2012高考-圆锥曲线解答题(探索性问题)
2012年高考文科数学试题分类汇编--圆锥曲线-推荐下载
3。 4
4
（D）
5
的关系.
态度决定高度
【解析】设椭圆的长轴为 2a，双曲线的长轴为 2a ，由 M，O，N 将椭圆长轴四等分，则
2a 2 2a ，即 a 2a ，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为 c，则双曲线的
离心率为 e
c a
，e
c a
，
e e
a a
a 3，c 2,或0,或1
以上两种情况下有 4 条重复，故共有 9+5=14 条； 同理 若 b=1，共有 9 条； 若 b=3 时，共有 9 条.
综上，共有 14+9+9=32 种 [点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的 4 条抛物线. 列举法是 解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.
9.【2012 高考上海文 16】对于常数 m 、 n ，“ mn 0 ”是“方程 mx2 ny2 1的曲线是
椭圆”的（ ）
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
高考热点题型：圆锥曲线中的探索性问题
圆锥曲线中的探索性问题【必备知识】1．将直线y kx m =+代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>方程，化为关于x 的二次方程，即为222222()b x a kx m a b ++=，亦即222222222()20b a k x kma x a m a b +++-=．2．将直线y kx m =+代入抛物线22(0)y px p =>方程，得 2222()0k x km p x m +-+=，注意对k 分0k =（对应于直线与对称轴平行）与0k ≠（对应于直线与对称轴不平行）两类进行讨论．3．过点1112212(,),(,,)()P x y P x y x x ≠的直线斜率为122121P P y y k x x -=-．4．点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离为0022d A B=+．5．直线l ：y kx m =+与圆锥曲线相交所得弦长2221212121||1()4L k x x k x x x x =+-=+⋅+-＝21||k a ∆+⋅． 【技巧点拨】解答圆锥曲线中探索性问题，一般可分为以下步骤： （1）假设结论成立；（2）以假设为条件，进行推理求解；（3）明确规范结论，若能推出合理结论，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设； （4）回顾反思解题过程． 【典例展示】【题型一】探索直线、曲线间的位置关系问题【例1】已知椭圆C :2233x y +=，过点()1,0D 且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅱ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．【解析】（Ⅰ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -． 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--．令3x =，得1(3,2)M y -． 所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-．（Ⅱ）直线BM 与直线DE 平行．证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅰ）可知1BM k =．高考热点题型又因为直线DE 的斜率10121DE k -==-，所以BM DE ．当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--． 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--．由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=．直线BM 的斜率11212323BMy x y x k x +---=- 因为()()()()()()()11122121131232132k x x k x x x x k x x BM -+--------=--()()()()12122112332k x x x x x x --++-⎡⎤⎣⎦=--()()()222221331213131332k k k k k x x ⎛⎫-+-+- ⎪++⎝⎭=--0=，所以D 1k k BM E ==．所以BMDE ．综上可知，直线BM 与直线DE 平行．【思维导图】【特别点拨】围绕点的坐标确定是解答本题的关键．1．已知圆C 的圆心为)3)(0,(<m m C ，半径为，圆C 与椭圆2222:1x y E a b +=(0)a b >>有一个交点为(3,1)A ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若点P 的坐标为()4,4，试探究斜率为k 的直线1PF 与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线1PF 的方程；若不能，请说明理由．1．【解析】（1）由已知可设圆C 的方程为22()5(3)x m y m -+=<，将点A 的坐标代入圆C 的方程，得22(3)15m -+=，即2(3)4m -=，解得1m =或5m =.∵3m <，∴1m =，∴圆C 的方程为22(1)5x y -+=.(2)依题意，可得直线1PF 的方程为(4)4y k x =-+，即440kx y k --+=. 若直线1PF 与圆C 相切，则251k =+0112442=+-∴k k ，解得112k =或12k = .当112=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为36011>，不合题意，舍去．当12=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为－4， ∴124,(4,0),(4,0)c F F =-，∴由椭圆的定义得2222122||||(34)1(34)152262a AF AF =+=+++-+=+=∴32a =，即218a =，2222b a c =-=．直线1PF 能与圆C 相切，直线1PF 的方程为240x y -+=，椭圆E 的方程为221182+=x y ． 【题型二】探索与平面图形形状相关的问题【例2】设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1F 恰是2QF 的中点，若过2,,A Q F 三点的圆恰好与直线:330l x y --=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线2:1+=x y l 与椭圆C 交于H G ,两点，在x 轴上是否存在点)0,(m P ，使得以PH PG ,为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为()0c c >，由1F 为线段2F Q 中点，2AQ AF ⊥， 所以2,,A Q F 三点圆的圆心为()1,0F c -，半径为2c a =． 又因为该圆与直线l 相切，所以3212c c c --=∴=．所以224,3a b ==，故所求椭圆方程为22143x y +=； （2）将直线2:1+=x y l 代入22143x y +=得041672=++x x ． 设),(),,(2211y x H y x G ，则74,7162121=-=+x x x x ， ∴712422212121=++=+++=+x x x x y y ，∴GH 的中点)76,78(-M ，由于菱形对角线互相垂直，则1-=⋅CM PM k k ，∴1178076-=⨯---m ，解得72-=m ．即存在满足题意的点P ，且m 的值为72-．【思维导图】（13．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P Q ，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点)0,(m M ，使得以MP MQ ，为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．3．【解析】（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为)0(12222>>=+b a by a x ．因为两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，所以2,1===a c b ．所求椭圆方程为1222=+y x ． （Ⅱ）因为直线l 过椭圆右焦点)0,1(F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1-=x y ．设),(),,(2211y x Q y x P ．由⎩⎨⎧-==+,1,2222x y y x 得01232=-+y y ，解得31,121=-=y y ，所以32||21||||212121=-=-⋅=∆y y y y OF S POQ ． （Ⅲ）假设在线段OF 上存在点)10)(0,(<<m m M ，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线l 与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ．由⎩⎨⎧-==+),1(,2222x k y y x 可得0224)21(2222=-+-+k x k x k ， 因为0)1(8)22)(21(4162224>+=-+-=∆k k k k ，所以222122212122,214kk x x k k x x +-=+=+． 设PQ y x Q y x P ),,(),,(2211的中点为),(00y x N ，所以2022021,212kk y k k x +-=+=， 因为以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，所以MN ⊥PQ ，1-=⋅k k MN ，所以121221222-=⋅-++-=⋅k mk kk kk k MN，整理得m k k k k ++-=+-222221221， 2222221212kk k k k m +=++-=，所以)0(2122≠+=k k k m ，所以210<<m ． 【题型三】探索与平面图形面积相关的问题【例3】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，短轴长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若,A B 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，,OA OB 的斜率分别为12,k k ，问是否存在非零常数λ使12k k λ⨯=时，AOB ∆的面积S 为定值？若存在，求λ的值；否则说明理由．【解析】（1）∵,222c e b a ===，∴222a b c =+，∴2,1,a b ==椭圆C 的方程为：2214x y +=；（2）假设存在这样的常数λ使12k k λ=时AOB S ∆为定值，设直线的方程为： ,y kx m =+且AB 与2214x y +=的交点坐标为()()1122,,,A x y B x y ． 因为12,k k λ=所以，()()121212120,x x y y x x kx m kx m λλ-=-+++0=， 化为()221212()0k x x km x x m λ-+++=．将,y kx m =+代入2214x y +=，消去y 得：()222148440k x kmx m +++-=．由韦达定理得：12x x +2814kmk-=+，12x x 224414m k -=+， ∴()221212()0k x x km x x m λ-+++=，可化为()22414k m λλ-=-．因为点O 到直线AB的距离为d =，所以121122AOBSd AB x x m ==-= 22AOBS ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭()()()()()2222222(14)41441414k k k k λλλλ⎡⎤+⋅----⎢⎥⎣⎦-+＝()()4222426416141168114k k k k λλλλ-++⋅-⨯++- 要使上式为定值，只需26411641681λλλ-+-==，得，14λ=-，此时22AOB S ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭14，即1AOB S ∆=， 故存在非零常数14λ=-，此时1AOB S ∆=． 【思维导图】（1（23．已知平面直角坐标系上一动点(,)P x y 到点(2,0)A -的距离是点P 到点(1,0)B的距离的2倍．（1）求点P 的轨迹方程；（2）过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于,E F 两点，点(2,0)M ，则是否存在直线l ，使EFM S △取得最大值，若存在，求出此时l 的方程，若不存在，请说明理由．3．【解析】（1= ∴2240x x y -+=，即22(2)4x y -+=，（2）由题意知l 的斜率一定存在，不妨假设存直线l 的斜率为k ，且1122(,),(,)E x y F x y 。
探索性问题-圆锥曲线(理)答案
探索性问题分析: 圆锥曲线例1、 已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ，对应的准线方程为249-=y ，且离心率e 满足32，e ，34成等比数列. (1)求椭圆的方程；(2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线21-=x 平分？若存在，求出l 的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）∵34,,32e 成等比数列,∴34322⨯=e 232=e ,设),(y x p 是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得99,322249)22(2222=+=+++yx y y x 化简得, 即1922=+yx 为所求的椭圆方程.（2）假设l 存在，因l 与直线21-=x 相交，不可能垂直x 轴,因此可设l 的方程为：m kx y +=.由2222,9()999y kx m y x kx m x y =+⎧++=⎨+=⎩,消去得整理得:0)9(2)9(222=-+++m kmx x k , ① 方程①有两个不等的实数根,∴22222244(9)(9)0,90k m k m m k ∆=-+->--<即. ②设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ∴92221+-=+kkm x x ,∵线段MN 恰被直线21-=x 平分,∴192221221-=+-+=-k km x x 即, ∵0≠k ∴kk m 292+=③ 把③代入②得0)9()29(222<+-+kkk,∵092>+k ,∴229104k k+-<,∴32>k,解得3>k 或3-<k .∴直线l 的倾斜角范围为)32,2()2,3(ππππ .例2、 抛物线22y px =的准线的方程为2-=x ，该抛物线上的每个点到准线2-=x 的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线x y l x y l -==::21和 相切的圆， （Ⅰ）求定点N 的坐标；（Ⅱ）是否存在一条直线l 同时满足下列条件：① l 分别与直线21l l 和交于A 、B 两点，且AB 中点为)1,4(E ； ② l 被圆N 截得的弦长为2．解：（1）因为抛物线px y 22=的准线的方程为2-=x ，所以4=p ，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点， 所以定点N 的坐标为)0,2(。
2012年高考各省理科数学【圆锥曲线】试题解析分类汇编
2012年高考各省理科数学【圆锥曲线】解析分类汇编一、选择题1.【2012高考浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y ab-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.3B2C.D.【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(ac bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,by a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bc a x bc bcy --=-，令0=y ，得)1(22ba c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a c b a -==，即2223c a =，所以26=e 。
故选B2.【2012高考新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=yx m，所以双曲线方程为422=-yx ，即14422=-yx，所以2,42==a a，所以实轴长42=a ，选C.3.【2012高考新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则有P F F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2012高考四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
2012年 .高考真题数学试题(文)解答题汇编--圆锥曲线
2012年 .高考真题数学试题（文）解答题汇编—圆锥曲线20. （2012年广东文科卷）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1（-1,0），且点P （0,1）在C 1上。
（1） 求椭圆C 1的方程；（2） 设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2=4x 相切，求直线l 的方程。
19. （2012年陕西文科卷）（本小题满分12分）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率.（Ⅰ）求椭圆2C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA = ，求直线AB 的方程.11.（2012重庆文科卷）（本小题满分12分（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为21,F F ，线段 的中点分别为21,B B ，且△21B AB 是面积为4的直角三角形。
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过 做直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使22QB PB ⊥，求直线l 的方程20. （2012安徽文科卷）（本小题满分13分）如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a, b 的值.（19）（2012北京文科卷）(本小题共14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2， 直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点,M N 。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）当AMN ∆的面积为3时，求k 的值。
2012年高考试题分项版解析数学理科专题10 圆锥曲线教师版
2012年高考试题解析数学（理科）分项版10 圆锥曲线:一、选择题22yx0)b??1(a?E:?FF的左、右焦4)设是椭圆1.(2012年高考新课标全国卷理科2122baa3PFF30?x EP的离心率为的等腰三角形，则为直线上一点，是底角为点，?122）（??12)(D((B)C(A))?23?x CC与抛物8)等轴双曲线轴上，的中心在原点，焦点在2.(2012年高考新课标全国卷理科2C x?16y3AB?4BA,）线的准线交于；则的实轴长为（两点，222?)BD)((C)(A)(?22yx21??xy12?双曲线(2012年高考福建卷理科8)3.的焦点重合，线的右焦点与抛物2 b4）则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（542C．3 B A．．D．522yx4．(2012年高考浙江卷理科8)如图，F，F分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右1 2122ab焦点，B是虚轴的端点，直线FB与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平1分线与x轴交于点M．若|MF|＝|FF|，则C的离心率是212326．BA ．3． D C ．32的离心率为，双曲线：C(20125.年高考山东卷理科10)已知椭圆x2-y2＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为2x?4yBA,OF点的直线交抛物线于9)过抛物线的焦点两点，6.(2012年高考安徽卷理科3AF?AOB?）,则是原点，若的面积为（2322))C((A)D(B() 22:Zxxk.]来源22yx7. (2012年高考湖南卷理科5)已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的22ba渐近线上，则C的方程为22222222yxyxyyxx A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=120520802020805[w~#ww.zz&st^ep.【答案】A:Z#xx#k.]来源22yxc2c?10,c?5.=1的半焦距为，则-C 【解析】设双曲线：22ba bbx?1??y?2a?2b. 又C （，点P 2,1，即的渐近线为的渐近线上，C ）在aa22yx22255,b??a?2ba?c??=1.，的方程为又，-C520【考点定位】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.x O，并且经8)已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点8. (2012年高考四川卷理科M(2,y)|OM|?3M（过点。
2012年高考圆锥曲线大题及答案
知识就是力量。
(培根)2012年高考圆锥曲线大题专练抚松一中 崔荥1.(2011新课标)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB ∥OA，MA AB MB BA ⋅=⋅，M 点的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．2.（2011北京）已知椭圆22:14x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （II ）将AB表示为m 的函数，并求AB的最大值.3.（2011辽宁）如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D 。
（I ）设12e =，求BC 与AD的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由4.（2010新课标）设12,F F 分别是椭圆E:22221x y a b+=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相较于A,B 两点，且2AF ,AB,2BF 成等差数列.（Ⅰ)求E 的离心率； （Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB=,求E 的方程.5.（2011江西）000(,)()P x y x a ≠±是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15。
（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率未1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足，求λ的值。
6.（2011安徽）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2=上运动，点Q 满足BQ QA λ=uu u r uu r，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=u u u r u u u r,求点P 的轨迹方程。
2012年高考圆锥曲线
2012年高考真题数学圆锥曲线一、选择题1.【2012高考浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.BD. 2.【2012高考新课标8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B C/4 ()D 83.【2012高考新课标4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 C 34 ()D 454.【2012高考山东理10】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y += 6.【2012高考湖南5】已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =17.【2012高考福建8】已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A.B. C.3 D.58.【2012高考安徽9】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为（ ）()A 2()B C2()D 9.【2012高考全国卷3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 10.【2012高考全国卷理8】已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45二、填空题13.【2012高考四川15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012高考-圆锥曲线解答题(探索性问题)圆锥曲线探索性问题包含两类题型：一是无明确结论，探索结论问题(即只给出条件，要求解题者论证在此条件下，会不会出现某个结论.)二是给定明确结论，探索结论是否存在问题．(解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．)存在性问题，其一般解法是先假设结论存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的结论，则假设存在的结论成立；否则，不成立．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．例3．(2012北京理19)（本小题共14分）已知曲线()()()22-+-=∈R．C m x m y m:528将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证．【变式训练31】(2012天津理19)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点．（1）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；（2）若|AP |=|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足||3k >．解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1. ①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20， 代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0， 故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12， 所以椭圆的离心率e ＝22.(2)证明：(方法一)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ， 设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎨⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.② 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2＋4.由a ＞b ＞0， 故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |> 3.(方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2. ③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k2，代入③，得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)2＜a 2， 解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.【变式训练32】(2012 安徽理20)如图，点12(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P ，过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2a x c =于点Q ；（1）如果点Q 的坐标是(4,4)；求此时椭圆C 的方程；（2）证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 解：（I ）点11(,)(0)P c y y->代入22221x y a b +=得：21b y a=21204014b a PF QF c c c--⊥⇔⨯=---- ①又24a c= ②222(,,0)c a b a b c =-> ③由①②③得：2,1,3a c b ===，即椭圆C 的方程为22143x y +=．（II ）设22(,)a Q y c；则221222012b y a PF QF y ac c a cc--⊥⇔⨯=-⇔=---得：222PQba a c ka a c c-==+．222222222222221b xx y b a y b x y a b a b b xa-'+=⇒=-⇒=-过点P 与椭圆C 相切的直线斜率x cPQc k y k a=-'===．得：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．解：(1)(方法一)由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ，b 2a ， 故直线PF 2的斜率为2PF k =b 2a －0－c －c＝－b 22ac .因为PF 2⊥F 2Q ，所以直线F 2Q 的方程为y ＝2acb2x －2ac 2b 2，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2c ，2a . 由题设知，a 2c ＝4, 2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(方法二)设直线x ＝a 2c 与x 轴交于点M ，由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ，b 2a .因为△PF 1F 2∽△F 2MQ ，所以⎪⎪⎪⎪PF 1⎪⎪⎪⎪F 2M ＝⎪⎪⎪⎪F 1F 2⎪⎪⎪⎪MQ . 即b 2a a 2c －c ＝2c ⎪⎪⎪⎪MQ ，解得⎪⎪⎪⎪MQ ＝2a . 所以⎩⎨⎧a 2c ＝4，2a ＝4，a ＝2，c ＝1．故椭圆方程为x2 4＋y23＝1．(2)证明：直线PQ的方程为2222,2axy a cb aa ca c--=---即y＝ca x＋a.将上式代入椭圆方程得，x2＋2cx＋c2＝0.解得2,,bx c ya=-=所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．例4．(2012福建理19)如图，椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为1F，右焦点为2F，离心率12e=，过1F的直线交椭圆于,A B两点，且2ABF△的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线4x=相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：解法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧x ＝4，y ＝kx ＋m得Q (4,4k ＋m )． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．设M (x 1,0)，则MP →·MQ →＝0对满足(*)式的m 、k 恒成立．因为MP →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－4k m －x 1，3m ，MQ→＝(4－x 1,4k ＋m )，由MP →·MQ→＝0， 得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m ＋3＝0，整理，得(4x 1－4)km ＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎨⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1. 故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .解法二：(1)同解法一．(2)由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．取k ＝0，m ＝3，此时P (0，3)，Q (4，3)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y －3)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取k ＝－12，m ＝2，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －342＝4516，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k m －1，3m ，MQ→＝(3,4k ＋m )， 从而MP →·MQ →＝－12k m －3＋12k m ＋3＝0， 故恒有MP→⊥MQ →，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .解法三：(1)同解法一． （２）由对称性可知设0(,)(0)P x y y>与(,0)M x222020331343443434x x y y x y k y x '+=⇒=-⇒=⇒=--直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x MP MQ x x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--（*）（*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=， 得(1,0)M【变式训练4】 (2012 江西理20)已知三点(0,0)O ，(2,1)A -，(2,1)B ，曲线C 上任意一点(,)M x y 满足||()2MA MB OM OA OB +=⋅++．（1）求曲线C 的方程； （2）动点0(,)(22)Q x y x-<<在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l ．问：是否存在定点(0,)(0)P t t <，使得l 与,PA PB 都相交，交点分别为,D E ，且QAB △与PDE △的面积之比是常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由MA→＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )，得|MA→＋MB →|＝(－2x )2＋(2－2y )2， OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，由已知得(－2x )2＋(2－2y )2＝2y ＋2， 化简得曲线C 的方程：x 2＝4y .(2)假设存在点P (0，t )(t <0)满足条件，则直线PA 的方程是y ＝t －12x ＋t ，PB 的方程是y ＝1－t 2x ＋t .曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 24，它与y 轴交点为F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，－x 204.由于－2<x 0<2，因此－1<x 02<1.①当－1<t <0时，－1<t －12<－12，存在x 0∈(－2,2)使得x 02＝t －12，即l 与直线PA 平行，故当－1<t <0时不符合题意．②当t ≤－1时，t －12≤－1<x 02，1－t 2≥1>x 02，所以l 与直线PA ，PB 一定相交．分别联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t －12x ＋t ，y ＝x 02x －x 204，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－t 2x ＋t ，y ＝x 02x －x 204，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 20＋4t 2(x 0＋1－t )，x E ＝x 20＋4t2(x 0＋t －1)，则x E －x D ＝(1－t )x 20＋4tx 20－(t －1)2. 又|FP |＝－x 204－t ，有S △PDE ＝12·|FP |·|x E －x D |＝1－t 8·(x 20＋4t )2(t －1)2－x 20. 又S △QAB ＝12·4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 204＝4－x 202， 于是S △QAB S △PDE ＝41－t ·(x 20－4)[x 20－(t －1)2](x 20＋4t )2＝41－t ·x 40－[4＋(t －1)2]x 20＋4(t －1)2x 40＋8tx 20＋16t2. 对任意x 0∈(－2,2)，要使S △QABS △PDE为常数，则t 要满足⎩⎨⎧－4－(t －1)2＝8t ，4(t －1)2＝16t 2，解得t ＝－1，此时S △QABS △PDE＝2，故存在t ＝－1，使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2.【点评】本题以平面向量为载体，考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中，解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程，离心率等基本性质，直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题，定点，定值，探讨性问题等；二、考查抛物线的标准方程，准线等基本性质，直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题，中点坐标公式，定点，定值，探讨性问题等；三、椭圆，双曲线，抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大，因为它们都是考纲要求理解的内容.。