定积分的概念ppt课件
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1.5定积分的概念(4课时)ppt课件
作业： P45练习：2 .
1.5.3 定积分的概念
问题提出 1.求曲边梯形的面积和求变速直线运
动的路程，都可以通过“四步曲”解决， 这四个步骤是什么？其中哪个步骤是难 点？
分割→近似代替→求和→取极限.
2.求曲边梯形的面积与求变速直线运 动的路程是两类不同的问题，但它们有 共同的解决途径，我们可以此为基点， 构建一个新的数学理论，使得这些问题 归结为某个数学问题来解决，并应用于 更多的研究领域.
x 3)dx
(2x x )dx . 1
0
y sin( .x
)3
0
1
(2x
x 3)dx
0
1
2xdx
0
1x 3dx 1 1 3
0
44
小结作业
1.定积分是一个特定形式和的极限，其 几何意义是曲边梯形的面积，定积分的 值由被积函数，积分上限和下限所确定.
2.在实际问题中，定积分可以表示面积、 体积、路程、功等等，求定积分的值目 前有定义法和几何法两种，有时利用定 积分的性质进行计算，能简化解题过程.
B组：2，3.
i)
，那么
当n→∞时，Sn的极限是否一定存在？
一定存在
思 做考 函数4：f(数x)学在上区，间把[a，nlimb]in上1 b的n定a f积( i )分，叫
记作
b
f (x)dx，即
a b
f (x)dx
a
lim
n
n i1
b
af( n
i)
其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，
பைடு நூலகம்
区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫
2
(x 1)dx 的值.
1
定积分的概念PPT课件
（3 ）
a
f ( x )dx
f ( x )dx
b a
f (x )dx
性质4： 性质5： 性质6：
a
a
b
f ( x )dx 0.
a
dx b a .
b
a
f ( x )dx f ( x )dx .
b
a
思考4：
r 0
2 xdx
2
？
r
2
1
0
1 x dx ？
i 1
b n
a
f ( i ) ，那么
当n→∞时，Sn的极限是否一定存在？
一定存在
n
思考4：数学上，把
n
lim
i 1
b n
a
f( i)
叫
做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分， 记作 即
a
b a
b
f (x )dx ，
n
f (x )dx
n
lim
i 1
b n
a
f( i)
b a
f (x )dx 其中
---积分号 a---积分下限 b---积分上限 区间[a，b] ---积分区间 函数f(x) ---被积函数 x---积分变量 f(x)dx---被积式
v＝v(t)
n
s
n
lim
i 1
b n
a
v( i )
O a
i
b t
思考3：一般地，如果函数f(x)在区间[a， b]上连续，用分点 a＝x0＜x1＜x2＜„＜xi＜„＜xn＝b将区 间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区 间[xi－1，xi](i＝1，2,„，n)上任取一
定积分的概念ppt课件
2
2
b a
(b
x)( x
a)dx
1
2
(b a )2 2
(b a)2
8
.
17
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解 因为y x2在[0,1]上连续，积分存在.
将[0,1]n 等分，分点为 xi
i ，( i n
0,1,2,
,n
)
小区间[ xi1 ,
xi ]的长度xi
1 ，(i n
b
a
f
(u)du
（2）定义中区间的分法和介点i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x)在区间[a,b]上的定积分存在时，
称 f ( x)在区间[a, b]上可积. 也称定积分为
Riemann 积分.
11
对定积分的补充规定:
（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b时， b a
f
( x)dx
1
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形由连续曲线
y f (x)
y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、
x b所围成.
A?
oa
bx
2
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
0
证明 利用对数的性质得
lim n f 1 f 2 f n n n n n
eln lim n n
f
1 n
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
定积分的概念及性质课件
度、磁场强度等；在弹性力学中，定积分可以用于求解应力和应变等问题。
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
定积分概念、性质ppt课件
上例曲边图形的面积用定积分表示
S1x2d x lin m (n 1 )2 (n 1 )1
0
n 6 n 3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定：
a
f(x)d x0,
b
a
f(x)d x f(x)dx
b f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
推2 论 ：b
.
f(x)d
x
b
f（ x） dx,(ab)
a
a
因f(x)f(x)f(x)
.
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最
小值m， 于是， 由性质5有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
几何意义也很明显
性质 7（积分中值若定函理 f(数 x)） 在[a： ,b]上连续，
S曲
lim n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
.
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
引例1——曲边梯形的面积（演示） 引例2——变速直线运动的路程
设物体的运动速度 vvt
分割区间 作和
取近似值 取极限
T1
ti-1 i ti T2 t
（1）细分区间 [ T 1 ,T 2 ] [ T 1 ,t 1 ] U [ t 1 ,t2 ] U L U [ tn 1 ,T 2 ]
曲边梯形的面积，即：
n
S曲
.
lim
n i1
定积分的概念及性质PPT
在每个小区间[ xi1, xi ]
上任取
一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
首页
上页
下页
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 , xn }
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分上限 b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
首页
上页
下页
注意：
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
首页
上页
下页
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
ti ti ti1
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
i ，(i n
1,2,
,n)
小区间[ xi1 , xi ]的长度xi
1 ，(i n
1,2,
,n)
取i xi ，(i 1,2, , n)
n
n
n
f (i )xi i2xi xi2xi ,
高等数学 课件 PPT 第五章 定积分
［a,b］上有界并不是可积的充分条件.例如，
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分 割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数， 这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］ 的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积 的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］ 怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无 界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任 意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负， 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分 割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数， 这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］ 的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积 的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］ 怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无 界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任 意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负， 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
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(i1, 2,, n), 作和n f (i)xi 如果当0时, 上述和式的
极限存在, 且极限i值1 与区间[a, b]的分法和i的取法无关,
则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
b
a
f
(x)dx
即
b
a
n
f (x)dx lim f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
3.定积分的几何意义:
曲边梯形面积
曲边梯形面积的负值
y
A1
a
A2
A3 A4
b
òa f (x)d x = A1 - A2 + A3 - A4 + A5
各部分面积的代数和
A5 bx
例1. 利用定义计算定积分
解 把区间[0, 1]分成n等份, 分点为和小区间长度为
xi xnii(ini(1i21 2 n 1n)1)xix1ni (1ni(1i21 2 n) n)
将其一般化，就得到定积分的概念.
二、定积分的定义
1. 定积分的定义
设函数f(x)在区间[a, b]上有界. 在区间[a, b]内插入n-1
个分点: ax0<x1<x2< <xn1<xnb;记xi=xi-xi1 (i1, , n),
max{x1, x2,,xn}; 在小区间[xi1, xi]上任取一点i
n
S
lim
0
i
1
v(
i
)t
i
1. 曲边梯形的面积
n
å S = lim l ®0
D xi f (xi )
i= 1
2.变速直线运动的路程
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题，
(1)分割: T1=t0<t1<t2< *** <tn-1<tn=T2, tititi+1; (2)近似: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为
Siv(i)ti ( ti1< i<ti );
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
(4)取极限: 记max{t1, t2,, tn}, 物体所经过的路程为
a
a
二、定积分的定义
1.定积分的定义b a
f
n
(x)dxlim
0 i1
f
(i)xi
根据定积分的定义
曲边梯形的面积为
A
b
a
f
(x)dx
变速直线运动的路程为
S
T2v(t)dt
T1
2.函数的可积性
定理1:如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x) 在区间 [a, b]上可积.
定理2:如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限 个间断点, 则函数f(x)在区间[a, b]上可积.
用直线 x = xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 近似. 在第i 个窄曲边梯形上任取 i [xi1 , xi ]
作以[xi1 , xi ] 为底 , f (i )
y
为高的小矩形, 并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
D Ai 籇 f (xi ) xi (D xi = xi - xi- 1 )
o a x1
xi xi- 1
i
3) 求和.
n
n
å å A = D Ai- 1 籇 f (xi ) xi
i= 1
i= 1
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
n
å A = lim l ®0
D Ai
i= 1
n
= limå f (xi )D xi l ® 0 i= 1
y o a x1 xi1 xi
i
1. 曲边梯形的面积
第五章 定积分
第一节 第二节 第三节 第四节
定积分的概念与性质 微积分基本公式 定积分的换元法和分部积分法 反常积分
主讲人：李源
第一节 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例 二、定积分的定义 三、定积分的性质
一、定积分问题举例
在初等函数里面，我们只会计算规则图形的面积， 如长方形，圆形等。如何计算不规则图形的面积，是 我们需要解决的问题。
积分上限
[a , b] 称为积分区间
b
ò å f (x)dx = a
n
lim
l ®0
f (xi ) D xi
i= 1
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分
变量用什么字母表示无关 , 即
b
b
b
ò ò òa f (x) dx = f (t) dt = f (u)du
曲边梯形
设函数y=f(x)在区间[a, b]
y
上非负、连续. 由直线x=a、x=b、
y=f(x)
Y=0及曲线y=f (x)所围成的图形 称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边.
x=a oa
x=b
bx
如何计算其面积？
解决步骤 :
1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a = x0 < x1 < x2 < L < xn- 1 < xn = b
3 积零为整
n
S f ( i )xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
x b
4 取极限
令分法无限变细
n
å S =
lim
l ®0
i= 1
f
(xi
).D.
xi
.
2.变速直线运动的路程
已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)>0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S.
1 化整为零
2 以直代曲 (以常代变)
Si f ( i )xi
3 积零为整
n
S f ( i )xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
x b
4 取极限
令分法无限变细
..
1. 曲边梯形的面积
f (i) y
S
oa
x x i i i 1 .
元素法
y=f (x)
1 化整为零
2 以直代曲 (以常代变)
Si f ( i )xi
f (i) y
o
a x1 x2
x i i xi1
元素法
y=f (x)
1 化整为零
2 以直代曲 (以常代变)
Si f ( i )xi
3 积零为整
n
S f ( i )xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
x
xn1 b
.
.
1. 曲边梯形的面积
f (i) y
oa
x x i i i 1 .
元素法
y=f (x)
取
i
i n
(i 1,2 , n)
,作积分和
iniii1nnn111fff(f(((i)iii)))xxxixiiiiniii1nnn111i2ii22i2xxxixiiiiniii1nnn11(1((n(inniin)i))2)2221n1n1n1n16161616(1(((1111n1n1n1n))())2(((2221n1n1n1n))))
极限存在, 且极限i值1 与区间[a, b]的分法和i的取法无关,
则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
b
a
f
(x)dx
即
b
a
n
f (x)dx lim f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
3.定积分的几何意义:
曲边梯形面积
曲边梯形面积的负值
y
A1
a
A2
A3 A4
b
òa f (x)d x = A1 - A2 + A3 - A4 + A5
各部分面积的代数和
A5 bx
例1. 利用定义计算定积分
解 把区间[0, 1]分成n等份, 分点为和小区间长度为
xi xnii(ini(1i21 2 n 1n)1)xix1ni (1ni(1i21 2 n) n)
将其一般化，就得到定积分的概念.
二、定积分的定义
1. 定积分的定义
设函数f(x)在区间[a, b]上有界. 在区间[a, b]内插入n-1
个分点: ax0<x1<x2< <xn1<xnb;记xi=xi-xi1 (i1, , n),
max{x1, x2,,xn}; 在小区间[xi1, xi]上任取一点i
n
S
lim
0
i
1
v(
i
)t
i
1. 曲边梯形的面积
n
å S = lim l ®0
D xi f (xi )
i= 1
2.变速直线运动的路程
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题，
(1)分割: T1=t0<t1<t2< *** <tn-1<tn=T2, tititi+1; (2)近似: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为
Siv(i)ti ( ti1< i<ti );
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
(4)取极限: 记max{t1, t2,, tn}, 物体所经过的路程为
a
a
二、定积分的定义
1.定积分的定义b a
f
n
(x)dxlim
0 i1
f
(i)xi
根据定积分的定义
曲边梯形的面积为
A
b
a
f
(x)dx
变速直线运动的路程为
S
T2v(t)dt
T1
2.函数的可积性
定理1:如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x) 在区间 [a, b]上可积.
定理2:如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限 个间断点, 则函数f(x)在区间[a, b]上可积.
用直线 x = xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 近似. 在第i 个窄曲边梯形上任取 i [xi1 , xi ]
作以[xi1 , xi ] 为底 , f (i )
y
为高的小矩形, 并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
D Ai 籇 f (xi ) xi (D xi = xi - xi- 1 )
o a x1
xi xi- 1
i
3) 求和.
n
n
å å A = D Ai- 1 籇 f (xi ) xi
i= 1
i= 1
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
n
å A = lim l ®0
D Ai
i= 1
n
= limå f (xi )D xi l ® 0 i= 1
y o a x1 xi1 xi
i
1. 曲边梯形的面积
第五章 定积分
第一节 第二节 第三节 第四节
定积分的概念与性质 微积分基本公式 定积分的换元法和分部积分法 反常积分
主讲人：李源
第一节 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例 二、定积分的定义 三、定积分的性质
一、定积分问题举例
在初等函数里面，我们只会计算规则图形的面积， 如长方形，圆形等。如何计算不规则图形的面积，是 我们需要解决的问题。
积分上限
[a , b] 称为积分区间
b
ò å f (x)dx = a
n
lim
l ®0
f (xi ) D xi
i= 1
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分
变量用什么字母表示无关 , 即
b
b
b
ò ò òa f (x) dx = f (t) dt = f (u)du
曲边梯形
设函数y=f(x)在区间[a, b]
y
上非负、连续. 由直线x=a、x=b、
y=f(x)
Y=0及曲线y=f (x)所围成的图形 称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边.
x=a oa
x=b
bx
如何计算其面积？
解决步骤 :
1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a = x0 < x1 < x2 < L < xn- 1 < xn = b
3 积零为整
n
S f ( i )xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
x b
4 取极限
令分法无限变细
n
å S =
lim
l ®0
i= 1
f
(xi
).D.
xi
.
2.变速直线运动的路程
已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)>0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S.
1 化整为零
2 以直代曲 (以常代变)
Si f ( i )xi
3 积零为整
n
S f ( i )xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
x b
4 取极限
令分法无限变细
..
1. 曲边梯形的面积
f (i) y
S
oa
x x i i i 1 .
元素法
y=f (x)
1 化整为零
2 以直代曲 (以常代变)
Si f ( i )xi
f (i) y
o
a x1 x2
x i i xi1
元素法
y=f (x)
1 化整为零
2 以直代曲 (以常代变)
Si f ( i )xi
3 积零为整
n
S f ( i )xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
x
xn1 b
.
.
1. 曲边梯形的面积
f (i) y
oa
x x i i i 1 .
元素法
y=f (x)
取
i
i n
(i 1,2 , n)
,作积分和
iniii1nnn111fff(f(((i)iii)))xxxixiiiiniii1nnn111i2ii22i2xxxixiiiiniii1nnn11(1((n(inniin)i))2)2221n1n1n1n16161616(1(((1111n1n1n1n))())2(((2221n1n1n1n))))