几种定积分的数值计算方法

几种定积分的数值计算方法 摘 要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明.

关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals

Abstract: Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords: Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(xf在区间],[ba连续且原函数为)(xF,则可用牛顿-莱布尼茨公式 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(xf在区间],[ba连续且原函数为)(xF,则可用牛顿-莱布尼茨公式 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(xf的原函数无法用初等函数给出.例如积分

dxex102, 10sindxxx 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(xf使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(xf的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较．

2.几何意义上的数值算法 s在几何上表示以],[ba为底,以曲线)(xfy为曲边的曲边梯形的面积A,因此,计

算s的近似值也就是A的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[ba,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[ba上等分n的小区间

,x1-ihxibxaxn,0,其中nabh表示小区间的长度.

2.1矩形法 矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到S的近似值.若取小区间左端点的函数值为小矩形的高,如图1中所示,则niixfnabA1).( 图1 分割曲边矩形近似积分 2.2 梯形法 梯形法则用小直边梯形的面积近似代替小曲边梯形面积,见图2,从而得到S的近似值,即11)(2)()(niixfbfafnabA.

图2 分割曲边梯形近似积分 2.3抛物线法 抛物线法以抛物线为曲边梯形的曲边,曲边梯形的面积近似代替小曲边梯形的面积,如图3所示. 图3 抛物线积分

210,,xxx对应的曲线上的点210,,PPP可以唯一地确定一条抛物线cbxaxy2,这

条抛物线将作将代替从0x至2x的曲线段,此时积分可以转化为对抛物线积分,而抛物线的积分可以利用牛顿—莱布尼兹公式.第1、2个小区边梯形的面积: 上面利用了条件210,,PPP是抛物线上的点以及等式1022xxx.同理可证： ……

所以,})(2)(4)]()({[12/122/11232/21niiniinabnxfxfbfafAAAS

3.概率意义上的数值算法 概率算法是定积分问题数值求解的一类常用方法,其设计思想简单,易于实现 .尽管算法要耗费较多计算时间,但是往往能得到问题的近似解,并且近似程度能随计算时间的增加而不断提高.概率算法可用于计算定积分的近似值.

3.1平均值法 考虑定积分badxxfI)(的近似计算,其中)(xf在ba,内可积,用平均值法计算该积分,首先随机产生n个独立的随机变量,且服从在ba,上均匀分布,即),2,1(nii

;其次,

计算I的近似值I,niifnabI1)(. 由中心极限定理知,若),2,1(ni

i

相互独立、同分布,且数学期望及标准差0



存在,则当n充分大时,随机变量nIIY渐近服从正态分布)1,0(N,即对任意的0t,

这表明,用平均值法计算定积分的收敛速度较慢,在概率意义下的误差阶仅为)1(nO.

3.2“类矩形”Monte-Carlo方法 由于平均值法计算定积分的收敛速度较慢,且在概率意义下的误差阶仅为)1(nO ,就有对平均值法的改进，“类矩形” Monte-Carlo方法,改进过程为：先将积分区间ba,n等分, 随机产生n个相互独立且服从1,0上均匀分布的随机变量序列

),2,1(},{nii

；然后由这n个随机点类似于矩形公式构造计算公式,即作变换

将}{i映射到子区间

最后,计算I的近似值I~,niifnabI1)(~． 下面用两个命题证明“类矩阵”方法的可行性. 命题1 设有记,,,)(max,,)(0,1baxxfMbaCxfbax

证明:由Lagrange中值定理得 上式两边在ba,积分,得 由)(xf得连续性,得

命题2 设,,,)(1nabhbaCxf

I~与I如上,则I~与I的误差满足)1(~nOII.

证明: baniifnabdxxfII1)()(~ 由命题1得, 于是 即

)1(~nOII. 3.3“类梯形”Monte-Carlo方法 再给出平均值法的另一种改进.首先将ba,n等分,再在每个子区间上随机产生n2个相互独立且服从]1,0[上均匀分布的随机变量序列,并两两分组,得),,3,2,1(},,{212niii;做变换

将12i,i2分别映射到子区间

然后在每个等分子区间上)](),(1[abniaabnia利用ii212,两点类似于梯形公式构造“类梯形”公式 近类似

ihahiadxxf)1()(.

最后计算I的近似值I~~,niiiffnabI12122)()(~~． 下面证明“类梯形”方法可行性的两个命题： 命题3 设2,fxabC，记,max''xabfxM=，则1212,xxaxx，有

312212bababafxdxfxfxM ． 证明： 过1122,,,xfxxfx两点的直线方程为 所以 ()(),1,2.iiPxfxi令

12()()()()()()RxfxPxkxxxxx （1）

将x看成,ab上的一个定点,构造辅助函数 由于12()()()0xxx,由Rolle中值定理,'()t在,ab内至少有两个零点,对'()t再用Rolle中值定理,知''()t在,ab内至少有一个零点,即存在,ab,使

''()''()2()0fkx,所以''()()2fkx．将它代入（1）式,并两段同时从a到b积分,得 记 不妨设12axxb,则将12(,)Lxx分别对求偏导数,得 解得唯一驻点： 又 故当12axxb时, 结论成立． 命题4 ,,)(2baCxf设

I 与I~~如上,则I 与I~~ 的误差满足:)1(~~2nOII. 证明： 由命题3,得 于是 即

)1(~~2nOII.

4.例题 对于积分dx14102x,该积分精确值为3.1416.下面分别给出本文所涉及计算方法对它的计算结果: 4.1用三种基于几何意义的算法:矩形算法,梯形法,抛物线法作比较,结果如表1: 表1 几何意义算法的比较

分割数 算法 近似值 误差 矩形 梯形 3.1399398 抛物线 3.1415569 矩形 3.1415528 梯形 3.1416496 抛物线 4.2用平均值法,及其改进“类矩形”Monte-Carlo方法, “类梯形”Monte-Carlo方法计算结果如表2: 表2 概率意义算法的比较

节点数 算法 近似值 误差 平均值法