几种定积分的数值计算方法
分别利用矩形法梯形法辛普森法对定积分进行近似计算并比较计算效果
分别利用矩形法梯形法辛普森法对定积分进行近似计算并比较计算效果定积分是微积分中重要的概念之一，表示在一个区间上函数的面积。
在计算定积分时，有时候我们无法通过解析方法求得精确的结果，这时候可以利用数值方法来进行近似计算。
常见的数值方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。
本文将分别对这三种方法进行介绍并进行比较。
1.矩形法（矩形近似法）：矩形法是最简单的数值方法之一，它的基本思想是将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个矩形的面积，然后将这些矩形的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
根据矩形法的计算公式可以得到：∫f(x)dx ≈ Δx·(f(x₁)+f(x₂)+...+f(xₙ))其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
2.梯形法（梯形近似法）：梯形法同样是利用近似的思想，将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个梯形的面积，然后将这些梯形的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
梯形法的计算公式为：∫f(x)dx ≈ （Δx/2）·[f(x₀)+2f(x₁)+2f(x₂)+...+2f(xₙ-1)+f(xₙ)]其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
3.辛普森法（抛物线近似法）：辛普森法是一种基于三次多项式插值的数值积分方法，它通过将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个抛物线的面积，然后将这些抛物线的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
辛普森法的计算公式为：∫f(x)dx ≈ （Δx/3）·[f(x₀)+4f(x₁)+f(x₂)+4f(x₃)+...+4f(xₙ-1)+f(xₙ)]其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
例：计算函数f(x)=√(1+x²)在区间[0,1]上的定积分。
接下来，我们分别利用矩形法、梯形法和辛普森法对这个定积分进行近似计算，并比较计算结果。
1)矩形法：将区间[0,1]平均分为n个小区间，取xᵢ=i/n，其中i=0,1,2,...,n。
几种常用数值积分方法的比较
几种常用数值积分方法的比较数值积分是一种计算数学中定积分的方法。
常用的数值积分方法有梯形法、辛普森法和复合梯形法。
这些方法在实际计算中具有不同的优点和适用范围。
梯形法是最简单的数值积分方法之一、它基于求取定积分的梯形面积近似值。
梯形法将积分区间等分为若干个小区间，然后计算每个小区间的梯形面积，并将这些梯形面积相加得到最终的近似值。
梯形法的优点是简单易懂，计算速度较快。
然而，它的精度相对较低，特别是在非平滑函数的情况下。
辛普森法是一种更精确的数值积分方法，它基于使用二次多项式逼近函数曲线。
辛普森法将积分区间等分为若干个小区间，然后对每个小区间内的函数曲线进行三次插值，计算出每个小区间的积分值，并将这些积分值相加得到最终的近似值。
辛普森法的优点是比梯形法更精确，对于平滑函数的近似效果较好。
然而，在处理非平滑函数时，辛普森法的效果可能不如预期。
复合梯形法是对梯形法的改进和扩展。
它将积分区间分为若干个小区间，并在每个小区间内使用梯形法进行积分计算。
然后将这些小区间的积分值相加得到最终的近似值。
复合梯形法的优点是可以通过增加小区间的数量来提高精度。
它在实际计算中被广泛使用，特别是对于非平滑函数的积分计算。
在比较这些常用的数值积分方法时，有几个关键的因素需要考虑。
首先是计算精度，即方法的近似值与实际值的误差大小。
其次是计算复杂度，即使用方法计算积分所需的计算量和时间。
另外，还要考虑方法的适用范围，如对于平滑函数和非平滑函数的效果。
此外，与其他数值方法相比，这些方法的优点和局限性也需要考虑。
综合来看，梯形法是最简单且计算速度较快的数值积分方法，但精度相对较低。
辛普森法在平滑函数的近似计算中效果较好，但对非平滑函数的处理可能不理想。
复合梯形法是一种在实际计算中广泛使用的方法，可以通过增加小区间的数量来提高精度。
根据具体的计算要求和函数特性，可以选择适合的数值积分方法。
同时，还可以根据实际需要结合其他数值方法进行计算，以提高精度和效率。
定积分的近似计算方法
定积分的近似计算方法定积分近似计算方法指的是利用数值计算方法来估算给定函数在一定区间上的积分值。
这些方法常常用于当函数在该区间内无法求得解析式时，或者解析式难以求得的情况下。
下面将介绍常用的数值积分近似计算方法。
一、矩形法矩形法即将积分区间等分为若干小区间，然后在每个小区间中选择一个代表点，将函数在该点的函数值作为近似积分的值。
具体可以分为左矩形法、右矩形法和中矩形法。
1.左矩形法左矩形法即取每个小区间的左端点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a) +f(a+Δx) + … + f(a+(n-1)Δx)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。
2.右矩形法右矩形法即取每个小区间的右端点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a+Δx) + f(a+2Δx) + … +f(a+nΔx)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。
3.中矩形法中矩形法即取每个小区间的中点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a+Δx/2) + f(a+3Δx/2) + … +f(a+(2n-1)Δx/2)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。
二、梯形法梯形法是通过将积分区间上的曲线拟合为多个梯形来近似计算定积分的方法。
将积分区间[a,b]等分为n个小区间，然后在每个小区间上用两个端点处的函数值拟合成一个梯形，然后将这些梯形的面积加起来即可得到近似的定积分的值。
具体计算公式为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx/2 * [f(a) + 2f(a+Δx) + 2f(a+2Δx)+ … + 2f(a+(n-1)Δx) + f(b)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。
三、辛普森法辛普森法是通过将积分区间上的曲线拟合为多个二次多项式的方法。
将积分区间[a,b]等分为n个小区间，每两个相邻区间拟合成一个二次多项式。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的一种重要概念，用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线的弧长、质量、质心等物理量。
本文将总结定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、换元积分法、分部积分法等。
一、基本定积分的计算基本定积分是指形如∫f(x)dx的定积分，其中f(x)为已知函数。
基本定积分的计算方法主要包括常数法、分段法和凑微分法。
1. 常数法：当被积函数为常数函数时，可以直接利用积分性质计算。
如∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为积分常数。
2. 分段法：当被积函数在不同区间上有不同的表达式时，可以将积分区间划分为不同的子区间，在每个子区间上分别计算积分，然后再求和得到整个区间上的积分值。
3. 凑微分法：当被积函数可以通过凑微分的方式转化为已知函数的微分形式时，可以利用凑微分法进行计算。
凑微分法的关键是找到合适的凑微分项，使得被积函数可以表示为一个函数的微分。
例如，对于∫x^2dx，可以将其转化为∫(x^2+1-1)dx，然后利用积分性质计算。
二、换元积分法换元积分法是一种常用的定积分计算方法，通过引入新的变量进行替换，将原来的积分转化为更容易计算的形式。
换元积分法的关键是选择合适的换元变量和适当的换元公式。
1. 一般换元法：当被积函数中存在形如f(g(x))g'(x)的部分时，可以选择g(x)作为新的变量进行替换。
然后利用链式法则计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。
2. 三角换元法：当被积函数中存在形如sin(x)或cos(x)等三角函数时，可以选择三角函数的反函数作为新的变量进行替换。
然后利用三角函数的导数和反函数的导数计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。
三、分部积分法分部积分法是一种常用的定积分计算方法，通过将积分中的乘积拆解为两个函数的乘积，利用分部积分公式进行计算。
分部积分法的关键是选择合适的分部函数和求导函数。
分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
计算定积分的方法
计算定积分的方法定积分是微积分的重要概念之一，它可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积、求解物体的体积、求解平均值等问题。
计算定积分的方法有一些常见的技巧，如换元法、分部积分法、利用对称性和利用定积分的性质等。
下面将逐一介绍这些方法。
第一种方法是换元法。
当被积函数中存在一部分可以通过一次函数替换来简化时，可以使用换元法。
换元法通过变量替换的方式将原函数简化为具有更简单形式的函数，从而更容易求解。
一般来说，有两种常用的换元方法：一种是代数换元法，即通过引入新的代数变量来替换函数中的一部分；另一种是三角换元法，即通过引入三角函数来替换函数中的一部分。
第二种方法是分部积分法。
分部积分法是利用导数的乘积法则将一个积分转化为另一个积分的方法。
具体来说，当被积函数中存在一部分可以看作是一个函数的导数与另一个函数的乘积时，可以使用分部积分法。
分部积分法的公式为：$$\int u \,dv = uv - \int v \, du$$ 通过适当选择$u$和$dv$，可以将原积分化简为更易求解的形式。
第三种方法是利用对称性。
当被积函数具有一定的对称性时，可以利用这种对称性来简化计算过程。
例如，当被积函数为偶函数时，可以将积分区间从$(-a,a)$缩小为$(0,a)$，然后将被积函数乘以2进行积分。
当被积函数为奇函数时，可以利用奇函数的性质进行化简。
第四种方法是利用定积分的性质。
定积分具有一些特殊的性质，如线性性质、additivity性质和区间可加性质等。
通过利用这些性质，可以将原积分化简为更容易求解的形式。
例如，可以将一个复杂的定积分分解为多个简单的定积分相加，或者利用区间可加性质将一个积分区间分成多个小区间，然后对每个小区间进行积分。
以上所提到的方法只是定积分计算中常用的一些方法，实际上还有其他一些求解定积分的技巧和方法。
在解决具体问题时，需要根据问题的特点和需要选择合适的方法。
另外，在实际计算中，还可以借助计算工具如数值积分、计算机软件等来求解定积分，特别是当被积函数很复杂或求解过程较为繁琐时，这些工具可以提供更便捷和准确的解决方案。
C语言用六种方法求定积分
C语言用六种方法求定积分C语言中求定积分的方法主要有以下六种：基本公式法、数值积分法、Laplace变换法、微积分概念法、数值积分法和Monte Carlo方法。
下面将详细介绍每种方法的原理和实现。
1.基本公式法：基本公式法是求解定积分的最基本方法，根据不同函数的特点和性质，利用已知的积分公式进行求解。
例如，对于一次函数和常数函数，可以使用基本公式法求解。
2.数值积分法：数值积分法是通过将定积分转化为数值计算问题来求解。
常用的数值积分方法有矩形法、梯形法和辛普森法等。
这些方法基于将求积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上近似计算出函数的积分值，再将这些积分值加总得到最终结果。
3. Laplace变换法：Laplace变换法是一种利用Laplace变换求解微分方程的方法，也可以用来求解定积分。
通过将被积函数进行Laplace变换，然后利用Laplace变换公式求解积分，最后再求出反变换得到结果。
4.微积分概念法：微积分概念法是通过将定积分定义为函数曲线下的面积来求解。
具体做法是将被积函数图像与坐标轴围成的面积分为若干个小的矩形、梯形或曲线段以及一个小的区域。
然后根据图形的几何性质进行近似计算，将这些小面积相加得到最终结果。
5.数值积分法：数值积分法也是一种基于数值计算的方法，但与前面提到的数值积分法不同，它通过构造一系列特定形式的插值函数对被积函数进行逼近，然后计算插值函数的积分值来近似求解定积分。
常用的数值积分法有牛顿-科特斯公式和高斯-勒让德公式。
6. Monte Carlo方法：Monte Carlo方法是一种基于统计随机性的数值积分方法，它通过随机抽样来进行数值求解。
具体做法是在被积函数图像下随机抽取一系列点，根据这些随机点的坐标和函数值来估计函数的积分值。
通过对多次随机抽样的结果取平均可以得到定积分的近似值。
以上六种方法都可以用C语言来实现，具体的实现方法可以根据具体问题的特点和要求选择合适的算法和数据结构，然后编写相应的代码实现。
1在0到x的定积分
1在0到x的定积分定积分是数学中一个重要的概念，它不仅用于计算数学问题，还常用于物理和工程方面的计算。
它也是最基本的积分，又称定积分或定积分。
本文将介绍从0到x的定积分的基本概念和几种计算方法。
首先，定积分的概念很简单，概括起来就是求函数在某个区间上的积分。
积分可以用来求解微分方程，计算相关量，如曲线和曲面的面积，求取曲线的长度等。
特别是在物理、力学、化学等科学领域，定积分的应用非常广泛。
其次，从0到x的定积分。
它包括两个参数，一个是积分区间的起始点0，另一个是积分区间的终止点x。
我们将用公式表示定积分的求解过程：int_{0}^{x} f(x)dx一般情况下，积分表达式右边是一个函数f(x)，我们要求0到x 这个区间上函数的积分。
那么，有几种方法可以求解0到x的定积分？首先，我们可以使用数值积分法，它使用近似值来计算积分，即将曲线区间分为多个小区间来计算积分的和。
这种方法简单，但精度取决于小区间的数量。
其次，我们可以使用拉格朗日公式（Lagrange Formula）来计算定积分，拉格朗日积分法是一种基于拉格朗日插值函数的多项式，它会给出在指定区间内定积分的准确结果。
第三种方法是使用积分变换法，它可以将求解定积分转化为求解一种特殊函数的积分。
例如，当函数为指数函数时，可以使用指数变换法将积分转化为求解特定函数的积分，从而很容易的求解定积分。
第四，我们可以使用贝塞尔积分法来计算定积分。
贝塞尔积分法可以将复杂的函数积分转换为多项式的积分，由于多项式的积分比较容易，所以可以快速求解复杂函数的定积分。
最后，我们可以使用Monte Carlo方法来求解定积分。
Monte Carlo方法通常用于处理非常复杂的积分问题，它使用随机变量来模拟复杂函数的积分，从而得到定积分的近似结果。
以上就是从0到x的定积分的基本概念和几种计算方法。
定积分在物理和工程领域的应用非常广泛，也是数学里最基本的积分之一。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线与坐标轴之间的面积、曲线长度、质量、动量等问题。
本文将总结几种常见的定积分计算方法。
1.基本积分法：也称为不定积分法，是定积分的基础。
通过求导的逆过程，可以将一些简单的函数反求积分。
例如，对于常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等，都可以直接得到不定积分的表达式。
但对于复杂函数，基本积分法可能不适用。
2. 牛顿-莱布尼茨公式：也称为换元积分法。
该方法通过引入新的变量，将原积分转化为更简单的形式。
常见的换元变量有正弦函数、指数函数、幂函数等。
换元积分法的关键在于选择合适的换元变量，使得被积函数的形式变得更简单。
例如，对于∫sin(2x)dx，可以通过令u=2x进行换元，得到新的积分∫sin(u)du，再求解即可。
3. 分部积分法：也称为乘法积分法，是对乘积形式的积分进行处理的方法。
通过对乘积函数中的一个函数求导，另一个函数积分，可以将原积分转化为更简单的形式。
分部积分法的公式为∫udv=uv-∫vdu，其中u和v是可以求导或积分的函数。
该方法适用于许多复杂函数的积分计算，例如多项式函数与指数函数的积分。
4. 凑微分法：也称为凑常数法，是对积分式进行代换，使得被积函数的微分形式展开后更简单，从而进行积分的方法。
例如，对于∫x/(1+x^2)dx，可以通过令u=1+x^2进行代换，得到新的积分∫(1/u)du，再求解即可。
5. 变限积分法：该方法常用于计算曲线与坐标轴之间的面积。
当被积函数为连续函数时，可以通过使用反函数求解，将定积分转化为一系列不定积分的差值。
例如，对于求解曲线y=f(x)与x轴所围成的面积，可以将其表示为∫[a,b]f(x)dx=[F(x)]a^b，其中F(x)是f(x)的原函数。
通过求F(x)的反函数，可以将定积分简化为计算两个不定积分的差值。
6. 参数方程法：该方法适用于计算平面曲线围成的面积。
当曲线由参数方程给出时，可以通过将x或y表示为参数的函数，进而将面积转化为定积分的形式。
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几种定积分的数值计算方法摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明、关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形Several Numerical Methods for Solving Definite IntegralsAbstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper、Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed、Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods、Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid1. 引言在科学研究与实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式⎰-=baa Fb F x f )()()(求得积分、这个公式不论在理论上还就是在解决实际问题中都起到了很大的作用、 在科学研究与实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ⎰-=baa Fb F x f )()()(求得积分、这个公式不论在理论上还就是在解决实际问题中都起到了很大的作用、另外,对于求导数也有一系列的求导公式与求导法则、但就是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况:(1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出、例如积分 dx ex ⎰-102, ⎰10sin dx xx等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。
(2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。
(3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用、 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较.2、几何意义上的数值算法s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计算s 的近似值也就就是A 的近似值,如图1所示、沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之与、常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中nab h -=表示小区间的长度、 2、1矩形法矩形法就就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到S 的近似值、若取小区间左端点的函数值为小矩形的高,如图1中所示,则∑=-=ni i x f n a b A 1).( 图1 分割曲边矩形近似积分2、2 梯形法梯形法则用小直边梯形的面积近似代替小曲边梯形面积,见图2,从而得到S 的近似值,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=∑-=11)(2)()(n i i x f b f a f n a b A 、图2 分割曲边梯形近似积分2、3抛物线法抛物线法以抛物线为曲边梯形的曲边,曲边梯形的面积近似代替小曲边梯形的面积,如图3所示、图3 抛物线积分210,,x x x 对应的曲线上的点210,,P P P 可以唯一地确定一条抛物线c bx ax y ++=2,这条抛物线将作将代替从0x 至2x 的曲线段,此时积分可以转化为对抛物线积分,而抛物线的积分可以利用牛顿—莱布尼玆公式、第1、2个小区边梯形的面积:)]()(4)([3)210212x f x f x f hdx c bx ax A x x ++=++=⎰（上面利用了条件210,,P P P 就是抛物线上的点以及等式1022x x x =+、同理可证: )]()(4)([3h4322x f x f x f A ++=……)]()(4)([3122/n n n n x f x f x f hA ++=--所以,})(2)(4)]()({[12/122/11232/21∑∑-==--+++=+++≈n i i n i i na b n x f x f b f a f A A A S Λ3、概率意义上的数值算法概率算法就是定积分问题数值求解的一类常用方法,其设计思想简单,易于实现 、尽管算法要耗费较多计算时间,但就是往往能得到问题的近似解,并且近似程度能随计算时间的增加而不断提高、概率算法可用于计算定积分的近似值、3、1平均值法考虑定积分⎰=ba dx x f I )(的近似计算,其中)(x f 在[]b a ,内可积,用平均值法计算该积分,首先随机产生n 个独立的随机变量,且服从在[]b a ,上均匀分布,即),2,1(n i i Λ=ξ;其次,计算I 的近似值I ,∑=-=ni i f n a b I 1)(ξ、 由中心极限定理知,若{}),2,1(n i i Λ=ξ相互独立、同分布,且数学期望及标准差0>σ存在,则当n 充分大时,随机变量nII Y σ-=渐近服从正态分布)1,0(N ,即对任意的0>αt ,}t I -I P{}t Y P{nσαα<=<这表明,用平均值法计算定积分的收敛速度较慢,在概率意义下的误差阶仅为)1(n O 、3、2“类矩形”Monte-Carlo 方法由于平均值法计算定积分的收敛速度较慢,且在概率意义下的误差阶仅为)1(n O ,就有对平均值法的改进,“类矩形” Monte-Carlo 方法,改进过程为:先将积分区间[]b a ,n 等分, 随机产生n 个相互独立且服从[]1,0上均匀分布的随机变量序列),2,1(},{n i i Λ=ξ;然后由这n 个随机点类似于矩形公式构造计算公式,即作变换 n i i nab a i i Λ,2,1),1(=-+-+=ξη将}{i ξ映射到子区间 []n i b a a b nia ab n i a ,,2,1,,)}(),(1{Λ=⊂-+--+最后,计算I 的近似值I ~,∑=-=ni i f n a b I 1)(~η.下面用两个命题证明“类矩阵”方法的可行性、命题1 设[][][]有记,,,)(max ,,)(0,1b a x x f M b a C x f b a x ∈∀'=∈∈M a b a b x f dx x f ba2)())(()(20-≤--⎰证明:由Lagrange 中值定理得)())(()()(000之间与介于x x x x f x f x f ξξ-'+=上式两边在[]b a ,积分,得⎰⎰-'+-=babadx x x f a b x f dx x f ))(())(()(00ξ由)(x f '得连续性,得.2)()(21)())(())(()(222020000M a b b a x b a x M dxx x M dx x x f a b x f dx x f b ababa-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=-≤-'≤--⎰⎰⎰ξ命题2 设[],,,)(1nab h b a C x f -=∈ [][]n i x f M x f M ih a h i a x i b a x ,.2.1,)(max ,)(max ,)1(,Λ='='=+-+∈∈I ~与I 如上,则I ~与I 的误差满足)1(~nO I I =-、证明: ⎰∑=--=-bani i f n a b dx x f I I 1)()(~η∑⎰∑=+-+=-=ni iha hi a ni i f h dx x f 1)1(1)()(η∑⎰=+-+-≤n i iha hi a i hf dx x f 1)1()()(η由命题1得, n i h M hf dx x f i iha hi a i ,,2,1,2)()(2)1(K =≤-⎰+-+η 于就是∑=-≤≤-ni i a b n M h M I I 122)(22~即)1(~nO I I =-、3、3“类梯形”Monte-Carlo 方法再给出平均值法的另一种改进、首先将[]b a ,n 等分,再在每个子区间上随机产生n 2个相互独立且服从]1,0[上均匀分布的随机变量序列,并两两分组,得),,3,2,1(},,{212n i i i K =-ξξ;做变换)12(2)22(2221212i i i i i nab a i nab a ξηξη+--+=+--+=--将12-i ξ,i 2ξ分别映射到子区间ni a b ni a a b n i a a b ni a a b n i a ,,3,2,1)],(),(212[)](212),(1[K =-+--+--+--+然后在每个等分子区间上)](),(1[a b nia ab n i a -+--+利用i i 212,ηη-两点类似于梯形公式构造“类梯形”公式 )]()([212i i i f f nab S ηη+-=- 近类似⎰+-+ih a hi a dx x f )1()(、最后计算I 的近似值I ~~,∑=-+-=n i i i f f n a b I 12122)()(~~ηη. 下面证明“类梯形”方法可行性的两个命题:命题3 设()[]2,f x a b ∈C ，记[](),max ''x a b f x ∈M=，则()1212,x x a x x ∀≤≤，有()()()()312212bab a b af x dx f x f x M ---+≤⎡⎤⎣⎦⎰. 证明: 过()()()()1122,,,x f x x f x 两点的直线方程为()()()211121()()f x f x P x f x x x x x -=+--所以 ()(),1,2.i i P x f x i ==令12()()()()()()R x f x P x k x x x x x =-=-- (1)将x 瞧成[],a b 上的一个定点,构造辅助函数12()()()()()()t f t P t k x t x t x φ=----由于12()()()0x x x φφφ===,由Rolle 中值定理,'()t φ在(),a b 内至少有两个零点,对'()t φ再用Rolle 中值定理,知''()t φ在(),a b 内至少有一个零点,即存在(),a b ξ∈,使''()''()2()0f k x φξξ=-=,所以''()()2f k x ξ=.将它代入(1)式,并两段同时从a 到b 积分,得 ()()()12121212121212122''()()()2()()2()()()()()()2ba babax x b a x x b af x dx f x f x f x x x x dx M x x x x dxM x x x x dx x x x x dx x x x x dx ξ--+⎡⎤⎣⎦=--≤--⎡⎤=--+--+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰记121212121212(,)()()()()()()x x bax x L x x x x x x dx x x x x dx x x x x dx =--+--+--⎰⎰⎰不妨设12a x x b <<<,则将12(,)L x x 分别对求偏导数,得1222212121()()()02()()()02x x a bL b a x x x a b L b a x x x +=----=+=--+-=解得唯一驻点:121(3)41(3)4x a b x a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 又3333()()(,),(,)44166a b a b b a b a L L a b ++--==故当12a x x b ≤<≤时,()()()()31212(,)2212bab a b a Mf x dx f x f x L x x M ---+≤≤⎡⎤⎣⎦⎰结论成立.命题4 [],,)(2b a C x f ∈设[][]n i x f M x f M nab h ih a h i a x i b a x Λ,2,1,)(max ,)(max ,,)1(,=''=''=-=+-+∈∈I 与I ~~如上,则I 与I ~~ 的误差满足:)1(~~2nO I I =-、证明:∑⎰∑⎰∑⎰∑=+-+-=+-+=-=-+-≤+-=---=-n i iha hi a i i ni ih a h i a ni i i ba n i i i hf f dx x f f f h dx x f f n a b dx x f I I 1)1(2121)1(121212122)()()(2)()()(2)()(~~ηηηηηη由命题3,得n i h Mh f f dx x f i iha hi a i i ,,2,1,122)()()(3)1(212K =≤+-⎰+-+-ηη于就是∑=-≤≤-n i i n M a b h M I I 123312)(12~~即)1(~~2nO I I =-、4、例题对于积分dx 14102⎰+x ,该积分精确值为3、1416、下面分别给出本文所涉及计算方法对它的计算结果:4、1用三种基于几何意义的算法:矩形算法,梯形法,抛物线法作比较,结果如表1:表1 几何意义算法的比较分割数算法 近似值 误差110矩形3、1424129413.8-e梯形 3、1399398 37.1-e 抛物线 3、1415569 81.4-e210矩形3、1415528 13.8-e 梯形 3、1416496 57.1-e 抛物线3、14160128110.4-e4、2用平均值法,及其改进“类矩形”Monte-Carlo 方法, “类梯形”Monte-Carlo 方法计算结果如表2:表2 概率意义算法的比较5.结语本文介绍的几种求积公式各有特点:梯形求积公式与抛物线法求积公式就是低精度公式,但对于光滑性较差的被积函数有时比用高精度方法能得到更好的效果,尤其就是梯形求积公式.当被积函数为周期函数时,效果更为突出、由表1分析,一般情形下,三种基于几何的算法中矩形算法的误差最大,梯形法次之,抛物线法最高、抛物线法的积分精度远远高于另外两种方法,特别就是在积分区间分割份数较小的情况下,仍然保持较高的近似程度、“类矩形”Monte-Carlo 方法; “类梯形”Monte-Carlo 方法就是平均值法的改进,提高了平均值法的精确度.通过表2可以瞧出,直接用平均值法计算定积分,410节点的计算已经很可观了,但计算结果只有2位有效数字,而选取同样的节点数,计算量几乎不变,类矩阵法就达到了4位有效数字,类梯形法则达到了8位有效数字,恰好与上述定理中误差阶的估计就是一致的,从而也验证了“类矩形”Monte-Carlo 方法与”类梯形”Monte-Carlo 方法的高效性.从表2中也可以瞧出随着节点数的增大,积分精度会不断提高,当然计算复杂度就会增加、参考文献[1] 费祥历,刘奋,马铭福、高等数学(第2版上册)[M]、山东:石油大学出版社,2008: 211-287. [2] 徐萃薇,孙绳武、计算方法引论(第三版)、北京:高等教育出版社,2007、 [3] 王晓东、计算机算法分析与设计[M]、北京:电子工业出版社,2001:197-228、 [4] 徐钟济、蒙特卡罗方法[M]、上海:上海科学技术出版社,1985、节点数算法 近似值 误差410平均值法3、13849728 31.3--e 类矩形法 3、1416903 50.7-e 类梯形法3、1416002990.2--e[5] 张平文,李铁军,数值分析[M]、北京:北京大学出版社,2007、[6] 阮宗利、计算一元定积分的若干数值算法及其比较[J]、中国石油大学学报(科技教育),2010:182-184、[7] 朱长青、计算方法及其应用、北京:科学出版社,2006、[8] 张威,刘志军,李艳红、数值分析与科学计算、北京:清华大学出版社,200,5[9] 明万元,郑华盛、求解数值积分的两类新的Monte-Carlo方法[J]、南昌航空大学学报,2010,40(10):180-186、[10]刘长虹,关永亮等、蒙特卡洛在数值积分上的应用[J]、上海工程技术大学学报,2010,24(1):43-46、[11]王岩、Monte-Carlo方法应用研究[J]、云南大学学报(自然科学版),2006,28(SI):23-26、。