定积分的概念
解释定积分的概念
解释定积分的概念
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
具体来说，定积分定义如下：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子
区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (xₙ-1,xₙ]，其中x₀=a，xₙ=b。
a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x
叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
同时，应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分是在数学分析中的一个重要概念，这里介绍定积分的基本概念，使学生更好的理解它。
定积分（also known as definite integral）是一个数学表达式，它表示一个函数在某一个有限范围内平均值的近似值。
定积分的表达式为：
∫b a f(x)dx=∫b a [f(a)+f(b)+2f(a+b/2)]dx
其中，f(x)为所讨论的函数，a和b为其有限的范围。
在定积分计算中，对函数值的求和，是从范围的下限a开始的，直到范围的上限b结束。
很重要的是，定积分可以用来计算函数在某一范围内的积分，而积分就是求函数某一范围内的面积。
定积分的计算可以帮助学生更好地理解函数在某一范围内的性质，比如函数的最大值、最小值、极大值和极小值。
另外，定积分还可以用来计算函数在某一范围内平均值的近似值。
在这种情况下，将f（x）分解为f（a）和f（b）的加权平均值，并加上函数在中心点处的值是计算定积分最常用的一种方法。
总而言之，定积分是一个非常强大的数学概念，学习者可以使用它来计算函数值在有限的范围内的平均值、最大值、最小值等性质，并且它也可以计算函数在某一范围内的积分。
- 1 -。
初中数学知识归纳定积分的基本概念和性质
初中数学知识归纳定积分的基本概念和性质定积分作为数学中的一个重要概念，是初中数学学习中必须掌握的内容之一。
本文将从定积分的基本概念和性质两个方面进行归纳，帮助初中生更好地理解和掌握这一知识点。
1. 定积分的基本概念定积分是对函数在一定区间上的积分，可以理解为曲线与x轴所夹的面积。
具体而言，定积分可以表示为∫ab f(x)dx，其中a和b分别表示积分的下限和上限，f(x)表示被积函数。
定积分的计算方法有多种，常见的有几何法和定积分的运算法则。
几何法是通过图形的面积进行计算，而定积分的运算法则则利用不定积分求解。
2. 定积分的性质定积分具有以下几个性质：（1）可加性：对于函数f(x)和g(x)，定积分具有可加性，即∫ab[f(x) + g(x)] dx = ∫ab f(x) dx + ∫ab g(x) dx。
（2）线性性：对于任意实数k，定积分具有线性性质，即∫ab kf(x) dx = k∫ab f(x) dx。
（3）区间可加性：对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以将该区间分割成若干小区间，然后进行分别计算再求和，即∫ab f(x) dx =∑(i=1 to n) ∫xi-1 xi f(x) dx，其中[xi-1, xi]表示分割后的小区间。
（4）定积分的性质与原函数相关：如果函数F(x)在区间[a, b]上是函数f(x)的原函数，则∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)。
（5）无关紧要的加法常数：定积分无关紧要的加法常数，即∫abf(x) dx = ∫ab [f(x) + C] dx，其中C为任意常数。
3. 定积分的应用定积分不仅仅在数学理论中有重要应用，还广泛应用于物理、经济学等实际问题中。
以下是一些常见的应用场景：（1）面积计算：定积分可以用来计算曲线与x轴所夹的面积，从而解决几何学中的面积问题。
（2）求解平均值：对于某些变量随时间变化的过程，可以通过定积分计算平均值，如平均速度、平均密度等。
定积分的概念
设某质点作直线运动，速度 v v (t ) 是时间间 隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，物体在这段时 间内所经过的路程.
S v(t )dt
T2 T1
例1 利用定义计算定积分 x 2dx.
0
1
i 解 将[0,1]n 等分，分点为 x i ，(i 1,2, , n ) n 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，(i 1,2, , n ) n 取 i x i ，(i 1,2,, n )
f ( x ) |在区间[a , b] 上的可积性是显然的.
（3） 设 M 及m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b] 上的最大值及最小值，
则 m(b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
b
6） (积分中值定理)若函数f ( x)在区间[a, b]上连续 . 则在[a, b]上至少存在一点 , 使得下式成立 :
o a
x1
x i 1 i x i
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， (i ) 为高的小矩形面积为 f
Ai f ( i )xi
近似
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
求和
当分割无限加细即小区间的最大长度 ,
max{x1 , x2 ,xn }
b
x
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积 的负值
b
y
a
o
A2
A1
A3
b
x
它 是 介 于x 轴 、 函 数 f ( x ) 的 图 形 及 两 条 直 线 x a, x b 之 间 的 各 部 分 面 积 的数 和 ． 代 在 x 轴 上 方 的 面 积 取 正 号在 x 轴 下 方 的 面 ； 积取负号．
定积分的概念
b
b
kf ( x)dx k
a
b
b
a
f ( x)dx.
b c
性质3：
性质4：
b
a b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
a b a
c
1dx
a
dx b a.
性质5： 如果在[a, b]上，f ( x) 0, 则 f ( x)dx 0 a b). （
x a、x b之间的各部分面积的代数和。
a
4.例子 应用定义计算 x dx 及
2 0
解：
e dx (1) f ( x) x 在[0,1]上连续，故 x dx存在。
x
2
1
1
0 1
2
0
1 i 将[0，n等分，则xi , 取 i (i 1,2, , n), 有 1] n n n n 1 2 1 2 0 x dx lim0 f ( i )xi lim0 i n i 1 i 1
x
b
a
f ( x)dx F (b) F (a) [ F ( x)]
x a
b
a f (t )dt也是f ( x)的一个原函数，从而
(微积分基本公式）
F ( x) ( x) C.令x a有F (a) C.即F ( x) ( x) F (a) 或 ( x) f (t )dt F ( x) F (a).令x b, 则
a
b
n
b
a
f ( x)dx I lim f ( i )xi
0
i 1
n
定积分的概念
f ( i ) xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 ,, xn }，如果不论对[a, b]
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和式总趋于 确定的极限I ，我们称这个极限 I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分， 记为
积分上限
b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
f
(i )xi
积分和
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表 达 式
变 量
定积分的本质是一种特殊结构的和式的极限
曲边梯形面积A：
n
A lim 0 i1
f (i )xi
记为 b f x dx a
隔[T1 ,T2 ]内，v 的变化不大，可近似看作是
匀速运动问题。按照求曲边梯形面积的思 想。
思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上 速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到 路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求 得路程的精确值。
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 ti ti ti1
sin xdx
1
A2
4
sin
xdx
所以
5
A sin xdx 4 sin xdx
1
内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i1
f (i )xi
2. 定积分的几何意义
定积分的概念和基本思想
定积分的概念和基本思想一、定积分的概念和基本思想1、定积分的概念一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0<x_l<$$\cdots<$$x_{i-l}<x_i<$S\cdots<$$x_n=b$将区间$ la, b] S等分成$n$ 个小区间，在每个小区间$[x_{iT},x_i]$上任取一点$ C _i (i=l, 2, \cdots, n)$,作和式$\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}f(4 _i)Ax=$$\underset{i=l}{\overset {n} {\sum ))\frac(b-a} {n}f(C_i)$,当Sn-8$时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数$f (x) $在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a} * (b}f (x) (\rm d}x$,即$\int_{a}*{b}f(x){\rmd}x=$$\underset(n~* °°}{\lim}\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}\frac{b_ a}{n}f(g_i)$,这里,$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量,$f(x) {\rm d}x$叫做被积式。
(1)定积分$\int_{a}*{b}f(x) {\rm d}x$不是一个函数式,而是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$\int_{a}*{b}f(x){\rm d}x=$S\int_{a}*{b}f(t)(\rm d}t=$$\int_{a}*{b}f(u){\rm d}u$o(2)定义中区间的分法和$ g _i$的取法是任意的。
2、定积分的基本思想定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的而积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。
定积分的概念
x + 3 dx - x
3 3 0 0
2
- x + 3 dx -x + 3x dx
3 2 0
四、小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
3.定积分的几何意义及简单应用
a f(x)dx - b f (x)dx
a
(2)定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
b
a f (x)dx a
O a
b
b
c
f (x)dx
b
c
f (x)dx。
b
lim f (i ) xi
n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a
(3)
b
b
b
f (t)dt f(u)du。
a
b
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
再 见
例 1：利用定积分的定义，计算 x3dx 的值。
0
1
3 取极限
1 1 2 1 0 x dx lim Sn lim 4 (1 n ) 4 n n
1 3
练习：利用定积分计算： x3 dx
0
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i
xi
3) 求和.
A=
å
n
D Ai- 1
i= 1
籇å f (xi ) xi
i= 1
n
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
A = lim å D Ai
l®0 i= 1
n
y
=
limå
l ®0
n
f (x i )D x i
i= 1
o a x1
xi 1 xi
i
1. 曲边梯形的面积
f (i) y y=f (x)
2.函数的可积性 定理1:如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x) 在区间 [a, b]上可积. 定理2:如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限 个间断点, 则函数f(x)在区间[a, b]上可积.
3.定积分的几何意义:
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
y
A1 a
A3
xi
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
在第i 个窄曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] y 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i ) 为高的小矩形, 并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
D Ai 籇 f (xi ) xi
得
o a x1
xi- 1
(D xi = xi - xi- 1 )
3 积零为整
S f ( i )x i
i 1
.
n
分法越细，越接近精确值
o
a
x i i x i 1
x
.
4 取极限
令分法无限变细
b
.
.
1. 曲边梯形的面积
f (i) y y=f (x)
元素法
1 化整为零
2 以直代曲 (以常代变) S i f ( i )xi
S
x
.
3 积零为整
p
0 sin x 1,
3
1 1 1 , 3 4 3 sin x 3
0
1 1 1 dx dx dx, 3 0 3 sin x 0 3 4
1 dx . 3 4 0 3 sin x 3
例4 估计积分
ò
sin x 解 f ( x) , x [ , ] 4 2 x x cos x sin x cos x( x tan x ) f ( x ) 0, 2 2 x x , f ( x ) 在[ , ]上单调下降
元素法
1 化整为零
2 以直代曲 (以常代变) S i f ( i )xi
3 积零为整
S f ( i )x i
i 1
.
n
分法越细，越接近精确值
o
a x1 x2
x i i x i 1
xn1 b
x
.
.
1. 曲边梯形的面积
f (i) y y=f (x)
元素法
1 化整为零
2 以直代曲 (以常代变) S i f ( i )xi
3. 积分中值定理
连续函数在区间上的平均值公式
二、定积分的定义
1. 定积分的定义 设函数f(x)在区间[a, b]上有界. 在区间[a, b]内插入n-1 个分点: ax0<x1<x2< <xn1<xnb; 记xi=xi-xi1 (i1, , n),
max{x1, x2,,xn}; 在小区间[xi1, xi]上任取一点i
b b b
b
a
f ( x)dx | a | f (x) | dx (ab)
b
a
b
f (x)dx a g(x)dx (a b)
即
| a f ( x)dx | a | f (x) | dx |
b
b
性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间[a b]上的最大值及 最小值 则 b m(b a) a f (x)dx M (b a) (a b) 性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连 续则在积分区间[a b]上至少存在一个点 ,使下式成立 f ( x)dx f ( )(b a) ——积分中值公式 a 这是因为, 由性质6变形得
b
1 b f ( x)dx M m a ba
由介值定理, 至少存在一点[a, b], 使 1 b f (x)dx f ( ) 两端乘以ba即得积分中值公式.
b a a
注: • 积分中值定理对
b
• 可把
a
f ( x ) dx
ba
f ( )
因
b a
f ( x ) dx ba
a
性质11 性质
b
a
[ f (x) ± (x)]dx g
b
a
f ( x)dx ±a g ( x)dx
b
性质22 性质
性质3 性质 3
b
b
a
kf (x)dx k a f (x)dx
b
f (x)dx a
f (x)dx a
c
c
b
f (x)dx
注：值得注意的是不论a b c的相 对位置如何上式总成立
(1 dx 1 1 1 (1xx)dx1 111 1 (1x))dx1 11 1 00 0 22 2 22 2
111
三、定积分的性质
两点规定
(1) 当 a b 时
(2) 当 a b 时
a
b
f ( x )dx 0
b
a
f ( x)dx b f ( x)dx
1 )(2 1 1 2 2 dx lim xxxdx lim fff(ii)xx lim 1 (1 1 )(2 1 )) 11 dx lim (i)) iii lim 1 ( 000 n n n 33 i0 i1 1 00 n 6 n n 3 i 1 n
S f ( i )x i
i 1
.
n
分法越细，越接近精确值
4 取极限
令分法无限变细
o
a
x i i x i 1
b
S = lim å f (xi )D xi . l ®0
i= 1
n
.
.
2.变速直线运动的路程
已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)>0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1=t0<t1<t2< *** <tn-1<tn=T2, tititi+1; (2)近似: 物体在时间段[t , t ]内所经过的路程近似为
b a n i 1 lim
1
n
ba 1 n f ( i ) × lim f ( i) n n n i 1
故它是有限个数的平均值概念的推广.
1 dx 的值 例3 估计积分 ò0 3 3 + sin x 1 解 f ( x) , x [0, ], 3 3 sin x
11 1 2
nn n
例2 用定积分的几何意义求 1(1 x)dx 1 11 1 0 2 2 解 函数 y1x在区间[0, 1]上的定积分是以y=1-x为 曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y=1-x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是 一个直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以
A5
A2
b
A4
b x
ò
a
f ( x)d x = A1 - A2 + A3 - A4 + A5
各部分面积的代数和
例1. 利用定义计算定积分
解 把区间[0, 1]分成n等份, 分点为和小区间长度为
i 1 xi xii (i1 2 2 n1) xi x1 (i1 2 2 n) (i1 n1) n (i1 n) i n n n i 取 i (i 1,2, n) ,作积分和 n nn n nn n nn n n n n 11 11 2 11 22 2 2 xx f f()ixii iixiii ((i i)))22111(11 1 )(2 1 )) ff((ii)) xx i i ix ((ii 22 1 1(( 1)(2 1) ( ) ix ) 1 (1 )()(2 ) 1 i i n nn n n 6 n n n 6 nn i i1 i1 1 i i1 i1 1 i i1 nn nn 66 i1 1 n i 1 i 1 i 1 n 1 因为 当0 时 n 所以 n
2.变速直线运动的路程
S = lim å D xi f (xi )
l ®0 i= 1
n
上述两个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题， 将其一般化，就得到定积分的概念.
ò
b
a
f ( x) d x =
ò
b
f (t ) dt =
a
ò
b
f (u ) d u
a
二、定积分的定义
1.定积分的定义 b
f (x)dx lim f (i)xi a
0 i1
T2
1
n
根据定积分的定义 曲边梯形的面积为 A a f ( x)dx
b
变i1, 2,, n), 作和 f (i )xi 如果当0时, 上述和式的 极限存在, 且极限值与区间[a, b]的分法和i的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为