中考数学专题复习——操作探究(详细答案)

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中考专题复习第39课时操作探究型问题

第39课时┃ 操作探究型问题
∴∠DAQ＝∠DAB， ∴∠ADQ＝∠DAQ， ∴AQ＝DQ. 在 Rt△CPQ 中，PQ＝5x， ∵PD＝PC＝3x，∴DQ＝2x. ∵AQ＝12－4x， ∴12－4x＝2x，解得 x＝2. ∴CP＝3x＝6. (3)当点 E 落在 AB 上时，如图②：
第39课时┃ 操作探究型问题
第39课时┃ 操作探究型问题
解答折叠问题的一般思路：分清折叠前后的对应边、对应角、对称轴，利用对称轴是对应点所连线段的垂直平分线寻找相等的线段或角，进行相关的计算或证明．
第39课时┃ 操作探究型问题
探究2
平移旋转操作探究问题
例 2 [2015· 南通 ] 如图 39 － 2 ，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，点 P、 Q 分别在 BC、 AC 上， CP＝3x， CQ＝4x(0＜x＜3)．把 △PCQ 绕 P 旋转，得到△PDE，点 D 落在 PQ 上． (1)求证：PQ∥AB； (2)若点 D 在∠BAC 的平分线上，求 CP 的长； (3)若△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为 T，且 12≤T≤16，求 x 的取值范围．
第39课时┃ 操作探究型问题
解：(1)在 Rt△ABC 中，AC＝ AB2－BC2＝12. ∵CP＝3x，CQ＝4x，BC＝9， ∴CP∶CB＝CQ∶CA. ∴PQ∥AB.
(2)如图①，连接 AD，延长 AD 交 BC 于点 M，则 AM 平分 ∠BAC. ∵PQ∥AB，∴∠ADQ＝∠DAB. ∵点 D 在∠BAC 的平分线上，
∵PQ∥AB，∴∠DPE＝∠PEB. ∵∠CPQ＝∠DPE，∠CPQ＝∠B， ∴∠B＝∠PEB，∴PB＝PE＝5x， 9 ∴3x＋5x＝9，解得 x＝ . 8 以下分两种情况讨论： 9 ①当 0＜x≤ 时，T＝PD＋DE＋PE＝3x＋4x＋5x＝12x.此 8 27 时，0＜T≤ . 2 9 ②当＜x＜3 时，设 PE 交 AB 于点 G，DE 交 AB 于点 F. 8

初中数学专题复习操作探究型问题(含答案)

(第5题)(第3题)专题训练20 操作探究型问题一、选择题（每小题3分，共24分）1．如图1-1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图1-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（） A ．234cmB.236cmC.238cmD.240cm2．拃是姆指和食指在平面上伸直时，两者端点之间的距离．则以下估计正确的是( ) A ．课本的宽度约为4拃 B ．课桌的高度约为4拃 C ．黑板的长度约为4拃 D ．字典的厚度约为4拃3. 把图①的纸片折成一个三棱柱，放在桌面上如图②所示，则从左侧看到的面为（）． A 、Q B 、R C 、S D 、T4．将一张长与宽的比为2∶1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（）图① 图② 图③ 图④A ．B ．C ．D ．5.如图，正方形ABCD 的边长是3cm ，一个边长为1cm 的小正方形沿着正方形ABCD 的边AB →BC →CD →DA →AB 连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是( )6．某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为100米，直角顶点为A ．小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块，有如下的分割方法：方法一：在底边BC 上找一点D ，连接AD 作为分割线；图1-1图1-2A ．B ．C ．D ．(第2题)CA ''(第9题)方法二：在腰AC 上找一点D ，连接BD 作为分割线；方法三：在腰AB 上找一点D ，作DE ∥BC ，交AC 于点E ，DE 作为分割线；方法四：以顶点A 为圆心，AD 为半径作弧，交AB 于点D ，交AC 于点E ，弧DE 作为分割线．这些分割方法中分割线最短的是( )A. 方法一B. 方法二C. 方法三D. 方法四7．有30张分别标示1~30号的纸牌. 先将号码数为3的倍数的纸牌拿掉, 然后从剩下的纸牌中, 拿掉号码数为2的倍数的纸牌. 若将最后剩下的纸牌, 依号码数由小到大排列, 则第5张纸牌的号码为( ) A. 7 B. 11 C. 13 D. 178．如图，Rt △ABC 绕O 点旋转90°得Rt △BDE ，其中∠ACB =∠E = 90°，AC =3，DE =5，则OC 的长为（） A．52+ B ．C ．3+ D ．4二、填空题（每小题3分，共18分）9.如图，一块等腰直角的三角板ABC ，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到A B C ''的位置，使A CB '，，三点共线，那么旋转角度的大小为．10.如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °．11. 如图，是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有对．12.如图，小亮从A 点出发前进10m ，向右转15，再前进10m ，又向右转15，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了 m ．(第8题)ABECDFGC 'D '（第10题）13．在五环图案内，分别填写五个数a b c d e ，，，，a b c ，，是三个连续偶数()a b d e <，，是两个连续奇数()d e <，且满足a b c ++．请你在0到20之间选择另一组符号条件的数填入下图：．14．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称．三、解答题（每小题6分，共24分）15．如图，正方形ABCD的周长为40米，甲、乙两人分别从A 、B 同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55米，乙按顺时针方向每分钟行 30米。

历年各地中考数学操作探究试题与答案.docx

第40章操作探究一、选择题1.（2011广东广州市，8, 3分）如图1所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向回有对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开, 则打开后的展开图是（）【答案】D2.（2011安徽芜湖，9,4分）如图，从边长为（a+4） cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1） cm的正方形（a〉0）,剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）,则矩形的面积为（）.A. (2a2 +5cz)cm2B. (3<7 + 15)cm2C. (6a + 9)cm2D. (6a + 15)cm2二、填空题二、解答题1.（2011江西南昌，25, 10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下: 设ZBAC=0（0。

<0<90。

）.现把小棒依次摆放在两射线AB, AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：如图甲所示，从点Ai开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2 为第1根小棒.数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：.（填“能”或“不能”）（2）设AAi=A I A2=A2A J= 1.①9=度；②若记小棒A2n.iA2n的长度为（〃为正整数，如活血=心拱泌4=心2,），求此时a2, a3的值,并直接写出a,,（用含n的式子表示）.图甲活动二：如图乙所示，从点A开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中Ail为第1根小棒，且人仍2= AA”数学思考：（3） _____________________________________________________________________ 若已经向右摆放了3根小棒，则。

］=, 6*2=，。

3=_____________________________________ ；（用含。

的式子表示）（4）若只熊摆放4根小棒，求0的范围.【答案】解：（1）能(2)①22.5°②方法一：VAA1=A1A2=A2A3=1, A J A^XA^A J,:.AiA3=42 , AA3=1+V2 .又•.•A2A3_LA3A4, •••A1A2〃A3A4.同理：A3A4#A5A6, A ZA=ZAA2A I=ZAA4A3=ZAA6A5,.♦ AN疔N3A", AA.5=A.5Ag? ♦♦ a?= A3A4=AA3=1+A/^" ,a3=AA3+A3A5=a2+A3As. ♦AsAs= a^, .I a3=A5A6=AA5=a2+ V2 a2=( V2 +1)2.方法二：VAA I=A1A2=A2A3=1,A J A^XA^A J, .,.A1A3=V2 , AA3=1+V2 .XVA2A3±A3A4, /.A I A^^A J A^同理：A3A4#A5A6, AZA=ZAA2A I=ZAA4A3=ZAA6A5,.•.a2=A3A4=AA3=l + 41 ,又,/ZA2A3A4=ZA4A5A6=90O,ZA2A4A3=ZA4A6A5 ,Z\ A2 A3 A4 00 Z\ A4 A5 Ag,— = — , a3= =( V2 +1 )2.6^2 ^^3 1a n=(V2 +l)n-1.⑶ O x = 20, a = 30, 03 = 40)56><900(4)由题意得，•••15°<9W18°.2.(2011福建福州，21, 12分)已知，矩形ABCD中,AB = 4c〃z,BC = , AC的垂直平分线EF分别交A。

2019年中考数学复习专题34：操作探究问题(含中考真题解析)

专题34 操作探究问题☞解读考点☞2年中考【2019年题组】 1．（2019荆州）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（）A． B ． C ． D ．【答案】A ．【解析】试题分析：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：故选A ．考点：剪纸问题． 2．（2019深圳）如图，已知△ABC ，AB ＜BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA+PC=BC ，则下列选项正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D．考点：作图—复杂作图．3．（2019三明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于12AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC【答案】D．【解析】试题分析：∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．直角三角形斜边上的中线．4．（2019潍坊）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D．考点：1．平行线分线段成比例；2．菱形的判定与性质；3．作图—基本作图．5．（2019嘉兴）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】试题分析：A．根据作法无法判定PQ⊥l；B．以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；C．根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；D．根据全等三角形的判定和性质即可作出判断．从以上分析可知，选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q；选项A不能够得到PQ⊥l于点Q．故选A．考点：作图—基本作图．6．（2019北京市）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是．【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．考点：1．作图—基本作图；2．作图题．7．（2019天津市）在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，D均在格点上，点E、F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF．（1）如图①，当BE=52时，计算AE+AF的值等于；（2）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明）．【答案】（1）52；（2）取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求．（2）如图，首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF移到AE的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H使∠HBC=∠ADB，其次需要构造长度BP使BP=AD=4，根据勾考点：1．轴对称-最短路线问题；2．勾股定理；3．作图题；4．最值问题；5．综合题． 8．（2019杭州）如图，在四边形纸片ABCD 中，AB=BC ，AD=CD ，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD= ．【答案】2+4+【解析】试题分析：如图1所示：延长AE 交CD 于点N ，过点B 作BT ⊥EC 于点T ，当四边形ABCE 为平行四边形，∵AB=BC ，∴四边形ABCE 是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC ∥AN ，∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，则∠NAD=60°，∴∠AND=90°，∵四边形ABCE 面积为2，∴设BT=x ，则BC=EC=2x ，故2x×x=2，解得：x=1（负数舍去），则AE=EC=2，AN=2+AD=DC=4+如图2，当四边形BEDF 是平行四边形，∵BE=BF ，∴平行四边形BEDF 是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠ADB=∠BDC=15°，∵BE=DE ，∴∠AEB=30°，∴设AB=y ，则BE=2y ，，∵四边形BEDF 面积为2，∴AB×DE=222y =，解得：y=1，故，DE=2，则AD=2+综上所述：CD 的值为：2+4+故答案为：2+4+考点：1．剪纸问题；2．操作型；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题． 9．（2019自贡）如图，将线段AB 放在边长为1的小正方形网格，点A 点B 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ，使AP=3172，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）【答案】作图见试题解析．考点：作图—应用与设计作图． 10．（2019北海）如图，已知BD 平分∠ABF ，且交AE 于点D ，（1）求作：∠BAE 的平分线AP （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）设AP 交BD 于点O ，交BF 于点C ，连接CD ，当AC ⊥BD 时，求证：四边形ABCD 是菱形．【答案】（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析．试题解析：（1）如图所示：（2）如图：在△ABO和△CBO中，∵∠ABO=∠CBO，OB=OB，∠AOB=∠COB=90°，∴△ABO ≌△CBO（ASA），∴AO=CO，AB=CB．在△ABO和△ADO中，∵∠OAB=∠OAD，OA=OA，∠AOB=∠AOD=90°，∴△ABO≌△ADO（ASA），∴BO=DO．∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CB，∴平行四边形ABCD是菱形．考点：1．菱形的判定；2．作图—基本作图．11．（2019南宁）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析，134．考点：1．作图-旋转变换；2．作图-轴对称变换；3．作图题；4．扇形面积的计算．12．（2019崇左）如图，△A1B1C1是△ABC向右平移四个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为A1（1，1），B1（4，2），C1（3，4）．（1）请画出△ABC，并写出点A、B、C的坐标；（2）求出△AOA1的面积．【答案】（1）作图见试题解析，A （－3，1）， B （0，2），C （－1，4）；（2）2．（2）A1A=4，OD=1，∴1ΔA OA S=21A1A ×CD=21×4×1=2．考点：作图-平移变换． 13．（2019桂林）如图，△ABC 各顶点的坐标分别是A （﹣2，﹣4），B （0，﹣4），C （1，﹣1）．（1）在图中画出△ABC 向左平移3个单位后的△A1B1C1；（2）在图中画出△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，AC 边扫过的面积是．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）92π．（2）如图所示，△A2B2C2为所求的三角形；（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积S=290360π⨯=52ππ-=92π．故答案为：92π．考点：1．作图-旋转变换；2．作图-平移变换；3．作图题；4．扇形面积的计算．14．（2019百色）已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；（2）如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC 于F．①求证：OD ⊥BC ；②求EF 的长．【答案】（1）作图见试题解析；（2）①证明见试题解析；②7．试题解析：（1）尺规作图如图1所示：（2）①如图2，∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC=∠BAD ，∴CD BD =， ∵OD 过圆心，∴OD ⊥CB ；②∵AB 为直径，∴∠C=90°，∵OD ⊥CB ，∴∠OFB=90°，∴AC ∥OD ，∴OF OB AC AB =，，即5410OF =，∴OF=2，∵FD=5﹣2=3，在RT △OFB 中，，∵OD ⊥BC ，∴CF=BF=，∵AC ∥OD ，∴△EFD ∽△ECA ，∴34EF FD CE AC ==，∴37EF CF =，∴EF=37CF=377．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题．15．（2019贵港）如图，已知△ABC三个顶点坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（4，4）．（1）请按要求画图：①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．（2）请写出直线B1C1与直线B2C2的交点坐标．【答案】（1）①作图见试题解析；②作图见试题解析；（2）（﹣1，﹣4）．试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；（3）由图形可知：交点坐标为（﹣1，﹣4）．考点：1．作图-旋转变换；2．两条直线相交或平行问题；3．作图-平移变换．16．（2019南京）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）【答案】答案见试题解析．试题解析：满足条件的所有图形如图所示：考点：1．作图—应用与设计作图；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理；4．正方形的性质；5．综合题；6．压轴题．17．（2019常州）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE=DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．理由：连接AH ，EH ．∵AE 为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH ⊥AE ，∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED ，∴△ADH ∽ ． ∴DE DH DH AD ，即DH2=AD×DE ．又∵DE=DC∴DH2= ，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）．（4）拓展探究n 边形（n ＞3）的“化方”思路之一是：把n 边形转化为等积的n ﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD 面积作图）．【答案】（1）△HDE ，AD×DC ；（2）作图见试题解析；（3）矩形，作图见试题解析；（4）作图见试题解析．（4）先根据由AG ∥EH ，得到AG=2EH ，再由CF=2DF ，得到CF•EH=DF•AG ，由此得出S △CEF=S △ADF ，S △CDI=S △AEI ，所以S △BCE=S 四边形ABCD ，即△BCE 与四边形ABCD 等积．试题解析：（1）如图①，连接AH ，EH ，∵AE 为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°，∵DH ⊥AE ，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED ，∴△ADH∽△HDE ，∴DE DH DHAD ，即DH2=AD×DE ，又∵DE=DC ，∴DH2=AD×DC ，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积，故答案为：△HDE，AD×DC；（3）如图③，延长MD到E，使DE=DC，连接MH，EH，∵矩形MDBC的长等于△ABC 的底，矩形MDBC的宽等于△ABC的高的一半，∴矩形MDBC的面积等于△ABC的面积，∵ME为直径，∴∠MHE=90°，∴∠HME+∠HEM=90°，∵DH⊥ME，∴∠MDH=∠EDH=90°，∴∠HMD+∠MHD=90°，∴∠MHD=∠HED，∴△MDH∽△HDE，∴MD DHDH DE=，即DH2=MD×DE，又∵DE=DC，∴DH2=MD×DC，∴DH即为与△ABC等积的正方形的一条边；（4）如图④，延长BA、CD交于点F，作AG⊥CF于点G，EH⊥CF于点H，△BCE与四边形ABCD等积，理由如下：∵AG∥EH，∴12EH EFAG AF==，∴AG=2EH，又∵CF=2DF，∴CF•EH=DF•AG，∴S△CEF=S△ADF，∴S△CDI=S△AEI，∴S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积．考点：1．相似形综合题；2．阅读型；3．新定义；4．压轴题；5．操作型．18．（2019广安）手工课上，老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）【答案】答案见试题解析．（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．试题解析：根据分析，可得：．考点：1．作图—应用与设计作图；2．操作型．【2019年题组】1．（2019年崇左中考）如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 【答案】C．考点：1．作图（基本作图）；2．全等三角形的判定．2．（2019年台州中考）如图，菱形ABCD的对角线AC＝4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm，得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（）A．4∶3 B．3∶2 C．14∶9 D．17∶9【答案】C．考点：1．面动平移问题；2．菱形的性质；3．平移的性质；4．相似三角形的判定和性质；5．转换思想的应用．3．（2019年无锡中考）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．6条B．7条C．8条D．9条【答案】B．【解析】试题分析：如图，当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选B ．考点：1．作图（应用与设计作图）；2．等腰三角形的判定和性质；3．分类思想的应用．4．（2019年苏州中考）如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为（2，底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B ，点A 的对应点A'在x 轴上，则点O'的坐标为（）A ．（203，103）B ．（163，3）C ．（203，3）D ．（163，【答案】C ．在Rt△O’FB中，由勾股定理可求83=，∴OF=820433+=．∴O’的坐标为（20,3）．故选C．考点：1．坐标与图形的旋转变化；2．勾股定理；3．等腰三角形的性质；4．三角形面积公式．5．（2019年南充中考）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABC D按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A．252πB．13πC．25πD．【答案】A．考点：1．弧长的计算；2．矩形的性质；3．旋转的性质．6．（2019年浙江台州中考）如图折叠一张矩形纸片，已知∠1＝70°，则∠2的度数是．【答案】55°．【解析】试题分析：如答图，根据折叠得出∠EFG=∠2,∵AB ∥DC ，∠1=70°，∴∠EFD=∠1=70°，∴EFC 180EFD 110∠=︒-∠=︒，∴∠2=∠EFG=21∠EFC=55°．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．平行线的性质；3．平角定义．7．（2019年宁波中考）课本作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；（2）△ABC 中，∠B=30°，AD 和DE 是△ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD=BD ，DE=CE ，设∠C=︒x ，试画出示意图，并求出x 所有可能的值；（3）如图3，△ABC 中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B ，请画出△ABC 的三分线，并求出三分线的长．【答案】（1）画图看解析；（2）∠C的度数是20°或40°；（３）三分线长分别是510 2和510 3．（2）如图当AD=AE时，2X+X=30+30，∴X=20；当AE=DE时，30+30+2X+X=180，∴X=40；当AE=DE时，不存在；∴∠Ｃ的度数是20°或40°．考点：1、等腰三角形，2、三角形内角和与外角，3、图形的分割；4、分类讨论．8．（2019年阜新中考）已知，在矩形ABCD中，连接对角线AC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EFG，并将它沿直线AB向左平移，直线EG与BC交于点H，连接AH，CG．（1）如图①，当AB=BC，点F平移到线段BA上时，线段AH，CG有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想；（2）如图②，当AB=BC，点F平移到线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；AB=()1≠n时，对矩形ABCD进行如已知同样的变换操作，线段（3）如图③，当nBCAH，CG有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想．【答案】（1）AH=CG，AH⊥CG；AH=CG，AH⊥CG，理由见解析；AH=nCG，AH⊥CG．试题解析：（1）AH=CG，AH⊥CG．延长AH与CG交于点T ，如图①，由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．∴∠CBG=90°，∠EGF=45°．∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠EGF．∴BH=BG．在△ABH和△CBG中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BGBHCBGABHBCAB，∴△ABH≌△CBG（SAS），∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．AH=nCG ，AH ⊥CG理由如下：延长AH 与CG 交于点N ，如图③，由旋转和平移的性质可得：EF=AB ，FG=BC ，∠EFG=∠ABC ．∵四边形ABCD 是矩形，AB=nBC ，∴EF=nGF ，∠EFG=∠ABC=90°．∴∠EFG+∠ABC=180°．∴BH ∥EF ．∴△GBH ∽△GFE ． ∴FG FE BG BH =．∵n BC AB FG FE ==，∴BC AB BG BH =．∵∠ABH=∠CBG ，∴△ABH ∽△CBG ． ∴CB AB CG AH ==n ，∠HAB=∠GCB ．∴AH=nCG ，∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．∴∠ANC=90°．∴AH⊥CG．考点：1、旋转的性质；2、矩形的性质3、全等三角形的判定与性质4、相似三角形的判定与性质．9．（2019年常州中考）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，∠DOE=90°，OD=3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N），画出△OMN；（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合；（3）求OE的长．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）6．（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，判断出B′C′平分∠A′B′O，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等和角平分线的对称性可得B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3，利用勾股定理列式求出A′F，然后表示出A′B′、A′O，在Rt△A′B′O中，利用勾股定理列出方程求解即可．试题解析：（1）△OMN如图所示．（2）△A′B′C′如图所示．考点：1．作图（旋转和平移变换）；2．旋转和平移变换的性质；3．勾股定理；4．方程思想的应用．10．（2019年宿迁中考）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△ACN仍为等腰直角三角形，证明见解析．在△ADM和△NEM中，∵MADMNEADMNEMDMEM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADM≌△NEM（AAS）．∴AM=MN．∴M为AN的中点．（2）如图2,∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∵AB NEABC NECBC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△NEC（SAS）．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．（3）△ACN仍为等腰直角三角形．证明如下：如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上．∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．∵A、B、N三点在同一条直线上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM ≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∵AB NEABC NECBC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△NEC（SAS）．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．考点：1．面动旋转问题；2．等腰直角三角形的判定和性质；3．平行线的性质；4．全等三角形的判定和性质；5．多边形内角与外角．☞考点归纳归纳1：利用图形的变换作图基础知识归纳：平移：把一个图形沿一定方向平移一定距离．旋转：把一个图形沿一个定点旋转一定角度．轴对称：作出一个图形的轴对称图形．位似：把一个图形放大或缩小．注意问题归纳：要掌握各种变换的基本特征，应用这些基本特征来作图．【例1】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A （﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．【答案】（1）图形见解析；（2）图形见解析；（3）旋转中心坐标（0，﹣2）．考点：作图-平移变换．归纳2：设计测量方案基础知识归纳：对于较高不能直接测量或有障碍物不能直接进行测量的物体，利用全等、相似、三角函数等所学的数学知识，设计测量方案，通过测量得出结果．注意问题归纳：要注意根据具体的问题选择适当的方法进行测量．【例2】从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C 处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）A．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D． 12米【答案】A．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．归纳3：动手操作基础知识归纳：可分为折叠型动手操作题、拼接型动手操作题、分割型动手操作题和作图型动手操作题等四种类型．注意问题归纳：要利用折叠的性质、拼接、分割时图形面积的不变性以及利用好平移、旋转、对称和位似等变换作出已知图形的变换图形，从而解决问题．【例3】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．1．【解析】如图1，连接CM，过M点作MH⊥CD交CD的延长线于点H,则由已知可得，在Rt△DHM中，DM=1，∠HDM=60°，∴1HD,HM2==．∴15HC222=+=．∴MC===．又∵根据翻折对称的性质，A′M=AM=1,∴△CA′M中，两边一定，要使A′C长度的最小即要∠CM A′最小，此时点A′落在MC上，如图2．∵M A′=NA=1，∴A C NC MA1'=-'=．∴A′C1．考点：1.操作型；2.最值问题．☞1年模拟1．（2019届河北省中考模拟二）已知∠BOP与OP上点C，点A（在点C的右边），李玲现进行如下操作：①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D，连接CD；②以点A 为圆心，OC长为半径画弧MN，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交弧MN于点E，连接ME，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是（）A．CD∥ME B．OB∥AE C．∠ODC=∠AEM D．∠ACD=∠EAP【答案】D．∵△OCD≌△AME，∴∠DCO=∠AME，则∠ACD=∠EAP不一定得出．故选D．考点：作图—复杂作图．2．（2019届河北省邯郸市九年级第一次模拟考试数学试卷）如下图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若AB和BC都经过圆心O，则阴影部分的面积是（结果保留π）【答案】3π．考点：折叠图形的性质．3．（2019届安徽省安庆市中考二模）如图所示，折线AOB可以看成是函数y=|x|（﹣1≤x ≤1）的图象．（1）将折线AOB向右平移4个单位，得到折线A1O1B1，画出折线A1O1B1；（2）直接写出折线A1O1B1的表达式．【答案】（1）作图见解析；（2）y=|x﹣4|（3≤x≤5）．【解析】试题分析：（1）根据题意找出点A、O、B向右平移4个单位后的对应点A1、O1、B1的位置，然后连接A1O1、O1B1即可；（2）根据函数图象“左加右减”的平移规律即可写出折线A1O1B1的表达式．试题解析：（1）折线A1O1B1如图所示：（2）∵将函数y=|x|（﹣1≤x≤1）的图象向右平移4个单位，得到折线A1O1B1，∴折线A1O1B1的表达式为y=|x﹣4|（3≤x≤5）．考点：1．作图-平移变换；2．一次函数图象与几何变换．4．（2019届山东省日照市中考模拟）如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm；请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF的面积）．【答案】作图见解析．连接PE，∵△MEF和△PMN为等边三角形，∴∠PMN=∠EMF=∠MFE=60°，MN=MP，NE=NF，∴∠PME=∠NMF，在△MPE和△MNF中，PM PNPME NMFME MF⎨⎩∠⎪⎪∠⎧＝＝，＝∴△MPE≌△MNF（SAS），∴∠MEP=∠MFE=60°，∴∠PEN=60°，∴PE∥MF，∴S△PMF=S△MEF=4．考点：1．矩形的性质；2．等边三角形的判定与性质；3．作图—应用与设计作图．5．（2019届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1、l2的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）【答案】作图见解析．试题解析：作图如下：考点：作图—应用与设计作图．6．（2019届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．（1）这个几何体模型的名称是．（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格中画出该几何体的左视图．（3）若h=a+b，且a，b满足14a2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．【答案】（1）长方体或底面为长方形的直棱柱；（2）图形略；（3）62．试题解析：解：（1）根据该包装盒的表面展开图知，该几何体模型的名称为：长方体或底面为长方形的直棱柱．故答案为：长方体或底面为长方形的直棱柱；（2）如图所示：；（3）由题意得，（12a﹣1）2+（b﹣3）2=0，则a=2，b=3，所以h=a+b=2+3=5．所以表面积为：2（2×3+5×2+3×5）=62．考点：1．因式分解的应用；2．由三视图判断几何体；3．作图-三视图．7．（2019届北京市门头沟区中考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线214y x bx c =-++经过点A（4，0）和B（0，2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C，点B关于抛物线对称轴对称的点为D，求直线CD的表达式；（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A，B之间的部分（含点A，B）为图象G，如果图象G向上平移m（m＞0）个单位后与直线CD只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．【答案】（1）211242y x x =-++；（2）1542y x =-+；（3）0.5＜m ≤1.5．试题解析：解：（1）∵ 抛物线214y x bx c=-++经过点A （4，0）和B （0，2）．∴ 2144042b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得 122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴ 此抛物线的表达式为211242y x x =-++；（2）∵()221119214244y x x x =-++=--+， ∴ C （1，94）．∵ 该抛物线的对称轴为直线x=1，B （0，2），∴ D （2，2）．设直线CD 的表达式为y=kx+b ．由题意得 9422k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得 1452k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴ 直线CD 的表达式为1542y x =-+．（3）0.5＜m≤1.5．考点：二次函数综合题．8．（2019届湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学中考模拟考试数学试卷）如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出AE和FG的长度．（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值（如图3）．（3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．【答案】（1）∴AE=25，FG=10．（2）当0≤x≤4时，2154y x x=-+；当4＜x≤10时，y=－2x+24，当y=10时，x=7或10 x=-当0≤x≤4时，()22115102544y x x x=-+=--+，顶点为（10，25），∴当0≤x≤4时，0≤y≤16．当4＜x≤10时，y=－2x+24，4≤y＜16．∴当4≤y<16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积y可能相等．当0≤y＜4或y=16时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．试题解析：（1）过B作BM⊥AE于M．由AB=BE=5，BC=4．∴CE=3．∴DE=2．∴AE=．。

中考数学专题复习实验操作试题【含解析】

实验操作专题实验操作型试题是近几年中考数学的热点试题，这类试题就是让同学们在通过实际操作的基础上设计的问题，需要动手操作（包括裁剪、折叠、拼图等），合情猜想和验证，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，不但有利于培养同学们的创新能力和实践能力，更有助于养成实验研究的习惯，体现新课程理念.，符合新课程标准强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，因此，实验与操作问题将成为今后中考的热点题型. 一、折叠类例1 如图1，小娟将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（图①），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（图②），再将图②的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（图③），则图③中的等腰直角三角形的一条腰长为________；同上操作，若小娟连续将图①的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形（图n+1）的一条腰长为_______.分析：已知图①的等腰直角三角形的直角边长为1，即112-⎛⎝⎭，则可以利用勾股定理求出其斜边的长为，通过第一次折叠后，图①的等腰直角三角形的斜边的一半即变成图②的直角边，即图②的直角边长为2，即212-⎛⎫⎪⎪⎝⎭，同理，可以得到图③的直角边长为12，即312-⎛⎫⎪⎪⎝⎭，图④的直角边长为4，即412-⎛⎝⎭，由此可以猜想第n个图形中的等腰直角三角形的腰长为12n-⎛⎫⎪⎪⎝⎭，折叠n次后所得到的等腰直角三角形，即如图n+1的一条腰长为11n+-⎝⎭，即n⎝⎭.解：图③中的等腰直角三角形的一条腰长为12；将图①的等腰直角三角形折叠n次后所得到的第n+1个等腰直角三角形的一条腰长为n⎝⎭.①②③n+1图1１２评注：求解本题时，一定要动手操作，经过大胆地猜想、归纳与验证，即可获得正确的结果.跟踪训练:1. 如图，将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（直角三角形的中位线）剪去上面的小直角三角形.将留下的纸片展开，得到的图形是（）2. 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A ．10 cm 2B ．20 cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2第2题图二、裁剪类例2 如图2，有一块边长为1米的正方形钢板，被裁去长为14米、宽为16米的矩形两角，现要将剩余部分重新裁成一正方形，使其四个顶点在原钢板边缘上，且P 点在裁下的正方形一边上，问：如何剪裁使得该正方形面积最大？最大面积是多少？图2 图3分析：本题是一道与正方形裁剪有关的操作型问题，解决问题首先要画出草图，然后从A B CD 第1题图 A B C D３图形中寻找解决问题的模型．如何剪裁使得该正方形面积最大，实际上是确定正方形顶点的位置，可借助相似三角形的性质构造方程解决．解：如图3，设原正方形为ABCD ，正方形EFGH 是要裁下的正方形，且EH 过点P ．设AH=x ，则BE=AH=x ，AE=1-x ．∵MP∥AH，∴△EMP∽△EAH．∴111641x x x--=-．整理，得12x 2-11x+2=0．解得114x =，223x =．当14x =时，221151448EFGH S ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正方形．当23x =时，22225513398EFGH S ⎛⎫⎛⎫=+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正方形．∴当BE ＝DG ＝14米，BF ＝DH ＝34米时，裁下的正方形面积最大，最大面积为58米2．评注：解决问题利用相似三角形的性质构造方程，并借助一元二次方程的知识解决，既体现数形结合思想，又体现了方程思想．例3 如图4，将正方形沿图中虚线（其中x ＜y ）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个．．．．．．矩形（非正方形）．（1）画出拼成的矩形的简图；（2）（2）求xy的值．分析：拼接时抓住相等的边进行拼接（重合），再利用面积相等写出等式，合理整理就可求出（2）的值.解：（1）如图4.（2）解法一：由拼图前后的面积相等，得[(x+y)+y]y=(x+y)2.∵y ≠0，整理,得01)(2=-+yx yx .解得215-=yx （负值不合题意，舍去）.解法二：由拼成的矩形可知yxy y x y x =+++)(.以下同解法一．跟踪训练：3.如图，△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°,AC=BC=2.图4 ②④① ③４（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图①），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.（2）图①中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S 1；按照甲种剪法，在余下的△ADE 和△BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形的面积和为S 2 (如图②)，则S 2= ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方第3题图形的面积和为S 3 (如图③)；继续操作下去…则第10次剪取时，S 10= . （3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.三、探究类例4 如图6，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图②），量得他们的斜边长为10 cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图③的形状，但点B ，C ，F ，D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图③至图④中统一用F 表示）. 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.（1）将图③中的△ABF 沿BD 向右平移到图④的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图③中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图⑤的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；（3）将图③中的△ABF 沿直线AF 翻折到图⑥的位置，AB 1交DE 于点H ，请说明AH ＝DH.图6分析：（1）根据题意，由对图形的操作过程可知图形平移的距离就是线段BC 的长. （2）依题意运用勾股定理求解.EBQ④ ⑥ ⑤ ③ ②①５（3）要说明AH ＝DH ，由于∠FAB 1＝∠EDF ＝30°，可知FD ＝FA ，EF ＝FB ＝FB 1，从而得到AE ＝DB 1，可以说明△AHE ≌△DHB 1，问题得解.解：（1）图形平移的距离就是线段BC 的长.∵在Rt△ABC 中，斜边长为10cm ，∠BAC＝30°，∴BC ＝5cm ，即平移的距离为5cm.（2）∵∠A 1FA ＝30°，∴∠GFD＝60°，∠D＝30°.∴∠FGD ＝90°.在Rt △EFD 中，ED ＝10 cm ，∵FD ＝，∴FGcm. （3）在△AHE 与△DHB 1中，∵∠FAB 1＝∠EDF ＝30°，∴FD ＝FA ，EF ＝FB ＝FB 1， ∴FD －FB 1＝FA －FE ，即AE ＝DB 1.又∵∠AHE ＝∠DHB 1，∴△AHE ≌△DHB 1，∴AH ＝DH.评注：动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明，同时，从动手操作中学到知识，从操作中得到结论，这些都是借助图形的平移、旋转，读者应注意多加体会.跟踪训练： 4.，我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD （AB >AD ）中，以短边AD 为一边作正方形AEFD ；（2）探究：在（1）中的四边形EBCF 是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．第4题图参考答案1. 此题我们可以用一张纸按图示过程动手剪一剪，选A.2. 剪下来的图形展开前是一个直角三角形，它的面积是所求菱形面积的四分之一；易知直角三角形的两直角边分别为2，25，∴菱形面积为4S △=4×21×2×25=10，故选A.3.解： (1)如图甲，由题意，得AE=DE=EC.因为AC=2,所以EC=1,S 正方形CFDE=1.如图乙，设MN=x ，则由题意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x.33x x ∴==解得，28(39PNMQ S ∴==正方形.６又819>∴甲种剪法所得的正方形的面积更大注：图甲可另解为：由题意得点D ，E ，F 分别为AB,AC,BC 的中点，112ABCCFDE S S ==正方形.(2)212S =，10912S =. (3)探索规律可知112n n S -=,剩余三角形的面积和为()12109911112212422S S S ⎛⎫-+++=-++++= ⎪⎝⎭. 4．解：（1）如图所示．第4题图（2）四边形EBCF 是黄金矩形．证明：由题意知，215-=AB AD ,所以AD=215-AB ．因为四边形ADFE是正方形，所以AD=AE.所以在四边形EBCF中215215215-=---=-=AB ABAB ADAFAB BC BF ，所以四边形EBCF 是黄金矩形. （3）在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形．。

中考数学专题：操作探究题

【解答】(1)正确画图(参考图①～图④，画出一个即可)．
(2)正确画图(参考图⑤～图⑧，画出一个即可)
例 2 (2012· 广安)现有一块等腰三角形纸板，量得周长为 32 cm，底比一腰多 2 cm.若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和．
2．设计测量方案对于较高不能直接测量或有障碍物不能直接进行测量的物体，利用所学数学知识，设计测量方案，得出测量结果．
3．动手操作题动手操作题可分为图形折叠型动手操作题、图形拼接型动手操作题、图形分割型动手操作题和作图型动手操作题等类型．类型一：图形折叠型动手操作题图形折叠型动手操作题就是通过图形的折叠来研究它的相关结论．类型二：图形拼接型动手操作题图形拼接问题就是将已知的若干个图形重新拼合成符合条件的新图形．
【点拨】(1)根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点 A′，设点 B 表示的数为 a，根据题意列出方程求解即可得到点 B 表示的数，设点 E 表示的数为 b，根据题意列出方程计算即可得解． (2)先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点 F 的坐标为 (x，y)，根据平移规律列出方程组求解即可．
图①中，∵AB＝10，∴四边形的两条对角线长的和是 10×2＝20(cm)；图②中，AD＝ AE2＋DE2＝ 162＋62＝2 73， ∴四边形的两条对角线长的和是：AD＋BC＝2 73＋ 6(cm)；图③中，BC＝ BE2＋CE2＝ 122＋82 ＝4 13，∴四边形的两条对角线长的和是：BC＋AD＝4 13＋8(cm)； AC×BC 1 1 图④中， △ABC＝ AC×BC＝ AB×OC， S ∴OC＝ AB 2 2 24 24 ＝， ∴ 四边形的两条对角线长的和是： ×2 ＋ 10 ＝ 5 5 19.6(cm)．

2022年中考复习《操作与探究》专项练习附答案

操作与探究1、〔13年北京5分22〕阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为)2(>a a 的正方形ABCD 各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ 的面积。

小明发现：分别延长QE ，MF ，NG ，PH ，交FA ，GB ，HC ，ED 的延长线于点R ，S ，T ，W ，可得△RQF ，△SMG ，△TNH ，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形〔如图2〕请答复：〔1〕假设将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形〔无缝隙，不重叠〕，那么这个新的正方形的边长为__________；〔2〕求正方形MNPQ 的面积。

参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC 各边上分别截取AD=BE=CF ，再分别过点D ，E ，F 作BC ，AC ，AB 的垂线，得到等边△RPQ ，假设33=∆RPQ S ，那么AD 的长为__________。

解析：考点：操作与探究〔旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形〕2、〔2021成都市〕如图，A B C ，，，为⊙O 上相邻的三个n 等分点，弧AB BC =，点E 在弧BC 上，EF 为⊙O 的直径，将⊙O 沿EF 折叠，使点A 与'A 重合，连接'EB ，EC ，'EA .设'EB b =，EC c =，'EA p =.先探究,,b c p 三者的数量关系：发现当3n =时，p b c =+.请继续探究,,b c p 三者的数量关系：当4n =时，p =_______；当12n =时，p =_______. 〔参考数据：62sin15cos 754-==， 62cos15sin 754+==〕答案：c b ±2； c b 21322-+或c b --226解析：3、〔2021山西，21，8分〕〔此题8分〕如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点。

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中考数学专题复习——操作探究一.选择题1．（2018•临安•3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．102. （2018•嘉兴•3 分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）3. （2018•广西南宁•3 分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△CDP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c os∠ADF 的值为（）A．1113B．1315C．1517D．17194.（2018•海南•3 分）如图1，分别沿长方形纸片A BCD 和正方形纸片E FGH 的对角线A C，EG 剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形O PQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面积为50，则正方形E FGH 的面积为（）A．24 B．25 C．26 D．27二、填空题1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A落在D C 边上的点F处，折痕为D E，点E在A B 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C落在直线A E 上的点H处，折痕为D G，点G在B C 边上，若AB=AD+2，EH=1，则A D= 。

2.（2018•临安•3 分.）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5 个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）．3.（2018•金华、丽水•4分）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形A BCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边A B，BC上，三角形①的边G D在边A D上，则ABBC的值是．4. （2018·湖北省恩施·3 分）在Rt△ABC 中，AB=1，∠A=60°，∠AB C=90°，如图所示将R t△ABC沿直线l无滑动地滚动至R t△DE F，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为．（结果不取近似值）5.（2018•贵州贵阳•8 分）如图①，在 R t△ABC 中，以下是小亮探究sin a A 与sin bB之间关系的方法：∵sin A=a c ，sinB=b c ∴c =sin a A ，c=sin b B∴sin a A =sin b B根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC 中，探究sin a A 、sin b B 、sin cC之间的关系，并写出探究过程．三.解答题1.（2018•江苏无锡•10 分）如图，平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 A C ，它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和点 C ，且使∠AB C=90°，△ABC 与△AOC 的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线 A C 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线 A C ，并写出与之对应的函数表达式．2.（2018•江苏徐州•7 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为（1，0）①画出△A BC 关于 x 轴对称的△A 1B 1C 1；②画出将△ABC 绕原点 O 按逆时针旋转 90°所得的△A 2B 2C 2；③△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2 成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．3.（2018•山东东营市•10 分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△A BC 中，点O在线段B C 上，∠BA O=30°，∠O AC=75°，AO=BO：CO=1：3，求A B 的长．经过社团成员讨论发现，过点B作B D∥A C，交A O 的延长线于点D，通过构造△A BD 就可以解决．问题（如图2）请回答：∠ADB= 75 °，AB= ．（2）请参考以上解决思路，解决问题：在四边形A BCD 中，对角线A C 与B D 相交于点O，A C⊥AD，A O=ABC=∠A CB=75°，如图3，BO：OD=1：3，求D C 的长．4.（2018•山东济宁市•7分）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T 型尺（CD 所在的直线垂直平分线段AB）．（1）在图1 中，请你画出用T 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N 之间的距离，就可求出环形花坛的面积”如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．5.一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠A PB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△B PC 绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接P P′，求出∠APB的度数；思路二：将△A PB 绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接P P′，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形A BCD 外一点，PA=3，PB=1，PB 的度数．答案详解一.选择题（2018•临安•3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左1．图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．10【分析】本题考查空间想象能力．【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影部分的面积是16÷4=4．故选：B．【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系2. （2018•嘉兴•3分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】A【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在【解析】正方形的对角线上, 根据③的剪法，中间应该是一个正方形.【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.故选A．【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键．3. （2018•广西南宁•3分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△C DP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c o s∠ADF 的值为（）A．1113B．1315C．1517D．1719【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE.CP=EP，由∠EOF=∠B OP、∠B=∠E.OP=OF 可得出△OE F≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出O E=OB.EF=BP，设E F=x，则B P=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出A F=1+x，在R t△DAF 中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出c o s∠A DF 的值．【解答】解：根据折叠，可知：△D CP≌△DE P，∴DC=DE=4，CP=EP．在△O EF 和△O BP 中，EOF BOPB EOP OF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△O EF≌△OB P（AAS），∴OE=OB，EF=BP．设E F=x，则B P=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵B F=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在R t△DAF中，AF 2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=35，∴DF=4﹣x=175，∴co s∠AD F=AD DF=1517．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合 A F=1+x ，求出 A F 的长度是解题的关键．4.（2018•海南•3 分）如图 1，分别沿长方形纸片 A BCD 和正方形纸片 E FGH 的对角线 A C ，EG 剪开，拼成如图 2 所示的▱KLMN ，若中间空白部分四边形 O PQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面积为 50，则正方形 E FGH 的面积为（）A ．24B ．25C ．26D ．27【分析】如图，设 P M=PL=NR=AR=a ，正方形 O RQP 的边长为 b ，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，设 P M=PL=NR=AR=a ，正方形 O RQP 的边长为 b ．由题意：a 2+b 2+（a+b ）（a ﹣b ）=50， ∴a 2=25，∴正方形 E FGH 的面积=a 2=25，故选：B ．【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二.填空题1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点 A 落在 D C 边上的点 F 处，折痕为 D E ，点 E 在 A B 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点 C 落在直线 A E 上的点 H 处，折痕为 D G ，点 G 在 B C 边上，若 AB=AD+2，EH=1，则 A D= 。

中考数学专题复习——操作探究(详细答案)

中考专题复习第39课时 操作探究型问题