常微分方程数值求解0418
常微分方程的数值解
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
（其中 L 为 Lipschitz 常数）则初值问题（ 1 ）存 在唯一的连续解。
求问题（1）的数值解，就是要寻找解函数在一 系列离散节点x1 < x2 <……< xn < xn+1 上的近似 值y1, y 2,…,yn 。 为了计算方便，可取 xn=x0+nh，(n=0,1,2,…)， h称为步长。
(1)，(2)式称为初值问题，(3)式称为边值问题。 在实际应用中还经常需要求解常微分方程组：
f1 ( x, y1 , y2 ) y1 ( x0 ) y10 y1 (4) f 2 ( x, y1 , y2 ) y2 ( x0 ) y20 y2
本章主要研究问题(1)的数值解法，对(2)~(4)只 作简单介绍。
得 yn1 yn hf ( xn1 , yn1 )
上式称后退的Euler方法，又称隐式Euler方法。 可用迭代法求解
二、梯形方法 由
y( xn1 ) y( xn )
xn1 xn
f ( x, y( x))dx
利用梯形求积公式： x h x f ( x, y( x))dx 2 f ( xn , y( xn )) f ( xn1 , y( xn1 ))
常微分方程的数言 简单的数值方法 Runge-Kutta方法 一阶常微分方程组和高阶方程
引言
在高等数学中我们见过以下常微分方程：
y f ( x, y, y) a x b y f ( x, y ) a x b (2) (1) (1) y ( x ) y , y ( x ) y 0 0 0 0 y ( x0 ) y0 y f ( x, y, y) a x b (3) y(a) y0 , y(b) yn
常微分方程初值问题数值解法
数值解法的必要性
实际应用需求
许多实际问题需要求解常微分方程初值问题，如物理、 化学、生物、工程等领域。
解析解的局限性
对于复杂问题，解析解难以求得或不存在，因此需要 采用数值方法近似求解。
数值解法的优势
未来发展的方向与挑战
高精度算法
研究和发展更高精度的算法，以提高数值解的准确性和稳定性。
并行计算
利用并行计算技术，提高计算效率，处理大规模问题。
自适应方法
研究自适应算法，根据问题特性自动调整计算精度和步长。
计算机技术的发展对数值解法的影响
1 2
硬件升级
计算机硬件的升级为数值解法提供了更强大的计 算能力。
它首先使用预估方法（如欧拉方法）得到一个 初步解，然后使用校正方法（如龙格-库塔方法） 对初步解进行修正，以提高精度。
预估校正方法的优点是精度较高，且计算量相 对较小，适用于各种复杂问题。
步长与误差控制
01
在离散化过程中，步长是一个重要的参数，它决定 了离散化的精度和计算量。
02
误差控制是数值逼近的一个重要环节，它通过设定 误差阈值来控制计算的精度和稳定性。
能够给出近似解的近似值，方便快捷，适用范围广。
数值解法的历史与发展
早期发展
早在17世纪，科学家就开始尝 试用数值方法求解常微分方程。
重要进展
随着计算机技术的发展，数值 解法在20世纪取得了重要进展， 如欧拉法、龙格-库塔法等。
当前研究热点
目前，常微分方程初值问题的 数值解法仍有许多研究热点和 挑战，如高精度算法、并行计
软件优化
软件技术的发展为数值解法提供了更多的优化手 段和工具。
求常微分方程的数值解
求常微分方程的数值解一、背景介绍常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是描述自然界中变化的数学模型。
常微分方程的解析解往往难以求得，因此需要寻找数值解来近似地描述其行为。
求解常微分方程的数值方法主要有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
二、数值方法1. 欧拉法欧拉法是最简单的求解常微分方程的数值方法之一。
它基于导数的定义，将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。
欧拉法的公式如下：$$y_{n+1}=y_n+f(t_n,y_n)\Delta t$$其中，$y_n$表示第$n$个时间步长处的函数值，$f(t_n,y_n)$表示在$(t_n,y_n)$处的导数，$\Delta t$表示时间步长。
欧拉法具有易于实现和理解的优点，但精度较低。
2. 改进欧拉法（Heun方法）改进欧拉法又称Heun方法或两步龙格-库塔方法，是对欧拉法进行了精度上提升后得到的一种方法。
它利用两个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
改进欧拉法的公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\Delta t,y_n+k_1\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}(k_1+k_2)\Delta t$$改进欧拉法比欧拉法精度更高，但计算量也更大。
3. 龙格-库塔法（RK4方法）龙格-库塔法是求解常微分方程中最常用的数值方法之一。
它通过计算多个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
RK4方法是龙格-库塔法中最常用的一种方法，其公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_1\Delta t}{2})$$ $$k_3=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_2\Delta t}{2})$$ $$k_4=f(t_n+\Delta t,y_n+k_3\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\Delta t$$三、数值求解步骤对于给定的常微分方程，可以通过以下步骤求解其数值解：1. 确定初值条件：确定$t=0$时刻的函数值$y(0)$。
常微分方程的数值解法
第六章 常微分方程的数值解法问题：一阶常微分方程初值问题⎩⎨⎧==' )(),(00y x y y x f y （6.1） 其解析解记为 )(x y y =，即⎩⎨⎧==' )())(,()(00y x y x y x f x y例如： ⎩⎨⎧=∈+='1)0(]1,0[ , y x y x y其解析解为 x e x y 21+--=。
另如： ⎪⎩⎪⎨⎧=∈-='1)0(]1,0[ , 2y x yx y y 其解析解为 x y 21+=。
上述2个例子，都是极其简单的情形，皆能用高数方法求出其解析解。
但是，大多数实际问题中得到的常微分方程是复杂的，其解析解一般难以求出。
在数值方法中，我们只能求得)(x y y =在x 的某些离散点上的近似解。
具体如下： 从0x 出发，选取一个合适的步长h ，则x 的某些离散点为,2,1,0 , 0=+=i ih x x i我们的目的是求出这些 ,2,1,0,=i x i 点上解析解)(x y y =的近似值 ,2,1,0 ),(=≈i x y y i i 这里的)(00x y y =是已知的，且当作是准确的。
求解这些 ,3,2,1,=i y i 的过程一般是步进式的，步进过程如下图所示：→→→→→→+1210i i y y y y y在公式推导之前，有必要把高数中函数)(x y y =的Taylor 级数展开来复述一下，这是本章所有公式推导的基础。
函数)(x y y =在0x x =点作Taylor 级数展开：+-++-''+-'+=n n x x x y n x x x y x x x y x y x y ))((!1))((!21))(()()(00)(200000 这里0x ,x 都可以是任意一点。
例如，若取0x 为i x , x 为1+i x ，记i i x x h -=+1，代入Taylor 级数展开式可得：+++''+'+=+=+)(!)(!2)()()()()(21i n n i i i i i x y n h x y h x y h x y h x y x y (6.2)再如，若取0x 为i x , x 为1-i x ，记1--=i i x x h ，代入Taylor 级数展开式可得：+-+-''+'-=-=-)(!)()(!2)()()()()(21i n n i i i i i x y n h x y h x y h x y h x y x y (6.3)又如，若取0x 为1+i x , x 为i x ,记i i x x h -=+1，代入Taylor 级数展开式可得：+-+-''+'-=-=+++++)(!)()(!2)()()()(1)(12111i n n i i i i i x y n h x y h x y h x y h x y x y (6.4)如果以上式子中)(x y y =代之以)(x y y '=，则有+++'''+''+'=+'='++)(!)(!2)()()()()1(21i n n i i i i i x y n h x y h x y h x y h x y x y (6.2.1)+-+-'''+''-'=-'='+-)(!)()(!2)()()()()1(21i n n i i i i i x y n h x y h x y h x y h x y x y (6.3.1)等等，都是应用Taylor 级数展开得到，这里不一一列举。
常微分方程的数值解算法
常微分方程的数值解算法常微分方程的数值解算法是一种对常微分方程进行数值计算的方法，这可以帮助我们更好地理解和研究自然现象和工程问题。
在本文中，我们将介绍一些常用的数值解算法，探讨它们的优缺点和适用范围。
常微分方程（ODE）是描述自然现象和工程问题的重要数学工具。
然而，对于许多ODE解析解是无法求出的，因此我们需要通过数值方法对其进行求解。
常微分方程可以写作：y' = f(t, y)其中，y是函数，f是给定的函数，表示y随t的变化率。
这个方程可以写成初始值问题（IVP）的形式：y'(t) = f(t,y(t))，y(t0) = y0其中，y（t0）=y0是方程的初始条件。
解决IVP问题的典型方法是数值方法。
欧拉方法欧拉方法是最简单的一阶数值方法。
在欧拉方法中，我们从初始条件开始，并在t = t0到t = tn的时间内，用以下公式逐步递推求解：y n+1 = y n + hf (t n, y n)其中，f（t n，y n）是点（t n，y n）处的导数， h = tn - tn-1是时间间隔。
欧拉方法的优点是简单易懂，容易实现。
然而，它的缺点是在整个时间段上的精度不一致。
程度取决于使用的时间间隔。
改进的欧拉方法如果我们使用欧拉方法中每个时间段的中间点而不是起始点来估计下一个时间点，精度就会有所提高。
这个方法叫做改进的欧拉方法（或Heun方法）。
公式为：y n+1 = y n + h½[f(t n, y n)+f(tn+1, yn + h f (tn, yn))]这是一个二阶方法，精度比欧拉方法高，但计算量也大一些。
对于易受噪声干扰的问题，改进的欧拉方法是个很好的选择。
Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法是ODE计算的最常用的二阶和高阶数值方法之一。
这个方法对定义域内的每个点都计算一个导数。
显式四阶Runge-Kutta方法（RK4）是最常用的Runge-Kutta方法之一，并已得到大量实践的验证。
常微分方程的数值解法
常微分方程的数值解法1. 引言常微分方程是自变量只有一个的微分方程，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。
由于常微分方程的解析解不易得到或难以求得，数值解法成为解决常微分方程问题的重要手段之一。
本文将介绍几种常用的常微分方程的数值解法。
2. 欧拉方法欧拉方法是最简单的一种数值解法，其具体步骤如下：- 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上假设解函数为线性函数，即通过给定的初始条件在每个子区间上构造切线；- 使用切线的斜率（即导数）逼近每个子区间上的解函数，并将其作为下一个子区间的初始条件；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
3. 改进的欧拉方法改进的欧拉方法是对欧拉方法的一种改进，主要思想是利用两个切线的斜率的平均值来逼近每个子区间上的解函数。
具体步骤如下： - 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上构造两个切线，分别通过给定的初始条件和通过欧拉方法得到的下一个初始条件；- 取两个切线的斜率的平均值，将其作为该子区间上解函数的斜率，并计算下一个子区间的初始条件；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
4. 二阶龙格-库塔方法二阶龙格-库塔方法是一种更为精确的数值解法，其基本思想是通过近似计算解函数在每个子区间上的平均斜率。
具体步骤如下： - 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上计算解函数的斜率，并以该斜率的平均值近似表示该子区间上解函数的斜率；- 利用该斜率近似值计算下一个子区间的初始条件，并进一步逼近解函数；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
5. 龙格-库塔法（四阶）龙格-库塔法是目前常用的数值解法之一，其精度较高。
四阶龙格-库塔法是其中较为常用的一种，其具体步骤如下：- 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上进行多次迭代计算，得到该子区间上解函数的近似值；- 利用近似值计算每个子区间上的斜率，并以其加权平均值逼近解函数的斜率；- 计算下一个子区间的初始条件，并进一步逼近解函数；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
常微分方程数值解
常微分方程数值解常微分方程数值解是数学中的一门重要学科，主要研究如何求解常微分方程，在科学计算中有着重要的应用。
常微分方程模型是自然界中广泛存在的现象描述方法，有着广泛的应用领域。
比如，在物理学中，运动中的物体的位置、速度和加速度随时间的关系就可以通过微分方程描述；在经济学中，经济变化随时间的变化也可以用微分方程来描述。
而常微分方程数值解的求解方法则提供了一种快速、高效的计算手段。
一、常微分方程数值解的基本概念常微分方程就是一个描述自变量（通常是时间）与其导数之间关系的方程。
其一般形式如下：$\frac{dy}{dt} = f(y,t)$其中 $f(y,t)$ 是一个已知的函数。
常微分方程数值解就是对于一个常微分方程，对其进行数字计算求解的方法。
常微分方程数值解常使用数值积分的方法来求解。
由于常微分方程很少有解析解，因此数值解的求解方法显得尤为重要。
二、常微分方程数值解的求解方法常微分方程数值解的求解方法很多，以下介绍其中两种方法。
1.欧拉法欧拉法是最简单的一种数值算法，其思想是通过将一个微分方程转化为一个数值积分方程来求解。
其数值积分方程为：$y_{i+1}=y_i+hf(y_i,t_i)$其中 $h$ 为步长，可以理解为每次计算的间隔。
欧拉法的主要缺点是其精度比较低，收敛速度比较慢。
因此，当需要高精度的数值解时就需要使用其他的算法。
2.级数展开方法级数展开法是通过将一个待求解的微分方程进行Taylor级数展开来求解。
通过对Taylor级数展开的前若干项进行求和，可以得到微分方程与其解的近似解。
由于级数展开法的收敛速度很快，因此可以得到相对较高精度的数值解。
但是，当级数过多时，会出现截断误差。
因此，在实际应用中需要根据所需精度和计算资源的限制来选择适当的级数。
三、常微分方程数值解的应用常微分方程数值解在现代科学技术中有着广泛的应用。
以下介绍其中两个应用领域。
1.物理建模常微分方程的物理建模是常见的应用领域。
常微分方程的数值求解
常微分方程的数值求解在数学中，常微分方程是一类重要的数学模型，通常用来描述物理、化学、生物等自然现象中的变化规律。
对于一些复杂的微分方程，无法通过解析方法进行求解，这时候就需要借助数值方法来近似求解。
本文将介绍常微分方程的数值求解方法及其应用。
一、数值求解方法常微分方程的数值求解方法主要包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
欧拉法是最简单也是最常用的数值求解方法，其基本思想是根据微分方程的导数近似求解下一个时间步上的解，并通过逐步迭代来得到整个解的数值近似。
改进的欧拉法在欧拉法的基础上做出了一定的修正，提高了数值求解的精度。
而龙格-库塔法则是一种更加精确的数值求解方法，通过考虑多个点的斜率来进行求解，从而减小误差。
二、应用领域常微分方程的数值求解方法在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
在物理学中，通过数值求解微分方程可以模拟天体运动、粒子运动等现象；在生物学领域，可以模拟生物种群的增长和变化规律；在工程领域，可以通过数值求解微分方程来设计控制系统、优化结构等。
三、实例分析以一个简单的一阶常微分方程为例：dy/dx = -y，初始条件为y(0) = 1。
我们可以用欧拉法来进行数值求解。
将时间间隔取为0.1，通过迭代计算可以得到y(1)的近似值为0.367。
而利用改进的欧拉法或者龙格-库塔法可以得到更加精确的数值近似。
这个例子展示了数值方法在解决微分方程问题上的有效性。
四、总结常微分方程是求解自然界中变化规律的重要数学工具，而数值方法则是解决一些难以解析求解的微分方程的有效途径。
通过本文的介绍，读者可以了解常微分方程的数值求解方法及其应用，希望可以对相关领域的研究和实践有所帮助。
至此，关于常微分方程的数值求解的文章正文部分结束。
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tic和toc函数用来记录微分方程求解命令执行的时间，使用tic函数启动计时 器，使用toc函数显示从计时器启动到当前所经历的时间。最后还输出计算的 点数，运行结果表明这时常微分方程不算很刚性。
lamda=1e-5; f=@(t,y) y^2-y^3; tic;[t,y]=ode45(f,[0,2/lamda],lamda);toc disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
适用场合 非刚性 非刚性 非刚性，计算时间比ode45短 适度刚性 刚性 刚性，当精度较低时，计算时间比ode15s短 刚性，当精度较低时，计算时间比ode15s短
例1 求解微分方程初值问题，并与精确解y(t)= t 1 1进行比较。
y'
y2 t 2 4(t 1)
，0≤t≤10
y(0)=2
常微分方程数值求解函数的统一命名格式： odennxx
ode是Ordinary Differential Equation的缩写，是常微分方程的意思。 nn是数字，代表所用方法的阶数。例如，ode23采用2阶龙格-库塔
（Runge-Kutta）算法，用3阶公式做误差估计来调节步长，具有低等精度。 ode45采用4阶龙格-库塔算法，用5阶公式做误差估计来调节步长，具有中 等精度。
时间已过 0.070974 秒。 ode15s计算的点数98
对于刚性问题，我们需要改变求解算法。我们选择以“s”结尾的函数，他们 专门用于求解刚性方程。计算时间大大缩短，计算的点数大大减少。
取a=2，绘制系统的时间响应曲线和相平面图。
令x2=x，x1=x’，则得到系统的状态方程：
x2 ' x1
x1'
a
x
2
x 2 ( 0 ) 0 ， x 1 ( 0 ) 1
f=@(t,x) [-2,0;0,1]*[x(2);x(1)]; [t,x]=ode45(f,[0,20],[1,0]); subplot(2,2,1);plot(t,x(:,2)); subplot(2,2,2);plot(x(:,2),x(:,1));
3．刚性问题
有一类常微分方程，其解的分量有的变化很快，有的变化很慢，且相差悬殊， 这就是所谓的刚性问题(Stiff)。 对于刚性问题，数值解算法必须取很小步长才能获得满意的结果，导致计算 量会大大增加。解决刚性问题需要有专门方法。非刚性算法可以求解刚性问 题，只不过需要很长的计算时间。
例3 假如点燃一个火柴，火焰球迅速增大直至某个临界体积，然后，维 持这一体积不变，原因是火焰球内部燃烧耗费的氧气和从球表面所获氧气 达到平衡。其简化模型如下：
f [t,y]=ode23(f,[0,10],2); y1=sqrt(t+1)+1; plot(t,y,'b:',t,y1,'r');
例2 已知一个二阶线性系统的微分方程为：
d 2 x a x 0 , a 0 dt 2 x(0) 0 ， x ' (0) 1
MATLAB提供了多个求常微分方程初值问题数值解的函数，一般调用格式为： [t,y]=solver(filename,tspan,y0,option) 其中，t和y分别给出时间向量和相应的数值解。solver为求常微分方程数值解 的函数。filename是定义f(t，y)的函数名，该函数必须返回一个列向量。 tspan形式为[t0，tf]，表示求解区间。y0是初始状态向量。Option是可选参数， 用于设置求解属性，常用的属性包括相对误差值RelTol(默认值是10-3)和绝对误 差值AbsTol(默认值是10-6)。
xx是字母，用于标注方法的专门特征。例如，ode15s、ode23s中的“s” 代表（Stiff），表示函数适用于刚性方程。
求常微分方程数值解的函数
求解函数 ode23 ode45 ode113 ode23t ode15s ode23s ode23tb
采用方法 2阶或3阶Runge-Kutta算法，低精度 4阶或5阶Runge-Kutta算法，中精度 Adams算法，精度可到10-3～10-6 梯形算法 Gear's反向数值微分算法，中精度 2阶Rosebrock算法，低精度 梯形算法，低精度
专题六 数值微积分与方程求解
6.5 常微分方程数值求解
常微分方程数值求解的一般概念 常微分方程数值求解函数 刚性问题
1．常微分方程数值求解的一般概念
求解常微分方程初值问题就是寻找函数y(t)使之满足如下方程： y'=f(t,y)，t0≤t≤b y(t0)=y0
所谓其数值解法，就是求y(t)在离散结点tn处的函数近似值yn的方法，yn≈y(xn)。 这些近似值称为常微分方程初值问题的数值解。相邻两个结点之间的距离称为 步长。
单步法：在计算yn+1时只用到前一步的yn,因此在有了初值之后就可以逐步往下计算，
其代表是龙格-库塔（Runge-Kutta）法。
多步法：在计算yn+1时,除了用到前一步的值yn之外,还要用到yn-p（p=1，2，…，k， k＞0）的值,即前面的k步。其代表就是亚当斯(Adams)法。
2．常微分方程数值求解函数
y’=y2-y3 y(0)=λ 0≤t≤2/λ
其中，y(t)代表火焰球半径，初始半径是λ，它很小。分析λ的大小对方 程求解过程的影响。
lamda=0.01; f=@(t,y) y^2-y^3; tic;[t,y]=ode45(f,[0,2/lamda],lamda);toc disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
时间已过 2.946947 秒。 ode45计算的点数120565
这时计算时间明显加长，计算的点数剧增，表明这时常微分方程表现为刚性。
lamda=1e-5; f=@(t,y) y^2-y^3; tic;[t,y]=ode15s(f,[0,2/lamda],lamda);toc disp(['ode15s计算的点数' num2str(length(t))]);