 有a 1•a 2•……a n <2•n！8. 分项讨论例21 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥−+=n a S n n n（Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++ma a a !.9. 借助数学归纳法例22（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<−−+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,,!满足12321=++++n p p p p !，求证：np p p p p p p p n n −≥++++222323222121log log log log !10. 构造辅助函数法例23 已知()f x = 2ln 243x x +−,数列{}n a 满足()()*11 2 ,0211N n a f a n an ∈=<<−++（1）求()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡−021，上的最大值和最小值; （2）证明：102n a −<<; （3）判断n a 与1()n a n N ∗+∈的大小，并说明理由.例24 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =L，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x>，21121(1)3n na x xx ⎛⎞−−⎜⎟++⎝⎠≥，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+L ．例25 已知函数f(x)=x 2-1(x>0)，设曲线y=f(x)在点（x n ,f(x n )）处的切线与x 轴的交点为（x n+1,0）(n∈N *). (Ⅰ) 用x n 表示x n+1； （Ⅱ）求使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件，并说明理由；（Ⅲ）若x 1=2，求证：.31211111121−≤++++++n n x x x !例1 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k !=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ∵，)21(11∑∑==+<<∴nk n n k k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
小结数列与不等式证明题的四种实用方法
小结数列与不等式证明题的四种实用方法高中数学，当数列与不等式以综合题的形式出现时，难度较大。
怎样在紧张而又急迫的考试中准确的选择合适的方法解决难题并且不浪费时间，这成为众多学者头痛的问题。
笔者在高中自主学习和课堂听课中总结了四种实用的方法。
在这篇文章中，笔者把不等式右边是常数的证明题定义为常数型，把不等式右边是变量的证明题定义为变量型。
有的方法只适合常数型的不等式，而有的方法既适合变量型的不等式，也适合常数型的不等式。
下面笔者分常数型和变量型依次总结。
方法一：GP.放缩法。
（常数型）这种方法的应用比较广泛，同时也是放缩法中较简单的一种方法。
下面我们以例题的形式来说明。
例：求证:2121...915131211n <++++++-。
解析:该题属于和式与和式作比较，将2看成某个数列求和即可。
等比数列中，当公比q ≠1时， q 1q a q 1a q 1q 1a n 11n 1n ---=--=）（S ，若使q1q a n1-随n 的增大而趋向于0，则︳q ︳∈（0,1），观察通项1211n +-，q 取21的可能性较大，则令q=21，2q1a 1=-，解得1a 1=。
所以可以得出目标等比数列1n n 21a -=）（。
证明：因为121n +-＞1n 2-， 所以1211n +-＜1n 21-， 得121...915131211n ++++++-＜1n 21...8141211-+++++=1n 212--）（＜2，所以原不等式得证。
这种方法的关键点在于找出目标等比数列，当然也有局限性，不适用于变量型不等式。
方法二：数学归纳法。
（常数型和变量型）数学归纳法的应用比较广范，在某些证明题中，数学归纳法常常作为考生首选的方法，它的重要性是毋庸置疑的。
但是，某些题型不适合用数学归纳法证明。
当不等号左边的第一项是某个具体的常数时，直接用数学归纳法就不可以证明，必须选择恰当的中间量方可。
例如：求证:2121...915131211n <++++++-。
例析数列不等式的若干证明方法
用 “ 板 法 ＂求 解 无差 异 元 素 的 分 配 问题 插
陈 红旗 河 南省 汝 阳一 高 （ ７ ０ ４ ０ ） ｌ ２
无差 异 元素 的分 配 问题 ，是 排列 组 合 问题 中的 基 本类 型 ，是 对 排列 组合 思 想 的充 分 体 现 ．认 真 研 究 ，大有裨 益 ．本文将 例析 该类 题 目的类 型及 解法 ． 例 １将 １ ０个相 同 的小 球分 别装 入 ４个不 同的盒 子 中 ，且 每 盒至 少 一 个小 球 ，问有 多 少种 不 同的装
当 ｎ＝ｋ １ ， ＋时
一
一 ２． ４
＝ 日４川
一
也 就是 说 ，当 ＝ｋ 时 ，结 论成立 ． ＋１
（ — ｘ ） ＋（ ～ ） ３ ２ｆ ｂ ４ ３ ２ ｋ
２ ，＋３ ａ
５ １
／筹 一 ５ ＝ ＝
—
根据 （ｉ）和 （ ｉ ｉ）知
，
／ ２＜６ ａ ， ，＝ １ ２， … ． ４ ｚ ， ３，
１ １ ｒ１
一
求 ： 于 ， 知１ ， 证 证 对 ６已 （ ＜ 求 一 ］ （ － 一 ２ ， …
分析 此 不 等 式在 结 构 上类 似 于 贝 努 利 不 等 式
１、 １ １ ５
６一一 １ 一 一 一’ ＋Ｉ一＋Ｊ６４ １ ２２ ＋ ２ ＼ Ｊ ＜
解 将 ｌ ０个小 球排 成一 排 ，在 其 两 两之 间的 ９
个 空挡 中任意 插 入三个 板 ，这 样 就将 １ 小球 分成 ０个
例 ４ 方程 Ｘ ＋ ＋Ｙ ＝４有 多少组 自然 数解？ 解 本 题可理 解 为将 ４个… ’ 配给 、Ｙ、ｚ １分 三 个字 母 ，由于 、Ｙ、 ｚ 自然 数 ，所 以 、 Ｙ、ｚ 是 可 以不 分配 到… ’然而“ １． 插板法 ” 所解 决 的问题是 “ 个 每 位置上至少一个元素” ，因此 ，我们可以先添加 ４个 “ ” 相 当于把 ８个“ ” 插板 法” 给 Ｘ Ｙ、 ｚ １， １用“ 、 三 个 字母 至少 分配 一个 “” 然 后再 各取 一个 “” １， １，就 实
比较法证明不等式的过程
比较法证明不等式的过程比较法证明不等式的过程比较法是数学中一个常见的方法，那这个方法会怎么证明不等式呢?下面就是店铺给大家整理的比较法证明不等式内容，希望大家喜欢。
比较法证明不等式方法一.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。
其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。
其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。
a>b>0,求证：a^ab^b>(ab)^a+b/2因a^a*b^b=(ab)^ab,又ab>a+b/2故a^a*b^b>(ab)^a+b/2已知:a,b,c属于(-2,2).求证：ab+bc+ca>-4.用极限法取2或-2，结果大于等于-4，因属于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，结果就只能大于-4下面这个方法算不算“比较法”啊?作差 M = ab+bc+ca - (-4) = ab+bc+ca+4构造函数 M = f(c) = (a+b)c + ab+4这是 c 的一次函数(或常函数)，在 cOM 坐标系内，其图象是直线，而 f(-2) = -2(a+b) + ab+4 = (a-2)(b-2) > 0(因为 a<2, b<2)f(2) = 2(a+b) + ab+4 = (a+2)(b+2) > 0(因为 a>-2, b>-2)所以函数 f(c) 在c∈(-2, 2) 上总有 f(c) > 0即 M > 0即 ab+bc+ca+4 > 0所以 ab+bc+ca > -4比较法证明不等式方法二设x,y∈R,求证x^2+4y^2+2≥2x+4y(x-1)²≥0(2y-1)²≥0x²-2x+1≥04y²-4x+1≥0x²-2x+1+4y²-4x+1≥0x²+4y²+2≥2x+4x除了比较法还有：求出中间函数的值域：y=(x^2-1)/(x^2+1)=1-2/(x^2+1)x为R，y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，没有最大值，趋于无穷校所以有：-1<=y=1-2/(x^2+1)<1原题得到证明比较法：①作差比较，要点是：作差——变形——判断。
例谈证明数列不等式问题的三种途径
法来进行求证，但这两种方法较为繁琐，且运算量
较大.
（作者单位：山东省聊城市东阿县实验高中）
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∴不等式1 +
n
2
3
1
通过观察发现，该数列的通项公式为
，很难
n
1
1 <
求 得 数 列 的 和 ，于 是 先 将
进行放缩：
n
n
∴1+
)
n - n - 1 ，然后再进行求和，这样数列中的部分
放缩方式.
= 2 k + 1,
= 2 n,
(
Hale Waihona Puke 项便会相互抵消，化简所得的结果，即可证明不等式
c1 + c 2 + ⋯ + c k + c k + 1 < 2 k +
又 ∵∠CEF = 90° ，
即 EF ⊥ CE ，
∴PB ⊥ CE ，PB ⊥ 平面 PAC ，
∴ 正三棱锥 P - ABC 的三条侧棱两两互相垂直，
把三棱锥补形为正方体，则正方体的外接球即为
半径为 6 ，
2
公式进行求解.
三棱锥的外接球，
其直径为 D = PA2 + PB2 + PC 2 = 6 ,
∴ 三棱锥 P - ABC 为正三
棱锥，
∴顶点 P 在底面的射影
O1 为底面三角形的中心，连接
图8
BO1 交 AC 于 G ，
∴AC ⊥ BG ，
又 PO1 ⊥ AC ，PO1 ⋂ BG = O1 ，
∴AC ⊥ 平面 PBG ，∴PB ⊥ AC ，
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数列型不等式的证明
数列型不等式问题在近年逐渐成为高考热点，数列型不等式问题常被设置为高考压轴题，能力要求较高。
因其仍然是不等式问题，可用处理不等式的方法：基本不等式法；比较法；放缩法，函数单调性法等都是常用的方法；但数列型不等式与自然数有关，因而还有一种行之有效的方法：数学归纳法。
1、重要不等式法
若数列不等式形如下式，可用均值不等式法求证。
（1）),(222R b a ab b a ∈≥+; （2） ),(2
+∈≥+R b a ab b
a
（3）
),,,(2121321+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++R x x x x x x n n
x x x x n n n n
2、比较法
比较法是证明不等式的基本方法，可以作差比较也可以作商比较，是一种易于掌握的方法。
3、放缩法
常用的放缩结论： ①、
,111)1(11)1(11112k
k k k k k k k k --=-<<+=+-其中（2≥k ） ②、
;)12)(12(1)12(12+->-n n n ;)12)(32(1)12(12--<-n n n )
22(21
)12(12+<+n n n
③、
1
211
2-+<
<
++k k k
k k
用放缩法解题的途径一般有两条，一是先求和再放缩，二是先放缩再求和。
（1）、先求和再放缩
一般先分析数列的通项公式，如果此数列的前n 项和能直接求和或通过变形后可以求和，则采用先求和再放缩的方法证明不等式。
数列求和的方法较多，我们在数列求和的专题中有具体的讲解，主要用的有公式法、裂项法、倒序相加法、分组求和法等方法。
例1、已知函数)(x f 对任意实数q p ,都满足)()()(q f p f q p f ⋅=+，且3
1
)1(=f ，
（1）当+∈N n 时，求)(n f 的表达式；（2）设))((+∈=N n n nf a n ，n T 是其前n 项和，试证明4
3
<n T .
分析：不难求得n n f )31()(=，于是n n n a )3
1
(=.对于n T ，这是一个“差比”数列的和，可以用
错位相减法求出n T ，然后再与4
3
比较大小.于是有：
n n n T )3
1
()31(3)31(2)31(132⋅++⋅+⋅+⋅= ①，
1432)3
1
()31(3)31(2)31(1031+⋅++⋅+⋅+⋅+=⋅n n n T ②， 两式相减得：1432)3
1
()31()31()31()31(3132+⋅-+++++=⋅n n n n T ，
化简得n n n T )31(42343⋅+-=
，显然有4
3<n T . （2）、先放缩再求和
高考数列不等式证明一般用此法的较多，对此法往往又有以下几个具体情况。
①、将数列的通项进行去项或添项的适当放缩，使之成为我们所熟悉的等差、等比或差比数列
进而进行求和证明；
②、对通项式进行裂项处理，并对其中某些项的分母进行适当放缩，构成便于加减相消的结构
或变形出能使用重要不等式法的结构，使题目便于证明。
③、以某一不等关系为依据建立起相邻两项的不等关系进行逐层递推放缩，以寻求各项与首项
的不等关系。
④、利用二项式定理将通项展开后进行适度放缩，有时展开后只需保留其中一部分就可达到放
缩的目的。
⑤、先分组在放缩比较 例2、（2002全国卷）设数列{}n a 满足2
11,1,2,n n
n a a na n +=-+=，（1）当12a =时，求234,,a a a ，
并由此猜想出n a 的一个通项公式；（2）当13a ≥时，证明对所有的1n ≥，有（Ⅰ）2n a n ≥+；（Ⅱ）
12
11
11
1112
n a a a +++
≤+++. 分析：（1）略.对于（2）中的（Ⅱ），由1()1n n n a a a n +=-+及（Ⅰ）中的2n a n ≥+可知121n n a a +≥+，从而112(1)n n a a ++≥+，
111111
11
12112
n n n
a a a -+≤⋅≤
≤
⋅+++， 于是211211111()11111111212(1)11111222112
12
n
n n a a a a a a --+++≤++++=⋅≤≤++++++-. 说明：对于一些复杂的数列不等式，考虑将每一项进行确当的放大或缩小是一种常见的方法，而方法的寻找要结合题设条件和要证的结论，看它们的内在关系，考虑将通项朝什么方向进行放缩。
请你思考一下，直接由2n a n ≥+得
11
13
n a n ≤++，能证明这个问题吗 例3、（2004全国卷改编）已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足：2(1),1n
n n s a n =+-≥，（1）写出数列{}n a 的
前三项123,,a a a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）证明对任意的整数4m >，有45
11
178
m a a a +++
<. 分析：（1）212321,0,2,2(1)3
n n n a a a a -⎡⎤====
--⎣⎦，过程略. 对于（2），显然42a =.当3n ≥且n 为奇数时，
12
212312
111311322()2212122221n n n n n n n n n a a -------+++=+=⋅+-+--122321322311()2
2222n n n n n -----+<⋅=⋅+，
所以当4m >且m 为偶数时，
45
456
1
11111111
()(
)m m m
a a a a a a a a -+++
=+++++
34
2
13111
1()22222
2m -<
++++
=+431137
(1)82288
m -⋅-<+=； 当4m >且m 为奇数时，
45
45
111111
1178
m m m a a a a a a a ++++
<+++
+<， 综上所述对任意的整数4m >，有
451117
8
m a a a +++
<成立. 说明：通过计算比较可以发现该数列的通项规律较复杂，用求和的方法计算
45
111
m
a a a +++
难度很大，这时可以通过两个方面来寻找解题方向，一是看通项的特点，二是从特殊入手，例如取5,6,7,8m =等进行比对发现.此外发现数值
713
828
=+也是很重要的一点.
4、数学归纳法
5、构造数列法.
6、函数单调性法。