因式分解公式法、十字相乘法教师版
(完整版)十字相乘法因式分解讲义2
课题因式分解十字相乘法1、认识因式分解的意义。
教课目的2、娴熟运用适合的方法进行因式分解。
要点：因式分解的观点以及运用提取公因式法和公式法分解因式。
要点、难点难点：运用因式分解进行多项式的除法以及解简单的一元二次方程。
教课内容一、概括定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这类变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被宽泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多半学问题的有力工具。
因式分解方法灵巧，技巧性强，学习这些方法与技巧，不单是掌握因式分解内容所必要的，并且对于培育学生的解题技术，发展学生的思想能力，都有着十分独到的作用。
学习它，既能够复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既能够培育学生的察看、注意、运算能力，又能够提升学生综合剖析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
二、因式分解的方法因式分解没有广泛的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在比赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则1分解要完全2最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（比如：-3 x2+x=-x(3x-1)）十字相乘法分解因式1．二次三项式（ 1）多项式ax2bx c ，称为字母的二次三项式，此中称为二次项，为一次项，为常数项．比如： x22x 3 和 x25x 6 都是对于x的二次三项式．（ 2）在多项式x26xy 8y2中，假如把看作常数，就是对于的二次三项式；假如把看作常数，就是对于的二次三项式．（ 3）在多项式2a2b27ab3中，把看作一个整体，即，就是对于的二次三项式．同样，多项式 (x ) 27()12，把看作一个整体，就是对于的二次三项式．y x y2．十字相乘法的依照和详细内容(1) 对于二次项系数为 1 的二次三项式x2(a b)x ab (x a)(x b)方法的特点是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号同样；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，此中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号同样．(2) 对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax 2bx c a1 a2 x2( a1c2a2c1 ) x c1c2(a1x c1 )(a2 x c2 )它的特点是“ 拆两端，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，而后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号同样；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号同样注意：用十字相乘法分解因式，还要注意防止以下两种错误出现：一是没有仔细地考证交错相乘的两个积的和能否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．二、典型例题例 1把以下各式分解因式：(1) x22x 15 ；(2) x25xy 6y 2．例 2把以下各式分解因式：(1) 2x25x 3；(2) 3x28x 3 ．例 3把以下各式分解因式：1）x410x29 ；(2) 7( x y) 35( x y) 22( x y) ；(3) ( a28a) 222(a28a)120 ．例 4分解因式：(x22x 3)( x22x 24)90 ．例 5分解因式6x45x338 x25x6．例 6分解因式x22xy y25x 5y 6．例 7 分解因式： ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－ b)．试一试：把以下各式分解因式：(1) 2x215x 7(2)3a28a 4(3)5x27x 6(4) 6 y211y 10 (5)5a2b223ab 10(6)3a2 b217abxy 10 x2 y2(7)x27xy12 y2 (8)x47x218(9)4m28mn 3n2(10)5x515x3 y20xy2课后练习一、选择题1．假如x2px q( x a)( x b)，那么p 等于()A ． ab B． a＋ b C．－ ab D ．－ (a＋ b)2．假如x2(a b) x 5b x2x 30 ，则b为( )A ． 5B．－ 6C．－ 5 D ． 63．多项式x23x a 可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为( ) A．10和－2B．－10和2C．10 和 2D．－10 和－ 24．不可以用十字相乘法分解的是()A ．x2x2B ．3x210x23x C． 4x 2x 2D．5x26xy 8y2 5．分解结果等于 (x＋ y－ 4)(2x＋ 2y－ 5)的多项式是()A ．2( x y)213(x y)20B．( 2x 2 y)213(x y)20C．2( x y)213( x y)20D．2( x y) 29( x y)206．将下述多项式分解后，有同样因式x－1 的多项式有()① x27x 6 ；② 3x22x 1 ；③ x 25x 6 ；④ 4x25x9；⑤ 15x223x 8；⑥ x 411x212A．2个B．3 个C．4 个D．5 个二、填空题7．x23x 10 8．m25m6__________．(m＋ a)(m＋b)． a＝ __________，b＝ __________ ．9．2x25x 3(x－ 3)(__________) ．10． x2____2y2(x－ y)(__________) ．11．a2n a(_____)(________) 2．m12．当 k＝ ______时，多项式3x27x k 有一个因式为(__________)．13．若 x－ y＝ 6，xy17，则代数式 x3 y2x2 y2xy3的值为__________．36三、解答题14．把以下各式分解因式：(1) x47x2 6 ；(2) x45x236 ；(3) 4x465x 2 y 216 y 4；(4) a67a3b38b6；(5) 6a45a34a2；(6) 4a637a4 b29a2 b4．15．把以下各式分解因式：(1) ( x23)24x2；(2) x2( x 2)29 ；(3) (3x22x 1)2(2x 23x 3)2；(4) ( x2x)217( x2x) 60 ；(5) ( x22x) 27( x22x) 8 ；．16．已知 x＋ y＝ 2， xy＝ a＋4，x3y326 ，求a的值．。
因式分解章节复习(基础,教师版)
因式分解训练知识点1：因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解.注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.知识点2：提取公因式法把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表示为：()ma mb mc m a b c ++=++注意：（i ） 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.（ii ） 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.（iii ）提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列. 提取公因式的步骤“一找”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式；“二提”：就是第二步将所找出的公因式提出来；“三去除”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式.知识点3：运用公式法把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.（ⅰ）平方差公式 22()()a b a b a b -=+-注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么.（ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，清楚a 、b 分别表示的量。
第13讲-因式分解之十字相乘法-教案
【答案】B
例8、把多项式 因式分解是 ，则m、n的值分别是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【试一试】整式 能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有（）
（A）4个.（B）5个.（C）6个.（D）8个.
【答案】C
课堂作业
1．若 能分解成两个一次因式的积，且m为整数，则m不可能是( )D
【分析】先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：1＝1×1；
分解常数项：6=1×6=6×1=(－1)×(－6)=(－6)×(－1) =2×3=3×2=(－2)×(－3)=(－3)×(－2).
【答案】（1）6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5)；（2）5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y)
（3）(x－y)(2x－2y－3)－2
=(x－y)[2(x－y)－3]－2
=2(x－y)2－3(x－y)－2
=[(x－y)－2][2(x－y)+1]
=(x－y－2)(2x－2y+1).
【说明】把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1×3+2×1=5
1×1+2×3=7
1×(－3)+2×(－1)=－5
1×(－1)+2×(－3)=－7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
【答案】2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).
因式分解公式法、十字相乘法-教师版
2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式a b a b a ab b 3322±=±⋅+()() 补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() =++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=（2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。
再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。
同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。
初二下册因式分解公式法、十字相乘法
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.【知识要点】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。
思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：（1）x 2-9 （2）9x 2-6x+1二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5 （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2 (2)4x 2-12xy 2+9y 4四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4 (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
北师大版八年级(下)数学第16讲：分解因式-十字相乘法(教师版)——王琪
分解因式-十字相乘法一. 十字相乘法1.对于二次三项式 ,将a和c分别分解成两个因数的乘积。
2. 规律内涵:(1)把二次三项式分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.3. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.二．分组分解法1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3. 注意: 分组时要注意符号的变化.1．若2x3﹣ax2﹣5x+2=（2x2+ax﹣1）（x﹣b），则a+b=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4解：∵（2x2+ax﹣1）（x﹣b）=2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b，∴2x3﹣ax2﹣5x+2=2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b，∴﹣a=a﹣2b，﹣5=﹣（ab+1），b=2，解得：a=2，b=2，∴a+b=4，故选D2．计算结果为x2+7x﹣18的是（）A．（x+2）（x﹣9）B．（x﹣2）（x+9）C．（x+3）（x+9） D．（x﹣3）（x+6）解：x2+7x﹣18=（x﹣2）（x+9）．故选：B．3．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．22解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．∴a=﹣5，b=11，c=6，则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．故选C．4．多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y解：2x2﹣xy﹣15y2=（2x+5y）（x﹣3y）．故选：B．5．如果多项式x2﹣mx+6分解因式的结果是（x﹣3）（x+n），那么m，n的值分别是（）A．m=﹣2，n=5 B．m=2，n=5 C．m=5，n=﹣2 D．m=﹣5，n=2解：x2﹣mx+6=（x﹣3）（x+n）=x2+（n﹣3）x﹣3n，可得﹣m=n﹣3，﹣3n=6，解得：m=5，n=﹣2．故选C6．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2﹣2x﹣15=（x+3）（x﹣5）C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D．2x+4=2（x+4）解：A、x2﹣4=（x+2）（x﹣2）；故本选项错误；B、x2﹣2x﹣15=（x+3）（x﹣5）；故本选项正确；C、3mx﹣6my=3m（x﹣2y）；故本选项错误；D、2x+4=2（x+2）；故本选项错误．故选B．7．把多项式x2+y2﹣2xy﹣1因式分解的结果是（）A．（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）C．（x+y﹣1）（x﹣y+1） D．（x﹣y+1）（y﹣x+1）解：原式=（x﹣y）2﹣1=（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）故选A8．多项式ab﹣bc+a2﹣c2分解因式的结果是（）A．（a﹣c）（a+b+c）B．（a﹣c）（a+b﹣c）C．（a+c）（a+b﹣c）D．（a+c）（a﹣b+c）解：原式=（ab﹣bc）+a2﹣c2=b（a﹣c）+（a+c）（a﹣c）=（a﹣c）（a+b+c）故选A9．下列因式分解正确的是（）A．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x﹣y﹣1）B．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x+y﹣1）C．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x+y+1）D．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x+y）2﹣1=（2x+y+1）（2x+y﹣1）解：4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x﹣y﹣1）．故选；A．10．下列分解因式正确的是（）A．（x+y）（﹣y）=x﹣y2 B．x2﹣3=（x+1）（x﹣1）﹣2C．a2+b2﹣2ab+1=（a﹣b）2+1 D．x2﹣4xy+4y2=（x﹣2y）2解：（A）等式右边还是多项式，故A错误；（B）等式右边不是整式乘积的形式，故B错误；（C）等式右边不是整式乘积的形式，故C错误；（D）等式左边是一个多项式，右边是乘积形式，故选D11．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3解：∵x2+ax+b=（x+1）（x﹣3），∴a=1﹣3=﹣2，b=﹣3×1=﹣3，故选：B．12．下列多项式变形不正确．．．的是（）A．a2﹣4a+3=（a﹣2）2﹣1 B．a2﹣4a+3=（a﹣1）（a﹣3）C．a2﹣4a+3=（a2﹣a）﹣（3a﹣3） D．a2﹣4a+3=（a﹣）2﹣a解：A、a2﹣4a+3=a2﹣4a+4﹣1=（a﹣2）2﹣1，故本选项不符合题意；B、a2﹣4a+3=（a﹣1）（a﹣3），故本选项不符合题意；C、a2﹣4a+3=（a2﹣a）﹣（3a﹣3），故本选项不符合题意；D、a2﹣4a+3=a2﹣4a+（）2+2a﹣2a=（a﹣）2﹣（4+2）a，故本选项符合题意；故选：D．13．将多项式x2﹣3x﹣4分解因式后正确的是（）A．（x+2）（x﹣2）﹣3x B．x（x﹣3）﹣4 C．（x﹣1）（x+4）D．（x+1）（x﹣4）解：x2﹣3x﹣4=（x+1）（x﹣4）．故选D．14．下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（）A．x2﹣7x+12=x（x﹣7）+12 B．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x+4）C．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4） D．x2﹣7x+12=（x+3）（x+4）解：下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4），故选C15．若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则mn的值为（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10解：由x2+mx﹣15=（x+3）（x+n）=x2+（3+n）x+3n，比较系数，得m=3+n，﹣15=3n，解得m=﹣2，n=﹣5，则mn=（﹣2）×（﹣5）=10．故选：C．16．下列因式分解中正确的是（）A．m2﹣n2=（m﹣n）2 B．3m2﹣6m﹣9=3（m﹣3）（m+1）C．x4﹣2x2y2+y4=（x2﹣y2）2 D．x2﹣3x﹣4=（x+4）（x﹣1）解：A、原式=（m+n）（m﹣n），不符合题意；B、原式=3（m2﹣2m﹣3）=3（m﹣3）（m+1），符合题意；C、原式=（x2﹣y2）2=（x+y）2（x﹣y）2，不符合题意；D、原式=（x﹣4）（x+1），不符合题意，故选B17．下列因式分解错误的是（）A．3x2﹣6xy=3x（x﹣2y） B．x2﹣9y2=（x﹣3y）（x+3y）C．4x2+4x+1=（2x+1）2 D．x2﹣y2+2y﹣1=（x+y+1）（x﹣y﹣1）解：A、3x2﹣6xy=3x（x﹣2y），正确，不合题意；B、x2﹣9y2=（x﹣3y）（x+3y），正确，不合题意；C、4x2+4x+1=（2x+1）2，正确，不合题意；D、x2﹣y2+2y﹣1=x2﹣（y﹣1）2=（x+y﹣1）（x﹣y+1），故此选项错误，符合题意；故选：D．18．因式分解与整数乘法一样，都是一种恒等变形，即在变形的过程中，形变值不变，于是将多项式x2﹣y2+（2x+2y）分解因式的结果为（）A．（x+y）（x﹣y+2） B．（x+y）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y）（x﹣y+2） D．（x﹣y）（x﹣y﹣2）解：x2﹣y2+（2x+2y）=（x+y）（x﹣y）+2（x+y）=（x+y）（x﹣y+2），故选：A．19．能分解成（x+2）（y﹣3）的多项式是（）A．xy﹣2x+3y﹣6 B．xy﹣3y+2x﹣y C．﹣6+2y﹣3x+xy D．﹣6+2x﹣3y+xy解：（x+2）（y﹣3）=xy﹣3x+2y﹣6．故选：C．20．下列各式按如下方法分组后，不能分解的是（）A．（2ax﹣10ay）+（5by﹣bx） B．（2ax﹣bx）+（5by﹣10ay）C．（x2﹣y2）+（ax+ay）D．（x2+ax）﹣（y2﹣ay）解：A．（2ax﹣10ay）+（5by﹣bx）=2a（x﹣5y）+b（5y﹣x）=（x﹣5y）（2a﹣b），故此选项不合题意；B．（2ax﹣bx）+（5by﹣10ay）=x（2a﹣b）+5y（b﹣2a）=（x﹣5y）（2a﹣b），故此选项不合题意；C．（x2﹣y2）+（ax+ay）=（x+y）（x﹣y）+a（x+y）=（x+y）（x﹣y+a），故此选项不合题意；D．（x2+ax）﹣（y2﹣ay）=x（x+a）﹣y（y﹣a），无法分解因式，符合题意．故选：D．基础演练1．若多项式x2+mx+12因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣6），则m的值是（）A．8 B．﹣4 C．﹣8 D．4解：由题意可知：x2+mx+12=（x﹣2）（x﹣6），∴x2+mx+12=x2﹣8x+12∴m=﹣8故选C2．下列因式分解结果正确的是（）A．15a3+10a2=5a（3a2+2a） B．9﹣4x2=（3+4x）（3﹣4x）C．a2﹣10a﹣25=（a﹣5）2 D．a2﹣3a﹣10=（a+2）（a﹣5）解：A、15a3+10a2=5a2（3a+2），故此选项错误；B、9﹣4x2=（3+2x）（3﹣2x），故此选项错误；C、a2﹣10a﹣25无法因式分解，故此选项错误；D、a2﹣3a﹣10=（a+2）（a﹣5），正确．故选：D．3．若把多项式x2+mx﹣6分解因式后含有因式x﹣2，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．3解：设x2+mx﹣6=（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a，可得m=a﹣2，2a=6，解得：a=3，m=1，故选B．4．下列各等式中正确的是（）A．=±2 B．2+=2C．a2﹣a﹣2=（a+1）（a﹣2） D．（a m）n=a m+n解：A、=2，故此选项错误；B、2+无法计算，故此选项错误；C、a2﹣a﹣2=（a+1）（a﹣2），故此选项正确；D、（a m）n=a mn，故此选项错误；故选：C．5．下列因式分解结果正确的是（）A．10a3+5a2=5a（2a2+a）B．4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）解：A、10a3+5a2=5a2（2a+1），故此选项错误；B、4x2﹣9=（2x+3）（2x﹣3），故此选项错误；C、a2﹣2a﹣1，无法因式分解，故此选项错误；D、x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1），此选项正确．故选：D．6．多项式x2﹣11x+30分解因式的结果为（）A．（x+5）（x﹣6）B．（x﹣5）（x+6）C．（x﹣5）（x﹣6）D．（x+5）（x+6）解：x2﹣11x+30=（x﹣5）（x﹣6）．故选：C．7．对于a2﹣2ab+b2﹣c2的分组中，分组正确的是（）A．（a2﹣c2）+（﹣2ab+b2） B．（a2﹣2ab+b2）﹣c2C．a2+（﹣2ab+b2﹣c2） D．（a2+b2）+（﹣2ab﹣c2）解：a2﹣2ab+b2﹣c2=（a2﹣2ab+b2）﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．故选B．8．若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（）A．正数 B．负数 C．非负数D．非正数解：多项式m3﹣m2﹣m+1，=（m3﹣m2）﹣（m﹣1），=m2（m﹣1）﹣（m﹣1），=（m﹣1）（m2﹣1）=（m﹣1）2（m+1），∵m＞﹣1，∴（m﹣1）2≥0，m+1＞0，∴m3﹣m2﹣m+1=（m﹣1）2（m+1）≥0，故选C．9．多项式x2y2﹣y2﹣x2+1因式分解的结果是（）A．（x2+1）（y2+1） B．（x﹣1）（x+1）（y2+1）C．（x2+1）（y+1）（y﹣1）D．（x+1）（x﹣1）（y+1）（y﹣1）解：x2y2﹣y2﹣x2+1=y2（x2﹣1）﹣（x2﹣1）=（y2﹣1）（x﹣1）（x+1）=（y﹣1）（y+1）（x﹣1）（x+1）．故选：D．10．把多项式1+a+b+ab分解因式的结果是（）A．（a﹣1）（b﹣1）B．（a+1）（b+1） C．（a+1）（b﹣1）D．（a﹣1）（b+1）解：1+a+b+ab=（1+a）+b（1+a）=（1+a）（1+b）．故选：B．巩固提高11．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a=﹣2，b=﹣3 B．a=2，b=3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3解：根据题意得：x2+ax+b=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，则a=﹣2，b=﹣3，故选A12．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（）A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣15解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2），x2+15x﹣34=（x+17）（x﹣2），∴乙为x﹣2，∴甲为x+2，丙为x+17，∴甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19．故选：A．13．若多项式x2+px+12可以因式分解为（x+m）（x+n）的形式，且p、m、n均为整数，则满足条件的整数p共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个解：∵多项式x2+px+12可以因式分解为（x+m）（x+n）的形式，且p、m、n均为整数，∴p=±13，±8，±7，共6个，故选C14．对下列各整式因式分解正确的是（）A．2x2﹣x+1=x（2x﹣1）+1 B．x2﹣2x﹣1=（x2﹣1）2C．2x2﹣xy﹣x=2x（x﹣y﹣1）D．x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）解：A、原式不能分解，错误；B、原式=（x﹣1﹣）（x﹣1+），错误；C、原式=x（2x﹣y﹣1），错误；D、原式=（x+2）（x﹣3），正确．故选D．15．下列运算正确的是（）A．×= B．•=1C．﹣2x2﹣3x+5=（1﹣x）（2x+5）D．（﹣a）7÷a3=a4解：A、原式=2×=，错误；B、原式=|a﹣b|•=1或﹣1，错误；C、原式=（1﹣x）（2x+5），正确；D、原式=﹣a4，错误．故选C．16．已知二次三项式x2﹣kx﹣15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k的取值范围有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：根据题意得：﹣15=﹣1×15=1×（﹣15）=﹣3×5=3×（﹣5），可得﹣k=14，﹣14，2，﹣2，解得：k=﹣14，14，﹣2，2，共4个，故选D17．分解因式x2﹣m2+4mn﹣4n2等于（）A．（x+m+2n）（x﹣m+2n）B．（x+m﹣2n）（x﹣m+2n）C．（x﹣m﹣2n）（x﹣m+2n）D．（x+m+2n）（x+m﹣2n）解：x2﹣m2+4mn﹣4n2=x2﹣（m2﹣4mn+4n2）=x2﹣（m﹣2n）2=（x+m﹣2n）（x﹣m+2n）．故选：B．18．分解因式与整式乘法一样，都是一种恒等变形，即在变形的过程中，形变值不变，于是将多项式x2﹣y2+3x﹣3y分解因式的结果为（）A．（x+y+3）（x﹣y）B．（x﹣y一3）（x﹣y）C．（x+y﹣3）（x﹣y） D．（x﹣y+3）（一x﹣y）解：x2﹣y2+3x﹣3y=（x+y）（x﹣y）+3（x﹣y）=（x﹣y）（x+y+3）．故选：A．19．多项式x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8分解因式的结果是（）A．（x﹣5y+1）（x﹣5y﹣8） B．（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）C．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y﹣2）D．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y+2）解：x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8=（x﹣5y）2+2（x﹣5y）﹣8=（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）．故选：B．20．下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a=5a（3a+1） B．﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x）C．ax+x+ay+y=（a+1）（x+y）D．﹣a2﹣4ax+4x2=﹣a（a+4x）+4x2解：A、15a2+5a=5a（3a+1），正确；B、﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x），正确；C、ax+x+ay+y=（ax+ay）+（x+y）=（a+1）（x+y），正确；D、﹣a2﹣4ax+4x2=﹣a（a+4x）+4x2结果不是积的形式，故本选项错误．故选D．1．若x2﹣x﹣n=（x﹣m）（x﹣3），则mn=（）A．6 B．4 C．12 D．﹣12解：∵x2﹣x﹣n=（x﹣m）（x﹣3）=x2﹣（m+3）x+3m，∴m+3=1，﹣n=3m，解得：m=﹣2，n=6，则mn=﹣12．故选D2．若x2﹣px+q=（x﹣2）（x+3），则p﹣q的值为（）A．5 B．7 C．﹣7 D．﹣5解：∵x2﹣px+q=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，∴﹣p=1，q=﹣6，解得：p=﹣1，q=﹣6，则p﹣q=﹣1+6=5，故选A．3．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣7x+12=x（x﹣7）+12 B．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x+4）C．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4） D．x2﹣7x+12=（x+3）（x+4）解；∵x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4），∴只有选项C正确．故选；C．4．把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（）A．（a+1）（b+1） B．（a﹣1）（b﹣1）C．（a+1）（b﹣1）D．（a﹣1）（b+1）解：ab﹣1+a﹣b=（ab﹣b）+（a﹣1）=b（a﹣1）+（a﹣1）=（a﹣1）（b+1）；ab﹣1+a﹣b=（ab+a）﹣（b+1）=a（b+1）﹣（b+1）=（a﹣1）（b+1）．故选D．5．把a2﹣b2+2b﹣1因式分解，正确的是（）A．（a+b）（a﹣b）+2b﹣1 B．（a+b+1）（a﹣b﹣1）C．（a+b﹣1）（a+b+1） D．（a+b﹣1）（a﹣b+1）解：a2﹣b2+2b﹣1=a2﹣（b2﹣2b+1）=a2﹣（b﹣1）2=（a﹣b+1）（a+b﹣1）．故选：D．6．下列因式分解结果正确的是（）A．x2+3x+2=x（x+3）+2 B．4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）D．a2﹣2a+1=（a+1）2解：A、原式=（x+1）（x+2），故本选项错误；B、原式=（2x+3）（2x﹣3），故本选项错误；C、原式=（x﹣2）（x﹣3），故本选项正确；D、原式=（a﹣1）2，故本选项错误；故选：C．7．如果多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），那么下列结论正确的是（）A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=3解：∵多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），∴（3x+2）（x+p）=3x2+（3p+2）x+2p=mx2﹣nx﹣2，∴p=﹣2，3p+2=﹣n，解得：n=1．故选：B．8．已知多项式x2+bx+c分解因式为（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（）A．b=2，c=3 B．b=﹣4，c=3 C．b=﹣2，c=﹣3 D．b=﹣4，c=﹣3解：∵x2+bx+c=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3，∴b=﹣2，c=﹣3．故选：C．9．把x2﹣y2+2y﹣1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y+1）C．（x+y﹣1）（x+y+1） D．（x﹣y+1）（x+y+1）解：原式=x2﹣（y2﹣2y+1）=x2﹣（y﹣1）2=（x+y﹣1）（x﹣y+1），故选B．10．把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（）A．（x+y+3）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）C．（x+y﹣3）（x﹣y+1） D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）解：x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3=（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4）=（x﹣1）2﹣（y+2）2=[（x﹣1）+（y+2）][（x﹣1）﹣（y+2）]=（x+y+1）（x﹣y﹣3）．故选D．1．分解因式x2﹣4x﹣5正确的是（）A．（x﹣5）（x+1）B．（x+5）（x﹣1）C．（x﹣5）（x﹣1）D．（x+5）（x+1）解：x2﹣4x﹣5=（x﹣5）（x+1）．故选：A．2．下列分解因式正确的是（）A．x3﹣x=x（x2﹣1） B．m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2）C．（a+4）（a﹣4）=a2﹣16 D．x2+y2=（x+y）（x﹣y）解：A、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），分解不彻底，故本选项错误；B、运用十字相乘法分解m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2），正确；C、是整式的乘法，不是分解因式，故本选项错误；D、没有平方和的公式，x2+y2不能分解因式，故本选项错误．故选B．3．多项式2x（x﹣2）﹣2+x中，一定含下列哪个因式（）A．2x+1 B．x（x+1）2C．x（x2﹣2x）D．x（x﹣1）解：2x（x﹣2）﹣2+x=2x2﹣3x﹣2=（x﹣2）（2x+1）．所以多项式2x（x﹣2）﹣2+x中，一定含因式（x﹣2）或（2x+1）．故选：A．4．已知（2x﹣9）（3x﹣2）﹣（3x﹣2）（x﹣6）可分解因式为（3x+a）（x﹣b），其中a、b均为整数，则3a+b的值为（）A．﹣6 B．3 C．9 D．﹣3解：∵（2x﹣9）（3x﹣2）﹣（3x﹣2）（x﹣6）=（3x﹣2）（2x﹣9﹣x+6）=（3x﹣2）（x﹣3），∴a=﹣2，b=3，∴3a+b=3×（﹣2）+3=﹣3．故选D．5．若多项式ax2+bx+c因式分解的结果为（x﹣2）（x+4），则abc的值为（）A．﹣16 B．16 C．8 D．﹣8解：根据题意得：ax2+bx+c=（x﹣2）（x+4）=x2+2x﹣8，∴a=1，b=2，c=﹣8，则abc=﹣16．故选A6．分解因式a2﹣2a+1﹣b2正确的是（）A．（a﹣1）2﹣b2 B．a（a﹣2）﹣（b+1）（b﹣1）C．（a+b﹣1）（a﹣b﹣1）D．（a+b）（a﹣b）﹣2a+1解：原式=（a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．故选C．7．下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a=5a（3a+1） B．﹣x2﹣y2=﹣（x2﹣y2）=﹣（x+y）（x﹣y）C．k（x+y）+x+y=（k+1）（x+y）D．1﹣a2﹣b2+2ab=（1+a﹣b）（1﹣a+b）解：A.15a2+5a=5a（3a+1），故此选项错误；B．﹣x2﹣y2两项符号相同无法运用平方差公式进行分解，故此选项正确；C．k（x+y）+x+y=（k+1）（x+y），故此选项错误；D.1﹣a2﹣b2+2ab=（1+a﹣b）（1﹣a+b），故此选项错误．故选：B．8．下列式子中，因式分解错误的是（）A．a2﹣bc+ac﹣ab=（a﹣b）（a+c） B．ab﹣5a+3b﹣15=（b﹣5）（a+3）C．x2﹣6xy﹣1+9y2=（x+3y+1）（x+3y﹣1） D．x2+3xy﹣2x﹣6y=（x+3y）（x﹣2）解：A、a2﹣bc+ac﹣ab=（a2﹣ab）+（ac﹣bc）=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c），故本选项正确；B、ab﹣5a+3b﹣15=（ab﹣5a）+（3b﹣15）=a（b﹣5）+3（b﹣5）=（b﹣5）（a+3），故本选项正确；C、x2﹣6xy﹣1+9y2=（x2﹣6xy+9y2）﹣1=（x﹣3y）2﹣1=（x﹣3y+1）（x﹣3y﹣1），故本选项错误；D、x2+3xy﹣2x﹣6y=（x2+3xy）﹣（2x+6y）=x（x+3y）﹣2（x+3y）=（x+3y）（x﹣2），故本选项正确．故选C．9．下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a=5a（3a+1）B．﹣x2﹣y2=﹣（x+y）（x﹣y）C．ax+x+ay+y=（a+1）（x+y）D．a2﹣bc﹣ab+ac=（a﹣b）（a+c）解：A、15a2+5a=5a（3a+1），正确；B、﹣x2﹣y2=﹣（x2+y2），故本选项错误；C、ax+x+ay+y=（a+1）（x+y），正确；D、a2﹣bc﹣ab+ac=（a﹣b）（a+c），正确．故选B．10．分解因式x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1），乙看错了b的值，分解结果为（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b分解因式的正确结果为（）A．（x﹣2）（x+3）B．（x+2）（x﹣3）C．（x﹣2）（x﹣3）D．（x+2）（x+3）解：因为（x+6）（x﹣1）=x2+5x﹣6，（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，由于甲看错了a的值没有看错b的值，所以b=6，乙看错了b的值而没有看错a的值，所以a=﹣1，所以多项式x2+ax+b为x2﹣x+6=（x﹣3）（x+2）故选B．11．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x﹣1）（x+3），则a，b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=﹣2，b=﹣3解：x2+ax+b=（x﹣1）（x+3）=x2+2x﹣3，故a=2，b=﹣3，故选：B．12．若多项式x2+ax+b分解因式的结果（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（）A．a=1，b=﹣6 B．a=5，b=6 C．a=1，b=6 D．a=5，b=﹣6解：∵多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x﹣2）（x+3），∴x2+ax+b=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，故a=1，b=﹣6，故选：A．13．如果多项式x2+ax+b可因式分解为（x﹣1）（x+2），则a、b的值为（）A．a=1，b=2 B．a=1，b=﹣2 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=2解：根据题意得：x2+ax+b=（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，则a=1，b=﹣2，故选B14．多项式（x+2）（2x﹣1）﹣2（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．5解：∵（x+2）（2x﹣1）﹣2（x+2）=（x+2）（2x﹣1﹣2）=（x+2）（2x﹣3），∴m=2，n=﹣3．∴m﹣n=2﹣（﹣3）=5．故选D．15．下列四个等式中错误的是（）A．1﹣a﹣b+ab=（1﹣a）（1﹣b）B．1+a+b+ab=（1+a）（1+b）C．1﹣a+b+ab=（1﹣a）（1+b） D．1+a﹣b﹣ab=（1+a）（1﹣b）解：A、1﹣a﹣b+ab=（1﹣a）+（﹣b+ab）=（1﹣a）﹣b（1﹣a）=（1﹣a）（1﹣b），故本选项不符合题意；B、1+a+b+ab=（1+a）+（b+ab）=（1+a）+b（1+a）=（1+a）（1+b），故本选项不符合题意；C、∵（1﹣a）（1+b）=1﹣a+b﹣ab≠1﹣a+b+ab，∴错误，故本选项符合题意；D、1+a﹣b﹣ab=（1+a）+（﹣b﹣ab）=（1+a）﹣b（1+a）=（1+a）（1﹣b），故本选项不符合题意．故选C．16．把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）C．（x+y﹣1）（x+y+1）D．（x﹣y+1）（x+y+1）解：原式=x2﹣（y2+2y+1），=x2﹣（y+1）2，=（x+y+1）（x﹣y﹣1）．故选A．17．分解因式a2﹣b2+4bc﹣4c2的结果是（）A．（a﹣2b+c）（a﹣2b﹣c） B．（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）C．（a+b﹣2c）（a﹣b+2c） D．（a+b+2c）（a﹣b+2c）解：a2﹣b2+4bc﹣4c2，=a2﹣b2+4bc﹣4c2，=a2﹣（b2﹣4bc+4c2），=a2﹣（b﹣2c）2，=（a﹣b+2c）（a+b﹣2c）．故选C．18．下列多项式中，不能进行因式分解的是（）A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1解：A、两个平方项异号，可用平方差公式进行因式分解，故A正确；B、两个平方项同号，不能运用平方差公式进行因式分解，故B错误；C、可先运用提公因式法，再运用十字相乘法，原式=a（a2﹣3a+2）=a（a﹣1）（a﹣2），故C正确；D、可先分组，再运用公式法，原式=（a﹣b）2﹣1=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D正确．故选：B．。
初中数学：十字相乘法-教师版
1 / 17十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取公因式和运用乘法公式对多项式进行分解因式等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完全平方公式进行分解因式之后，自然过渡到具有一般形式的二次三项式的分解因式，是从特殊到一般的认知规律的典型范例．首先，这种分解因式的方法在数学学习中具有较强的实用性，一是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式的分解因式方法，能直接运用于某些形如2x px q ++这类二次三项式的分解因式，其次，还间接运用于解一元二次方程和确定二次函数解析式上，为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容奠定了基础，十字相乘法在初中阶段的教学中具有十分重要的地位．十字相乘法：如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a b +，那么2x px q ++就可以进行如下的分解因式，即：()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++要将二次三项式2x px q ++分解因式，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．由于把2x px q ++中的q 分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．十字相乘法知识结构知识精讲内容分析2/ 17【例1】 如果()()2x px q x a x b -+=++，那么p 等于（）． A ．abB ．a b +C ．ab -D ．()a b -+【难度】★ 【答案】D【解析】22()()()x a x b x a b x ab x px q ++=+++=-+． 【总结】利用十字相乘法以及待定系数．【例2】 不能用十字相乘法分解的是（） A ．22x x +-B ．23103x x -+C ．22568x xy y --D ．242x x ++【难度】★ 【答案】D【解析】根据系数非负，无法把二次项系数和常数项分解之后其之和等于1，判断出D ． 【总结】直接利用十字相乘法以及待定系数．【例3】 分解因式：（1）256x x ++； （2）256x x -+．【难度】★【答案】（1）(3)(2)x x ++；（2）(3)(2)x x --． 【解析】直接十字相乘即可．【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．【例4】 分解因式： （1）2712x x -+； （2）2412x x --； （3）2812x x ++；（4）21112x x --．【难度】★【答案】（1）(3)(4)x x --；（2）(6)(2)x x -+；（3）(6)(2)x x ++；（4）(12)(1)x x -+． 【解析】直接十字相乘即可．【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．例题解析【例5】 m 为下列各数时，将关于x 的多项式242x mx +-分解因式． （1）1m =-；（2）19m =．【难度】★【答案】（1）(6)(7)x x +-；（2）(21)(2)x x +-． 【解析】（1）242(7)(6)x x x x --=-+；（2）21942(21)(2)x x x x +-=+-．【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．【例6】 分解因式：（1）212x x +-； （2）222064xy y x -++．【难度】★★【答案】（1）(3)(4)x x -+-；（2）(16)(4)x y x y --． 【解析】（1）原式=2(12)(3)(4)x x x x ---=-+-；（2）原式=222064(16)(4)x xy y x y x y -+=--．【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．【例7】 分解因式：（1）22815a ab b ++； （2）22752500x y xy --．【难度】★★【答案】（1）(5)(3)a b a b ++；（2）(100)(25)xy x -+． 【解析】直接十字相乘即可．【总结】直接利用十字相乘法分解，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．【例8】 分解因式：（1）322718a a b ab +-； （2）3223246xy x y x y --．【难度】★★【答案】（1）(9)(2)a a b a b +-； （2）2(3)()xy y x y x -+． 【解析】（1）原式22(718)(9)(2)a a ab b a a b a b =+-=+-；（2）原式222(23)2(3)()xy y xy x xy y x y x =--=-+．【总结】本题需要先提取公因式后再利用十字相乘法分解，一般有公因式时要先提取公因式．【例9】 分解因式：（1）432654a a a --；（2）642244379a a b a b -+．【难度】★★【答案】（1）2(34)(21)a a a -+； （2）2(2)(2)(3)(3)a a b a b a b a b +-+-． 【解析】（1）原式222(654)(34)(21)a a a a a a =--=-+； （2）原式2422422222(4379)(4)(9)a a a b b a a b a b =-+=--2(2)(2)(3)(3)a a b a b a b a b =+-+-．【总结】本题需要先提取公因式后再利用十字相乘法分解，一般有公因式时要先提取公因式，另外注意因式分解一定要分解到不能分解为止．【例10】 分解因式：()()22141m m m ---．【难度】★★【答案】2(1)(2)m m --．【解析】原式()()2222141(1)(44)(1)(2)m m m m m m m m =---=--+=--．【总结】本题主要是利用提取公因式法和公式法分解因式，注意因式分解一定要分解到不能分解为止．【例11】 分解因式：()2222abcx a b c x abc +++．【难度】★★【答案】()()abx c cx ab ++． 【解析】原式()()abx c cx ab =++．【总结】直接利用十字相乘，注意带字母系数之间的十字相乘方法仍旧要和数字相同．【例12】 分解因式：（1）4245x x +-；（2）42224x x --．【难度】★★【答案】（1）2(1)(1)(5)x x x -++；（2）22(6)(4)x x -+． 【解析】（1）原式222(1)(5)(1)(1)(5)x x x x x =-+=-++；（2）原式22(6)(4)x x =-+．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【例13】 分解因式：（1）()()229210x y x y ----； （2）()()2214248a b a b +-++． 【难度】★★【答案】（1）(210)(21)x y x y ---+；（2）(26)(28)a b a b +-+-． 【解析】直接利用十字相乘法，其中把括号内2x y -与2a b +看作整体即可． 【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【例14】 分解因式：（1）()22234x x --；（2）()2229x x --．【难度】★★【答案】（1）(3)(1)(3)(1)x x x x -++-；（2）2(3)(1)(23)x x x x -+-+． 【解析】（1）原式22(32)(32)(3)(1)(3)(1)x x x x x x x x =---+=-++-；（2）原式22[(2)3][(2)3](23)(23)x x x x x x x x =---+=---+2(3)(1)(23)x x x x =-+-+．【总结】先平方差公式的运用，再进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【例15】 分解因式：（1）()()2221760x x x x +-++；（2）()()2222728x x x x +-+-．【难度】★★【答案】（1）2(4)(3)(5)x x x x +-+-；（2）2(4)(2)(1)x x x +-+． 【解析】（1）原式222(12)(5)(4)(3)(5)x x x x x x x x =+-+-=+-+-；（2）原式222(28)(21)(4)(2)(1)x x x x x x x =+-++=+-+．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【例16】 分解因式：（1）()()2222222x x x x ----；（2）()()211a b ab +-+．【难度】★★【答案】（1）2(2)(1)(22)x x x x -+--；（2）22(1)(1)a ab b ab +-+-． 【解析】（1）原式222(22)(2)(2)(1)(22)x x x x x x x x =----=-+--；（2）原式2222()()1[()1][()1](1)(1)ab a b a b a a b b a b a ab b ab =+-++=+-+-=+-+-．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【例17】 分解因式：()()()()222222261561121x x x x x x ++++++++．【难度】★★★【答案】229(41)(1)x x x +++．【解析】原式2222[2(61)(1)][(61)2(1)]x x x x x x =++++++++ 22(3123)(363)x x x x =++++ 229(41)(21)x x x x =++++229(41)(1)x x x =+++．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意合并同类项与因式分解要彻底．【例18】 已知：关于x 的多项式()22124x m x -++可以在有理数范围内分解因式，求m的值． 【难度】★★★【答案】1234567813159111213562222m m m m m m m m ==-==-==-==-，，，，，，，． 【解析】设2()()()x a x b x a b x ab --=-++，可得2421ab a b m =+=+，，根据ab 是有理数，可得11124a b =⎧⎨=⎩，112m =；22124a b =-⎧⎨=-⎩，213m =-； 33212a b =⎧⎨=⎩，3132m =；44212a b =-⎧⎨=-⎩，4152m =-； 5538a b =⎧⎨=⎩，55m =； 6638a b =-⎧⎨=-⎩，66m =-； 7746a b =⎧⎨=⎩，792m =；8846a b =-⎧⎨=-⎩，8112m =-． 【总结】本题主要考查对十字相乘法的理解以及待定系数的运用．【例19】 长方形的周长为16cm ，它的两边x ，y 是整数，且满足22220x y x xy y --+-+=，8/ 17求它的面积. 【难度】★★★ 【答案】152cm ．【解析】由长方形周长为16cm ，∴8x y +=． ∵22220x y x xy y --+-+=，∴2()()20x y x y --+-+=．因式分解，得：[()2][()1]0x y x y ----+=， 即(2)(1)0x y x y ---+=．∴208x y x y --=⎧⎨+=⎩或者108x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得：2112752392x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或者． ∵x ，y 是整数， ∴35x y ==，．∴该矩形的面积为152cm ．【总结】利用因式分解以及根据周长求出边长再求面积，考察学生对题中条件的运用和分析能力．随堂检测师生总结十字相乘法的基本步骤和方法是什么？【习题1】 如果()22530x a b x b x x ++⋅+=--，则b 为（）A ．5B ．6-C ．5-D ．6【难度】★ 【答案】B【解析】∵1530a b b +=-=-，，∴6b =-．【总结】利用十字相乘法以及待定系数．【习题2】 填空题：已知：()()256m m m a m b --=++，a =__________，b =__________．【难度】★【答案】61a b ==-，或16a b =-=，．【解析】256(6)(1)m m m m --=-+，所以61a b ==-，或16a b =-=，． 【总结】利用十字相乘法以及待定系数．【习题3】m 为下列各数时，将关于x 的多项式236x mx ++分解因式．（1）20m =； （2）13m =-．【难度】★【答案】（1）(18)(2)x x ++；（2）(9)(4)x x --．【解析】（1）22036(18)(2)x x x x ++=++；（2）21336(9)(4)x x x x -+=--．【总结】直接利用十字相乘法分解，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．【习题4】 分解因式： （1）2820x x +-； （2）2524x x --；（3）21227x x ++；（4）2812x x -+．【难度】★【答案】（1）(10)(2)x x +-；（2）(8)(3)x x -+；（3）(9)(3)x x ++；（4）(6)(2)x x --． 【解析】直接利用十字相乘法即可．【总结】直接利用十字相乘，注意如何分解二次项系数和常数项去凑一次项系数．【习题5】 将下述多项式分解后，有相同因式1x -的多项式有（）．①21x -；②2242x x -+； ③232x x ++；④256x x --； ⑤2224x x --； ⑥256x x --． A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【难度】★★ 【答案】A【解析】①原式(1)(1)x x =+-； ②原式22(1)x =-； ③原式(2)(1)x x =++；④原式(6)(1)x x =-+；⑤原式(6)(4)x x =-+；⑥原式(8)(7)x x =-+．故包含因式1x -的多项式只有①和②．【总结】本题主要考查因式分解的综合运用．【习题6】 填空：当k =______时，多项式237x x k +-有一个因式为__________．（只需填写一个合理答案即可） 【难度】★★【答案】参考答案：-4；(34)(1)x x ++【解析】根据十字相乘法则，只要满足二次项系数与常数项分解后之和为7即可． 【总结】利用十字相乘法以及待定系数，本题难度较大，注意二次项系数不等于1．【习题7】 若6x y -=，1736xy =，则代数式32232x y x y xy -+的值为__________． 【难度】★★ 【答案】17【解析】3223222172(2)()361736x y x y xy xy x xy y xy x y -+=-+=-=⋅= 【总结】利用因式分解求代数式的值．【习题8】 分解因式：2612x x -+-． 【难度】★★【答案】(34)(23)x x --+．【解析】原式2(612)(34)(23)x x x x =-+-=--+． 【总结】直接利用十字相乘，注意符号问题．【习题9】 分解因式：（1）421336x x ++；（2）42536x x --．【难度】★★【答案】（1）22(4)(9)x x ++；（2）2(3)(3)(4)x x x -++．【解析】（1）原式22(4)(9)x x =++；（2）原式222(9)(4)(3)(3)(4)x x x x x =-+=-++．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【习题10】 分解因式： （1）22616x xy y +- ；（2）22524x xy y +-；（3）221124x xy y -+． 【难度】★★【答案】（1）(2)(8)x y x y +-；（2）(8)(3)x y x y +-；（3）(3)(8)x y x y --．【解析】（1）原式(2)(8)x y x y =+-；（2）原式(8)(3)x y x y =+-；（3）原式(3)(8)x y x y =--．【总结】直接利用十字相乘法分解因式，注意多项式中含有两个字母，因此分解的因式中也要含有两个因式．【习题11】 分解因式：()()2x a b c x a b c +++++．【难度】★★【答案】()()x a b x c +++．【解析】()()2()()x a b c x a b c x a b x c +++++=+++．【总结】直接利用十字相乘，注意带字母系数之间的十字相乘方法仍旧要和数字相同．【习题12】 分解因式：（1）()()226227x y x y +++-；（2）()()21556a b a b +-++；（3）()()222812a a a a +-++．【难度】★★【答案】（1）(29)(23)x y x y +++-；（2）(7)(8)a b a b +-+-；（3）(3)(2)(2)(1)a a a a +-+-．【解析】（1）原式(29)(23)x y x y =+++-；（2）原式(7)(8)a b a b =+-+-；（3）原式22(6)(2)(3)(2)(2)(1)a a a a a a a a =+-+-=+-+-．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【习题13】 分解因式： （1）2673x x --；（2）22935x x --；（3）2253x x --． 【难度】★★【答案】（1）(23)(31)x x -+；（2）(25)(7)x x +-；（3）(21)(3)x x +-． 【解析】直接十字相乘即可．【总结】直接利用十字相乘，注意二次项系数的分解，综合性较强．【习题14】 分解因式：()()22222848a a a a +-++．【难度】★★【答案】2(4)(3)(2)(1)a a a a +-+-． 【解析】()()22222848a a a a +-++22222[()14()24]a a a a =+-++ 222(12)(2)a a a a =+-+-2(4)(3)(2)(1)a a a a =+-+-．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【习题15】 分解因式： （1）()222416x x +-；（2）()()2222321233x x x x ++-++．【难度】★★【答案】（1）22(2)(2)x x -+；（2）2(2)(1)(554)x x x x -+++．【解析】（1）原式2222(44)(44)(2)(2)x x x x x x =+-++=-+； （2）原式2222(321233)(321233)x x x x x x x x =++---+++++ 22(2)(554)x x x x =--++2(2)(1)(554)x x x x =-+++．【总结】先平方差公式的运用，再进行十字相乘，注意判断哪些是无法十字相乘的二次三项式．【习题16】 分解因式：()()2234x x x +++-．【难度】★★【答案】(21)(2)x x ++．【解析】方法一：原式222564252(21)(2)x x x x x x x =+++-=++=++；方法二：原式()()23(2)(2)(2)(32)(2)(21)x x x x x x x x x =++++-=+++-=++．【总结】本题有两种方法，一是先拆开再利用十字相乘法，二是先利用公式再提取公因式．【习题17】 分解因式：()()()()2212112x y x y x y x y +++-+-． 【难度】★★★【答案】()()553x y x y ++．【解析】原式()()()()324x y x y x y x y =++-⋅++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()553x y x y =++． 【总结】利用整体法进行十字相乘，注意最后合并同类项．【习题18】 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-． 【难度】★★★【答案】2(2)(1)(2)x x x x +-+-．【解析】原式()2223()10x x x x =+++-22(2)(5)x x x x =+-++2(2)(1)(2)x x x x =+-+-．【总结】本题主要考查了“换元法”的思想，将2x x +看作一个整体，再利用十字相乘法进行因式分解．【习题19】 已知：关于x 的多项式236x mx ++可以在有理数范围内分解因式，求m 的值． 【难度】★★★【答案】123456783737131315152020m m m m m m m m ==-==-==-==-，，，，，，，． 【解析】设2()()()x a x b x a b x ab --=-++，可得36ab a b m =+=，，根据ab 是有理数， 可得11136a b =⎧⎨=⎩，137m =；22136a b =-⎧⎨=-⎩，237m =-；33218a b =⎧⎨=⎩，320m =；44218a b =-⎧⎨=-⎩，420m =-； 55312a b =⎧⎨=⎩，515m =；66312a b =-⎧⎨=-⎩，636m =-； 7749a b =⎧⎨=⎩，713m =；8849a b =-⎧⎨=-⎩，813m =-． 【总结】本题主要考查对十字相乘法的理解以及待定系数的运用．课后作业【作业1】 多项式23x x a -+可分解为()()5x x b --，则a ，b 的值分别为（）．A ．10和2-B ．10-和2C ．10和2D ．10-和2-【难度】★ 【答案】D【解析】由223(5)5x x a x b x b -+=-++，可得：553a b b =+=，，所以2b =-，10a =-． 【总结】利用十字相乘法以及待定系数．【作业2】 分解结果等于()()4225x y x y +-+-的多项式是（ ）．A ．()()221320x y x y +-++ B ．()()2221320x y x y +-++C ．()()221320x y x y ++++D ．()()22920x y x y +-++【难度】★ 【答案】A【解析】()()()()()()2422542521320x y x y x y x y x y x y +-+-=+-+-=+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 【总结】本题主要考查因式分解与多项式乘法间的关系．【作业3】 分解因式： （1）21348x x +-；（2）21772x x ++．【难度】★【答案】（1）(16)(3)x x +-；（2）(9)(8)x x ++．【解析】直接十字相乘即可． 【总结】直接利用十字相乘．【作业4】 分解因式： （1）2672x x -+；（2）2121115x x -- ．【难度】★★【答案】（1）(32)(21)x x --； （2）(35)(43)x x -+．【解析】直接十字相乘即可．【总结】直接利用十字相乘，注意二次项系数的分解．【作业5】 分解因式： （1）221112x xy y --；（2）2245a ab b --．【难度】★★【答案】（1）(12)()x y x y -+； （2）(5)()a b a b -+．【解析】直接十字相乘即可．【总结】直接利用十字相乘，注意其中含有两个字母．【作业6】 分解因式： （1）2282615x xy y +-； （2）22232x xy y -++．【难度】★★【答案】（1）(415)(2)x y x y +-；（2）(2)(2)x y x y -+-．【解析】直接十字相乘即可．【总结】直接利用十字相乘，注意其中含有两个字母．【作业7】 分解因式：42816x x -+． 【难度】★★【答案】22(2)(2)x x -+．【解析】422222816(4)(2)(2)x x x x x -+=-=-+、 【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．【作业8】 已知221547280x xy y -+=，求xy的值． 【难度】★★★【答案】7435；．【解析】∵22154728(37)(54)x xy y x y x y -+=--， ∴(37)(54)0x y x y --=．∴37x y =或者54x y =．∴73x y =或者45x y =． 【总结】利用因式分解求解方程，注意多解情况以及解是否满足题意．【作业9】 分解因式：633619216x x y y --． 【难度】★★★【答案】3333(27)(8)x y x y -+（上海教材立方公式不考查）或2222(3)(39)(2)(24)x y x xy y x y x xy y -+++++【解析】原式33332222(27)(8)(3)(39)(2)(24)x y x y x y x xy y x y x xy y =-+=-+++++． 【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底，有能力的学生可以鼓励其用立方公式．【作业10】 分解因式：()()2222483482x x x x x x ++++++．【难度】★★★【答案】()()()24258x x x x ++++．【解析】原式()()2248248x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++++++⎣⎦⎣⎦()()226858x x x x =++++()()()24258x x x x =++++．【总结】利用整体法进行十字相乘，注意因式分解要彻底．。
第05讲因式分解公式法与十字相乘法(原卷版)
第05讲 因式分解—公式法与十字相乘法1. 平方差公式分解因式的内容：两个数的平方差等于这两个数的 乘以这两个数的 。
即：=-22b a 2. 式子特点分析与因式分解结果：①式子特点分析：式子是一个 ，符号 且都可以写成 的形式。
②因式分解结果：等于写成平方形式时的 的和乘以 的差。
考点题型：①判断式子能否用平方差公式分解。
②利用平方差公式分解因式。
【即学即练1】1．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（ ）A ．x 2﹣25B ．x 3﹣4C ．x 2﹣2x +1D ．x 2+1【即学即练2】2．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A ．﹣m 2+n 2B ．﹣m 2﹣n 2C ．4m 2﹣1D ．（m +n ）2﹣9【即学即练3】3．把下列各式因式分解：（1）x 2﹣25y 2． （2）﹣4m 2+25n 2． （3）（a +b ）2﹣4a 2．（4）a 4﹣1． （5）9（m +n ）2﹣（m ﹣n ）2． （6）mx 2﹣4my 2．知识点02 完全平方公式分解因式1. 完全平方公式分解因式的内容： =+±222b ab a 。
2. 式子特点分析与因式分解结果： ①式子特点分析：式子是一个 ，其中两项符号 且都能写成 的形式，第三项是平方两项 乘积的 。
②因式分解结果：等于 的平方或 的平方。
若第三项与平方两项符号 ，则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号 ，则等于底数差的平方。
若平方两项是符号，则在括号前添加负号。
题型考点：①判断式子能否用平方差公式分解。
②利用平方差公式分解因式。
③求值【即学即练1】4．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．a 2+ab +b 2B ．9y 2﹣4yC ．4a 2+1﹣4aD ．q 2+2q ﹣1【即学即练2】5．下列各式中：①x 2﹣2xy +y 2；②a 2+ab +b 2；③﹣4ab ﹣a 2+4b 2；④4x 2+9y 2﹣12xy ；⑤3x 2﹣6xy +3y 2，能用完全平方公式分解的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练3】6．把下列各式分解因式．（1）n 2﹣6mn +9m 2 （2）a 2﹣14ab +49b 2（3）a 2﹣4ab +4b 2 （4）m 2﹣10m +25．【即学即练4】7．分解因式：①x 2+6x +9＝ ；②1﹣4x +4y 2＝ ；③﹣a 2+2a ﹣1＝ ．【即学即练5】8．已知x 2﹣y 2＝69，x +y ＝3，则x ﹣y ＝ ．【即学即练6】9．若x 2+mx +16＝（x +n ）2，其中m 、n 为常数，则n 的值是（ ）A ．n ＝8B ．n ＝±8C ．n ＝4D ．n ＝±4【即学即练7】10．若x 2+5x +m ＝（x +n ）2，则m ，n 的值分别为（ ）A ．m ＝，n ＝B ．m ＝，n ＝5C ．m ＝25，n ＝5D ．m ＝5，n ＝知识点03 十字相乘法分解因式1. 十字相乘法分解因式：对于一个二次三项式c bx ax ++2，若存在21a a a ⋅=，21c c c ⋅=，且b c a c a =+1221，那么二次三项式c bx ax ++2可以分解为：()()22112c x a c x a c bx ax ++=++ 举例说明：3522++x x 12⨯ 13⨯23== 523=+。
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2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式a b a b a ab b 3322±=±⋅+()()μ 补充：欧拉公式：特别地：（1）当a b c ++=0时，有ab c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。
再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。
同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。
解：根据已知条件，设221322xx m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()()由此可得21112023a a b m b +=-+==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()由（1）得a =-1 把a =-1代入（2），得b =12把b =12代入（3），得m =123. 在几何题中的应用。
例：已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足ab c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。
分析：因为题中有a b ab 22、、-，考虑到要用完全平方公式，首先要把-ab 转成-2ab 。
所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。
解：Θa b c ab bc ac 2220++---=∴∆ABC 为等边三角形。
4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。
解：设这两个连续奇数分别为2123n n ++，（n 为整数）则()()232122n n +-+由此可见，()()232122n n +-+一定是8的倍数。
5、中考点拨：例1：因式分解：xxy 324-=________。
解：x xy x x y x x y x y 32224422-=-=+-()()()说明：因式分解时，先看有没有公因式。
此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。
例2：分解因式：2883223xy x y xy ++=_________。
解：288244322322x y x y xy xy x xy y ++=++()=+222xy x y ()说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
题型展示：例1. 已知：am b m c m =+=+=+121122123，，， 求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。
解：a ab b ac c bc 222222++-+- =+-++()()a b c a b c 222 =+-()a b c 2∴原式=+-()a b c 2 说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。
例2. 已知a b c a b c ++=++=00333，，求证：a b c 5550++=证明：Θa b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()()∴把a b c a b c ++=++=00333，代入上式，可得abc =0，即a=0或b =0或c =0 若a=0，则b c =-，∴++=a b c 5550 若b =0或c =0，同理也有a b c 5550++=说明：利用补充公式确定a b c ，，的值，命题得证。
例3. 若xy x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。
解：Θx y x y x xy y 332227+=+-+=()() 且x xy y 229-+= 又x xy y 2292-+=() 两式相减得xy =0 所以x y 229+= 说明：按常规需求出x y ，的值，此路行不通。
用因式分解变形已知条件，简化计算过程。
【实战模拟】1. 分解因式：（1）()()aa +--23122 （2）x x y x y x 5222()()-+- （3）a x y a x y x y 22342()()()-+-+- 2. 已知：x x +=-13，求x x 441+的值。
3. 若a b c ，，是三角形的三条边，求证：ab c bc 22220---< 4. 已知：ωω210++=，求ω2001的值。
5. 已知a b c ，，是不全相等的实数，且abca b c abc ≠++=03333，，试求 （1）a b c ++的值；（2）a b c b c a c a b()()()111111+++++的值。
【试题答案】 1. （1）解：原式=++-+--[()()][()()]a a a a 231231=+-+()()4123a a =-+-()()4123a a 说明：把a a +-231，看成整体，利用平方差公式分解。
（2）解：原式=---x x y x x y 5222()()=--x x y x 2321()()=--++x x y x x x 22211()()()（3）解：原式=-+-+-()[()()]x y a a x y x y 2222=-+-()()x y a x y 222. 解：Θ()x x x x+=++121222 3. 分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。
证明：Θa b c bc 2222---Θa b c ，，是三角形三边∴++>a b c 0且ab c <+∴++--<()()a b c a b c 0即a b c bc 22220---< 4. 解Θωω210++= ∴+++=()()ωωω1102，即ω310-=∴=∴==ωωω32001366711() 5. 分析与解答：（1）由因式分解可知故需考虑a b c ab bc ca 222++---值的情况，（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。
解：（1）Θab c abc 3333++=∴++-=a b c abc 33330 又Θab c abc 3333++- =++++---()()a b c a b c ab bc ca 222 而a b c ab bc ca a b b c c a 22222212++---=-+-+-[()()()] Θa b c ，，不全相等（2）Θabc ≠0∴原式=+++++1222abca b c b c a c a b [()()()] 而a b c ++=0，即ab c =-+() ∴原式=+--1333abc b c b c [()] =+13abc bc b c [()] =-=-133abc abc ()说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。
5、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式()()x a b x ab x a x b 2+++=++()进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项axbx c 2++（a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数a c a c 1122，，，满足a a a c c c 1212==，，并且a c a c b 1221+=，那么二次三项式ax bx c 2++即()a a x a c a c x c c 122122112+++可以分解为()()a x c a x c 1122++。
这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例1. 已知：x x 211240-+>，求x 的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
解：Θx x 211240-+>例2. 如果x x mx mx 43222-+--能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把x 4分成xx 22⋅，而对于常数项-2，可能分解成()-⨯12，或者分解成()-⨯21，由此分为两种情况进行讨论。
解：（1）设原式分解为()()x ax x bx 2212+-++，其中a 、b 为整数，去括号，得：将它与原式的各项系数进行对比，得：解得：a b m =-==101，，此时，原式()()=+--x x x 2221（2）设原式分解为()()x cx x dx 2221+-++，其中c 、d 为整数，去括号，得：将它与原式的各项系数进行对比，得：解得：c d m ==-=-011，，此时，原式()()=--+x x x 22212. 在几何学中的应用例. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x y x xy y --+-+=22220，求长方形的面积。
分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。
解：Θx y x xy y --+-+=22220 ∴--=x y 20或x y -+=10又Θx y +=8解得：x y ==⎧⎨⎩53或x y ==⎧⎨⎩3545.. ∴长方形的面积为15cm 2或6342cm 3、在代数证明题中的应用例. 证明：若4x y -是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则810322x xy y +-是49的倍数。