定积分的基本概念
定积分概念、性质
17世纪，从实际需要中人们提出许多问题，归结起来有两类：速度问题、切线问题。导数研究了事物变化的速度，定积分则研究相反的问题：事物变化的累积和。如面积、路程、电量多少、变量作功等等。 本章将重点学习定积分的概念、几何意义及微积分基本定理。
前 言
引例2——变速直线运动的路程
分割区间
取近似值
作和
取极限
（1）细分区间
ti-1
ti
(2) 取近似值
（3）作和
（4）取极限
T1
T2
v
t
曲边梯形面积A：
变速运动的路程 S：
记为
记为
二、定积分的概念（演示）
定积分定义
如果当最大的子区间的长度 时，此和式有极限，则此极限叫作f(x)在 [a，b]上的定积分，
几何意义也很明显
再根据闭区间上的联系函数的介值定理可得
如果变速直线运动物体的运动方程是 S=S(t)，则在时间段[T1,T2]内所发生的位移变化为S(T2)-S(T1)
如果物体的运动方程为V=V(t)，则由定积分可知
连续函数 在区间 上的定积分等于它的一个
则有
微积分基本公式（二）——牛顿—莱布尼兹公式
证明思路
记作
例2 求下列定积分
解 因为 在 上连续， 是它的一个原函数
所以
或
解 原式
几何意义
解 原式
几何意义
解 原式
解 原式
x
y
y=x2
1
A
0
如果右边的和式有极限（n→∞），则极限值即为整个曲边梯形的面积，即：
如图所示： 1）将区间[0,1]n等分。
定积分不定积分
定积分不定积分
定积分与不定积分是数学中的重要概念，它们的基本概念是定积分与不定积分的对比。
1、定积分：它是指对某区间上一个复合函数在其上求和的操作，它可以完成求定积分，这是一个求极限的过程，当把某个函数积分的过程越来越好的时候，可以使函数的值接近某个极限，从而得到定积分的结果。
2、不定积分：它是指对某区间上某函数不断增加或减少的积分过程，它可以完成求不定积分，这是一个寻找极值的过程，当函数一次性地积分，那么就会得到函数在某个区间上的最大值或最小值，从而得到不定积分的结果。
总之，定积分与不定积分是互为对立的概念，其针对的是相同的函数，但是它们分别根据对该函数的求积分过程，来进行极限求解或极值求解，从而得出不同的结果。
- 1 -。
掌握定积分概念及基本性质
供需关系研究
通过定积分，可以研究市 场供需关系的变化。
投资回报分析
在金融领域，定积分可以 用来分析投资回报率的变 化。
05
掌握定积分的重要性
在数学中的地位
连接微积分两大核心概念
定积分与微积分息息相关，是微积分理论体系的重要组成部分， 掌握了定积分，就等于掌握了微积分的一半。
深化对极限概念的理解
定积分与极限概念紧密相连，掌握定积分有助于更深入地理解极限 的内涵和应用。
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的核心公式，它表示为∫baf(t)dt=F(b)-F(a)，其中∫baf(t)dt表示函数f(t) 在区间[a, b]上的定积分，F(x)表示f(t)的原函数，即满足F'(x)=f(x)的函数。该公式通过选取合适的分割和 近似方式，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，最后求和得到定积分的值。
为后续课程奠定基础
定积分是学习复变函数、实变函数等后续课程的基础，对于数学专 业的学生来说至关重要。
在其他学科中的应用价值
物理学中的应用
在物理学中，定积分常用于计算 面积分，例如在计算电磁场、引
力场等物理量的分布时。
工程学科中的应用
在工程学科中，定积分常用于解 决与几何形状、物理量分布等有 关的实际问题，如机械工程、土
定积分的几何意义
定积分的几何意义是函数图像与x轴所夹的面积。具体来说，将定积分表示的函 数图像与x轴围成的面积，即为定积分的值。
定积分的几何意义还可以理解为曲线与x轴所夹的“曲边梯形”的面积。这个曲 边梯形的高就是函数值，底就是x轴上的区间。
定积分的物理意义
定积分的物理意义是表示某个物理量在某个时间段或某个 区间内的累积效应。例如，物体的质量分布不均匀，其质 心位置可以通过对质量分布函数进行定积分来求解。
定积分的知识点总结
定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。
定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。
定积分的符号表示为∫。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。
定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。
二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。
这就是定积分的计算方法。
在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。
这就是黎曼和的基本思想。
2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。
这个面积就是曲线下的面积。
如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。
3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。
在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。
对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。
其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。
定积分的概念和基本思想
定积分的概念和基本思想一、定积分的概念和基本思想1、定积分的概念一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0<x_l<$$\cdots<$$x_{i-l}<x_i<$S\cdots<$$x_n=b$将区间$ la, b] S等分成$n$ 个小区间，在每个小区间$[x_{iT},x_i]$上任取一点$ C _i (i=l, 2, \cdots, n)$,作和式$\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}f(4 _i)Ax=$$\underset{i=l}{\overset {n} {\sum ))\frac(b-a} {n}f(C_i)$,当Sn-8$时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数$f (x) $在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a} * (b}f (x) (\rm d}x$,即$\int_{a}*{b}f(x){\rmd}x=$$\underset(n~* °°}{\lim}\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}\frac{b_ a}{n}f(g_i)$,这里,$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量,$f(x) {\rm d}x$叫做被积式。
(1)定积分$\int_{a}*{b}f(x) {\rm d}x$不是一个函数式,而是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$\int_{a}*{b}f(x){\rm d}x=$S\int_{a}*{b}f(t)(\rm d}t=$$\int_{a}*{b}f(u){\rm d}u$o(2)定义中区间的分法和$ g _i$的取法是任意的。
2、定积分的基本思想定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的而积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。
定积分的基本概念
方法与手段导入幻灯幻灯幻灯幻灯详讲详讲详讲幻灯下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。
事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。
好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。
解决步骤：大化小：在区间[a,b]中任意插入n −1个分点a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n−1=b ，用直线x =x i 将一个曲边梯形分成n 个小的曲边梯形；常带变：在第k 个窄边梯形上任取ξk ∈[x k−1,x k ]作以[x k−1,x k ]为底，f(ξk )为高的小矩形，并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积∆S k ，得∆S k ≈f (ξk )∆x k (∆x k =x k −x k−1,k =1,2,⋯n) 近似和：S =∑∆S k n k=1≈∑f(ξk )∆x k n k=1取极限：令λ=max {∆x 1,∆x 2⋯,∆x n } S =lim λ→0∑∆S k n k=1=lim λ→0∑f(ξk )∆x k n k=1这样我们就可以求出曲边梯形的面积，我们再看一个定积分问题例子。
（2）变速直线运动的路程：设某物体做直线运动，已知()v v t =在区间[1T ,2T ]上t 的连续函数，且()0v t ≥，求在这段时间内物体所经过的路程s 。
考虑：当()0y f x C ==≥，()0v v t C ==≥时（其中C 为常数），上面问题的求解。
在解决这个问题之前我们先分析一下这个问题与上个问题之间的关系，我们可以发现其实求路程和求面积本身是同一类问题，变化的无非是函数名，区间名称，本质上是一样的，我们其实只需做一个按照上面的思路做一个变量替换就可以了，具体的解决步骤是。
解决步骤： 详讲 总结λ→0是个障碍，我们能不能把λ→0替换掉？其实把[0,1]区间n 等分，λ=1n →0，其实就是n →+∞，lim n→+∞∑(k n )21n n k=1，要求这个极限我需要先求∑(k n )21n n k=1，化简一下可以得到1n 3∑k 2n k=1，∑k 2n k=1=？，∑k 2n k=1=16n(n +1)(2n +1)，lim n→+∞∑(k n )21n n k=1=lim n→+∞n(n+1)(2n+1)6n 3=13。
定积分的概念
定积分与微积分定理1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b axn-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义(说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。
积分与定积分概念
积分与定积分概念积分和定积分是微积分中非常重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
本文将介绍积分和定积分的概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、积分的概念积分是微积分中的一个基本概念，它是求解曲线下面积的一种方法。
对于一个函数f(x)，它的积分可以用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数。
积分的结果可以看作是函数f(x)在某个区间上的“累积”。
二、定积分的概念定积分是积分的一种特殊形式，它是从a到b的区间上的积分。
定积分可以用∫[a,b]f(x)dx表示，其中[a, b]表示积分的区间。
定积分的结果是一个具体的数值，代表了函数f(x)在[a, b]区间上的累积值。
三、积分与定积分的性质1. 积分的线性性质：对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个标量k，有∫(kf(x) + g(x))dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
这个性质可以简化积分的计算过程。
2. 定积分与导数的关系：如果函数F(x)是函数f(x)的一个原函数（即F'(x) = f(x)），那么∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
这个性质可以用来求解定积分的值。
3. 定积分的区间可加性：如果函数f(x)在[a, c]和[c, b]上都是可积的，那么∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。
这个性质可以将一个区间上的积分分解成两个子区间上的积分。
四、积分在实际问题中的应用1. 曲线下面积：积分可以用来计算曲线与x轴之间的面积。
例如，在物理学中，利用定积分可以求解物体的位移、速度等问题。
2. 几何体的体积：积分可以用来计算几何体的体积。
例如，在工程学中，利用定积分可以求解复杂形状的建筑物的体积。
3. 概率密度函数：积分可以用来计算概率密度函数下的概率。
在统计学中，利用定积分可以计算出某个区间内随机变量的概率。
总结：积分和定积分是微积分中的重要概念，它们可以用来求解函数的累积值、曲线下的面积等实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分是在数学分析中的一个重要概念，这里介绍定积分的基本概念，使学生更好的理解它。
定积分（also known as definite integral）是一个数学表达式，它表示一个函数在某一个有限范围内平均值的近似值。
定积分的表达式为：
∫b a f(x)dx=∫b a [f(a)+f(b)+2f(a+b/2)]dx
其中，f(x)为所讨论的函数，a和b为其有限的范围。
在定积分计算中，对函数值的求和，是从范围的下限a开始的，直到范围的上限b结束。
很重要的是，定积分可以用来计算函数在某一范围内的积分，而积分就是求函数某一范围内的面积。
定积分的计算可以帮助学生更好地理解函数在某一范围内的性质，比如函数的最大值、最小值、极大值和极小值。
另外，定积分还可以用来计算函数在某一范围内平均值的近似值。
在这种情况下，将f（x）分解为f（a）和f（b）的加权平均值，并加上函数在中心点处的值是计算定积分最常用的一种方法。
总而言之，定积分是一个非常强大的数学概念，学习者可以使用它来计算函数值在有限的范围内的平均值、最大值、最小值等性质，并且它也可以计算函数在某一范围内的积分。
- 1 -。