定积分的定义 ppt课件
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6.1 定积分的概念与性质 课件 《高等数学》(高教版)
可积的.
(2)定积分
是一个数值，它的大小仅与被积函数
和积分区间
关，而与积分区间的分法、点 的选取方法及积分变量的符号无关，即
(3)我们规定：
(4)“分割-近似-求和-取极限”是定积分的思想方法.
有
三、定积分的几何意义
在区间
1、如果函数
几何上表示由曲线
积A，即
2、如果函数
几何上表示由曲线
的相反数，即
数，且
是时间 在区间
上的连续函
，计算质点在这段时间内经过的路程 。
由于速度是变量，即速度
是随着时间
“速度×时间”来计算. 但是，若把时间区间
而变化，因此，路程s不能直接用
分成许多小时间段，因质点运动
的速度是连续变化的，则在每个小段时间内，速度变化不大，可以近似地看作是匀
速的. 于是，在时间间隔很短的条件下，可以用“匀速”近似地代替“变速”，从而
形分割成许多小曲边梯形，每个小区间上对应的小曲边梯形面积近似地看成小矩形，所有的小矩
形面积的和，就是整个曲边梯形面积的近似值. 显然分割越细，每个小曲边梯形的顶部越接近平
顶，即每个小曲边梯形越接近小矩形，从而误差就越小. 因此，将区间[, ]无限的细分，并使
每个小曲边梯形的底边长都趋近于零，则小矩形面积之和的极限就可定义为所要求曲边梯形的面
的近似值，即
为底，
.
为高的小矩
(3)求和（近似和）：把n个小曲边梯形面积的近似值累加起来，就得到曲边梯形面积A
的近似值，即
(4)取极限：若记
， 则当
时，所有小区间的长度都趋于
零．如果上述和式的极限存在，这个极限值就是曲边梯形面积的精确值，即
实例2 变速直线运动的路程
(2)定积分
是一个数值，它的大小仅与被积函数
和积分区间
关，而与积分区间的分法、点 的选取方法及积分变量的符号无关，即
(3)我们规定：
(4)“分割-近似-求和-取极限”是定积分的思想方法.
有
三、定积分的几何意义
在区间
1、如果函数
几何上表示由曲线
积A，即
2、如果函数
几何上表示由曲线
的相反数，即
数，且
是时间 在区间
上的连续函
，计算质点在这段时间内经过的路程 。
由于速度是变量，即速度
是随着时间
“速度×时间”来计算. 但是，若把时间区间
而变化，因此，路程s不能直接用
分成许多小时间段，因质点运动
的速度是连续变化的，则在每个小段时间内，速度变化不大，可以近似地看作是匀
速的. 于是，在时间间隔很短的条件下，可以用“匀速”近似地代替“变速”，从而
形分割成许多小曲边梯形，每个小区间上对应的小曲边梯形面积近似地看成小矩形，所有的小矩
形面积的和，就是整个曲边梯形面积的近似值. 显然分割越细，每个小曲边梯形的顶部越接近平
顶，即每个小曲边梯形越接近小矩形，从而误差就越小. 因此，将区间[, ]无限的细分，并使
每个小曲边梯形的底边长都趋近于零，则小矩形面积之和的极限就可定义为所要求曲边梯形的面
的近似值，即
为底，
.
为高的小矩
(3)求和（近似和）：把n个小曲边梯形面积的近似值累加起来，就得到曲边梯形面积A
的近似值，即
(4)取极限：若记
， 则当
时，所有小区间的长度都趋于
零．如果上述和式的极限存在，这个极限值就是曲边梯形面积的精确值，即
实例2 变速直线运动的路程
《定积分定义》课件
定积分的计算
定积分的计算涉及到将被积函数与区间长度进行乘积，并 对所有这些乘积求和。
定积分的几何意义
面积
定积分可以用来计算平面图形在 某个区间上的面积，特别是当这 些图形由直线、抛物线、圆等基
本图形组成时。
体积
在三维空间中，定积分可以用来计 算旋转体等复杂几何体的体积。
物理意义
在物理学中，定积分常用于计算变 力在某个区间上做的功、曲线运动 的位移等。
物理中的定积分应用
总结词
在物理学中，定积分常用于解决与速度、加 速度、功等相关的物理问题。
详细描述
在物理学中，定积分的应用非常广泛。例如 ，在分析质点的运动时，可以利用定积分计 算质点的速度、加速度和位移；在分析弹性 体的应力分布时，可以利用定积分计算弹性 体内各点的应力值。此外，定积分还在电磁
学、光学等领域有着广泛的应用。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将被积函数分解为两个函数的乘积，然后分别积分，最后求和得到结 果的方法。
详细描述
分部积分法需要掌握分部积分的公式和计算技巧，如u和v的选取、分部积分的步骤等 。通过分部积分，可以将复杂的积分转化为容易计算的积分，或者将不易找到原函数的
积分转化为容易找到原函数的积分。
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积时发挥 了重要作用，可以应用于旋转体体积的计算 。
详细描述
定积分在计算旋转体的体积时非常有用。例 如，利用定积分可以计算圆柱、圆锥、球等 旋转体的体积。这些体积的计算公式都是通 过将旋转体划分为若干个小薄片，然后利用 定积分的性质计算这些小薄片的体积总和得 到的。
04
定积分的应用
平面图形面积的计算
总结词
定积分的计算涉及到将被积函数与区间长度进行乘积，并 对所有这些乘积求和。
定积分的几何意义
面积
定积分可以用来计算平面图形在 某个区间上的面积，特别是当这 些图形由直线、抛物线、圆等基
本图形组成时。
体积
在三维空间中，定积分可以用来计 算旋转体等复杂几何体的体积。
物理意义
在物理学中，定积分常用于计算变 力在某个区间上做的功、曲线运动 的位移等。
物理中的定积分应用
总结词
在物理学中，定积分常用于解决与速度、加 速度、功等相关的物理问题。
详细描述
在物理学中，定积分的应用非常广泛。例如 ，在分析质点的运动时，可以利用定积分计 算质点的速度、加速度和位移；在分析弹性 体的应力分布时，可以利用定积分计算弹性 体内各点的应力值。此外，定积分还在电磁
学、光学等领域有着广泛的应用。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将被积函数分解为两个函数的乘积，然后分别积分，最后求和得到结 果的方法。
详细描述
分部积分法需要掌握分部积分的公式和计算技巧，如u和v的选取、分部积分的步骤等 。通过分部积分，可以将复杂的积分转化为容易计算的积分，或者将不易找到原函数的
积分转化为容易找到原函数的积分。
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积时发挥 了重要作用，可以应用于旋转体体积的计算 。
详细描述
定积分在计算旋转体的体积时非常有用。例 如，利用定积分可以计算圆柱、圆锥、球等 旋转体的体积。这些体积的计算公式都是通 过将旋转体划分为若干个小薄片，然后利用 定积分的性质计算这些小薄片的体积总和得 到的。
04
定积分的应用
平面图形面积的计算
总结词
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
《定积分的概念》PPT课件
定积分的概念
一、引入定积分概念的实例 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质
一、引入定积分概念的实例
引例1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数f(x)在区间[a,b](a<b)上非负且连 续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴围成的图形称 为曲边梯形，其中曲线弧y=f(x)称为曲边，线段ab称 为底边. 问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边 梯形的面积.
把各小区间上力F所做的功的近似值加起来，作 为力 在a, b上所做的功的近似值，即 W W i F ( i ) s i .
i 1 i 1 n n
(3)取极限 把所有小区间长度中的最大值记为 max( si ) 则 0时，和式 F ( i ) si的极限值定义为变力
0 i 1
n
我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极 限”的方法解决变力作功的问题.
引例2 变力做功
设某质点作直线运动，已知变力F ( s)是位移s的 连续函数，质点的位移区间为a, b，求变力F做的功.
计算步骤 (1)分割
将闭区间[a, b] 分成n个小区间, 分别为: [ s0 , s1 ],[ s1, s2 ],,[ si 1, si ],,[ sn 1, sn ] 分点为: a s0 s1 s2 si sn 1 sn b 小区间的长分别为: si si si 1 (i 1,2,, n).
b (1)定积分 a f ( x)dx 是积分和式的极限，是一个数值，
定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关， 而与积分变量的记法无关.即有
a f ( x)dx a f (t )dt a f (u )du.
一、引入定积分概念的实例 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质
一、引入定积分概念的实例
引例1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数f(x)在区间[a,b](a<b)上非负且连 续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴围成的图形称 为曲边梯形，其中曲线弧y=f(x)称为曲边，线段ab称 为底边. 问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边 梯形的面积.
把各小区间上力F所做的功的近似值加起来，作 为力 在a, b上所做的功的近似值，即 W W i F ( i ) s i .
i 1 i 1 n n
(3)取极限 把所有小区间长度中的最大值记为 max( si ) 则 0时，和式 F ( i ) si的极限值定义为变力
0 i 1
n
我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极 限”的方法解决变力作功的问题.
引例2 变力做功
设某质点作直线运动，已知变力F ( s)是位移s的 连续函数，质点的位移区间为a, b，求变力F做的功.
计算步骤 (1)分割
将闭区间[a, b] 分成n个小区间, 分别为: [ s0 , s1 ],[ s1, s2 ],,[ si 1, si ],,[ sn 1, sn ] 分点为: a s0 s1 s2 si sn 1 sn b 小区间的长分别为: si si si 1 (i 1,2,, n).
b (1)定积分 a f ( x)dx 是积分和式的极限，是一个数值，
定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关， 而与积分变量的记法无关.即有
a f ( x)dx a f (t )dt a f (u )du.
定积分的概念PPT课件
nb a
s
lim
n
i1
n v( i)
Oa
i bt
思考3：一般地，如果函数f(x)在区间[a， b]上连续，用分点 a＝x0＜x1＜x2＜…＜xi＜…＜xn＝b将区 间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区 间[xi－1，xi](i＝1，2,…，n)上任取一
点 i 作和式 S
nb a
lim
n i1
n
Module 10
Units 1～2 Building the future
People on the move
重点单词
1．claim v．主张；宣称；夺去生命 n．要求，主张 【用法拓展】 claim to have done 声称曾经做过某事 make a claim 提出主张或要求 give up a claim 放弃要求 have a claim on sb.to do 要求某人做某事 Every citizen may claim the protection of the law. 所有公民都有权要求得到法律的保护。 The tornado claimed dozens of lives.那场龙卷风夺去了几十条人命. After her house was burgled，she made a claim on her insurance. 她家被盗后，她要求按保单赔付。[剑桥高阶]
f( i)
，那么
当n→∞时，Sn的极限是否一定存在？ 一定存在
思考4：数学上，把
lim
n
n b af( i1 n
i)
叫
做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，
b
记作 f (x )dx ，
a
即
高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt
二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
定积分的概念ppt课件
3ab
f
xdx＝ac
f
ห้องสมุดไป่ตู้
x
dx＋ b c
f
xdx其中a
c
b.
练习
计算 2 x3dx的值,并从几何上解释这个值 表示什么. 0
分割 近似代替 求和 取极限
小结
定义 定积分 几何意义
性质
作业
课本第50页习题1.5A组3,5
12
(4)取极限
1
1
1
2
4 n
1 0
x3dx
lim
n
Sn
lim
n
1 4
1
1 n
2
1 4
定积分的性质
1ab
kf
xdx
k
b
a
f
xdxk为常数；
2ab f1x
f2 xdx＝ab
f1xdx
b
a
f2 xdx；
定积分的概念
曲边梯形面积
S
n
lim x0 i1
f
i
n
x lim n i1
1 n
f
i
变速运动的路程
S
lim
t 0
n
i 1
i
t
lim
n
n i 1
1
n
i
y y=x2
曲边梯形
O
1x
分割 近似代替 求和 取极限
f (x)dx 被积式
你能说说定积分的几何意义吗?
f (x)连续 f (x)≥0
曲边梯形的面积就是定积分 b a
高二数学-定积分概念-课件
0
( x f (t)dt)2
0
( x f (t)dt)2
0
0
依题意，在[0, x](x 0)上, f (t) 0, (x t) f (t) 0,
且(x t) f (t) 0,故
x
f (t)dt 0,
x
(x t) f (t)dt 0,
0
0
F(x) 0(x 0),从而F(x)在(0,)内单调增加。
(2) lim 4 sin n xdx 0. n 0
解： （利用积分中值定理）
(1)
1 2
xn
dx
n
(1 0)
(0 1)
0 1 x 1 2
2
原式 lim n 0.
n 2(1 )
(2)
4
sin
n
xdx
sin
n
(
0)
0
4
原式 lim sin n 0.
n 4
(0 )
n
n
(iii)求和： A Ai f (i )xi
i1
i1
o a xi1i xi
bx
(iv)取极限：令 max{ x1,xn}，则曲边梯形面积
n
A lim 0 i1
f (i )xi
1.定积分定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，
(i)分割： 在[a,b]内插入若干个分点a x0 xn1 xn b，
x
0
(1) (1) 2
例4 设f (x)在[0,)内连续，且f (x) 0.证明
x
tf (t)dt
F(x)
0 x
在(0,)内卫单调增加函数。
0 f (t)dt
证
x
x
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吗？
提示:能.推广公式为
b f（ x ） d xc 1f（ x ） d xc 2f（ x ） d x bf（ x ） d x
a
a
1
c k
（ a c 1 c 2 c k b ） .
【探究提升】定积分的运算性质的关注点 （1）线性运算：定积分的性质（1）（2）称为定积分的线 性运算，等式两边积分区间保持不变. (2)区间可加性：定积分的性质（3），称为定积分对积分区 间的可加性，等式右边任意两个积分区间的交集都是空集， 各个积分区间的并集等于左边的积分区间.
二、定积分的运算性质 正确理解定积分的性质，思考下列问题： 探究1:定积分的性质（2）能推广到多个函数和或差的定积分 运算吗？ 提示:能.推广公式为
a［ b （ f1x） f（ 2x） f（ mx） ］ dx ab（ f1x） dxabf（ 2x） dx abf（ mx） dx.
探究2:定积分的性质（3）能推广到有限个区间上的积分和
因为
2 0
2
x
表d x 示x=0,x=2,y=0,y=2x围成的图形的面积，
1.5.3 定积分的概念
1.定积分的概念
（1）定积分的定义式 bf（ x ） d x _ lni_ m_ _ i_ n1_ b_ _ n_ a_ f_ （ _ _ _ i） _ . a
(2)积分下限_a_，积分上限_b_，积分区间_［__a_,_b_］__，被积函
数_f_(_x_)_,积分变量x,被积式_f_(_x_)_d_x_.
熟练根据定积分的性质进行相关的运算，并总结利用定
积分的性质求定积分的策略.
1.已知
fx2xx21,1,0xx21,,
则
2
0
f
x
dx
(
)
A . 2x1dxB . 22x2dx
0
0
C .1x1dx22x2dxD . 12x2dx2x1dx
0
1
0
1
2.已知 0 2 f x d x 8 ,则 0 ［ 2fx － 2 x ］ d x _ _ _ _ _ _ _ _ .
132 的 9相反数，故
2
2
3
9x2dx9.
3
2
【技法点拨】用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步 骤 （1）准确画出各曲线围成的平面区域. （2）把平面区域分割成容易表示的几部分，同时注意x轴下 方有没有区域. （3）解曲线组成的方程组确定积分的上、下限. （4）根据积分的性质写出结果.
类型 三 定积分性质的应用
(2)
2 1
x
表d x 示的是图（2）中阴影所示梯形的面积，由于这个
梯形的面积为 3 所, 以
2
答案: 3
2
2 xdx
3
.
1
2
2.被积函数 y 9的x图2 象是以原点为圆心，半径r=3的圆
位于x轴上方的部分（包括与x轴的交点）. 由积分的几何意
义可知，定积分 3 3
9表x2示dx此半圆的面积.
积分号
积分上限
积分下限
被积函数
2.定积分的几何意义
如果在区间［a,b］上函数f(x)连续且恒有_f_(_x_)_≥__0_，那么定
积分
b
a f
x
dx
表示由直线_x_=_a_,_x_=_b_,_y_=_0_和曲线_y_=_f_(_x_)_所围
成的曲边梯形的面积.
3.定积分的性质
（1） abkfxdx_k__ a_ b f__ x__ d_x__ （k为常数). （2） a ［ bf 1 x f 2 x ］ d x _ a_ b_ f1_ _ x_ _ d_ x_ _ _ _ ab_ f_ 2_ x _ _ d _ x _ . （3） a b f x d x _ a c _ f _ _ x _ _ d _ x _ _ _ _ c b _ f _ _ x _ _ d _ x _ _ 其 _ _ 中 _ _ a _ _ _ c _ _ _ b _ .
2.定积分 3 3
9 x2 dx
的几何意义是什么？
【解题指南】1.根据定积分的几何意义,通过求相应图形的面
积求定积分的值.
2.弄清被积函数的图象，结合定积分的几何意义作答.
【解析】1.（1）
1 0
2
d
表x 示的是图（1）中阴影所示长方形的
面积，由于这个长方形的面积为2，所以
1
0
2dx
2.
答案:2
【变式训练】利用定积分的定义计算
2
1
x
1 dx 的值.
【解析】把区间［1,2］分成n等份,
每个小区间的长度为 x 1 ,
n
在 [xi－ 1,xi][1i上－ n1 取,1n i]
ixi－ 11i－ n1i1 ,2, ,n,
所以 fi11i－ n12i－ n1.
作积求和 i n 1fi xi n 1(2i－ n1)g n 15n 2 － n1 ，
类型 一 利用定义求定积分
1.利用定积分的定义求
1 x2 2 dx 0
的值.
【技法点拨】用定义法求积分的步骤
（1）分割：将积分区间［a,b］n等分.
（2）近似代替：取点ξi∈［xi-1,xi］，可取ξi=xi-1或者
ξi=xi.
（3）求和：n
i1
b
n
a
f（i）.
（4）求极限：abf（ x） dxlni m i n1bn af（ i） .
【互动探究】本题2若改为“求定积分
3
3
9x2dx
的值”，
结果怎样？
【解题指南】根据定积分的几何意义，通过求规则图形的面
积求定积分的值.
【解析】被积函数 y 9的图x2象是以原点为圆心，半径
r=3的圆位于x轴下方的部分（包括与x轴的交点）. 由积分的
几何意义可知，定积分
3
3
9表x2示dx此半圆的面积S=
所以 2x1dxlim 5n－ 15.
1
n 2n 2
类型 二 定积分几何意义的应用
根据定积分的几何意义结合函数图象求解定积分的值，
并总结用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤.
1.利用定积分的几何意义填空.
(1)
1
2dx______________.
0
2
(2) 1xdx______________.
【解题指南】1.根据定积分的运算性质把所求定积分转化成 两个定积分的和. 2.直接利用定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积 分的差,然后再根据定积分的几何意义求解.
【解析】1.选C.由定积分的性质可知,
2fx d x1 x 1 d x22 x 2 d x .
0
0
1
2. 0 ［ 2fx － 2 x ］ d x 0 2 fx d x － 0 2 2 x d x