用定积分定义求定积分
求定积分的方法
【知识要点】一、曲边梯形的定义分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限三、定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点()f x [,]a b 上任取]一点 i x 11()n n i i i a f x x n==∆=∑在区间上的定积分.记为：， ()f x [,]a b ()b a S f x dx =⎰其中是积分号，是积分上限，是积分下限，是被积函数，是积分变量，是积分区间，⎰b a ()f x x [,]a b 是被积式. ()f x dx说明：（1）定积分是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即无限()ba f x dx ⎰n S 趋近的常数（时）记为，而不是．S n →+∞()ba f x dx ⎰n S （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③n [],a b []1,i i i x x ξ-∈求和：；④取极限：1()n i i b a f n ξ=-∑()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰四、定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1（定积分的线性性质）； ()()()b baa kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数性质2（定积分的线性性质）； 1212[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰a =x 0<x 1<x 2<L <x i -1<x i <L <x n =b b -a n f (ξi )b -将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，每个小区间长度为D x （D x =），在每个小区间[x i -1,x i (i =1,2,L ,n )，作和式：S n =∑如果D x 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式S n 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数求定积分的方法我们把由直线x =a ,x =b ,y =0和曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形.二、曲边梯形的面积的求法性质3（定积分对积分区间的 ()()()()b c ba a c f x dx f x dx f x dx a cb =+<<⎰⎰⎰其中可加性） 五、定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由[],a b ()f x ()0f x ≥()b a f x dx ⎰直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.,(),0x a x b a b y ==≠=()y f x =（2）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由[],a b ()f x ()0f x ≤()b a f x dx ⎰直线和曲线所围成的曲边梯形的面积的相反数.,(),0x a x b a b y ==≠=()y f x =（3）从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，[],a b ()f x ()y f x =x 有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积. x ()ba f x dx ⎰x （4）图中阴影部分的面积S= 12[()()]b a f x f x dx -⎰六、微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么，()f x [,]a b ()()F x f x '=()()()ba f x dx Fb F a =-⎰这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，我们常把记成，()()F b F a -()b a F x 即.()()()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰ 计算定积分的关键是找到满足的函数.()()F x f x '=()F x 七、公式（1） （2） （3） 1()cx c =1(sin )cos x x =1(cos )sin x x -=( 4) (5)； (6) 11()(1)1n n m x mx n n +=≠-+(ln )a a x x '=x x e e =')(（7） （8） 1(sin 2)cos 22x x ¢=1(ln(x 1))1x ¢+=+ 八、求定积分的方法(1)代数法： 利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求. 学科@网【方法讲评】 方法一微积分基本原理求解（代数法） 使用情景比较容易找到原函数. 解题步骤先利用定积分的性质化简函数，再利用微积分基本原理求解. 【例1】 定积分的值为____________. 11(||1)x dx --ò【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分基本原理求解.【反馈检测1】 ．220sin 2x dx π=⎰【反馈检测2】若)(x f 在上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则 ( )R 30()f x dx =⎰A ． B ． C ． D ．1618-24-54 方法二数形结合利用面积求（几何法） 使用情景不容易找到原函数. 解题步骤先利用定积分的性质化简函数，再利用微积分基本原理求解.【例2】计算的结果为（ ）. 10(1dx +⎰A ．1 B ． C ． D ．4π14π+12π+【解析】先利用定积分的几何意义求：令，即 dx x ⎰-1021)10(12≤≤-=x x y 表示单位圆的（如图），即是圆面积，即；所以 )0,10(122≥≤≤=+y x y x 41dx x ⎰-1021414π=.10(1dx +⎰411110210π+=-+⎰⎰dx x dx【点评】（1）本题中函数的原函数不是很容易找到，所以先利用定积分的性质化简原式，1y =再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.，即表示单位圆的（如图），不是右)10(12≤≤-=x x y )0,10(122≥≤≤=+y x y x 41半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.【反馈检测3】313)___________dx +=⎰高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第18讲：求定积分的方法参考答案【反馈检测1答案】 142π-【反馈检测1详细解析】 ⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2020202022cos 212cos 212sin ππππdx x dx dx x dx x 2140214|sin 21|22020-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=ππππx x 【反馈检测2答案】 18-【反馈检测3答案】 263π++【反馈检测3详细解析】由于+．313)dx +=ò1⎰313dx ⎰其中值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在从1到3部分与轴所围成的图形1⎰x x 的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ = 211121212623ππ⨯+⨯⨯+⨯=+又=6，∴ ． 313dx ⎰313)dx +=ò263π故答案为：． 263π++。
定积分的求法
定积分的求法The definite integral calculation methods院系：生物科学与技术学院专业：生物科学班级：生物科学ISEC班姓名：石荣荣学号：1411370071摘要：定积分是积分学中的一个基本问题，定积分在微积分中占有极为重要的地位。
定积分与微分相比，难度大、方法灵活。
因此，我们要研究定积分的计算方法。
常用的方法有定义法、莱布尼茨公式法、分部积分法、换元法以及其他特殊方法。
定积分计算有着特殊的方法和技巧。
据我们所知，目前定积分的求法相对来说比较完善，所以我们应在前人的基础上善于对其总结。
同时，要把定积分应用于数学问题和实际问题也是十分重要。
下面我们探讨一下定积分的计算技巧。
Abstract:The definite integral is the integral calculus is a fundamental problem, definite integral calculus occupies a very important position, it is compared with the differential, difficult, flexible method. Therefore, we need to study the method of calculating the definite integral. Commonly used methods are defined in law ,the Leibniz formula method, step-by-step integration method ,by substitution and other special methods. The integral calculation has special methods and techniques. Here we will explore the definite integral calculation skills. As far as we know, at present the definite integral calculation methods are relatively perfect, so we should make conclusion actively from the forefathers. At the same time,to the problem of definite integral application in mathematical and practical problems is very important. Here we will explore the definite integral calculation skills.引言：1：定积分的常用方法1.1：利用定义计算定积分 1.2：利用性质计算定积分1.3：利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分 1.4：利用换元法计算定积分 1.5：利用分部积分法计算定积分2：定积分的特殊方法2.1：利用奇偶性计算定积分1：定积分的常用方法1.1：利用定积分定义计算定积分定义：设函数f(x) 在区间[a,b]上有界，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，可知各小区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。
1用定积分的定义计算下列积分
2
(1) (2)
0
2 1 1
e−x dx 与
0
1
e−x dx； (ln x)2 dx；
1 0
3
2
ln xdx 与
1
(3)
0 1
x sin xdx 与 e−x dx 与
0 1
2
x(sin x)2 dx；
(4)
0 1
(1 + x)dx；
1 x dx 与 ln(1 + x)dx； 0 0 1+x −1 1 1 x (6) dx 与 3x dx。 3 −2 0 4. 应用估值定理，估计下列积分值： π dx (1) I = ； 5 0 √ 2 + sin x
0 +∞
(1)
0 +∞
e−x dx (n > 0)； xn e−a
2
n
(2)
0 +∞
x2
dx (a > 0, n ≥ 0)；
2
(3)
2 +∞
e2 xe−(x−2) dx； x2m+1 e−x dx； x2m e−x dx；
2 2
(4)
0 +∞
(5)
0
+∞
(6)
0
x 2 e−x dx。
7
习题六答案
3
1
0
0 1
e−x dx；(2)
1 2
2
2 1
ln xdx <
1 0
(ln x)2 dx；
1
1
(3)
0 1
x sin xdx >
x sin xdx；(4)
e
−x
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．。
定积分的概念
1．5.3 定积分的概念学习目标 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．知识点一 定积分的概念思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理 一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1nb －anf (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．知识点二 定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得ʃ21(x ＋1)d x 的值是多少？ 答案 ʃ21(x ＋1)d x ＝52. 思考2 ʃ21(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形面积有何关系？ 答案 相等．梳理 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ʃb a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义．注意：f (x )<0(图象在x 轴的下方时，ʃb a f (x )d x <0，－ʃb a f (x )d x 等于曲边梯形的面积．知识点三 定积分的性质思考 你能根据定积分的几何意义解释ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )吗？答案 直线x ＝c 把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S 是两个小曲边梯形的面积S 1，S 2之和，即S ＝S 1＋S 2.梳理 (1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)．(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x .(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．类型一 利用定积分的定义求定积分例1 利用定积分的定义，计算ʃ21(3x ＋2)d x 的值． 解 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋i n ](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n .(2)近似代替、求和取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1n f (n ＋i －1n)·Δx＝∑i ＝1n [3(n ＋i －1)n ＋2]·1n＝∑i ＝1n[3(i －1)n 2＋5n ]＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5 ＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n. (3)取极限ʃ21(3x ＋2)d x ＝lim n →∞ S n＝lim n →∞ (132－32n )＝132.反思与感悟 利用定义求定积分的步骤跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ32(x ＋2)d x . 解 令f (x )＝x ＋2.将区间[2,3]平均分为n 个小区间，每个小区间的长度为Δx i ＝1n ，[x i －1，x i ]＝[2＋i －1n ，2＋in ]，i ＝1,2，…，n .取ξi ＝x i ＝2＋i n ，则f (ξi )＝2＋i n ＋2＝4＋in .则∑ni ＝1f (ξi )Δx i＝∑ni ＝1(4＋i n )·1n ＝∑n i ＝1 (4n＋i n 2)＝n ·4n ＋1＋2＋…＋nn 2＝4＋n ＋12n.∴ʃ32(x ＋2)d x ＝lim n →∞ (4＋n ＋12n )＝92.类型二 利用定积分的几何意义求定积分例2 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值． (1)ʃ102d x ；(2)ʃ21x d x ； (3)ʃ1－11－x 2d x . 解 (1)ʃ102d x 表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以ʃ102d x ＝2.(2)ʃ21x d x 表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以ʃ21x d x ＝32. (3)ʃ1－11－x 2d x 表示的是图③中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以ʃ1－11－x 2d x ＝π2.引申探究1．将例2(3)改为利用定积分的几何意义求ʃ101－x 2d x .解 ʃ101－x 2d x 表示的是图④中阴影部分所示半径为1的圆的14的面积，其值为π4， ∴ʃ101－x 2d x ＝π4.2．将例2(3)改为利用定积分的几何意义求ʃ101－(x －1)2d x .解 ʃ101－(x －1)2d x 表示的是图⑤中阴影部分所示半径为1的14圆的面积，其值为π4， ∴ʃ101－(x －1)2d x ＝π4.3．将例2(3)改为利用定积分的几何意义求ʃ1－1(x ＋1－x 2)d x . 解 由定积分的性质得， ʃ1－1(x ＋1－x 2)d x ＝ʃ1－1x d x ＋ʃ1－11－x 2d x . ∵y ＝x 是奇函数，∴ʃ1－1x d x ＝0. 由例2(3)知ʃ1－11－x 2d x ＝π2. ∴ʃ1－1(x ＋1－x 2)d x ＝π2.反思与感悟 利用定积分所表示的几何意义求ʃb a f (x )d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，直线x ＝b 及x 轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．跟踪训练2 利用定积分的几何意义，求： (1)ʃ3－39－x 2d x ； (2)ʃ30(2x ＋1)d x . 解 (1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，如图(1)所示，其面积S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义，知ʃ3－39－x 2d x ＝92π. (2)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线．ʃ30(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)，其面积S ＝12×(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义，知ʃ30(2x ＋1)d x ＝12.类型三 利用定积分的性质求定积分例3 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3)d x ； (2)ʃ41(6x 2)d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3(ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x )＝3×(14＋154)＝12.(2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6(ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x )＝6×(73＋563)＝126.(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3)d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 反思与感悟 若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.(2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .跟踪训练3 (1)已知定积分ʃa 0f (x )d x ＝8，且f (x )是偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝________. (2)ʃ1－1(x 3＋3)＝________.答案 (1)16 (2)6解析 (1)ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x ＝2×8＝16. (2)ʃ1－1(x 3＋3)d x ＝ʃ1－1x 3d x ＋ʃ1－13d x ，∵y ＝x 3是奇函数，∴ʃ1－1x 3d x ＝0，又ʃ1－13d x ＝6， ∴ʃ1－1(x 3＋3)d x ＝6.(3)已知ʃb a [f (x )＋g (x )]d x ＝12，ʃb a g (x )d x ＝6，求ʃb a 3f (x )d x .解 ∵ʃb a f (x )d x ＋ʃba g (x )d x＝ʃb a [f (x )＋g (x )]d x ＝12，又∵ʃb a g (x )d x ＝6，∴ʃb a f (x )d x ＝6. ∴ʃb a 3f (x )d x ＝3ʃb a f (x )d x ＝3×6＝18.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1n i 3n 3·1n；②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n(i －1)3n 3·1n； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞ ∑i ＝1n i 3n 3·1n.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 ②③成立．2．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是( )A ．被积函数为y ＝2，a ＝6B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6D ．被积函数为y ＝2，a ＝－6 答案 C解析 由定积分的概念可知，ʃ2－1(－2)d x 中的被积函数为y ＝－2，由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)d x 等于由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0，y ＝－2所围成的图形的面积的相反数，∴ʃ2－1(－2)d x ＝－2×3＝－6.3．下列等式不成立的是( )A ．ʃb a [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ʃb a f (x )d x ＋n ʃb a g (x )d xB ．ʃb a [f (x )＋1]d x ＝ʃb a f (x )d x ＋b －aC ．ʃb a f (x )g (x )d x ＝ʃb a f (x )d x ·ʃb a g (x )d xD ．ʃ2π－2πsin x d x ＝ʃ0－2πsin x d x ＋ʃ2π0sin x d x答案 C解析 由定积分的性质可得A 、B 、D 正确，故选C. 4．ʃ502(x －2)d x ＝________. 答案 5解析 ʃ50(x －2)d x ＝S 2－S 1＝12×32－12×22＝52，故ʃ502(x －2)d x ＝5.5．计算：322(25sin )d .x x ππ⎰－解 由定积分的几何意义得，3222d x ππ⎰＝(3π2－π2)×2＝2π.由定积分的几何意义得，322sin d x x ππ⎰＝0.所以322(25sin )d x x ππ⎰－＝3222d x ππ⎰－5322sin d x x ππ⎰＝2π.1．定积分ʃb a f (x )d x是一个和式∑i ＝1n b －anf (ξi )的极限，是一个常数．2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．课时作业一、选择题1．根据定积分的定义，ʃ20x 2d x 等于( )A.∑i ＝1n (i －1n )2·1nB ． lim n →∞ ∑i ＝1n(i －1n )2·1n C.∑i ＝1n (2i n )2·2nD ．lim n →∞ ∑i ＝1n(2i n)2·2n 答案 D 解析根据定积分的定义，ʃ20x 2d x ＝lim n →∞∑i ＝1n(2i n )2·2n. 2．已知f (x )＝x 3－x ＋sin x ，则ʃ2－2f (x )d x 的值( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．不确定答案 A解析 ∵f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，∴ʃ2－2f (x )d x ＝0. 3．下列定积分的值等于1的是( ) A ．ʃ10x d xB ．ʃ10(x ＋1)d xC ．ʃ1012d x D ．ʃ101d x答案 D解析 A 项，ʃ10x d x ＝12，C 项，ʃ1012d x ＝12， B 项，ʃ10(x ＋1)d x ＝32，D 项，ʃ101d x ＝1，故选D. 4．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的平面图形的面积可表示为( )A ．ʃ1－1(x 3＋sin x )d xB ．2ʃ10(x 3＋sin x )d x C.||ʃ1－1(x 3＋sin x )d xD ．ʃ10(x 3＋sin x )d x答案 B解析 ∵y ＝x 3＋sin x 是奇函数，∴其图象关于原点对称，∴直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的图形面积可表示为2ʃ10(x 3＋sin x )d x .5．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形的面积为( ) A ．ʃ10[(1－y )－y ]d y B ．120[(1)]d x x x ⎰－＋－C ．120d x x ⎰＋112(1)d x x ⎰－＋D ．ʃ10[x －(－x ＋1)]d x 答案 C解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝12，故A (12，12)．由图知阴影部分的面积可表示为120d x x ⎰＋112(1)d .x x ⎰－＋6．与定积分320sin d x x π⎰相等的是( )A ．|320sin d x x π⎰|B ．320sin d x x π⎰C ．ʃπ0sin x d x －32sin d x x ππ⎰D ．20sin d x x π⎰＋322sin d x x ππ⎰答案 C解析 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0；当x ∈(π，3π2]时，sin x <0. ∴由定积分的性质可得，320sin d x x π⎰＝ʃπ0|sin x |d x ＋32sin d x x ππ⎰＝ʃπ0sin x d x ＋32(sin )d x x ππ⎰－＝ʃπ0sin x d x －32sin d .x x ππ⎰ 7．设a ＝1130x ⎰d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c >a >bB ．a >b >cC ．a ＝b >cD ．a >c >b答案 B 解析 根据定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <1130x ⎰d x ，即a >b >c ，故选B. 8．若ʃa －a |56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( )A ．6B ．56C ．36D ．2 016答案 A解析 由ʃa －a |56x |d x ＝56ʃa －a |x |d x ≤2 016， 得ʃa －a |x |d x ≤36，∵ʃa －a |x |d x ＝a 2，∴a 2≤36，即0<a ≤6.故正数a 的最大值为6.二、填空题9．若ʃ1012f (x )d x ＝1，ʃ0－13f (x )d x ＝2，则ʃ1－1f (x )d x ＝________.答案 83解析 ∵ʃ1012f (x )d x ＝12ʃ10f (x )d x ＝1， ∴ʃ10f (x )d x ＝2.又ʃ0－13f (x )d x ＝3ʃ0－1f (x )d x ＝2，∴ʃ0－1f (x )d x ＝23. ∴ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x＝23＋2＝83. 10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．答案 ʃ2－4x 22d x 解析 由定积分的定义可得．11．ʃ30[9－(x －3)2－x ]d x ＝________.答案 9π－184解析 ʃ30[9－(x －3)2－x ]d x ＝ʃ309－(x －3)2d x －ʃ30x d x .ʃ309－(x －3)2d x 表示以(3,0)为圆心，3为半径的圆的面积的14，即ʃ309－(x －3)2d x ＝94π. ʃ30x d x ＝12×32＝92. ∴ʃ30[9－(x －3)2－x ]d x ＝94π－92＝9π－184. 12．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 令f (x )＝x 2.①分割将区间[0，T ]n 等分，则Δx ＝T n. ②近似代替、求和取ξi ＝Ti n(i ＝1,2，…，n )， S n ＝∑i ＝1n (Ti n )2·T n ＝T 3n 3∑i ＝1n i 2＝T 3n 3(12＋22＋…＋n 2) ＝T 3n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＝T 36(1＋1n )(2＋1n)． ③取极限S ＝lim n →∞ T 36×2＝T 33＝9, ∴T 3＝27，∴T ＝3.三、解答题13．如图所示，抛物线y ＝12x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋16π， 求ʃ20(8－x 2－12x 2)d x.解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2， 得x ＝±2.∴阴影部分的面积为ʃ2－2(8－x 2－12x 2)d x .∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·(14＋16π)＝2π＋43. 由定积分的几何意义得， ʃ20(8－x 2－12x 2)d x ＝12ʃ2－2(8－x 2－12x 2)d x ＝π＋23.。
定积分概念第3
定 积 分
填一填· 知识要点、记下疑难点
如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 b f(x)≥0 ，那么定积分ʃ 几何 ________ af(x)dx表示由 定 积
n
定积分
常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的
b a
b ，记作 f(x)dx，即
a
f(x)dx＝
．
其中 a 与 b 分别叫做 做
积分区间
积分下限
和
积分上限
，区间[a，b]叫 ，
，函数 f(x)叫做被积函数
被积式
，x 叫做 积分变量
f(x)dx 叫做
．
5．定积分的几何意义
i－1 i－1 ＝1,2，„，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋ n ＝2＋ n ，
从而得 f (ξi)Δx＝
i＝1 n n
i＝1
i－1 1 n 1 2 i－1 2 (2＋ )· ＝ n＋ 2 [0 n＋ n2 ＝ n · n n i n ＝1
＋1＋2＋…＋(n－1)]
0 2 1 2
例2 利用几何意义计算下列定积分：
3 2 3 (1)ʃ －3 9－x dx；(2)ʃ －1(3x＋1)dx.
解 (1)在平面上y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆 心以3为半径的上半圆，
1 2 其面积为S＝2·π·3 . 由定积分的几何意义知ʃ －3
3
9 9－x dx＝2π.
2
(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及 y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
定积分的计算
即积分上限函数 ( x) 是被积函数 f ( x) 的原函数.
d x ( x ) a f ( t )dt f ( x ) dx
(a x b)
本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不 相干的概念之间的内在联系;同时也证明了“连续函 数必有原函数”这一基本结论,并以积分形式f (t )dt 给出了f 的一个原函数. 正因为定理1 的重要作用而被誉为微积分学基本定理.
注意： （1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母(记号)无关.
a f ( x )dx a f (t )dt a f (u)du
b
b
b
二、积分上限函数(变限积分) 定义: 设函数
f ( x) 在区间 [ a, b] 可积，根据
§8.3定理5 ，x [a, b] 函数 f ( x) 在 [a, x]也可积， 将积分变量 x 换成积分变量 上限 x 相混淆.
( x)
( x ) f ( x ).
微积分学基本定理的重 要性
(i) 解决了原函数的存在性问题 精僻地得出: [ a, b]上的连续函数一定存在原函数,且 是 f ( x) 的一个原函数这一基本结论. (ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系 为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学 基本定理.
F ( x) f (t )dt
x a
所以f ( x )有界，设 f x M ( M为常数）.
F x x F x
x x
a
f t dt f t dt
x a
x x x
f t dt
x x x
f t dt M x
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法 例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222nnni i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.（4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法 例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法 例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x xx +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a af x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aaf x dx-⎰＝0． 小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
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用定积分定义求定积分
定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线下的面积、
体积、质量等物理量。
定积分的定义是通过将曲线分成无数个小区间，然后将每个小区间的面积相加得到整个曲线下的面积。
具体来说，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将[a,b]分成n个小区间，
每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，将每个小区间的左端点记为x0，
右端点记为xi，其中i=1,2,3,...,n。
则每个小区间的面积可以近似表示
为f(xi)Δx，将所有小区间的面积相加得到整个曲线下的面积的近似值：
S≈Σf(xi)Δx
当n趋近于无穷大时，Δx趋近于0，小区间的数量无限增加，此时整个曲线下的面积的近似值趋近于定积分的值：
∫abf(x)dx=limn→∞Σf(xi)Δx
其中∫ab表示从a到b的积分，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。
因此，用定积分定义求定积分的方法就是将被积函数f(x)在积分区间[a,b]上进行分段，将每个小区间的面积相加得到整个曲线下的面积的
近似值，然后让小区间的数量趋近于无穷大，得到定积分的值。
例如，要求函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，可以将[0,1]分成n 个小区间，每个小区间的长度为Δx=1/n，将每个小区间的左端点记为x0，右端点记为xi，其中i=1,2,3,...,n。
则每个小区间的面积可以近似表示为f(xi)Δx=x^2i/n，将所有小区间的面积相加得到整个曲线下的面积的近似值：
S≈Σx^2i/n
当n趋近于无穷大时，Δx趋近于0，小区间的数量无限增加，此时整个曲线下的面积的近似值趋近于定积分的值：
∫01x^2dx=limn→∞Σx^2i/n
根据等差数列求和公式，可以将Σx^2i/n表示为：
Σx^2i/n=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)/n^3
因此，定积分的值为：
∫01x^2dx=limn→∞(1^2+2^2+3^2+...+n^2)/n^3
这个极限可以用数学归纳法证明为1/3，因此：
∫01x^2dx=1/3
综上所述，用定积分定义求定积分的方法是将被积函数在积分区间上
进行分段，将每个小区间的面积相加得到整个曲线下的面积的近似值，然后让小区间的数量趋近于无穷大，得到定积分的值。
这是微积分中
的基本概念，也是许多物理问题中的重要工具。