定积分的定义1
高数定积分定义
高数定积分定义
定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一定区间上的
积分结果的确定。
在数学中，积分是微积分中的一种基本概念，定义
了一种反向操作，即由导数得到原函数。
定积分的定义是指在函数y=f(x)的x轴某一区间[a,b]上，将其分割成许多小的矩形，并将这些矩形的面积分别求出。
当分割的小矩形
数趋向于无穷大时，这些小矩形组成的面积总和即为该函数在区间[a, b]上的定积分，用符号∫abf(x)dx表示。
其中dx代表自变量的微元，f(x)代表被积函数，而a和b是积分
的上下限。
上述式子也可以看作是在曲线y=f(x)与x轴之间的面积之
积分。
为了方便计算，往往将上述区间分割成等分的若干小区间，其中
小区间的个数记作n，区间长为Δx。
于是有Δx=(b-a)/n，而小矩形
面积为f(xi)Δx，其中xi为小区间的中点。
将这些面积相加，即可得到该函数在区间[a, b]上的近似定积分。
在极限n趋向于无穷大的情况下，上述近似定积分将趋近于函数
在区间[a, b]上的定积分，即∫abf(x)dx。
因此，定积分又可以描述为曲线y=f(x)在区间[a, b]上与x轴之
间面积大小的确定。
而由于定积分的值只与积分区间及被积函数有关，因此在定积分的计算中，被积函数函数的表达式及积分区间的范围就
成为了最为重要的关键。
定积分在实际问题中的应用非常广泛，例如可以用于求曲线与坐标轴的面积，求函数在某个区间上的平均值，以及求物体在某一时间间隔内的位移等问题。
同时，定积分也是微积分中重要的积分概念之一，有较高的理论和实际应用价值。
1 定积分概念
.1 定积分概念定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n个小区间，设有常数I，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于区间[a,b]的任何分法，不论在中怎样取法，只要，总有成立，则称I是f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作。
接下来的问题是：函数f(x)在[a,b]上满足怎样的条件，f(x)在[a,b]上一定可积？以下给出两个充分条件。
定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。
.2 牛顿－莱步尼兹公式及实例定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则。
(1)证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。
于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节），即。
(2)在上式中令x = a，得。
又由Φ (x)的定义式及上节定积分的补充规定知Φ (a) = 0，因此，C = F(a)。
以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的Φ (x)，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。
由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。
为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。
公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。
例1 计算定积分。
解。
例2计算。
解。
例3计算。
解。
例4计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积。
1.5.3《定积分的概念》课件-(1)
5 S v(t )dt (t 2)dt 0 0 3
1 1 2
O
1 1 2 3 j n - 1
t
n n n n
n
注：
1 .当
f ( )x 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关，而与区间 a, b 的分法及
i 1 i
n
i
y y=f ( x)
b
c
b
f (x)dx。
f )( dx x)dx f (x f )( dx x) dx f (x )f dx (x f )( dx x dx f (。 x)dx a fa(x a)。 a a a c c c
b
b
c
c
b
b
b
c
b
f (x)dx。
0
y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
2
④
（2）在图②中，被积函数 f ( x) x 在[1 ， 2] 解： 上连续，且f ( x) 0, 根据定积分的几何意 义，可得阴影部分的面 积为 A 2 x 2 dx
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
y
y f ( x)
O
a
c1 a
Ｃ
b x
b c2
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1 定积分的概念
高等数学（上）
定理3 设函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上有界，
且只有有限个间断点，则 f ( x ) 在
区间[a , b]上可积.
定理4 设函数
则
f ( x ) 在区间 [a , b] 上有界且单调，
2
n
2
1 n 2 3 i n i 1
1 n( n 1)(2n 1) 3 n 6
1 1 1 1 2 6 n n
1 因为 max{x1 , x2 , xn } n
高等数学（上）
所以 0 n ，
故有
[a , b ]
上可积。
f ( x)
在区间
例1 设 R, 则
b
a
dx (b a ).
高等数学（上）
例2 利用定义计算定积分
0 x
1
2
dx .
解 由于 f (x) = x2 在 [ 0 , 1 ] 上连续 , 因此可积 .
所以取如下划分:
将
[0,1] 分成 n 等分，分点为
0
1
xdx
n n n (2) lim 2 2 2 2 2 n n 1 n 2 n n n 1 dx 1 1 lim 2 n 0 1 x2 n i i 1 1 n
高等数学（上）
用和式极限表示定积分： ba ba 2(b a ) n(b a ) lim ) f (a ) f (a ) f (a n n n n n
i b a lim f a (b a ) n n n i 1 b 1 n i f a (b a ) f ( x )dx n i 1 n a
定积分与极限的转化公式
定积分与极限的转化公式定积分与极限的转化公式是数学中常见的高级概念，它能够帮助我们更好地理解数学的规律性。
下面，就由我们来详细解释一下定积分与极限的转化公式及其应用。
一、定积分与极限的转化公式：1. 定积分及极限：（1）定积分的定义：定积分又称Riemann积分，它既可以用来表达近似应用，也可以用来进行函数逼近计算。
定积分主要是指把一个积分中可变量的不断变化和类椭圆的不断变化看做闭合的加法运算，形成一系列概率事件的加法和减法。
（2）极限的定义：极限是指在某个点的函数的值的取值范围非常窄，可以做到近似等于无穷小，这个点叫做极限。
极限主要用于求解某种自变量改变后，因变量取值范围的大小或变化趋势。
2. 定积分与极限转换公式：定积分I和极限L的转换公式为：I = L - ε，其中ε是小正数。
这个公式指出：当定积分的函数值趋于极限时，定积分的值就会等于极限减去小正数ε（ε> 0）。
因此，当积分中变量的值逐渐变化，极限的值也可以通过定积分来计算。
二、定积分与极限的转化公式的应用：1. 非正确函数的应用：把定积分的转换公式应用到非正确函数上，也就是说：把一个不是正确函数，但其它参数符合一定条件的函数以定积分的形式去算，得到不同时间点上函数的不同值，并且得出积分函数总体上趋向于极限。
2. 曲线积分的应用：定积分与极限的转化公式可以用于计算曲线积分，即把曲线上点到形成的矩形区域，通过极限来计算曲线的积分，从而算出曲线下面积的大小。
三、总结概括起来，定积分与极限的转换公式I=L-ε(ε>0)能够帮助我们更精准地计算出某个积分时变量取值限制范围，以及从而可以从定积分极限来计算出各变量取值和改变趋势；更加方便我们计算非正确函数的极限点和曲线积分，将大量的变量运算问题转化成极限的计算，从而获得更精准的结果。
第一节 定积分的概念和性质_1
∫a g( x)dx − ∫a f ( x)dx ≥ 0,
是 于
∫a f ( x)dx ≤ ∫a g( x)dx.
b
b
性质5的推论： 性质5的推论： （2） ） 证
∫a f ( x)dx ≤ ∫a
b
b
b
f ( x)dx. (a < b)
Q − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) ,
3 当 数 （ ） 函 f (x) 在 间 a, b]上 定 分 在 ， 区 [ 的 积 存 时
b
b
b
称 f (x)在 间 a, b]上 积 区 [ 可 .
存在定理
函 间 ， 定理1 定理1 当 数 f (x)在区 [a, b]上连续时
称 f (x)在区 [a, b]上可积 间 .
[ 数 ， 定理2 定理2 设函 f (x)在区间 a, b]上有界
y
y = f (x)
A=?
o
a b x
x = b所围 . 成
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形） 四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形） 九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多， 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
o a
x1
x i −1 i x i ξ
xn−1 b
x
为底， f 以[ xi−1, xi ]为底， (ξi ) 为高的小矩形面积为
Ai = f (ξi )∆xi
定积分的概念和基本思想
定积分的概念和基本思想一、定积分的概念和基本思想1、定积分的概念一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0<x_l<$$\cdots<$$x_{i-l}<x_i<$S\cdots<$$x_n=b$将区间$ la, b] S等分成$n$ 个小区间，在每个小区间$[x_{iT},x_i]$上任取一点$ C _i (i=l, 2, \cdots, n)$,作和式$\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}f(4 _i)Ax=$$\underset{i=l}{\overset {n} {\sum ))\frac(b-a} {n}f(C_i)$,当Sn-8$时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数$f (x) $在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a} * (b}f (x) (\rm d}x$,即$\int_{a}*{b}f(x){\rmd}x=$$\underset(n~* °°}{\lim}\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}\frac{b_ a}{n}f(g_i)$,这里,$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量,$f(x) {\rm d}x$叫做被积式。
(1)定积分$\int_{a}*{b}f(x) {\rm d}x$不是一个函数式,而是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$\int_{a}*{b}f(x){\rm d}x=$S\int_{a}*{b}f(t)(\rm d}t=$$\int_{a}*{b}f(u){\rm d}u$o(2)定义中区间的分法和$ g _i$的取法是任意的。
2、定积分的基本思想定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的而积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。
定积分的定义
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数f()在区间[a,b]上的积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系，一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。
定积分的分类
不定积分
即已知导数求原函数。
若F’()=f()，那么[F()+C]'=f()，（C∈R，c属于常数）也就是说，把f()积分，不一定能得到F()，因为F()+C的导数也是f()（C是任意常数）。
所以f()积分的结果有无数个，是不确定的。
所以一律用F()+C代替，这就称为不定积分。
即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。
定积分
定积分就是求函数f()在区间[a,b]中的图像包围的面积。
即由
y=0,=a,=b,y=f()所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
定积分的常用积分法
换元积分法
如果f（）∈c（[a，b]）；=ψ（t）在[a，β]上单值可导；当
a≤t≤β时，a≤ψ（t）≤b，且ψ（a）=a，ψ（β）=b,则∫ba f（）d=∫βa f（ψ（t））ψ’（t）dt
定积分的分点问题
定积分是把函数在一些区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴
的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。
习惯上，人们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δ是相等的。
但是
必须指出，即使Δ不相等，积分值仍然相同。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
1定积分的定义
§積分的意義1.我們把區間[],a b 分割成等長度的n 等分且限制函數值()0f x ≥，黎曼和是圖形下區域面積的近似值﹐而n 趨近於∞的極限值是這區域的面積。
(1) 分割出來的區間可以不等寬﹐定∆j x ＝1j j x x --（j ＝1,2,,n ），黎曼和nj 1＝Σ*()j f x x ∆﹐取極限=0lim →∆x nj 1＝Σ*()j f x j x ∆，x ∆是12,,,n x x x ∆∆∆中的最大值。
但這個方法有時並不方便﹐我們不採用這種不等寬度的分割而回到原來的等寬度分割。
(2) 函數()f x 的值有正有負。
對於上面(2)的放寬是有必要的，至少可運用到多項式或一些我們熟知的函數。
不管是等寬分割或不等寬分割，對任意區間[],a b 上的連續函數﹐極限值0lim →∆x nj 1＝Σ*()j f x j x ∆存在且唯一，這時黎曼和的極限值就是這函數的定積分。
2.定積分的定義：若函數()f x 是定義在[],a b 的連續函數﹐設01n a x x x b =<<<=是區間[],a b 的一等寬分割，x ∆＝na b －﹐在區間1,j j x x -⎡⎤⎣⎦任取一點*j x ﹐稱為參考點，則()f x 從a 到b 的定積分是∞→n lim nj 1＝Σ*()jf x x ∆，而以符號⎰b ax f ）（dx 表示。
※(1) 符號⎰是萊布尼茲首先引用的稱為積分符號。
(2) 函數()f x 稱為被積分函數。
(3) a 是積分的下限，b 是積分的上限，當a ＝b 時﹐積分值規定為0，即⎰b ax f ）（dx ＝0。
規定：⎰b ax f ）（dx ＝－⎰b ax f ）（dx 。
(4) 符號dx 本身沒有獨特的意義，⎰b ax f ）（dx 代表一極限值，⎰b at f ）（dt ﹐⎰b ay f ）（dy ﹐⎰b az f ）（dz 表示同一定積分。
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d表x 示 x1=0x,x=12d,yx=0,y2=22xx2围dx成. 的图形的面积，
0
1
所以
=答8案－0［:244=f 4x. －2x］dx
2
f
x dx－
2
2xdx
0
0
2
0 2xdx
2
0 2xdx 4.
［2 f 0
x
－2x］dx
2
0
f
x
dx－ 2 0
2xdx
【技法点拨】利用定积分的性质求定积分的策略 （1）利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合,对于每一个积分都 可以利用定积分的几何意义求出, 从而得到所求定积分的值. （2）求分段函数的定积分，可先把每一段的定积分求出后再相加. 提醒：要注意合理利用函数的奇偶性、对称性求解.
lim
n
n i1
b
n
a
f（i）.
【变式训练】利用定积分的定义计算
【解析】把区间［1,2］分成n等份,
每个小区间的长度为
在
上取
的值.
2
1
x
1
dx
所以
作积求和
x 1 ,
n
所以[xi－1,
x
i
]
[1
i－1 n
,1
i n
]
i
xi－1
1
i－1 i
n
1, 2,, n ,
f
i
1
1
i－1 n
2
i－1. n
0
1
0
1
2
0
f
x
dx
8,
则 ［2 f 0
x
－2x］dx
________
.
【解题指南】1.根据定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积分的 和. 2.直接利用定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积分的差,然后再 根据定积分的几何意义求解.
【解析】1.选C.由定积分的性质可知,
2.
因2为
c1
ck
（a c1 c2 ck b）.
【探究提升】定积分的运算性质的关注点 （1）线性运算：定积分的性质（1）（2）称为定积分的线性运算，等式两 边积分区间保持不变. (2)区间可加性：定积分的性质（3），称为定积分对积分区间的可加性， 等式右边任意两个积分区间的交集都是空集，各个积分区间的并集等于左 边的积分区间.
的几何意义是什么？
1
0 2dx ______________.
2
1 xdx ______________. 3 9 x2dx
3
【解题指南】1.根据定积分的几何意义,通过求相应图形的面 积求定积分的值. 2.弄清被积函数的图象，结合定积分的几何意义作答. 【解析】1.（1） 表示的是图（1）中阴影所示长方形的 面积，由于这个长方形的面积为2，所以 答案:2
类型 三 定积分性质的应用
熟练根据定积分的性质进行相关的运算，并总结利用定
积分的性质求定积分的策略.
1.已知
则 ()
2.已知
f
x
x 1,0 x 1, 2x2,1 x 2,
2
0
f
x
dx
A. 2x 1dxB. 22x2dx
0
0
C. 1x 1dx 22x2dxD. 12x2dx 2x 1dx
a［b （f1 x） f（2 x） f（m x）］dx
b a
（f1 x）dx
b a
f（2 x）dx
b a
f（m x）dx.
探究2:定积分的性质（3）能推广到有限个区间上的积分和 吗？
提示:能.推广公式为
bf（x）dx c1 f（x）dx c2 f（x）dx b f（x）dx
a
a
积分上限
积分下限
被积函数
2.定积分的几何意义 如果在区间［a,b］上函数f(x)连续且恒有________，那么定 积分 表示由直线____________和曲线_______所围 成的曲边梯形的面积.
f(x)≥0
b
a
f
x
dx
x=a,x=b,y=0
y=f(x)
3.定积分的性质
（1）
（k为常数).
1
0 2dx
1
0 2dx 2.
(2) 表示的是图（2）中阴影所示梯形的面积，由于这个
梯答形案的: 12面xd积x 为 所以
3, 2
2 xdx 3.
1
2
3
2
2.被积函数
的图象是以原点为圆心，半径r=3的圆
位义于 可x知轴，上定方积的分部y 分（9包表括x示2与此x半轴圆的的交面点积）.. 由积分的几何意
（2）
（3） b kf xdx _k__a_bf__x__d_x__ a
a［b f1 x f2 x］dx _a_bf_1__x__d_x____ab_f2__x__d_x_.ba来自fxdx
_ac_f__x__d_x____cb_f__x__d_x__其__中__a___c___b_.
二、定积分的运算性质 正确理解定积分的性质，思考下列问题： 探究1:定积分的性质（2）能推广到多个函数和或差的定积分 运算吗？ 提示:能.推广公式为
类型 一 利用定义求定积分
1.利用定积分的定义求
的值.
1 x2 2 dx 0
【技法点拨】用定义法求积分的步骤 （1）分割：将积分区间［a,b］n等分. （2）近似代替：取点ξi∈［xi-1,xi］，可取ξi=xi-1或者 ξi=xi. （3）求和：
（4）求极限：
n
i1
b
n
a
f（i）.
bf（x）dx a
的相反数，故
1 32 9
2
2
3
9 x2dx
3
3
9 x2dx 9.
3
2
【技法点拨】用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤 （1）准确画出各曲线围成的平面区域. （2）把平面区域分割成容易表示的几部分，同时注意x轴下方有没有区域. （3）解曲线组成的方程组确定积分的上、下限. （4）根据积分的性质写出结果.
3 9 x2dx 3
【互动探究】本题2若改为“求定积分
的值”，
结【果解怎题样指？南】根据定积分的几何意义，通过求规则33 图形9 的x面2 dx
积求定积分的值.
【解析】被积函数
的图象是以原点为圆心，半径
r几=何3的意圆义位可于知x，轴定下积方分的部y 分 （包表9 括示x与此2 x半轴圆的的交面点积）S.=由积分的
1.5.3 定积分的概念
1.定积分的概念 （1）定积分的定义式
(数2)_积__分__下,积限分__变，量积x分,被上积限式____b，f_（积__x分_）_区.d间x ___ln_i__m____i_n_1__b_，_n_被a_f_积（_函__i）_ . a
a
b
［a,b］
f(x)
积分号
f(x)dx
n
i1
f
i
x
n i1
(2
i－1)g1 nn
5n－1， 2n
2x 1dx lim 5n－1 5 .
1
n 2n 2
类型 二 定积分几何意义的应用
根据定积分的几何意义结合函数图象求解定积分的值，
并总结用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤.
1.利用定积分的几何意义填空.
(1)
(2)
2.定积分