2020版【5年高考3年模拟】高考新课标版理数6.4 数列求和、数列的综合应用

6.4 数列求和、数列的综合应用挖命题【考情探究】分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等.破考点【考点集训】考点一数列求和1.(2017湖南郴州第一次教学质量监测,6)在等差数列{a n}中,a4=5,a7=11.设b n=(-1)n·a n,则数列{b n}的前100项之和S100=( )A.-200B.-100C.200D.100答案 D2.(2018湖北东南省级示范高中联考,15)已知S n为{a n}的前n项和,若a n(4+cosnπ)=n(2-cos nπ),则S88等于.答案23323.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,13)若{a n},{b n}满足a nb n=1,a n=n2+3n+2,则{b n}的前2018项和为.答案考点二数列的综合应用1.(2018福建漳州期末调研测试,5)等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项均为1,公差与公比均为3,则++=( )A.64B.32C.38D.33答案 D2.(2017陕西西安铁一中第五次模拟,9)已知数列{a n}满足a n=log(n+1)(n+2)(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·a3·…·a n为整数的数n叫做“优数”,则在区间(1,2004)内的所有“优数”的和为( ) A.1024 B.2003 C.2026 D.2048答案 C3.已知a n=3n(n∈N*),记数列{a n}的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,k≥3n-6恒成立,则实数k的取值范围是.答案k≥炼技法【方法集训】方法1 错位相减法求和1.(2018福建闽侯第八中学期末,16)已知数列{na n}的前n项和为S n,且a n=2n,则使得S n-na n+1+50<0的最小正整数n的值为.答案52.(2018河南安阳第二次模拟,17)设等差数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S n)在函数f(x)=x2+Bx+C-1(B,C∈R)的图象上,且a1=C.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记b n=a n(-+1),求数列{b n}的前n项和T n.解析(1)设数列{a n}的公差为d,则S n=na1+-d=n2+-n,又S n=n2+Bn+C-1,两式对照得-解得所以a1=1,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1(n∈N*).(2)由(1)知b n=(2n-1)(2·2n-1-1+1)=(2n-1)2n,则T n=1×2+3×22+…+(2n-1)·2n,2T n=1×22+3×23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,两式相减得T n=(2n-1)·2n+1-2(22+…+2n)-2=(2n-1)·2n+1-2×----2=(2n-3)·2n+1+6.方法2 裂项相消法求和1.(2018湖南株洲醴陵第二中学、第四中学联考,3)数列的前2017项的和为( )A. B. C.+1 D.答案 B2.(2018湖南邵阳期末,15)设数列{(n2+n)a n}是等比数列,且a1=,a2=,则数列{3n a n}的前15项和为.答案3.(2017广东潮州二模,16)已知S n为数列{a n}的前n项和,a n=2·3n-1(n∈N*),若b n=,则b1+b2+…+b n= .答案--过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一数列求和1.(2017课标Ⅱ,15,5分)等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,则= .答案2.(2015课标Ⅰ,17,12分)S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0,+2a n=4S n+3.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和.解析(1)由+2a n=4S n+3,可知+2a n+1=4S n+1+3.可得-+2(a n+1-a n)=4a n+1,即2(a n+1+a n)=-=(a n+1+a n)(a n+1-a n).由于a n>0,所以a n+1-a n=2.又由+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以{a n}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n=2n+1.(6分)(2)由a n=2n+1可知b n===-.设数列{b n}的前n项和为T n,则T n=b1+b2+…+b n=-+-+…+-=.(12分)思路分析(1)由+2a n=4S n+3,得+2a n+1=4S n+1+3,两式相减得出递推关系,再求出a1,利用等差数列的通项公式可得通项.(2)利用裂项相消法求T n-.考点二数列的综合应用1.(2017课标Ⅰ,12,5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110答案 A2.(2016课标Ⅱ,17,12分)S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{b n}的前1000项和.解析(1)设{a n}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以{a n}的通项公式为a n=n.b1=[lg1]=0,b11=[lg11]=1,b101=[lg101]=2.(6分)(2)因为b n=(9分)所以数列{b n}的前1000项和为1×90+2×900+3×1=1893.(12分)思路分析(1)先求公差,从而得通项a n,再根据已知条件求b1,b11,b101.(2)分析出{b n}中项的规律,进而求出数列{b n}的前1000项和.B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一数列求和1.(2018天津,18,13分)设{a n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为S n(n∈N*),{b n}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设数列{S n}的前n项和为T n(n∈N*).(i)求T n;(ii)证明=-2(n∈N*).解析(1)设等比数列{a n}的公比为q.由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故a n=2n-1.设等差数列{b n}的公差为d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故b n=n.所以,数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,数列{b n}的通项公式为b n=n.=2n-1,(2)(i)由(1),有S n=--故T n=--=--n=2n+1-n-2.-(ii)证明:因为=--==-,所以,=-+-+…+-=-2.2.(2016山东,18,12分)已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n,{b n}是等差数列,且a n=b n+b n+1.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)令c n=,求数列{c n}的前n项和T n.解析(1)由题意知,当n≥2时,a n=S n-S n-1=6n+5.当n=1时,a1=S1=11,所以a n=6n+5.设数列{b n}的公差为d.由即可解得b1=4,d=3.所以b n=3n+1.(2)由(1)知c n==3(n+1)·2n+1.又T n=c1+c2+…+c n,得T n=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],2T n=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],两式作差,得-T n=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=3×---=-3n·2n+2.所以T n=3n·2n+2.考点二数列的综合应用1.(2015福建,8,5分)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9答案 D2.(2018浙江,20,15分)已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{b n}满足b1=1,数列{(b n+1-b n)a n}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列{b n}的通项公式.解析(1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20得8=20,解得q=2或q=,因为q>1,所以q=2.(2)设c n=(b n+1-b n)a n,数列{c n}的前n项和为S n.由c n=--解得c n=4n-1.由(1)可知a n=2n-1,所以b n+1-b n=(4n-1)·-,故b n-b n-1=(4n-5)·-,n≥2,b n-b1=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)·-+(4n-9)·-+…+7·+3.设T n=3+7·+11·+…+(4n-5)·-,n≥2,T n=3·+7·+…+(4n-9)·-+(4n-5)·-,所以T n=3+4·+4·+…+4·--(4n-5)·-,因此T n=14-(4n+3)·-,n≥2,又b1=1,所以b n=15-(4n+3)·-.C组教师专用题组考点一数列求和1.(2017天津,18,13分)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b2n-1}的前n项和(n∈N*).解析(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因为q>0,所以q=2.所以,b n=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.由S11=11b4,可得a1+5d=16②,联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得a n=3n-2.所以,数列{a n}的通项公式为a n=3n-2,数列{b n}的通项公式为b n=2n.(2)设数列{a2n b2n-1}的前n项和为T n,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2n b2n-1=(3n-1)×4n,故T n=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4T n=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=---4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得T n=-×4n+1+.所以,数列{a2n b2n-1}的前n项和为-×4n+1+.方法总结(1)等差数列与等比数列中有五个量a1,n,d(或q),a n,S n,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和d(或q),问题可迎刃而解.(2)数列{a n}是公差为d的等差数列,{b n}是公比q≠1的等比数列,求数列{a n b n}的前n项和适用错位相减法.2.(2015湖北,18,12分)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.解析(1)由题意有,即解得或故--或-(2)由d>1,知a n=2n-1,b n=2n-1,故c n=--,于是T n=1+++++…+--,①T n=+++++…+-.②①-②可得T n=2+++…+---=3-,故T n=6--.3.(2015天津,18,13分)已知数列{a n}满足a n+2=qa n(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{a n}的通项公式;(2)设b n=-,n∈N*,求数列{b n}的前n项和.解析(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q≠1,故a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2.当n=2k-1(k∈N*)时,a n=a2k-1=2k-1=-;当n=2k(k∈N*)时,a n=a2k=2k=.所以,{a n}的通项公式为a n=-为奇数为偶数(2)由(1)得b n=-=-.设{b n}的前n项和为S n,则S n=1×+2×+3×+…+(n-1)×-+n×-,S n=1×+2×+3×+…+(n-1)×-+n×,上述两式相减,得S n=1+++…+--=---=2--,整理得,S n=4--.所以,数列{b n}的前n项和为4--,n∈N*.4.(2014江西,17,12分)已知首项都是1的两个数列{a n},{b n}(b n≠0,n∈N*)满足a nb n+1-a n+1b n+2b n+1b n=0.(1)令c n=,求数列{c n}的通项公式;(2)若b n=3n-1,求数列{a n}的前n项和S n.解析(1)因为a n b n+1-a n+1b n+2b n+1b n=0,b n≠0(n∈N*),所以-=2,即c n+1-c n=2.所以数列{c n}是以1为首项,2为公差的等差数列,故c n=2n-1. (2)由(1)及b n=3n-1知a n=c n b n=(2n-1)3n-1,于是数列{a n}的前n项和S n=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1,3S n=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,相减得-2S n=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,所以S n=(n-1)3n+1.5.(2014山东,19,12分)已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=(-1)n-1,求数列{b n}的前n项和T n.解析(1)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,S4=4a1+×2=4a1+12,所以由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以a n=2n-1.(2)b n=(-1)n-1=(-1)n-1-=(-1)n-1-.当n为偶数时,T n=-+…+----=1-=.当n为奇数时,T n=-+…--+-+-+=1+=.所以T n=为奇数为偶数或--考点二数列的综合应用1.(2018江苏,14,5分)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}.记S n为数列{a n}的前n项和,则使得S n>12a n+1成立的n 的最小值为.答案272.(2018江苏,20,16分)设{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,{b n}是首项为b1,公比为q 的等比数列.(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|a n-b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1,],证明:存在d∈R,使得|a n-b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).解析(1)由条件知a n=(n-1)d,b n=2n-1.因为|a n-b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得≤d≤.因此,d的取值范围为.(2)由条件知:a n=b1+(n-1)d,b n=b1q n-1.若存在d∈R,使得|a n-b n|≤b1(n=2,3,…,m+1)均成立,即|b1+(n-1)d-b1q n-1|≤b1(n=2,3,…,m+1).即当n=2,3,…,m+1时,d满足---b1≤d≤--b1.因为q∈(1,所以1<q n-1≤q m≤2,从而---b1≤0,--b1>0,对n=2,3,…,m+1均成立.因此,取d=0时,|a n-b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立.下面讨论数列---的最大值和数列--的最小值(n=2,3,…,m+1).①当2≤n≤m时,-----=----=----,当1<q≤时,有q n≤q m≤2,从而n(q n-q n-1)-q n+2>0.因此,当2≤n≤m+1时,数列---单调递增,故数列---的最大值为-.②设f(x)=2x(1-x),当x>0时,f'(x)=(ln2-1-xln2)2x<0.所以f(x)单调递减,从而f(x)<f(0)=1.当2≤n≤m时,--=-≤-=f<1.因此,当2≤n≤m+1时,数列--单调递减,故数列--的最小值为.因此,d的取值范围为-.3.(2015安徽,18,12分)设n∈N*,x n是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)记T n=…-,证明:T n≥.解析(1)y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2.从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标x n=1-=.(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知T n=…-=…-.当n=1时,T1=.当n≥2时,因为-=-=->--=-=-.所以T n>×××…×-=.综上可得对任意的n∈N*,均有T n≥.4.(2015陕西,21,12分)设f n(x)是等比数列1,x,x2,…,x n的各项和,其中x>0,n∈N,n≥2.(1)证明:函数F n(x)=f n(x)-2在内有且仅有一个零点(记为x n),且x n=+;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n(x),比较f n(x)和g n(x)的大小,并加以证明.解析(1)证明:F n(x)=f n(x)-2=1+x+x2+…+x n-2,则F n(1)=n-1>0,F n=1+++…+-2=---2=-<0,所以F n(x)在内至少存在一个零点.又F'n(x)=1+2x+…+nx n-1>0,故F n(x)在内单调递增,所以F n(x)在内有且仅有一个零点x n.因为x n是F n(x)的零点,所以F n(x n)=0,即---2=0,故x n=+.(2)由题设知,g n(x)=.设h(x)=f n(x)-g n(x)=1+x+x2+…+x n-,x>0.当x=1时,f n(x)=g n(x).当x≠1时,h'(x)=1+2x+…+nx n-1--.若0<x<1,则h'(x)>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-x n-1 =x n-1-x n-1=0.若x>1,则h'(x)<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-x n-1=x n-1-x n-1=0.所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)<h(1)=0,即f n(x)<g n(x).综上所述,当x=1时,f n(x)=g n(x);当x≠1时,f n(x)<g n(x).5.(2015重庆,22,12分)在数列{a n}中,a1=3,a n+1a n+λa n+1+μ=0(n∈N+).(1)若λ=0,μ=-2,求数列{a n}的通项公式;(2)若λ=(k0∈N+,k0≥2),μ=-1,证明:2+<<2+.解析(1)由λ=0,μ=-2,得a n+1a n=2(n∈N+).若存在某个n0∈N+,使得=0,则由上述递推公式易得-=0.重复上述过程可得a1=0,此与a1=3矛盾,所以对任意n∈N+,a n≠0.从而a n+1=2a n(n∈N+),即{a n}是一个公比q=2的等比数列.故a n=a1q n-1=3·2n-1.(2)证明:若λ=,μ=-1,则数列{a n}的递推关系式变为a n+1a n+a n+1-=0,变形为a n+1=(n∈N+).由上式及a1=3>0,归纳可得3=a1>a2>...>a n>a n+1> 0因为a n+1==-=a n-+·,所以对n=1,2,…,k0求和得=a1+(a2-a1)+…+(-) =a1-k0·+·…>2+·…个=2+.另一方面,由上已证的不等式知a1>a2>…>>>2,得=a1-k0·+·…<2+·…个=2+.综上,2+<<2+.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019届江西抚州七校高三10月联考,11)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1=a2=1,S n=a n+2-1,则下列命题错误的是( )A.a n+2=a n+1+a nB.a1+a3+a5+…+a99=a100C.a2+a4+a6+…+a98=a99D.S1+S2+S3+…+S98=S100-100答案 C2.(2019届山西太原高三阶段性考试,10)已知集合P={x|x=2n,n∈N*},Q={x|x=2n-1,n∈N*},将P∪Q中的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n},记S n为数列{a n}的前n项和,则使得S n<1000成立的n的最大值为( )A.9B.32C.35D.61答案 C3.(2018福建厦门第一学期期末质检,7)已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n+1a n=2,则其前100项和为( )A.250B.200C.150D.100答案 D4.(2018河北衡水中学八模,8)已知函数f(x)=a x+b(a>0,且a≠1)的图象经过点P(1,3),Q(2,5).当n∈N*时,a n=-,记数列{a n}的前n项和为S n,当S n=时,n的值为( )A.7B.6C.5D.4答案 D5.(2018四川南充模拟,11)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=,a n+1=则-S2018等于( )A. B. C. D.答案 B6.(2018百校联盟TOP20三月联考,12)已知数列{a n}的通项公式为a n=-为奇数为偶数则数列{3a n+n-7}的前2n项和的最小值为( )A.-B.-C.-D.-答案 D二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2019届山西太原高三上学期阶段性考试,15)在数列{a n}中,a1=1,a n=-a n-1(n≥2),记S n为数列的前n项和,若S n=,则n= .答案498.(2018安徽皖南八校第三次联考,16)已知数列{a n}的前n项和为S n=2n+1,b n=log2(·),数列{b n}的前n项和为T n,则满足T n>1024的n的最小值为.答案99.(2017河北“五个一名校联盟”二模,16)已知数列{a n}的前n项和为S n,S n=n2+2n,b n=a n a n+1cos[(n+1)π],数列{b n}的前n项和为T n,若T n≥tn2对n∈N*恒成立,则实数t的取值范围是.答案(-∞,-5]三、解答题(共25分)10.(2019届全国I卷五省优创名校联考,17)设数列{a n}的前n项和为S n,a1=3,且S n=na n+1-n2-n.(1)求{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=-,求{b n}的前n项和T n.解析(1)由条件知S n=na n+1-n2-n,①当n=1时,a2-a1=2;当n≥2时,S n-1=(n-1)a n-(n-1)2-(n-1),②①-②得a n=na n+1-(n-1)a n-2n,整理得a n+1-a n=2.综上可知,数列{a n}是首项为3、公差为2的等差数列,故a n=2n+1.(2)由(1)得b n==-,所以T n=--…-=-=-.11.(2018安徽淮南一模,17)已知数列{a n}为等差数列,且a3=5,a5=9,数列{b n}的前n项和为S n=b n+.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)设c n=a n|b n|,求数列{c n}的前n项和T n.解析(1)∵数列{a n}为等差数列,且a3=5,a5=9,=-=2,∴a1=a3-2d=5-4=1,∴d=--∴a n=1+(n-1)×2=2n-1.∵数列{b n}的前n项和为S n=b n+,∴n=1时,S1=b1+,由S1=b1,解得b1=1,当n≥2时,b n=S n-S n-1=b n-b n-1,∴b n=-2b n-1,∴{b n}是首项为1,公比为-2的等比数列,∴b n=(-2)n-1.(2)c n=a n|b n|=(2n-1)·2n-1,∴数列{c n}的前n项和T n=1×1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1,∴2T n=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n,两式相减,得:-T n=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n-(2n-1)·2n=1+2×--=1+2n+1-4-(2n-1)·2n=-3+(3-2n)·2n,∴T n=(2n-3)·2n+3.易错警示在利用错位相减法求和时,注意相减后的项求和.如本题-T n=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n中,对于2+22+…+2n-1的求解,利用S n=-(q≠1)更好一些.-。