§5.函数的凹凸性与拐点解读
导数的应用曲线的凹凸区间与拐点
导数的应用曲线的凹凸区间与拐点导数的应用：曲线的凹凸区间与拐点导数是微积分中一个重要的概念，可以描述曲线在某一点处的斜率或者变化率。
除了这些基本的应用外，导数还可以帮助我们分析曲线的凹凸性质和拐点的存在。
本文将介绍导数在曲线凹凸区间和拐点分析中的应用。
1. 凹凸性质的判断在分析曲线的凹凸性质时，我们可以通过导数的二阶导数来判断。
如果曲线上每一点处的二阶导数大于零，则该曲线在该区间上是凸的；如果二阶导数小于零，则该曲线在该区间上是凹的。
例如，考虑函数f(x)在区间[a, b]上连续可导，且f''(x) > 0，那么我们可以得出结论：f(x)在[a, b]范围内是凸的，也就是说曲线在该区间上凸起。
同样地，当f''(x) < 0时，我们可以断定f(x)在该区间上是凹的，也就是说曲线在该区间上凹陷。
通过这种凹凸性质的判断，我们可以更好地理解曲线的形状和特性。
2. 拐点的分析拐点是指曲线出现转折的点，也就是曲线的凹凸性发生变化的点。
通过导数的二阶导数，我们可以判断拐点的存在及其位置。
如果导数的二阶导数在某一点处发生变号，即从正数变为负数或者从负数变为正数，那么该点即为拐点。
例如，考虑函数f(x)在区间[a, b]上连续可导，且f''(x) < 0从正变负，那么我们可以得出结论：f(x)在[a, b]范围内存在一个拐点。
通过分析拐点的存在，我们可以进一步了解曲线的特性，并通过优化问题中的拐点来求取最值等。
综上所述，导数在曲线的凹凸区间和拐点分析中起着重要的作用。
通过导数的二阶导数，我们可以判断曲线的凹凸性质以及拐点的存在，在应用中可以更好地理解和运用这些知识。
希望本文对读者对导数的应用有所帮助。
4-5凹凸性与拐点
2012-12-6
例5. 求曲线 y = x + 36 x2 − 2x3 − x4 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求导
y′ = 1 + 72 x − 6 x 2 − 4 x 3 ,
y′′ = 72 − 12 x − 12 x 2 = −12( x + 3)( x − 2)
第四章§5 函数的凹凸性与拐点 14-5
2012-12-6
y
y = f (x )
A
B
y
y = f ( x)
B
A
o
a f ′( x ) 递增
x b y′′ > 0
o
a f ′( x ) 递减
b x y′′ < 0
定理2：设 f (x)在 [a , b]上连续，在(a , b)内具有一阶和二阶 导数，若在(a , b)内 （1） f "(x ) >0，则 f (x)在[a , b]上的图形是凹的； （2） f "(x ) < 0，则 f (x)在[a , b]上的图形是凸的。
则称f (x)的在I上图形是凸的（或称凸弧）。
λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 )
f [λ x1 + (1 − λ ) x2 ]
y
y
λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 )
f [λ x1 + (1 − λ ) x2 ]
o
x1
x2 x
o
x1
x2 x
14-4
第四章§5 函数的凹凸性与拐点
令 y′′ = 0 得
x1 = −1 ,
x2 = 2 − 3 ,
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的形态和性质。
下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。
一、凹凸性
在数学中，一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。
几何上，一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方，而向下凸则表明曲线凹向下方。
凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。
如果函数的二阶导数大于零，则函
数在该点处向上凸；反之，如果函数的二阶导数小于零，则函数在该点处向下凸。
函数的图像如果是向上凸的，则可以将其形容为“形如碗状”，反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。
在具体的分析中，凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。
二、拐点
拐点是指函数图像上的一点，该点处曲线的凹凸性发生变化。
在拐点之前，函数图像
呈现一种凹凸性，而在拐点之后，则呈现相反的凹凸性。
因此，拐点也被称为凹凸性变化点。
拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。
如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数，或从负数变成正数的变化，则该点即为拐点。
在实际分析中，拐点
可用于确定函数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的性质和
形态。
凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值，而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
在实际运用中，我们应该结合具体问题进行
分析，寻找函数的凹凸性和拐点，以便更好地解决问题。
凹凸区间和拐点定义
凹凸区间和拐点定义在数学中，我们经常遇到各种曲线和函数，而其中的凹凸区间和拐点是我们研究这些曲线特性的重要内容之一。
凹凸区间和拐点的概念可以帮助我们更好地理解函数的变化规律和特点。
我们来了解一下凹凸区间的概念。
在数学中，凹凸区间是指函数在某个区间上的凹凸性质。
具体来说，如果函数在某个区间上的斜率逐渐变大（或逐渐变小），那么我们可以说该函数在这个区间上是凹的（或凸的）。
凹和凸是相对的概念，可以根据斜率的变化来判断。
例如，对于一个连续可导的函数f(x)，如果在某个区间上，它的导函数f'(x)递增，那么我们可以说函数f(x)在这个区间上是凹的；反之，如果导函数f'(x)递减，那么函数f(x)在这个区间上是凸的。
凹凸区间可以帮助我们更好地理解函数的曲线走势和特性，例如在凹的区间上函数的曲线向上弯曲，而在凸的区间上函数的曲线向下弯曲。
接下来，我们来讨论一下拐点的概念。
拐点是指函数图像上的一个点，该点处的曲线由凹变凸或由凸变凹。
换句话说，拐点是函数曲线由向上弯曲变为向下弯曲（或由向下弯曲变为向上弯曲）的点。
在拐点处，函数的凹凸性质发生了变化。
对于一个连续可导的函数f(x)，如果函数在某个点x0处的二阶导数f''(x0)存在且为零，那么这个点x0就是函数的一个拐点。
拐点的存在意味着函数的曲线在该点处发生了弯曲的变化，这个变化可以是从向上弯曲到向下弯曲，或者从向下弯曲到向上弯曲。
凹凸区间和拐点的概念在数学中有着广泛的应用。
它们可以帮助我们分析函数的性质和特点，进而解决一些实际问题。
例如，在经济学中，我们可以利用凹凸区间和拐点的概念来研究供求曲线和市场均衡点的变化规律；在物理学中，我们可以利用凹凸区间和拐点的概念来分析物体的运动轨迹和速度变化。
除了凹凸区间和拐点的概念，还有一些相关的定理和性质可以帮助我们更深入地理解和应用它们。
例如，凹凸区间的性质定理告诉我们，在一个凹（或凸）区间上的函数，它的导数（或二阶导数）始终大于等于（或小于等于）零。
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点在数学中，曲线的凹凸性以及拐点对于研究曲线的性质和变化具有重要的意义。
凹凸性可以帮助我们理解曲线的弯曲程度以及变化趋势，而拐点则是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该处发生方向的变化。
本文将介绍曲线的凹凸性与拐点的概念，以及它们在数学和其他实际应用中的重要性。
一、凹凸性的定义与判断凹凸性是描述曲线在某一区间上的弯曲程度的性质。
我们有以下两个定义来判断曲线的凹凸性：1. 凹曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线上方，则称该曲线为凹曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凹曲线。
2. 凸曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线下方，则称该曲线为凸曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凸曲线。
凹凸性的判断可以通过曲线的二阶导数来进行。
如果曲线的二阶导数大于0，则曲线为凹曲线；如果二阶导数小于0，则曲线为凸曲线。
而当二阶导数恰好为0时，需要考虑其他方法。
二、拐点的定义与判断拐点是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该点处方向发生改变。
我们有以下定义来判断曲线是否存在拐点：1. 拐点：如果曲线在某一点处既没有切线也没有二阶切线（即曲线在该点处没有明确的方向），则称该点为拐点。
判断曲线是否存在拐点可以通过曲线的三阶导数来进行。
如果曲线的三阶导数存在不连续的点，则该点即为拐点。
值得注意的是，如果曲线的三阶导数的符号在该点的左右两侧不同，也可以判断该点为拐点。
三、凹凸性与拐点的应用与意义凹凸性和拐点不仅仅在数学领域中有重要性，还被广泛应用于其他学科和实际问题中，如物理学、经济学等。
在物理学中，凹凸性可以帮助解释某一物体的形状和弯曲程度，例如在光学中，曲率半径越小的曲面会导致光线的弯曲程度越大。
因此，通过研究光线在曲面上的传播可以利用凹凸性来分析光的折射和反射现象。
在经济学中，凹凸性可以用来描述供需曲线的变化趋势。
函数的凹凸性与拐点的判定
函数的凹凸性与拐点的判定在微积分中，函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。
凹凸性描述了函数曲线的弯曲情况，而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。
凹凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。
本文将介绍函数凹凸性和拐点的概念，并讨论如何判定和应用。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。
我们可以通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数，如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上是凹函数；如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上是凸函数。
2. 凹凸点根据函数的凹凸性质，我们可以定义凹凸点。
若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0，存在一个区间(x0-δ,x0+δ)，在该区间内f(x)是凹函数，那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凹点；若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凸点。
二、拐点的判定拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。
我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。
如果在某一点x0∈I处，f''(x0)=0，并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。
2. 拐点的性质拐点具有以下性质：- 在拐点处，函数的凹凸性发生改变，由凸转为凹或由凹转为凸。
- 拐点不一定存在，只有当函数曲线的凹凸性发生改变时，才会有拐点。
- 如果函数曲线有k个拐点，那么至多有k+1个不同的凹凸区间。
三、判定和应用判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。
1. 求导数首先，求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。
函数的凹凸性与拐点
o
y
x0
x
(2) 若 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 ,
x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 , o
x0
x
则 x0 为极小值点；
(3) 如果在上述两个区间内 f ( x) 同号,则x0 不是极值点.
极值点是函数单调性发生改变的点, 即为单调区间 的分界点.
f ( x1 x2 )
凹（上2 凹、下凸）
o x1 x1 x2 x2
2
xo
f ( x1 x2 ) 2
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
凸 （下凹、上凸）
x1 x1 x2 x2
x
2
图形上任意弧段位于 所张弦的下方：凹
图形上任意弧段位于 所张弦的上方：凸
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) . f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) .
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0
f ( x) 拐点
拐点
f (x)的凹区间为(, 0), ( 2 , +)
凸区间为 [0, 2] 3
3
拐点：(0,1)，(2 3 ,1127).
11
例3 求曲线 y (x 1) 3 x2 的凹凸区间与拐点.
y
拐点 非拐点
12
例3 求曲线 y (x 1) 3 x2 的凹凸区间与拐点.
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念，它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。
本文将介绍函数的凹凸性和拐点，并解释它们的意义和用法。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)>0，则函数在区间I上是凹函数；若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)<0，则函数在区间I上是凸函数。
凹凸性可以从图像上观察得出。
对于凹函数而言，在函数图像的任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的上方。
相反，凸函数在任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的下方。
函数的凹凸性在数学和经济学中有广泛的应用。
在最优化问题中，我们常常需要求一个函数的极值点，而函数的凹凸性可以帮助我们判断极值点的性质。
此外，在经济学中，凸函数常用于描述生产函数、效用函数等经济关系。
二、拐点拐点是指函数图像由凹转为凸，或由凸转为凹的点。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若存在一个点c∈I，使得f在c 的左侧是凹函数，在c的右侧是凸函数（或反过来），则称c是函数f 的一个拐点。
拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。
在拐点处，函数曲线的凹凸性发生变化，这也意味着函数的斜率也会发生变化。
拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。
当函数的二阶导数存在，且在某个点c处二阶导数为零，此时有可能存在拐点。
拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。
在工程中，拐点可以帮助我们确定材料的断裂点；在经济学中，拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化；在物理学中，拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念，它们可以帮助我们分析函数的特性，并在实际问题中得到应用。
通过研究函数的凹凸性和拐点，我们可以更好地理解和运用数学知识。
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§5. 函数的凹凸性与拐点教学内容：函数的凹凸性与拐点的定义以及判断。
教学目的：清楚函数凸性与拐点的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题。
教学重点：利用导数研究函数的凸性。
教学难点：利用凸性证明相关命题。
教学方法：讲授与练习。
教学学时：2学时。
引言：前面我们已经讨论了函数的单调性与极值及最值，这对函数性态的了解是有很大作用的。
为了更深入和较精确地掌握函数的性态，本节再讲述一下有关函数凸性与拐点的概念及判断与求解方法。
一、函数凹、凸性的定义：在讨论函数图象时，我们经常会遇到具有以下两种特性的函数： y yB AB Ao 1x x 2x x o 1x x 2x x 凸函数 凹函数特点⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧---+≥∈∀⎪⎩⎪⎨⎧---+≤∈∀)()()()()(),()()()()()(),(1121212*********x x x x x f x f x f x f x x x AB AB x x x x x f x f x f x f x x x AB AB ，总有的上方，即有：总在线段曲线上任意两点间的弧凹函数，总有的下方，即有：总在线段曲线上任意两点间的弧凸函数 ， 而)1,0(,)1(10),(2112221∈-+=⇔<--=<⇔∈∀λλλλx x x x x xx x x x便于我们研究应用，对凸函数与凹函数作如下定义：定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有：（1）1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称f 为I 上的凸函数； （2）1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，则称f 为I 上的凹函数。
以上不等式严格成立时，则分别称为严格凸函数与严格凹函数。
二、函数凹、凸性的性质及判定：由定义易见，如果函数f 为区间I 上的凸函数，那么函数f -就为区间I 上的凹函数，也就是说，凹函数的性质及判定可通过凸函数的性质及判定完成，所以以下我们只需讨论凸函数的性质及判定即可。
1．引理 f 为区间I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<，总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--。
证明：[必要性]f 为区间I 上的凸函数，∴对I x x ∈∀31,及)1,0(∈∀λ，总有())()1()()1(3131x f x f x x f λλλλ-+≤-+，而123x x x <<，所以101323<--<x x x x ，所以)()(31312113233131211323x f x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f --+--≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--， )()()(31312113232x f x x x x x f x x x x x f --+--≤，)()()()()()(312123213x f x x x f x x x f x x -+-≤-)()()()()()()()(312123212223x f x x x f x x x f x x x f x x -+-≤-+-，故得32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--. [充分性] 对I x x ∈∀31,及)1,0(∈∀λ，令312)1(x x x λλ-+=，则321x x x <<， 于是，()()313313131131)1()1()()1()()1(x x x x x f x f x x x x f x x f λλλλλλλλ----+-≤--+--+， ()())()1()())(1()()1(1331313131x x x x f x f x x x f x x f --+-≤----+λλλλλλ， ()()313131)1()1()()1()()1(x x f x f x f x x f λλλλλλλλ-+---≤--+，())()1()()1(3131x f x f x x f λλλλ-+≤-+.故f 为区间I 上的凸函数。
此定理的几何意义：qr pq k k ≤. yrq po 1x 2x 3x x从图象上可以看到：.qr pr pq k k k ≤≤亦有：f 为区间I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<，总有：.)()()()()()(232313131212x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--2．定理6.13 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数； （2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有：21121()()()()f x f x f x x x '≥+-。
证明：（1）⇒（2）：任取I x x x ∈21,,，且21x x x <<，由引理知.)()()()(2211xx x f x f x x x f x f --≤--由于f 在区间I 上可导，所以在上式分别令-+→→21,x x x x ，由函数极限保不等式，有：,)()()()(lim )()(lim )()(121222111'1'11x x x f x f x x x f x f x x x f x f x f x f x x x x --=--≤--==++→→+).()()()(lim )()(lim )()(2'2'2211121222x f x f xx x f x f x x x f x f x x x f x f x x x x ==--≤--=---→→-- （2）⇒（3）：不妨设I x x ∈∀21,且21x x <，对f 在[]21,x x 上应用拉格朗日中值定理和f '在I 上的递增性有，21x x <<∃ξ，使得))(())(()()(121'12'12x x x f x x f x f x f -≥-=-ξ， 即有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-。
（3）⇒（1）：任取I x x x ∈321,,且321x x x <<，由条件易知：⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫≥--⇒-+≥≤--⇒-+≥)()()())(()()()()()())(()()(2'2323232'232'1212212'21x f x x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x f x x x f x f x f.)()()()(23231212x x x f x f x x x f x f --≤--由引理便知f 为I 上的凸函数。
上面（3）的几何意义： yo 2x 1x xf 为I 上的凸函数⇔任取I x ∈1，函数在点())(,11x f x 处的切线方程为))(()(11'1x x x f x f y -+=，再对任意I x ∈2，函数)(x f 在点2x 处的函数值)(2x f 总大等于于切线在此点处的函数值))(()(121'1x x x f x f -+，即说明曲线)(x f y =总在它的任一点处切线的上方。
3．定理6.14 设f 为I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸（凹）函数⇔0)(''≥x f （0)(''≤x f ），x I ∈。
证明：f 为I 上的凸（凹）函数⇔'f 为I 上的增（减）函数⇔0)(''≥x f （0)(''≤x f ），x I ∈。
三、函数拐点的定义：定义2 设曲线)(x f y =在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线，且在此切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点(00,()x f x )为曲线)(x f y =的一个拐点。
说明：此处曲线)(x f y =在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线不能改为函数)(x f 在点0x 可导，即若(00,()x f x )是曲线)(x f y =的一个拐点，)(x f 在点0x 的导数不一定存在，如曲线y =在点0=x 的情形。
四、函数拐点的性质及判定：1．定理6.15 若f 在0x 二阶可导，则(00,()x f x )为曲线)(x f y =的拐点的必要条件是0()0f x ''=。
证明： 点(00,()x f x )为曲线)(x f y =的拐点，由拐点定义知在点0x 的左右近旁严格凸和严格凹，∴由定理6.14知在点0x 的左右近旁分别有'f 为严格增和严格减函数，故知点0x 为函数'f 的一个极值点，再由f 在0x 二阶可导性，便有0()0f x ''=。
说明：此定理的逆命题不一定成立，如曲线4x y =在点0=x 的情形。
2．定理6.16 设f 在点0x 可导，在某)(0x U内二阶可导，若在)(0x U+和)(0x U-上()f x ''的符号相反，则(00,()x f x )为曲线)(x f y =的拐点。
证明：此定理的证明直接利用拐点的定义容易得到。
例1．讨论函数x x f arctan )(=的凹凸性及拐点。
解：易见x x f arctan )(=在R 上二阶可导，且2'11)(x x f +=，22'')1(2)(x x x f +-=，由此 在]0,(-∞上，0)(''≥x f ，f 为凸函数； 在),0[+∞上，0)(''≤x f ，f 为凹函数；且在()0,∞-和()+∞,0上，)(''x f 异号，故点)0,0(为函数)(x f 的拐点。
例2．若函数f 为定义在开区间()b a ,内的可导凸（凹）函数，则()b a x ,0∈为f 的极小（大）值点⇔0x 为f 的稳定点，即.0)(0'=x f证明：这里只证明凸函数的情形，对于凹函数可类似给予证明。
[必要性] 由费马定理直接可得。
[充分性] 由定理6.13，任取()b a ,内的一点()0x x ≠，它与0x 一起有))(()()(00'0x x x f x f x f -+≥。