定积分的基本概念

定积分的基本概念

摘要：定积分的概念,原理,思想方法。

关键词：分割,求和,取极限。

通过了一个学期的学习，我们的专业课数学分分析从开始接触时的一窍不通到现在的马马虎虎。使我迷茫的学习慢慢的清晰起来，其中给我学以致用的就是定积分了。可以用来做很多方面的问题。下面来和大家分享一下我学习定积分的感悟。

定积分的概念

1)定积分概念的引入

2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立

3)定积分的数学定义

重点：定积分的数学定义

难点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立

定积分概念的引入

在熟悉定积分的概念的同时我们应该明确定积分的基础思想。

在灵活运动定积分可以求曲边梯形的面积和变力所做的功，下面来分别的求它们的面积。我们可以从中比较一下，以给我们带来启发。

1曲边梯形的面积

中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。

近似看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。

我们分别取n=10, 50, 100用计算机把它的图像画出来，并计算出面积的近似值：

1.当n=10时，用10个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S10 0.7510。（见下图）

2.当n=50时，用50个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S50≈0.6766。

3.当n=100时，用100个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S100≈0.6717。

由此可知，分割越细，越接近面积准确值，而这个和求极限也是同出一则。把它这样简化来理解也就不再那么的难了。

再看一个变力做功的问题。

设质点m受力F（x）的作用，沿直线由A点运动到B点，求力

F（x）的做的功。

F虽然是变力，但在很短一段时间内△x，F的变化不大，可近似看着是常

力做功问题。按照求曲边梯形的面积的思想。

1） 对F （x ）作分割： a

当每个小区间的长度都很小时，[a,b]上的力：

F ≈F(xn),xn ∈[Xi-1,Xi]在[Xi-1,Xi]上，力F 作的功

△Wi ≈F(xn)△xi

2）求和

力F 在 [a,b]上作的功 W=∑∆n 1w i

≈∑∆n xi

n F 1)(；分割越细，近似程度越好，

分割无限细时，即分割细度：0→∆xi 时。

3）取极限

对上面和式子取极限，极限值就是力在[a,b]上作的功。

从上面俩个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割.近似求和.取极限”，或者说都归结为形如：

i n i i x f ∆∑=1)(ξ

的式子极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，

作为一个数学概念提出来就是定积分。

上面的俩个例子，一个是计算曲边梯形的面积的几何问题，另一个是求变力作功的力学问题，它们最终都归为一个特定形式将形式的和式逼近。在现实生活中还有许多这样的数学问题，解决这类问题问题的思想方法无非就是“分割，求和，取极限”这三步了。而这就在于我们平时学习定积分的积累和运用了。

下面我们再来看看一个使用的计算题：

求在区间[0,1]上，以抛物线y=1-x^2为

曲边的三角形的面积。（如右图）

解：因y=x^2,故所求面积为

i i i x dx x S ∆==∑⎰=n

1102^lim 2^-1ξ

为取得此极限，在定积分存在的

前提下，允许选择某种的分割T 和特殊的点集{i ξ} 在此只需要取等分分割： T={,......,2,n 1n 1,1n n -}，;n

1=T 并取.,...2,1],,1[1n i n

i n i n i i =-∈-=ξ则有

n n i 1*)2^2^1(s -

≈∆ ∑∑==-=-≈1

11

n 2^3^111*)2^2^1(n i n i i n n n i S =1-

3

22^6n 132^2→+-n n 上面的这个例题很充分的向我们展现的定积分的方便之处。和它做题的 思想原理。

学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其它类型的积分就很容易理解了。现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中看到定积分的基本思想是：首先作分割然后用“直”的长方形去近似代替小曲边梯形，以“直” 代“曲”；然后把所有长方形加起来，近似求和，得到曲边梯形面积的一个近似值；当分割无限加细时，就得到曲边梯形的准确值， 即⎰b

a

dx x )(f ，这时又从“直”回到了“曲”。“分割、近似求和、取

极限”是定积分的核心思想。

刚刚开始接触微积分的时候感觉不知道可以用来干什么，只是感觉因为是专业课，所以要学。学习起来也很吃力和迷茫。现在懂了看来还是有很大帮助的，其中学到最后才发现所学的数学分析其实很定积分的道理都是一样的，最频繁出现的就是取极限了。比如后来咱们学习的“含参量积分”“曲线积分”“重积分”“曲面积分”等一些课程。都离不开定积分的学习基础。在学习定积分的同时更应该好好牢记和灵活牢记它的公式。这样才能把定积分学的更好，而在学好定积分的基础上数学分析就不再那么的难以理解了。