大学线性代数必过复习资料
《线性代数复习资料》第一章习题答案与提
详细描述：本题主要考察学生对线性方程组解法的理解 ，通过给定的线性方程组，要求学生判断其解的情况， 并求解当有解时的解向量。
习题二解析
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总结词：向量空间
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详细描述：本题主要考察学生对向量空间的定义和性质的 理解，要求学生判断给定的集合是否构成向量空间，并说 明理由。
线性变换与矩阵表示
线性变换是线性代数中的重要概念，理解如何用 矩阵表示线性变换以及其性质是解决相关问题的 关键。
向量空间的维数与基底
向量空间的维数与基底的概念较为抽象，理解其 定义和性质有助于更好地解决相关问题。
04
典型例题解析
例题一解析
总结词
矩阵的乘法
详细描述
本题考查了矩阵乘法的规则和计算方法。首先，我们需要明确矩阵乘法的定义，即第一个矩阵的列数必须等于第 二个矩阵的行数。然后，我们按照矩阵乘法的步骤，逐一计算结果矩阵的元素。在计算过程中，需要注意矩阵元 素的位置和计算方法。
导致在解题时无法正确应用它们。
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感谢聆听
例题二解析
总结词
行列式的计算
详细描述
本题考查了行列式的计算方法和性质。首先，我们需要明确行列式的定义，即由n阶方阵的元素按照 一定排列顺序构成的二阶方阵。然后，我们根据行列式的性质，逐步展开并化简计算结果。在计算过 程中，需要注意行列式的展开顺序和符号的变化。
例题三解析
总结词
向量的线性组合
详细描述
习题三解析
总结词：行列式计算 总结词：矩阵的秩 总结词：特征值与特征向量
详细描述：本题主要考察学生对行列式的计算能力，通 过给定的矩阵，要求学生计算其行列式的值。
大一线性代数必考知识点
大一线性代数必考知识点线性代数是大一学生学习的一门重要的数学课程。
掌握线性代数的基础知识对于后续学习高等数学、概率论、统计学等学科都非常重要。
接下来，本文将介绍大一线性代数必考的知识点，以帮助大一学生有效备考。
一、向量和矩阵1. 向量的概念和运算：向量的定义、数量积、向量的代数运算等。
2. 矩阵的概念和运算：矩阵的定义、矩阵的乘法、矩阵的转置和逆等。
3. 向量和矩阵的性质：向量和矩阵的加法和乘法满足的性质，线性相关和线性无关的概念等。
二、线性方程组1. 线性方程组的概念和解法：齐次线性方程组和非齐次线性方程组的定义、高斯消元法、矩阵的秩等。
2. 向量空间和子空间：向量空间的定义、子空间的定义、线性无关组和基、维数的概念等。
三、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义：特征值和特征向量的概念和基本性质等。
2. 对角化和相似矩阵：对角化的概念、相似矩阵的性质等。
四、内积空间和正交性1. 内积的定义和性质：内积的定义、内积的基本性质等。
2. 正交向量和正交投影：正交向量的定义、正交投影的概念等。
五、线性变换1. 线性变换的定义和基本性质：线性变换的定义、线性变换的基本性质等。
2. 线性变换的矩阵表示：线性变换与矩阵的关系、矩阵的相似和对角化等。
六、向量空间的维数和秩1. 向量空间的维数和秩的定义和性质：向量空间的维数的定义、秩的定义与性质等。
2. 雅可比矩阵和秩-零度定理：雅可比矩阵的定义和性质、秩-零度定理等。
这些是大一线性代数课程中必考的知识点，通过学习这些知识点，掌握了线性代数的基础知识，将能够更好地理解和应用其他数学知识，为今后的学习打下坚实的基础。
在备考过程中，建议多做习题和练习，加深对这些知识点的理解，并且理论联系实际，将其与实际问题进行结合，提高解决实际问题的能力。
祝大家在线性代数的学习中取得优异的成绩！。
线性代数重点复习(16页)
齐次线性方程组给出系数矩阵，
1
非齐次线性方程组给出增广矩阵 。
对矩阵进行初等行变换得到行最
2
简形。
3
把行最简形矩阵写回线性方程 组的形式。
4
给出方程组的通解。
若线性方程组的系数带有未知数，需分各种情况讨论，灵活处理。
相似矩阵与二次型 05 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
交向量组，由此便可得到相应的正交变换矩阵和相似对
角矩阵。
2025
马到成功！
XXX大学2025年期末考试指导
2025
公众号:安全生产管理
线性代数复习重点
第一章 行列式 01 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
容易出选择填空题的内容：
(1)求逆序数； (2)含某个因子的项（注意正负号）； (3)与余子式或代数余子式相关的内容； (4)已知 |A| 求某个与A相关的行列式。。
第三章 向量空间 03 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
向量空间
本章提到的的性质和定理较多，需要灵活运用。
容易出选择填空题的内容： 二 (1)向量的加法、数乘和内积运算； (2)线性相关和线性无关的定义，以及它们与向量组秩的关系（线性无关意
容易出大题的内容：行列式的计算。 其中，若已知行列式的阶数和每个元素的数值， 则问题很简单，但要注意，对于2阶和3阶行列式， 可用划斜线的方式（对角线法则）来计算。而对于4 阶或更高阶的行列式，不能采用对角线法则计算， 此时必须利用行列式的性质将其化为上三角行列式 从而得出结果，或者当某一行（列）非零元很少时， 运用展开定理将该行（列）展开从而得到经过降阶 的行列式计算。 对于n阶行列式的情形或者行列式元素中出现未 知数，求解的难度较大，需要灵活的结合运用行列 式的性质和展开定理。一般来说，考试中都会出课 本中已有的例题、习题，或者非常相似的题目。
大学线性代数复习资料
线性代数是数学的一个分支，它研究的是向量空间和线性变换等概念。
在大学数学课程中，线性代数是一门重要的基础课程。
本文将为大家提供一份详细的线性代数复习资料，包括定义和常用公式，希望能够帮助大家复习线性代数知识。
1. 向量空间的定义向量空间是指一个非空集合V，其中定义了两个运算：向量的加法和数乘运算，满足以下条件：（1）对于任意两个向量u、v∈V，它们的和u+v∈V。
（2）对于任意一个向量u∈V和一个标量a，它们的积au∈V。
（3）加法满足交换律和结合律。
（4）存在一个零向量0∈V，使得对于任意一个向量u∈V，都有u+0=u。
（5）对于任意一个向量u∈V，存在一个负向量−u∈V，使得u+(−u)=0。
（6）数乘满足分配律和结合律。
2. 线性变换的定义线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足以下条件：（1）对于任意两个向量u、v∈V，有T(u+v)=T(u)+T(v)。
（2）对于任意一个向量u∈V和一个标量a，有T(au)=aT(u)。
（3）对于任意一个向量u∈V，有T(0)=0。
3. 矩阵的定义矩阵是一个由m行n列的数构成的矩形阵列，通常用大写字母A、B、C等表示，其中Aij 表示第i行第j列的元素。
4. 矩阵的加法和数乘矩阵加法和数乘的定义如下：（1）矩阵加法：设A和B是两个m×n的矩阵，则它们的和A+B是一个m×n的矩阵，其中每个元素为Aij+Bij。
（2）数乘：设A是一个m×n的矩阵，k是一个标量，则kA是一个m×n的矩阵，其中每个元素为kAij。
5. 矩阵乘法设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB是一个m×p的矩阵，其中第i行第j列的元素为∑k=1nAikBkj。
6. 行列式的定义行列式是一个函数，它将一个n×n的矩阵映射到一个实数上。
行列式的定义如下：（1）n=1时，行列式为矩阵中唯一的元素。
大一线性代数必过知识点
大一线性代数必过知识点一、矩阵和行列式线性代数的基础知识点之一就是矩阵和行列式。
矩阵代表了一个有限维度的数组，可以进行加法、减法、乘法等运算。
而行列式是一个数值，可以用来判断矩阵的性质。
在学习线性代数的过程中，我们必须掌握矩阵和行列式的基本性质，例如矩阵的转置、逆矩阵的存在性以及行列式的计算方法等。
二、向量空间和线性变换向量空间是线性代数中的一个重要概念，它描述了由多个向量组成的空间。
在向量空间中，我们可以定义向量之间的运算，例如加法和标量乘法。
线性变换是一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的操作，它保持向量空间中的向量运算性质不变。
学习线性代数的过程中，我们需要熟悉向量空间和线性变换的基本性质，例如向量空间的维度、线性变换的矩阵表示等。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中重要的概念之一。
对于一个给定的线性变换，特征向量是指在该变换下保持方向不变的非零向量，而特征值则表示特征向量在该变换下的缩放比例。
我们需要学习特征值和特征向量的求解方法，例如特征方程的求解和特征值的计算。
四、线性方程组和解空间线性方程组是线性代数中的核心内容之一。
线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，我们需要求解方程组的解集。
解空间指的是线性方程组的所有解构成的向量空间。
在学习线性方程组的解法时，我们需要掌握高斯消元法、矩阵的秩和系数矩阵的行最简形等解题方法。
五、内积和正交性内积是线性代数中的重要概念，它定义了向量之间的夹角和长度。
内积可以用来判断向量是否正交、计算向量的长度以及求解投影等。
正交性是指向量之间的内积为零，正交矩阵则是指满足正交性质的方阵。
在学习内积和正交性时，我们需要了解内积的定义和性质，例如内积的线性性质和正交矩阵的特点。
六、最小二乘法最小二乘法是线性代数中的一种数值计算方法，用于求解超定方程组的最优近似解。
当线性方程组存在无解或者有多个解时，最小二乘法可以找到一个在平方误差意义下最接近原始数据的解。
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复习重点：第一部分 行列式1． 排列的逆序数（P .5例4；P .26第2、4题）2． 行列式按行（列）展开法则（P .21例13；P .28第9题） 3． 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）第二部分 矩阵 1． 矩阵的运算性质2． 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P .56第17、18题；P .78第5题） 3． 伴随阵的性质（P .41例9；P .56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P .116） 4． 矩阵的秩的性质（P .69至71；P .100例13、14、15）第三部分 线性方程组1． 线性方程组的解的判定（P .71定理3；P.77定理4、5、6、7），带参数的方程组的解的判定（P.75例13；P .80第16、17、18题）2． 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3． 非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分 向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换） 1．向量组的线性表示 2．向量组的线性相关性 3．向量组的秩第五部分 方阵的特征值及特征向量 1．施密特正交化过程2．特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题）3．矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P .135第15、16、19、23题）要注意的知识点：线性代数1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-g⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值 5. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O，则： Ⅰ、12s A A A A =L ；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nE OF OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ :； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X :，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x :，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭Oλλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B :，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A -=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话） ②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L ； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M O M M M L（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭LM （全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ）； ④、1122n n a x a x a x β+++=L （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m αααL 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =L ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tm βββL 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4. ()()T r A A r A =；(101P 例15) 5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关 ⇔0α=；②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s αααL 线性相关，则121,,,,s s αααα+L 必线性相关；若12,,,s αααL 线性无关，则121,,,s ααα-L 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤； 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔= 向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P L ，使12l A P P P =L ；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~c A B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯L 可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯L 线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =L L （B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=Q ；充分性：反证法） 注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；。
线性代数-要点考点复习
六、行列式的计算
1.基本计算方法 (1)化三角形法 (2)展开法(降阶法)
展开前尽量化 0 按特殊的一行、列展开 按0多的一行、列展开
2.常见行列式的计算方法
(1)各行(列)和相等
b a"a
a b"a
# #%#
a a"b
a1 + b a2 " an
a1 a2 + b " an
#
#%#
a1
a2 " an + b
2.向量的长度及其性质 向量的单位化 (标准化 ) 3.向量的正交 (1)夹角 (2)正交 (3)求与一个或几个向量均 正交的向量 解齐次方程组 由部分特征向量求实对 称矩阵的其余特征向量
(4)正交向量组与标准正交 向量组
4.施密特正交化方法
向量组的正交化
向量组的标准正交化
六、正交矩阵
1.定义 AT A = I
QT AQ = Λ QT AkQ = Λk Ak = QΛkQT
( ) AX = 0与 AT A X = 0同解 : ( ) AX = 0 ⇒ AT A X = AT ( AX ) = 0 ( ) ( ) AT A X = 0 ⇒ XT AT A X = 0
⇒ ( AX )T ( AX ) = 0
⇒ AX = 0
第一章 行列式
复习要点 :
一、排列及其逆序
τ (i1"in ) = a,
τ
(in " i1 )
=
n(n − 2
1)
a.
二、2、3阶行列式的对角线原理
三、行列式的定义
D
=| aij
|=
p1
∑
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线性代数期末复习知识点参考
行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1 已知，那么（ ）A.-24B.-12C.-6D.12 答案 B解析2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3. 行列式按行（列）展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____; 213122322333a A a A a A ++=___0___.4. 行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- （3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-（4）三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素a 33=1，按该行展开,D=a 33A 33,不用忘记a 33。
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复习重点：第一部分行列式1. 排列的逆序数（P.5例4; P26第2、4题）2. 行列式按行（列）展开法则（P.21例13；P.28第9题）3. 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）第二部分矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56第17、18题；P.78第5题）3. 伴随阵的性质（P.41例9; P56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P.116）4. 矩阵的秩的性质（P.69至71; P100例13、14、15）第三部分线性方程组1. 线性方程组的解的判定（P71定理3; P.77定理4、5、6、7）,带参数的方程组的解的判定（P.75 例13 ; P80 第16、17、18 题）2. 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）3. 非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换）1•向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩第五部分方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10; P.135第7至13题）3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P.135第15、16、19、23题）要注意的知识点：线性代数1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2. 代数余子式的性质：①、A j和a j的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0;③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ;3. 代数余子式和余子式的关系：M j （ 1y j A j A j （ 1/ j M j4. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；n（n 1）②、副对角行列式：副对角兀素的乘积（1）2;③、上、下三角行列式（、i ）:主对角元素的乘积;n（n 1）④、匚和丄：副对角元素的乘积（1丁；⑤、拉普拉斯展开式:⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;5. 证明A 0的方法：①、A A ;②、反证法；③、构造齐次方程组Ax 0,证明其有非零解;④、利用秩，证明r（A） n ;⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：A 0 （是非奇异矩阵）；r（A） n （是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组Ax 0有非零解；b R n, Ax b总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0;A T A是正定矩阵；A的行（列）向量组是R n的一组基；A是R n中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A : AA A A A E无条件恒成立；… 1、* …*、1…1、T…T、1…*、T…T、3.(A )(A )(A )(A )(A )(A )T T T* * * 11 (AB) B A(AB) B A(AB)B4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：A若A A2，则：OA sI、A |A A2L A s ;(1)mgn A B特征值n、A1A11A21OA；1 s②、AO1A1O OBO B1③、O A1OB1BO A1O④、A1C1A1A1CB1 OBOB1⑤、A1O1A1O C B B1CA 1B13、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：E rO等价类：所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r(A) r(B) A: B ；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)r①、若(A,E)：(E,X)，则 A 可逆，且X A 1；c②、对矩阵(A, B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A 1B，即：(A,B) (E,A 1B)；r③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax b，如果(A,b)：(E,x)，则A可逆，且x A 1b；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；1②、2，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元O i in素；mn11 1③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i, j) 1E(i, j)，例如：1 11 1④、倍乘某行或某列，符号E(i(k)), 且E(i (k)) 11E(i(-)), k例如111k 1 k(k0);1l\1⑤、倍加某行或某列,符号E(ij(k)),且1E(ij(k))E(ij( k)),如1 k11k11(k0);115. 矩阵秩的基本性质：①、0 r(A mn) min(m,n)；②、r(A T) r(A)；③、若 A : B，则r(A) r(B)；④、若P、Q可逆，则r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)⑤、max(r(A),r(B)) r(A,B) r(A) r(B);(探)⑥、r(A B) r(A) r(B);(探)⑦、r(AB) min(r(A),r(B));(探)⑧、如果A是m n矩阵，B是n s矩阵，且AB 0 ,则：(探)I、B的列向量全部是齐次方程组AX 0解(转置运算后的结论)；n、r(A) r(B) n⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB) r(A) r(B) n ;6. 三种特殊矩阵的方幕：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量) 行矩阵(向量)的形式，再采用结合律；1 a c②、型如0 1b的矩阵：利用二项展开式0 0 1③、利用特征值和相似对寸角化：7.伴随矩阵：n r(A)n①、伴随矩阵的秩：r(A*)1r(A)n 1 ;0r(A)n 1②、伴随矩阵的特征值:(AX X, A*i i 1 * I A|A A A X 」X);③、A* AA 1、*A|A n18.关于A矩阵秩的描述:① 、r （A ） n , A 中有n 阶子式不为0, n 1阶子式全部为0;（两句话） ② 、 r （A ） n ， A 中有 n 阶子式全部为 0； ③ 、 r （A ） n , A 中有 n 阶子式不为 0; 9.线性方程组：Ax b ，其中A 为m n 矩阵，则：① 、 m 与方程的个数相同,即方程组 Ax b 有 m 个方程; ② 、 n 与方程组得未知数个数相同,方程组 Ax b 为 n 元方程; 10. 线性方程组 Ax b 的求解：① 、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ② 、齐次解为对应齐次方程组的解； ③ 、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n 个未知数m 个方程的方程组构成 n 兀线性方程：a11 x a 12 x 2 La1n x n b1①、a21 x 1a22 x 2La2n x nb2；L L LLLLLLLLLam1x 1a m 2 x 2 Lanm x nbna11 a12 La1n x1 b1②、a21a22L a2nx2b2Ax b （向量方程，A 为 m n 矩阵, m 个方程, n 个MM O MMMAx bam1am2 Lamnxm bm未知数）x 1b1 ③、a 1 a 2 La nx2(全部按列分块,其中b2)；MMxnbn④、a 1x 1 a 2 x 2 L a n xn（线性表出）⑤、 有解的充要条件：r(A) r （A, ） n （ n 为未知数的个数或维数）4、 向 量 组 的 线 性 相 关 性含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 Ax 0有、无非零解；（齐次线性方程组） ② 、向量的线性表出 Ax b 是否有解；（线性方程组） ③ 、向量组的相互线性表示AX B 是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵A m n 与B l n 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 Ax 0和Bx 0同解;(P ioi 例 14)4. r(A T A) r(A) ； (P 101 例 15)5.n 维向量线性相关的几何意义：1. m 个n 维列向量所组成的向量组 A :m 个 n 维行向量所组成的向量组 B ：1, 2 ,Lm构成 n m 矩阵 A ( 1, 2,L , m ) ；1T, T 丄，m 构成m n 矩阵B①、线性相关0 ；③、, , 线性相关, , 共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若1, 2,L , s 线性相关，则 1 , 2,L , s, s 1必线性相关；若1, 2,L , s 线性无关，则1, 2,L , s 1 必线性无关；(向量的个数加加减减，二者为对偶)若r维向量组A的每个向量上添上n r个分量，构成n维向量组B :若 A 线性无关，则 B 也线性无关；反之若 B 线性相关，则 A 也线性相关；(向量组的维数加加减减)简言之:无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A (个数为r )能由向量组B (个数为s)线性表示，且A线性无关，则r s ; 向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则r(A) r(B)；向量组 A 能由向量组 B 线性表示AX B 有解；r(A) r(A,B)向量组 A 能由向量组 B 等价r(A) r(B) r(A,B)8. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵R,P2丄,P，使A RP2LR;①、矩阵行等价：A~B PA B(左乘，P 可逆) Ax 0与Bx 0 同解②、矩阵列等价：cA~B AQ B (右乘，Q 可逆)；③、矩阵等价：A~B PAQB(P、Q 可逆)；9. 对于矩阵A m n 与B l n ：①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；②、若A与B行等价，则Ax 0与Bx 0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵A的行秩等于列秩；10. 若A m s B s n C m n，则：①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；②、 C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示，A T为系数矩阵；(转置)11. 齐次方程组Bx 0 的解一定是ABx 0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、ABx 0 只有零解Bx 0 只有零解；②、Bx 0 有非零解ABx 0一定存在非零解；12. 设向量组B n r :b i，b2 ,L ,b r可由向量组代s ：耳，82 ,L ,a s线性表示为：(b1,b2,L ,b r) (a1,a2,L ,a s)K ( B AK )其中K为s r，且A线性无关，则B组线性无关r(K) r ；( B与K的列向量组具有相同线性相关性)(必要性：Q r r(B) r(AK) r(K),r(K) r, r(K) r ;充分性：反证法)注：当r s时，K为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵A m n，存在Q n m，AQ E m 「(A) m、Q的列向量线性无关；②、, 线性相关坐标成比例或共线(平行)；②、对矩阵A m n ，存在P n m , PA E n 「(A) n 、P 的行向量线性无关；14.!, 2丄，s 线性相关存在一组不全为0的数匕*2丄，k s ，使得匕！ k 2 2 L k s s 0成立；(定义)X iX sr( i , 2,L , s ) s ，系数矩阵的秩小于未知数的个数;15. 设m n 的矩阵A 的秩为r ，r(S) n r ；16.若 为Ax b 的一个解，1 , 2,L , n r 为Ax 0的一个基础解系，则，1,2 L , n r 线性无关；5、相似矩阵1.正交矩阵A T A E 或A 1 A (定义)，性质：1i j① 、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即 a T a j(i, j 1,2,L n)；i j② 、若A 为正父矩阵，则 A 1 A T 也为正交阵，且| A | 1 ；③ 、若A 、B 正交阵，则 AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2.施密特正交化：佝耳,L ,a r ) b a ；b a [b 1 ,a 2]亠,,,b a [ba — [b 2,a r ]亠,[b r 1 a]亠;a a 2g 1L L La a r9^1 9^2 L CR- 1 ;[b ,b ][b,b ] [b 2,b 2] [b r 1,b r 1 ]3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；(1, 2,Ls)X 20有非零解，即 Ax 0有非零解;则n 元齐次线性方程组Ax0的解集S 的秩为：。