高二数学定积分1
高二数学定积分知识点总结
高二数学定积分知识点总结一、定积分的概念1.1 定积分的引入在高中数学中，我们学过了不定积分的概念和性质，定积分就是在这个基础上引入的。
当我们对一个函数进行积分时，如果我们要计算的量是函数在一个区间上的面积或者体积，那么我们就需要用到定积分。
定积分可以看做是一个变量的特定区间上的累积和。
1.2 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n等分，每个小区间的长度为Δx=n(b-a)，在第i个小区间上任取一点ξi，则f(x)在[a, b]上的定积分为：∫[a,b]f(x) dx=lim{n→∞}∑{i=1}^{n}f(ξi)Δx其中lim{n→∞}表示当n趋向于无穷大时的极限。
1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义即函数f(x)在[a, b]上的定积分就是函数y=f(x)与x轴所围区域的有向面积。
1.4 定积分的性质（1）定积分的线性性质：∫[a,b][f(x)+g(x)] dx=∫[a,b]f(x) dx+∫[a,b]g(x) dx（2）定积分的估值性质：若f(x)在[a, b]上连续，则必定存在α∈[a, b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(α)(b-a)1.5 定积分的计算定积分的计算主要是通过不定积分的计算来实现。
通过不定积分求出F(x)的原函数后，即可得到∫[a,b]f(x) dx=F(b)-F(a)。
二、定积分的应用2.1 定积分的物理意义定积分在物理学中有着重要的应用，它可以用来计算物体的质量、重心、压力、力矩等。
在力学中，定积分常用来计算物体的质心以及转动惯量等。
2.2 定积分的几何应用定积分可以用来求曲线与坐标轴所围成的曲边梯形或者曲边梯形的面积，也可以用来计算曲线的弧长、曲线旋转体的体积等几何问题。
2.3 定积分的工程应用在工程问题中，定积分可以用来计算各种曲线的长度、曲线所围成的区域面积、曲线所绕成的物体的体积等。
2.4 定积分的经济应用在经济学中，定积分可以用来计算总收益、总成本、总利润等与变量有关的经济指标。
定积分知识点总结数学
定积分知识点总结数学一、定积分的定义1. 定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分进行定义的一种方法。
定积分可以表示函数在一个区间上的“累积效果”，即函数在该区间上的总体积或总面积。
2. 定积分的符号表示定积分可以用符号∫ 来表示，即∫f(x)dx，其中f(x)是要积分的函数，dx表示自变量x的微元。
3. 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，取每个小区间上任意一点ξi，计算出函数在每个小区间上的面积，然后将所有小区间上的面积相加，得到一个近似值。
当n趋于无穷大时，这个近似值趋于一个确定的值，称为定积分，记作∫a到b f(x)dx。
4. 定积分的几何意义定积分的几何意义是函数f(x)在区间[a, b]上的图像和坐标轴之间的面积，当函数为正值时，定积分表示曲线下面积；当函数为负值时，定积分表示曲线上面积减去曲线下面积。
二、定积分的性质1. 定积分的存在性定积分的存在性是指对于一个函数在一个区间上的定积分是否存在，存在的充分必要条件是函数在该区间上连续。
2. 定积分的线性性定积分具有线性性质，即若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，c和d为常数，则有∫a到b(c*f(x)+d*g(x))dx=c*∫a到b f(x)dx+d*∫a到b g(x)dx。
3. 定积分的区间可加性若函数f(x)在区间[a, b]、[b, c]上都可积，则有∫a到c f(x)dx=∫a到b f(x)dx+∫b到c f(x)dx。
4. 定积分的不变性对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，若将区间[a, b]内的点重新排列，定积分的结果不会受到影响。
5. 定积分的估值通过使用上下和左右长方形法、梯形法等方法，可以对定积分进行估值，获得定积分的近似值。
三、定积分的计算1. 定积分的基本计算方法定积分的基本计算方法是使用定积分的定义进行计算，即按照定义对函数在区间内每个小区间上的面积进行求和，并计算出极限值。
高二数学人选修课件定积分的概念
在计算广义积分时，需要判断其是否 收敛。常用的判断方法包括比较判别 法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 等。
无界函数广义积分的计算
对于无界函数广义积分，需要找到函 数的瑕点，并通过分割区间、去掉瑕 点等方法将其转化为定积分进行计算 。
广义积分的应用举例
物理学中的应用
广义积分在物理学中有广 泛应用，如求解物体的质 心、转动惯量以及电磁学 中的相关计算等。
x)dx。
保号性
若在区间[a,b]上，f(x)≤g(x) ，则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
绝对值不等式
对于任意函数f(x)，有 |∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
02 定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
01
公式表述
若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$F(x)$是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原
。
不规则图形面积的计算
02
对于不规则的平面图形，可以使用定积分来求解其面积。具体
步骤包括确定被积函数、确定积分区间、求解定积分等。
定积分在面积计算中的应用举例
03
例如，可以使用定积分来计算抛物线与直线所围成的平面图形
的面积。
体积的计算
1 2 3
规则几何体体积的计算
对于规则的几何体，如长方体、球体、圆柱体等 ，可以直接使用相应的体积公式进行计算。
函数，则$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
02 03
几何意义
牛顿-莱布尼兹公式将定积分与不定积分联系起来，使得定积分的计算 可以转化为求原函数在区间端点的函数值之差，从而大大简化了定积分 的计算过程。
应用范围
适用于被积函数具有原函数的情况，是定积分计算的基本方法。
《高数》定积分课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
高二数学人选修课件第一章定积分的简单应用
复合求积公式及其误差分析
复合求积公式
为了提高数值计算的精度，可以采用复合求积公式。复合求积公式是将定积分区间划分为多个小区间 ，然后在每个小区间上应用基本的求积公式（如矩形法、梯形法或辛普森法），最后将所有小区间上 的结果相加得到定积分的近似值。
误差分析
数值计算方法的精度可以通过误差分析来评估。误差分析可以帮助我们了解数值计算方法的可靠性， 并指导我们如何改进计算方法以提高精度。常见的误差分析方法包括绝对误差、相对误差和均方误差 等。
将积分常数代入原函数的表达式，即可得 到总函数的解析式。
由总函数求边际函数方法
确定总函数
总函数描述了某一经济量（如成 本、收益等）与另一经济量的关
系。
求导得边际函数
对总函数进行求导，得到边际函数 的表达式。
分析边际函数
根据边际函数的表达式，可以分析 经济量的瞬时变化率以及变化趋势 。
经济生活中其他定积分应用
曲面图形面积计算示例
圆柱侧面积计算
圆柱的侧面积可以通过其底面周长和高的乘积来计算。在微元法中，可以将圆柱的侧面分割成许多微小的矩形条 或梯形条，每个微小图形的面积近似等于其宽和高的乘积，然后将所有微小图形的面积求和得到整个圆柱的侧面 积。
圆锥侧面积计算
圆锥的侧面积可以通过其底面半径、斜高和圆心角的乘积来计算。在微元法中，可以将圆锥的侧面分割成许多微 小的扇形或三角形条，每个微小图形的面积近似等于其半径、弧长和圆心角的乘积的一半，然后将所有微小图形 的面积求和得到整个圆锥的侧面积。
平面图形面积计算示例
矩形面积计算
矩形的面积可以通过其长和宽的乘积来计算。在微元法中，可以将矩形分割成许 多微小的矩形条，每个矩形条的面积近似等于其宽和高的乘积，然后将所有矩形 条的面积求和得到整个矩形的面积。
高中数学定积分的概念及相关题目解析
高中数学定积分的概念及相关题目解析在高中数学中，定积分是一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍定积分的概念，并通过具体的题目解析来说明其考点和解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用定积分。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分结果的确定值。
定积分的符号表示为∫，下面是定积分的定义：设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选取每个小区间中的一个点ξi，作为f(x)在该小区间上的取值点。
那么，定积分的近似值可以表示为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Σf(ξi)Δx当n趋向于无穷大时，定积分的近似值趋向于定积分的准确值，即：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx这个准确值就是函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
二、定积分的考点和解题技巧1. 计算定积分的基本方法对于一些简单的函数，可以直接使用定积分的定义进行计算。
例如，计算函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx = lim(n→∞)Σ(ξi)²Δx在这个例子中，可以将区间[0, 1]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = 1/n。
然后，选取每个小区间中的一个点ξi，可以选择ξi = i/n。
这样，定积分的近似值可以表示为：∫[0, 1]x²dx ≈ Σ(ξi)²Δx = Σ(i/n)²(1/n)当n趋向于无穷大时，可以求出定积分的准确值。
在这个例子中，计算过程如下：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σ(i/n)²(1/n)= lim(n→∞)(1/n³)Σi²= lim(n→∞)(1/n³)(1² + 2² + ... + n²)= lim(n→∞)(1/n³)(n(n+1)(2n+1)/6)= 1/3因此，函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分的值为1/3。
定积分的知识点总结
定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。
定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。
定积分的符号表示为∫。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。
定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。
二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。
这就是定积分的计算方法。
在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。
这就是黎曼和的基本思想。
2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。
这个面积就是曲线下的面积。
如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。
3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。
在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。
对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。
其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
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o
a
b
x
问题情境:
它们都归结为:分 1.曲边梯形面积问题割、近似求和、 ; 取逼近值
2.变力作功问题;
3.变速运动的距离问题.
我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为
一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由
此我们可以给定积分的定义
定积分的定义:
一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间 [a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度 为 x(x b a ),在每个小区间上取一点,依次为 n x1,x2,…….xi,….xn,作和
b
a
f ( x)dx几何意义
y o a b
就是位于 x 轴下方的曲 边梯形面积的相反数.
b
即 f ( x)dx S
a
S
y=f (x)
长春驾校君安驾校
柂痋爿
当函数 f (x)在 x[a, b] 有正有负时,
定积分 f ( x)dx
a
就是图中几个曲边图形面积的代数和,(x
Sn f (x1 )x f(x2 )x f(xn )x
如果 x 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那 么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记 作: S
b
a
f(x)dx .
积 分 上 限
b
a
f ( x)dx
积 分 下 限
被积函数
积 分 变 量
注 ：定积分数值只与被积函数及积分
区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关
a
b
f ( x)dx f (t )dt f (u )du
a a
b
b
曲线 y = f (x) ≥ 0，直线 x = a， x = b， y = 0 所
围成的曲边梯形面积可用定积分表示为
b
S f ( x)dx
2
2
5 3.定积分 ( x 1) dx =__________. 1 3 2 8 4.定积分 4dx _ _ _ _ _ _ _ _._ _
1
思考:
函数在区间[a,b]上的定积分 能否为负的?
定积分
1
2
( x 1) dx __________ __ .
定积分
2
1
( x 1) dx =__________.
Байду номын сангаас
三 .定积分的几何意义. 当 f (x) ≥ 0，定积分
y
y=f (x) A
b
a
f ( x)dx
S
o a b
x
的几何意义就是曲线 y = f (x) 直线 x = a， x = b， y = 0 所 围成的曲边梯形的面积 即 :
b
a
f( x ) dx S
当函数 f (x) 0 ， x[a, b] 时 定积分
a
变力作功问题可表示为
W
b
a
F ( x)dx
举例 1.由曲线y=x2+1与直线x=1,x=3及x轴 所围成的曲边梯形的面积,用定积分表 3 2 示为____________. 1 ( x 1)dx 2 积分下限 2. 2sin 3tdt 中,积分上限是___, [-2,2] -2 积分区间是______ 是___,
轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号)
b
几何意义
即 f( x ) dx S1 S2 S3
a
b
y
S1
O
S3
S2
X
例题分析: 求定积分，只要 1求下列定积分:理解被积函数和 (1) 0 ( 2x 4) dx
(2)
5
定积分的意义， 并作出图形，即 可解决。
1
2
0
sinxdx
2
(3) 1 x dx
1
用定积分表示下列阴影部分面积
y y y
y=sinx
O
X
y=x2-4x-5 -1
O
5
X
y=cosx 3 2 2
O
X
S=______;
S=______;
S=______;
四、小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
3.定积分的几何意义及简单应用
作业:P52
第1题(1)(3) 第 4题