定积分的概念
定积分与微积分定理
1.定积分的概念 一般地,设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间,每个小区间长度为x ?(b a
x
n
-?=),在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i
i n ξ=L ,作和式:1
1
()()n n
n i i i i b a
S f x f n
ξξ==-=?=∑∑
如果x ?无限接近于0(亦即n →+∞)时,上述和式n S 无限趋近于常数S ,那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为:()b
a
S
f x dx =
?
其中()f x 成为被积函数,x 叫做积分变量,[,]a b 为积分区间,b 积分上限,a 积分下限。 说明:(1)定积分()b
a
f x dx ?
是一个常数,即n S 无限趋近的常数S (n →+∞时)称为()b
a
f x dx ?,
而不是n S .
(2)用定义求定积分的一般方法是:①分割:n 等分区间
[],a b ;②近似代替:取点[]1,i i i x x ξ-∈;
③求和:1
()n
i i b a f n ξ=-∑;④取极限:()1()lim n b i a n i b a
f x dx f n ξ→∞=-=∑?
(3)曲边图形面积:()b
a
S
f x dx =?;变速运动路程2
1
()t t S v t dt =?;
变力做功 ()b a
W
F r dr =?
2.定积分的几何意义 说明:一般情况下,定积分
()b
a
f x dx
?
的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积去负号.(可以先不给学生讲).
分析:一般的,设被积函数()y f x =,若()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式
()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ?+?++?++?L L
不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x + ()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -?+?++?--?++-?L L ()b a f x dx ∴=?阴影A 的面积—阴影B 的面积(即x 轴上方面积减x 轴下方的面积) 2.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质1 a b dx b a -=?1 性质2 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()( (其中k 是不为0的常数) (定积分的线性性质) 性质3 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±? ?? (定积分的线性性质)性质4 ()()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<??其中 (定积分对积分区间的可加性) 说明:①推广:1 2 12[()()()]()()()b b b b m m a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±????L L ②推广: 12 1 ()()()()k b c c b a a c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++? ???L ③性质解释: P C N M B A a b O y x y=1 y x O b a 2.微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式 定理:如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,微积分基本定理是微积分学中最重要的定理,它使微积分学蓬勃发展起来,成为一门影响深远的学科,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用, 说明: ①它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题。我们可以用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分. ②它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。 思考并回答下列问题: 性质1 性质4 ①与函数f(x)相对应F(x)的唯一吗?如果不唯一,它们之间什么关系?原函数的选择影响最后的计算结果吗? ②计算定积分()b a f x dx ?的关键是什么? ③寻找函数f(x)的原函数F(X)的方法是什么? ④利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数 典例分析 例1.计算定积分 2 1 (1)x dx +? 分析:所求定积分即为如图阴影部分面积,面积为52 。 即: 2 1 5(1)2 x dx += ? 思考:若改为计算定积分 2 2 (1)x dx -+? 呢? 改变了积分上、下限,被积函数在[2,2]-上出现了 负值如何解决呢?(后面解决的问题) 1. (2014·湖北高考理科·T6)若函数f(x),()g x 满 足 1 1 ()g()d 0 f x x x -=? ,则称f(x),()g x 为区间[-1,1] 上的一组正交函数,给出三组函数: ①11()sin ,()cos 22f x x g x x ==;②()1,g()1f x x x x =+=-;③2 (),g()f x x x x == 其中为区间 ]1,1[-的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解题提示】 考查微积分基本定理的运用 【解析】选C. 对①,1 11 1111111(sin cos )(sin )cos |02222 x x dx x dx x ---?==-=??,则)(x f 、)(x g 为区 间]1,1[-上的正交函数; 对②, 1 1231 111 14(1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x ---+-=-=-=-≠??,则)(x f 、)(x g 不为区间]1,1[-上的正交函数; 对③, 1 3 4111 1()|04 x dx x --==?,则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数. 所以满足条件的正交函数有2组. 2.(2014·山东高考理科·T6)直线4y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A 、2 2 B 、2 C 、2 D 、4 1 2 y x o 【解题指南】 本题考查了定积分的应用,先求出直线与曲线在第一象限的交点,再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】选D.由???==3 4x y x y ,得交点为()()()8,2,8,2,0,0--, 所以() 402412442203=??? ? ? -=-=?x x dx x x S ,故选D. 3.(2014·陕西高考理科·T3)定积分(2x+e x )dx 的值为 ( ) A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1 【解题指南】求出被积函数2x+e x 的原函数,然后根据定积分的定义解之. 【解析】选C. (2x+e x )dx=(x 2+e x )=1+e-1=e. 4.(2014·福建高考理科·T14)如图,在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为______. 【解题指南】本题考查了反函数在图象上的性质,利用对称性,将问题化为可利用定积分求解面积的问题。 【解析】x y e =和ln y x =互为反函数,不妨将样本空间缩小到左上方的三角形, 则 1 2 221()()0 2112 2 x x ex e e e S p S e e e ? --' = == = ? . 【答案】 22e 5.已知f (x )为偶函数且 60 ? f (x )d x =8,则 66 -? f (x )d x 等于 ( ) A .0 B .4 C .8 D .16 解析:原式= 06 -? f (x )d x + 60 ? f (x )d x , ∵原函数为偶函数, ∴在y 轴两侧的图象对称, ∴对应的面积相等,即8×2=16. 答案:D 6.设f (x )=? ???? x 2, x ∈[0,1], 2-x ,x ∈[1,2],则 20 ? f (x )d x 等于 ( ) A.34 B.45 C.5 6 D .不存在 解析:数形结合, 20 ? f (x )dx = 10 ? x 2dx + 2 1 ? (2-x )dx = 321211 (2)3021 x x x +- = 3115(422)326 x +--+=. 答案:C 7.计算以下定积分: (1) 2 1 ? (2x 2-1 x )d x ; (2) 3 2 ? (x + 1x )2 d x ; (3) 30 π ? (sin x -sin2x )d x ; 解:(1) 2 1 ? (2x 2-1x )d x =(2 3 x 3-ln x ) 21 =163-ln 2-23=14 3-ln 2. (2) 32 ? (x +1 x )2d x = 32? (x +1 x +2)d x =(1 2 x 2+ln x +2x )32 =(9 2+ln 3+6)-(2+ln 2+4) =ln 32+92 . (3) 30 π ? (sin x -sin2x )d x =(-cos x +1 2 cos2x ) 30 π =(-12-14)-(-1+12)=-14 . 题组二 求曲多边形的面积 8图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是 ( ) A .1 B.4 3 C. 3 D .2 解析:函数y =-x 2+2x +1与y =1的两个交点为(0,1)和(2,1),所以闭合图形的面积等于20 ? (- x 2+2x +1-1)d x =20? (-x 2+2x )d x =4 3 . 答案:B 9.已知函数y =x 2与y =kx (k >0)的图象所围成的阴影部分 (如图所示)的面积为4 3 ,则k =________. 解析:直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0,k ], 再由 0k ? (kx -x 2 )d x =(kx 22-x 3 3 ) 0k =k 36=4 3 求得k =2. 答案:2 10.如图,设点P 从原点沿曲线y =x 2向点A (2,4)移动, 记直线OP 、曲线y =x 2及直线x =2所围成的面积 分别记为S 1,S 2,若S 1=S 2,则点P 的坐标为________. 解析:设直线OP 的方程为y =kx, P 点的坐标为(x ,y ), 则 x ? (kx -x 2)d x = 2x ? (x 2-kx )d x , 即(12kx 2-13 x 3)0x =(13x 3-12kx 2)2 x , 解得12kx 2-13x 3=83-2k -(13x 3-1 2 kx 2), 解得k =43,即直线OP 的方程为y =43x ,所以点P 的坐标为(43,169). 答案:(43,16 9 ) 11.一质点运动时速度与时间的关系为v (t )=t 2-t +2,质点作直线运动,则此物体在时间[1,2]内的位移为 ( ) A. 176 B.143 C.136 D.116 解析:s =2 1 ? (t 2-t +2)d t =(13t 3-12t 2+2t )|21=17 6 . 答案:A 12.若1 N 的力能使弹簧伸长1 cm ,现在要使弹簧伸长10 cm ,则需要花费的功为( ) A .0.05 J B .0.5 J C .0.25 J D .1 J 解析:设力F =kx (k 是比例系数),当F =1 N 时,x =0.01 m ,可解得k =100 N/m ,则F =100x ,所以W = 0.1 ? 100x d x =50x 2 0.1 0=0.5 J. 答案:B 13.一辆汽车的速度—时间曲线如图所示,则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米. 解析:据题意,v 与t 的函数关系式如下: v =v (t )=???? ? 3 2 t ,0≤t <20,50-t ,20≤t <40, 10,40≤t ≤60. 所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为 s = 60 ()d v t t ? =20 3 d 2 t t ? +4020(50)d t t -?+604010d t ? =3 4 t 2 200+(50t -12t 2)4020+10t 4020 =900米. 答案:900 14.(2010·烟台模拟)若y = x ? (sin t +cos t sin t )d t ,则y 的最大值是 ( ) A .1 B .2 C .-7 2 D .0 解析:y = x ? (sin t +cos t sin t )d t = 0x ? (sin t +1 2 sin2t )d t =(-cos t -1 4 cos2t ) x =-cos x -14cos2x +54 =-cos x -14(2cos 2x -1)+54=-12cos 2x -cos x +3 2 =-1 2(cos x +1)2+2≤2. 答案:B 15.(2010·温州模拟)若f (x )是一次函数,且10 ? f (x )d x =5, 10? xf (x )d x =17 6 ,那么 2 1 ? f (x ) x d x 的值是________. 解析:∵f (x )是一次函数,∴设f (x )=ax +b (a ≠0),由10 ? (ax +b )d x =5得(1 2ax 2+bx )10=12 a + b =5, ① 由 10? xf (x )d x =17 6 得 10? (ax 2+bx )d x =17 6 ,即 (13ax 3+12 bx 2) 10=176 ,∴13a +12b =17 6, ② 解①②得a =4,b =3,∴f (x )=4x +3, 于是 2 1 ? f (x ) x d x =2 1 ? 4x +3 x d x =2 1 ? (4+3x )d x =(4x +3ln x ) 21 =8+3ln2-4=4+3ln2. 答案:4+3ln2 16.设f (x )= 10 ? |x 2-a 2|d x . (1)当0≤a ≤1与a >1时,分别求f (a ); (2)当a ≥0时,求f (a )的最小值. 解:(1)0≤a ≤1时, f (a )=10 ? |x 2-a 2|d x = a ? (a 2-x 2)d x + 1a ? (x 2-a 2)d x =(a 2x -1 3 x 3) 0a +(x 3 3 -a 2x )1a =a 3 -13a 3-0+0+13-a 2 -a 3 3+a 3 =43a 3-a 2+13. 当a >1时, f (a )= 10 ? (a 2-x 2)d x =(a 2x -13x 3) 10 =a 2-13 . ∴f (a )=32 241(0), 33 1(>311). a a a a a ?-+??? ?-?? ≤≤ (2)当a >1时,由于a 2-13在[1,+∞)上是增函数,故f (a )在[1,+∞)上的最小值是f (1)=1-13=2 3. 当a ∈[0,1]时,f ′(a )=4a 2-2a =2a (2a -1), 由f ′(a )>0知:a >1 2或a <0, 故在[0,12]上递减,在[1 2,1]上递增. 因此在[0,1]上,f (a )的最小值为f (12)=1 4. 综上可知,f (x )在[0,+∞)上的最小值为1 4 . 课堂练习 计算下列定积分 1.5 0(24)x dx -? 5 (24)945x dx -=-=? 2. 1 1 x dx -? 1111 1111122 x dx -=??+??=? 布置作业 1. 设连续函数0)(>x f ,则当b a <时,定积分?b a dx x f )(的符号________ A.一定是正的 B.一定是负的 C.当b a <<0时是正的 D.以上都不对 2. 与定积分 dx x ? π23 sin 相等的是_________ A. ? π230 sin xdx B.?π230 sin xdx C. ? π sin xdx -?ππ 2 3sin xdx D.??+2 32 20 sin sin πππ xdx xdx 3. 定积分的 ? b a dx x f )(的大小_________ A. 与)(x f 和积分区间 []b a ,有关,与i ξ的取法无关. B. 与)(x f 有关,与区间 []b a ,以及i ξ的取法无关 C. 与)(x f 以及i ξ的取法有关,与区间[]b a ,无关 D. 与)(x f 以及i ξ的取法和区间[]b a ,都有关 4. 下列等式成立的是________ A.a b dx b a -=?? 0 B.2 1= ?b a xdx C. dx x dx x ?? =-10 1 1 2 D.??=+b a b a xdx dx x )1( 5. 已知 ? b a dx x f )(=6,则______)(6=?dx x f b a 6. 已知, 18)()(=+?dx x g x f b a ? =b a dx x g 10)(,则?b a dx x f )(=______________ 7. 已知,3)(2 0=? dx x f 则[]=+?dx x f 20 6)(___________ 8. 计算dx x 2 1 031? 9. 计算 dx x 31 6? 演练方阵 A 档(巩固专练) 1. 5 (24)x dx -? = ( ) A .5 B .4 C .3 D .2 2. 2 11 ln xdx x ?= ( ) A .21 ln 22 B .ln 2 C .2ln 2 D .ln2 3.若11 (2)3ln 2a x dx x +=+?,且1a >,则a 的值为( ) A .6 B .4 C .3 D .2 4.已知自由落体运动的速率v=gt ,则落体运动从t=0到t=t 0所走的路程为( ) A .203gt B .2 0gt C .202gt D .206 gt 5.曲线2 x y =与直线2+=x y 所围成的图形(阴影部分)的面积等于 . 6. ()0 d x F't t =? . 7.如图,求由两条曲线2 x y -=,2 4x y -=及直线y = -1所围成图形的面积. 8.如图,抛物线C 1:y = -x 2与抛物线C 2:y =x 2-2ax (a >0)交于O 、A 两点.若过原点的直线l 与抛物线C 2所围成的图形面积为 3 2 9a ,求直线l 的方程. 9.平地上有一条小沟,沟沿是两条长100m 的平行线段,沟宽AB 为2m ,与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线,抛物线的顶点为O ,对称轴与地面垂直,沟深1.5m ,沟中水深1m . (Ⅰ)求水面宽; (Ⅱ)如图所示形状的几何体称为柱体,已知柱体的体积为底面积乘以高,沟中的水有多少立方米? 10.设)(x f y =是二次函数,方程0)(=x f 有两个相等的实根,且22)(+='x x f .[来源:学科网] (1)求)(x f 的表达式. (2)若直线)10(<<-=t t x 把)(x f y =的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分,求t 的值. y x o 1 2 2 - -1 -1 A B C D 第7图 第8图 A 1. 2 11 dx x ?=______________. 2.3211 (2)x dx x -?=___________. 3.求由曲线22y x x =-与x 轴所围的封闭区域的面积. 4.已知弹簧每拉长0. 02 米要用9. 8N 的力,则把弹簧拉长0. 1米所作的功为 . 5.由曲线22y x =-与直线y x =-所围成的平面图形的面积为 . 6.(cos 5sin 2)d a a x x x x --+? = . 7.3 21 (4)x x dx --=? _________________. 8.20 (sin )x x dx π +=? _______________. 9. dx x ? - 22 2cos π π _____________. 10.已知A (-1,2)为抛物线C :y =2x 2上的点.直线l 1过点A ,且与抛物线C 相切.直线l 2:x =a (a ≠-1)交抛物线C 于点B ,交直线l 1于点D . (1)求直线l 1的方程; (2)设?ABD 的面积为S 1,求 BD 及S 1的值; (3)设由抛物线C 、直线l 1、l 2所围成的图形的面积为S 2,求证:S 1∶S 2的值为与a 无关的常数. 1. 1 ()x x e e dx -+=? ( ) A .e e 1+ B .2e C .e 2 D .e e 1- 2.曲线]23 ,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积( ) A .4 B .2 C .2 5 D .3 3.若20 (345)a x x dx +-? =32a -(1a >),则a = . 4 . 4 x ? = . 5.求定积分: 12 2 32 (9)x x dx -? . 6.求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积. 7. 2 3 (2cos 1)2 x dx π -?= ( ) 8. A . B .12- C .12 D 8. 3 2 |312|x dx -?= ( ) A .21 B .22 C .23 D .24 9.下列命题: ①若f(x)是定义在R 上的奇函数,则 ()x f t dt ? 为R 上的偶函数; ②若f(x)是周期为T (>0)的周期函数,则0 ()()a a T T f x dx f x dx +=? ? ; ③0 ( ())()x f t dt f x '''=? 。 其中正确命题的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 10.如图,抛物线24y x =-与直线y =3x 的二交点为A 、B .点P 在抛物线的弧上从A 向B 运动。 ??(1)求使PAB ?的面积为最大时P 点的坐标(,)a b ; (2)证明由抛物线与线段AB 围成的图形,被直线x =a 分为面积相等的两部分. 定积分的几何意义及微积分的基本定理答案 典题探究 例1.C 例2.C 例3.C 例4. 2 14-π 演练方阵 A 档(巩固专练) 1.A 2.A 3.D 4.C 5. 2 9 6.F(x)-F(0) 7.由图形的对称性知,所求图形面积为位于y 轴右侧图形面积的2倍. 由? ??-=-=12y x y 得C (1,-1).同理得D (2,-1). ∴ 所求图形的面积 S =})]1(4 [)](4[{22122 1 02dx x dx x x ---+---?? 3 4)124( 221213103 =+-=x x x . 8.设过原点的直线方程为y =kx ,解方程组???-==ax x y kx y 22 ,得x 1=0,x 2=k +2a . 当k +2a ≥0时,? ? ++-+=+-=a k a k dx x x a k dx ax x kx S 20 20 22])2[()2( 6 )2()3122(32032a k x x a k a k +=-+=+. 于是 (k +2a )3=27a 3,解得k =a . 所以,直线l 的方程为y =ax . 当k +2a <0时,?+-+=0 22 ])2[(a k dx x x a k S 6 )2(3 a k +-=. 于是 - (k +2a )3=27a 3,解得k = -5a . 所以,直线l 的方程为y = -5ax . 综上所述,所求直线l 的方程为y =ax 或y = -5ax . y x o 1 2 2 - -1 -1 A B C D 第7图 9. (Ⅰ)如图建立直角坐标系xoy ,设抛物线方程为)0(,2 >=a ax y .则由抛物线过点)2 3,1(B ,可得 23= a .于是抛物线方程为2 2 3x y =.当y =1时,36±=x ,由此知水面宽为362(m ). (Ⅱ)柱体的底面积 )(9 64)3123(2236 0336 m x x =?-=. ∴柱体体积为)(964009641003m =? ,即水沟中有水3 9 6400m . 10.(1)12)(2 ++=x x x f ;(2)3 2 1 1- =t . B 档(提升精练) 1.22 3 2.ln 2 3. 43 4.如图所示,在弹性限度内,拉伸(或压缩)弹簧所需的力F 与弹簧的伸长量(或压缩量)x 成正比,即F = kx .在上式中k 为比例系数. 根据题意,当x = 0. 02时,F = 9. 8,故由F = kx 得k =490.这样得到的变力函 数为F = 490x .于是所求的功为 2 0.10.10 490490() 2.45 2 x W xdx ===? (J ). 5. 92 6.4a 7. 203 8.218π+ 9.2 π 10.(1)由y =2x 2,得x y 4='.当x = -1时,4-='y . ∴l 1的方程为y -2= -4(x +1),即4x +y +2=0. (2)由y =2x 2及x =a ,解得点B 的坐标为(a ,2a 2). 由4x +y +2=0及x =a ,解得点D 的坐标为(a ,-4a -2). 又可求得点A 到直线BD 的距离为 1+a ,BD =2a 2+4a +2=2(a +1)2. F x O x y F A B C D E G 图6 ∴S 1=3 1+a . (3)由题意,当a >-1时,?--++=++= a a x x x dx x x S 1 1232 2)223 2()242( 323)1(3 2 22322232+=+-+++=a a a a , 当a <-1时,?-++=122)242(a dx x x S 3 )1(3 2+-=a , ∴S 1∶S 2=3∶2.即S 1∶S 2的值为与a 无关的常数. C 档(跨越导练) 1.D 2.D 3.2 4. 271 6 5.529 6.首先求出函数x x x y 223++-=的零点:11-=x ,02=x ,23=x .又易判断出在)0 , 1(- 内,图形在x 轴下方,在)2 , 0(内,图形在x 轴上方,所以所求面积为 7.D 8.C 9.D 10.(1)37(,)24P -;(2)面积均为125 12 授课题目定积分的概念 课时数1课时 教学目标理解定积分的基本思想和概念的形成过程,掌握解决积分学问题的“四步曲”。 重点与难点重点:定积分的基本思想方法,定积分的概念形成过程。难点:定积分概念的理解。 学情分析我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大,有的接受新知识很快,有的很慢,有的根本听不懂,基 于这些特点,结合教学内容,我以板书教学为主,多媒 体教学为辅,把概念较强的课本知识直观化、形象化, 引导学生探索性学习。 教材分析本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概念后的学习,定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺 垫,起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体 现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变 代变”的基本思想。所以无论从内容还是数学思想方面, 本次课在教材中都处于重要的地位。 教学方法根据对学生的学情分析,本次课主要采用案例教学法,问题驱动教学法,讲与练互相结合,以教师的引导和讲 解为主,同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的 积极性。 教学手段 传统教学与多媒体资源相结合。 课程资源 同济大学《高等数学》(第七版)上册 教学内容与过程 一、定积分问题举例 1、曲边梯形的面积 设)(x f y =在区间],[b a 上非负连续。由)(,0,,x f y y b x a x ====所围成的图形称为曲边梯形(见下图),求其面积A ,具体计算步骤如下: (1)分割:在区间],[b a 中任意插入1-n 个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ 把],[b a 分成n 个小区间 ],[,],,[],,[12110n n x x x x x x -Λ 它们的长度依次为:n x x x ???,,,21Λ (2)近似代替:区间],[1i i x x -对应的第i 个小曲边梯形面积,)(i i i x f A ?≈?ξ ]).,[(1i i i x x -∈?ξ (3)求和:曲边梯形面积∑∑==?≈?=n i i i n i i x f A A 1 1 )(ξ (4)取极限:曲边梯形面积,)(lim 10∑=→?=n i i i x f A ξλ其中 }.,,m ax {1n x x ??=Λλ 2、变速直线运动路程 设物体做直线运动,已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上的非负连续函数,计算这段时间内物体经过的路程s ,具体计算步骤与上相似 x a b y o 1x i x 1-i x i ξ 定积分的基本概念 摘要:定积分的概念,原理,思想方法。 关键词:分割,求和,取极限。 通过了一个学期的学习,我们的专业课数学分分析从开始接触时的一窍不通到现在的马马虎虎。使我迷茫的学习慢慢的清晰起来,其中给我学以致用的就是定积分了。可以用来做很多方面的问题。下面来和大家分享一下我学习定积分的感悟。 定积分的概念 1)定积分概念的引入 2)“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3)定积分的数学定义 重点:定积分的数学定义 难点:“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立 定积分概念的引入 在熟悉定积分的概念的同时我们应该明确定积分的基础思想。 在灵活运动定积分可以求曲边梯形的面积和变力所做的功,下面来分别的求它们的面积。我们可以从中比较一下,以给我们带来启发。 1曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形,三角形,梯形等面积的计算,这些图形有一个共同的特征:每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢?我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。 近似看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。 我们分别取n=10, 50, 100用计算机把它的图像画出来,并计算出面积的近似值: 1.当n=10时,用10个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时,则S10 0.7510。(见下图) 2.当n=50时,用50个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时,则S50≈0.6766。 3.当n=100时,用100个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时,则S100≈0.6717。 由此可知,分割越细,越接近面积准确值,而这个和求极限也是同出一则。把它这样简化来理解也就不再那么的难了。 再看一个变力做功的问题。 设质点m受力F(x)的作用,沿直线由A点运动到B点,求力 F(x)的做的功。 F虽然是变力,但在很短一段时间内△x,F的变化不大,可近似看着是常 1.5.3定积分的概念 教学目标 能用定积分的定义求简单的定积分; 理解掌握定积分的几何意义; 重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、 定积分的几何意义 难点 定积分的概念、定积分的几何意义 复习: 1. 回忆前面曲边图形面积,变速运动的路程,变力做功等问题的解决方法,解决步骤 2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点. 新课讲授 1.定积分的概念 一般地,设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间,每个小区间长度为x ?(b a x n -?=), 在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ,作和式: 1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-= ?= ∑ ∑ 如果x ?无限接近于0(亦即n →+∞)时,上述和式n S 无限趋近于常数 S ,那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为: ()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数,x 叫做积分变量,[,]a b 为积分区间,b 积分上限,a 积分下限。 说明:(1)定积分()b a f x dx ?是一个常数,即n S 无限趋近的常数S (n →+∞时)称为()b a f x dx ? ,而不是n S . (2)用定义求定积分的一般方法是: ①分割:n 等分区间[],a b ;②近似代替:取点[]1,i i i x x ξ-∈; ③求和:1()n i i b a f n ξ=-∑ ; ④取极限:() 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑ ? (3)曲边图形面积:()b a S f x dx =?;变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?; 变力做功 ()b a W F r dr = ? 2.定积分的几何意义 如果在区间[,]a b 上函数连 续且恒有 ()0 f x ≥,那么定积分 ()b a f x dx ? 表示由直线,x a x b ==(a b ≠),0y =和曲线() y f x = 所围成的 曲边梯形的面积。 例1.计算定积分2 1 (1)x dx +? 分析:所求定积分即为如图阴影部分面积,面积为5 2 。 即:2 1 5(1)2 x dx += ? 思考:若改为计算定积分 22 (1)x dx -+? 呢? 改变了积分上、下限,被积函数在 [2,2]-上出现了负值如何解决呢? (后面解决的问题) 练习 计算下列定积分 1.50(24)x dx -? 解:5 0(24)945x dx -=-=? 2.1 1x dx -? 解:11 111111122 x dx -= ??+ ??=? 1.5.3 定积分的概念 教学目标: 1.了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征. 2.理解定积分及几何意义. 3.掌握定积分的基本性质及其计算 教学重点与难点: 1.定积分的概念及几何意义 2.定积分的基本性质及运算教学过程: 1.定积分的定义: 2.怎样用定积分表示: x =0,x =1,y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积? t =0,t =1,v =0及v =-t 2-1所围成图形的面积? 31)(102101??===dx x dx x f S 3 5)2()(102102??=+-==dt t dt t v S 3.你能说说定积分的几何意义吗?例如 ?b a dx x f )(的几何意义是什么? 梯形的面积 所围成的曲边和曲线,,是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f b a ==≠==? 4.4. 根据定积分的几何意义,你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗?思考:试用定积分的几何意义说明 1.?-2024dx x 的大小 由直线x =0,x =2,y =0及24x y -= 所围成的曲边梯形的面积,即圆x2+y2=22的面积的4 1,.4202π=-∴?dx x 2. 0 1 13=?-dx x 5. 例:利用定积分的定义,计算01 03=?dx x 的值. 6.由定积分的定义可得到哪些性质?常数与积分的关系 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()( 推广到有限个也成立 ???±=±b a b a b a dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121区间和的积分等于各段积分和 )()()()(b c a dx x f dx x f dx x f b c c a b a <<+=???其中7练习:计算下列定积分?-3 12)2(dx x x 高等数学(上册)教案22定积分的概念与性 质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第5章 定积分及其应用 定积分的概念与性质 【教学目的】: 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法; 2. 理解定积分的概念及其性质; 3. 掌握定积分的几何意义 ; 【教学重点】: 1. 定积分的概念及其性质; 【教学难点】: 1. 曲边梯形面积求法的思维方法; 【教学时数】:2学时 【教学过程】: 案例研究 引例5.1.1 曲边梯形的面积问题 所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f ),直线a x =,b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形(如图5-1所示).下面来求该曲边 梯形的面积. 分析 由于“矩形面积=底?高”,而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间 [,]a b 上是变动的,故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面,由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的,所以当点x 在区间 [,]a b 上某处变化很小时,相应的()f x 也就变化不大.于是,考虑用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形,当分割得较细,每个小曲边图5-1 图5-2 梯形很窄时,其高()f x 的变化就很小.这样,可以在每个小曲边梯形上作一个 与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形,用小矩形的面积近似代替小曲边 梯形的面积,进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积 (如图5-2所示).显然,分割越细,近似程度越高,当无限细分时,所有小矩 形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析,可按以下四步计算曲边梯形的面积A . (1)分割 在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点, 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=, 将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- , 它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-, 过每一个分点作平行于y 轴的直线,把曲边梯形分成n 个小曲边梯形; (2)取近似 在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点 1()i i i i x x ξξ-≤≤,以小区间1i i i x x x -?=-为底,()i f ξ为高作小矩形,用小矩形的 面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?,即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=, (3)求和 把这样得到的n 个小矩形的面积加起来,得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ, 将其作为曲边梯形面积的近似值,即 11()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑; (4)取极限 当分点个数n 无限增加,且小区间长度的最大值λ (max{}i x λ=?)趋于零时,上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值, 即 01lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 5.1.1 定积分的定义 定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界,在闭区间[,]a b 中任意插 入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=, 将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --, 各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-, 在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ,作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的 乘积),,2,1()(n i x f i i =?ξ,并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ,记 }max {i x ?=λ, ),,2,1(n i =, 当n 无限增大且0→λ时,若上述和式的极限存在,则称函数()y f x =在区 经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内,可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、 定理原函数存在定理: 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之:连续函数一定有原函数. 问题:(1)原函数是否唯一? (2)若不唯一它们之间有什么联系? 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分 经济数学——微积分 不定积分(indefinite integral )的定义: 在区间/内,函数/(兀)的带有任意 常数项的原函数称为/(兀)在区I 可内的 不定积分,记为f/(xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x) 定积分的概念教案 人教A版必修一教材 教材内容分析微积分的出现和发展,极大的推动了数学的发展,同时也推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。本节课是定积分概念的第一节课,教材借助求曲边梯形的面积和物理中变速直线运动的路程,通过直观具体的实例引入到定积分的学习中,为定积分概念构建认知基础,为理解定积分概念及几何意义起到了铺垫作用,同时也为今后进一步学习微积分打下基础。 学生情况分析 本节课的教学对象是本校实验班学生,学生思维比较活跃,理解能力、运算能力和学习交流能力较强。学生前面已经学习了导数,并利用导数研究函数的单调性、极值及生活中的优化问题等,渗透了微分思想。从学生的思维特点看,比较容易把刘徽的“割圆术”与本节课知识联系到一起,能够初步了解到“以直代曲”和“无限逼近”的重要数学思想,但是在具体的“以直代曲”过程中,如何选择适当的直边图形来代替曲边梯形会有一些困难。在对“极限”和“无限逼近”的理解,即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值及在对定积分定义的归纳中符号的理解上也会有一些困难。 教学目标 1.从物理问题情境中了解定积分概念的实际背景,初步掌握求曲边梯形的面积的方法和步骤:分割、近似代替、求和、取极限; 2.经历求曲变梯形面积的过程,借助几何直观体会“以直代曲”和“逼近”的思想,学习归纳、类比的推理方式,体验从特殊到一般、从具体到抽象、化归与转化的数学思想; 3.认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点,感受数学的简单、简洁之美. 教学重点直观体会定积分的基本思想方法:“以直代曲”、“无限逼近”的思想; 初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四步曲”(即:分割、近似代替、求和、取 极限) 教学难点对“以直代曲”、“逼近” 思想的形成过程的理解. 教学方式教师适时引导和学生自主探究发现相结合. 辅助工具投影展台,几何画板. 教学过程 引入新课问题:汽车以速度v做匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程为 S vt =.如果汽车作变速直线运动,在时刻t的速度为()2 v t t=(单 位:km/h),那么它在0≤t≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程S (单位:km)是多少? 创设情境,引入 这节课所要研究的 问题. 类比探究,形成方法如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线() y f x =的一 段,我们把由直线,(),0 x a x b a b y ==≠=和曲线() y f x =所围 成的图形称为曲边梯形. 如何计算这个曲边梯形的面积? (1)温故知新,铺垫思想 问题1:我们在以前的学习经历中有没有用直边 图形的面积计算曲边图形面积这样的例子? 问题2:在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积?为什么 要逐次加倍正多边形的边数? (2)类比迁移,分组探究 问题3:能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题 转化为直边图形的面积问题? 学生活动:学生进行分组讨论、探究。 (3)汇报比较,形成方法 学生需要用原有的 知识与经验去同化 或顺应当前要学习 的新知识,所以问 题1引导学生回忆 割圆术的作法,通 过问题2引导学生 思考割圆术中的思 想方法----“以直代 曲”,和“无限逼 近”。 通过问题3激 发学生探索的愿 望,明确解决问题 的方向。 1.5.3.定积分的概念 一、复习回顾: 1. 回忆前面曲边梯形的面积,汽车行驶的路程等问题的解决方法,解决步骤: 2.上述两个问题的共性是什么? 二、新知探究 1.定积分的概念 注: 说明:(1)定积分()b a f x dx ?是一个 ,即n S 无限趋近的常数S (n →+∞时)记为 ()b a f x dx ?,而不是n S . (2)用定义求定积分的一般方法是: (3)曲边图形面积: 变速运动路程: 变力做功: 例1:利用定积分的定义,计算 dx x ?102 、 dx x ?1 03 的值. 2.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质1 ?b a dx x kf )(= ; 性质2 dx x g x f b a ?±)]()([= 性质3 ??=c a b a dx x f dx x f )()( + 3.定积分的几何意义 从几何上看,如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥, 那么定积分()b a f x dx ?表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积,这就是定积分 ()b a f x dx ?的 几何意义。 思考: (1)在[,]a b 上0)(≥x f ,()b a f x dx ?= (2)在[,]a b 上0)(≤x f ,()b a f x dx ?= (3)在[,]a b 上)(x f 变号,()b a f x dx ?= ⑤ 练习: 1、利用定积分的几何意义,判断下列定积分值的正、负号。 (1) dx x ?20sin π (2)dx x ?-212 (3)dx x ?-1 23 2、利用定积分的几何意义,说明下列各式成立 (1) 0sin 22=?-dx x π π , 0sin 20=?dx x π (2)dx x dx x ??=200sin 2sin π π 3、计算下列定积分 (1)dx b a ?1 (2)11x dx -?. (3) 5 0(24)x dx -? (4) dx x ?-1021 (5)120(2)x x dx -? 三、课堂小结: ①定积分的概念及性质②用定义法求简单的定积分③定积分的几何意义 教 学 内 容 方法与手段 定积分的概念 大家好,这节课我们开始学习定积分的概念,主要分 为三个内容: 定积分概念引入 定积分的定义 定积分的几何性质 首先我们来看第一部分 一、定积分概念引入 说起定积分的思想,其萌芽是特别早的,可以追溯至古代,最具有代表人物就是阿基米德(公元前287年—公元前212年),我们比较熟悉的就是他的浮力原理,其实阿基米德还和高斯、牛顿并列为世界三大数学家,是个非常牛的牛人,有兴趣的可以找找这个人的一些资料,当时他就开始思考定积分问题。那么到底定积分问题是什么样子的呢我们先看一个例子。 1曲边梯形的面积问题: 我们知道矩形面积:S ah = 梯形的面积:() 2 a b S h += 曲边梯形的面积:设()y f x =在区间[a,b]上非负连续,由直线x=a,x=b,y=0及曲线()y f x =所围成的面积。 导入 幻灯 幻灯 幻灯 幻灯 详讲 详讲 详讲 幻灯 那么这样的问题怎么求呢 首先,我们考虑用一个矩形去近似计算其面积。a,b 的区间长度代表其宽,b点的函数值代表其高。我们可以得到一个近似的面积值。 好,现在我们将[a,b] 区间分为两个,同样我们用这两个区间的长度代表其宽,两个区间的右端点代表其高,然后计算这两个矩形的面积求和,作为曲边梯形的面积,可以发现,通过切分,其面积更接近曲边梯形的面积。我们就有这样的思考,是不是切分的越多,其面积越近似我们再将其分为四份,我们发现好像面积越来越接近真实面积。下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟,通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。 事实上我们如果对其切割的份数取极限,让切割的份数趋于无穷,这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。 好,下面,我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。 解决步骤: 大化小:在区间中任意插入个分点 ,用直线将一个曲边梯形分成个小的曲边梯形;详讲总结 定积分的概念 教学目标: 知识目标:掌握定积分的含义,理解定积分的几何意义。 能力目标: 1、理解定积分概念中归纳思维的运用; 2、掌握例题求解过程中对比思维的运用。 素质目标:提升分析与解决问题的能力 教学重点和难点: 教学重点 :定积分的概念和思想 教学难点:理解定积分的概念,领会定积分的思想 教学方法: 1、直观法:让抽象的数学与具体的生活结合。 2、归纳法:让严整的数学定义与休闲的娱乐生活结合。 3、类比法:让例题求解过程与社会事例结合。 4、总结法:数学学习中培养的能力贯穿生活、社会、科学等各方面。 教学过程: 一、引入新课 我们已经学过规则平面图形的面积:三角形 四边形 梯形 圆等,那么不规则平面图形的面积该怎么求呢? 二、讲解新课 实例1曲边梯形的面积 曲边梯形:若图形的三条边是直线段,其中有两条垂直 于第三条底边,而其第四条边是曲线,这样的图形称为曲边梯形,如左下图所示. 曲边梯形面积的确定步骤: 推 广 为 y O M P Q N B x C A A 曲边梯形面积的确定方法:把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条,把每个长条近似看作一个矩形,用长乘宽求得小矩形面积,加起来就是曲边梯形面积的近似值,分割越细,误差越小,于是当所有的长条宽度趋于零时,这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示: O x y y = f (x ) (1)分割 任取分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ,把底边[a ,b ]分成n 个小区间 []21,x x ,(),,2,1n i =.小区间长度记为 ); ,,2,1(1n i x x x i i i =-=?- (2) 取近似 在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ竖起高线)(i f ξ,则得小长条面积 i A ?的近似值为 i i i x f A ?≈?)(ξ (n i ,,2,1 =); (3) 求和 把n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A 的近似值 i n i i n n x f x f x f x f ?=?++?+?∑=)()()()(1 2211ξξξξ ; (4) 取极限 令小区间长度的最大值{}i n i x ?=≤≤1max λ 趋于零,则和式 i n i i x f ?∑=)(1ξ的 极限就是曲边梯形面积A 的精确值,即 i n i i x f A ?=∑=→1 )(lim ξλ 实例2 路程问题 解决变速运动的路程的基本思路: 把整段时间分割成若干小时间段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程的近似值,再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值. (1)分割 (2)近似 (3)求和 (4)取极限 路程的精确值 2、归纳总结曲边梯形的面积和变速运动的路程得出定积分的概念。 3、定积分的概念 定义 3.1 设函数)(x f y =在[b a ,]上有定义,任取分点 <<<=321x x x a n n x x <<-1b =,分],[b a 为n 个小区间],[1i i x x -),,2,1(n i =. 记 {}i n i i i i x n i x x x ?==-=?≤≤-11max ),,,2,1(λ , 212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=?i i i t t t i i i t v s ?≈?)(τi i n i t v s ?≈∑ =)(1τ0},,,m ax {21→???=n t t t λi n i i t v s ?=∑=→)(lim 1 0τλ 定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念,在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念,讨论定积分性质和计算方法,举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分 设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ,于是积分()d x a f x x ?是一个定数, 这种写法有一个不方便之处,就是 x 既表示积分上限,又表示积分变量.为避免 t ,于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数,记作 ()Φx =()d x a f t t ? ( a ≤x ≤ b )通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分,其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续,则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导,且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?( a ≤x ≤ b ). 推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数. 例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解 因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==; πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数: (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ; 解 这里()Φx 是x 的复合函数,其中中间变量e x u =,所以按复合函数求导 法则,有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,又 ()F x 是()f x 的任一个原函数,则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证 由定理1知,变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数,于 是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?. 定积分的概念 同步练习 一、填空题(每小题4分,共44分) 1.在计算由曲线y =-x 2以及直线x =-1,x =1,y =0所围成的图形的面积时,若将区间[-1,1]n 等分,则每个小区间的长度为( ) A.1n B.2n C.2n -1 D.2n +1 2.函数f (x )=x 2在区间[ i -1n ,i n ]上( ) A .f (x )的值变化很小 B .f (x )的值变化很大 C .f (x )的值不变化 D .当n 很大时,f (x )的值变化很小 3.在“近似代替”中,函数f (x )在区间[]1,+i i x x 上近似值等于( ) A .只能是左端点的函数值f (x i ) B .只能是右端点的函数值f (x i +1) C .可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )([]1,+∈i i i x x ξ) D .以上均不对 4.当n 很大时,函数f (x )=x 2在区间[i -1n ,i n ]上的值,可以用哪个值近似代替( ) A .f (1n ) B .f (2n ) C .f (i n ) D .f (0) 5.求曲边梯形面积主要运用的数学思想是( ) A .函数方程 B .数形结合 C .分类讨论 D .以直代曲 6.定积分的?b a dx x f )(的大小( ) A 与)(x f 和积分区间[]b a ,有关,与i ξ的取法无关. B 与)(x f 有关,与区间[]b a ,以及i ξ的取法无关 C.与)(x f 以及i ξ的取法有关,与区间[]b a ,无关 D.与)(x f 以及i ξ的取法和区间[]b a ,都有关 7.设连续函数0)(>x f ,则当b a <时,定积分?b a dx x f )(的符号( ) A.一定是正的 B.一定是负的 C.当b a <<0时是正的 D.以上都不对 8.与定积分dx x ?π230 sin 相等的是( ) A. ? π230 sin xdx B.? π230 sin xdx C.?π sin xdx - ?ππ 2 3sin xdx D.??+2 32 20 sin sin πππ xdx xdx 9.已知,3)(2 =?dx x f 则[]=+?dx x f 2 6)(___________ 10.已知某物体运动的速度v =2t -1,t ∈[0,10],若把区间10等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程的近似值为________. 11.在区间[0,8]上插入9个等分点,则所分的小区间长度Δx =________,第5个小区间是________. 姓名 第五章定积分 一、基本要求: 1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质. 2.理解积分上限的函数,并掌握其求导法则. 3.掌握牛顿——莱布尼兹公式. 4.掌握定积分的换元法和分布积分法. 5.理解反常积分(广义积分)的概念,会计算反常积分,了解反常积分的审敛法. 6.了解定积分的近似计算方法. 二、主要内容 Ⅰ. 定积分概念: 1. 定积分定义:设()f x 在区间[,]a b 上有界,在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2, ,)i i x x i n -=,小 区间的长度记为1,(1,2, ,)i i i x x x i n -?=-=,在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ,作1 ()n i i i f x ξ=?∑, 若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=??∑ 1(max{})i i n x λ≤≤=?存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分. 记为 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==??∑? 当上述极限存在时,称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上可积。 3. 若()f x 在[,]a b 上有界,且只有有限个间断点,则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ. 定积分的几何意义 定积分 ()b a f x dx ? 在几何上表示:由曲线()y f x =,直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面 积的代数和 (x 轴上方的面积取正,x 轴下方的面积取负) Ⅲ. 定积分的性质 1. 补充规定:(1)当a b =时, ()0b a f x dx =? (2)当a b >时, ()()b a a b f x dx f x dx =-?? 2. 性质: (1) [()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx - -+=+? ?? (2) ()(),()b b a a kf x dx k f x dx k =? ?为常数 (3) ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ?? (4) b a dx b a =-? (5) 若在[,]a b 上,()0f x ≥,则 ()0,()b a f x dx a b ≥ 推论1:若在[,]a b 上,()()f x g x ≤,则 ()(),()b b a a f x dx g x dx a b ≤ ?. 《数学分析》 之九 第九章定积分(14+4学时) 教学大纲 教学要求: 1.理解Riemann定积分的定义及其几何意义 2.了解上和与下和及其有关性质 3.理解函数可积的充要条件,了解Riemann可积函数类 4.熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式 5.了解积分第一中值定理 6.掌握变上限积分及其性质 7.熟练掌握Newton-Leibniz公式,定积分换元法,分部积分法 教学内容: 问题的引入(曲边梯形的面积及变速直线运动的路程),定积分定义,几何意义,可积的必要条件,上和、下和及其性质,可积的充分条件,可积函数类,定积分的性质,积分中值定理,微积分学基本定理,牛顿一莱布尼兹公式,定积分的换元法及分部法。 第页 此表2学时填写一份,“教学过程”不足时可续页 第页 =i 1 。 则称函数)(x f 在[b a .]上可积或黎曼可积。数J 称为函数)(x f 在[b a .]上 的定积分或黎曼积分,记作: ?=b a dx x f J )( 其中)(x f 称为被积函数,x 称为积分变量,[b a .]称为积分区间,dx x f )(称为被积式,b a ,分别称为积分的下限和上限。 定积分的几何意义; 连续函数定积分存在(见定理9.3) 三、举例: 例1 已知函数 在区间 上可积 .用定义求积分 . 解 取 等分区间 作为分法 n b x T i = ?, 取 .= . 由函数)(x f 在区间],0[b 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 . 例2 已知函数2 11 )(x x f += 在区间]1,0[上可积 ,用定义求积分 . 解 分法与介点集选法如例1 , 有 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分 1.5.3 定积分的概念 一、教学目标 1.核心素养 通过定积分的概念的学习,提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力. 2.学习目标 (1)借助几何直观体会定积分的基本思想; (2)初步了解定积分的概念. 3.学习重点 定积分的概念与定积分的几何意义 4.学习难点 定积分的概念 二、教学设计 (一)课前设计 1.预习任务 任务:预习教材P 45—P 48,完成相应练习题 2.预习自测 1.设 f (x )=????? x 2(x ≥0),2x (x <0), 则??-1 1f (x )dx 等于( ) A .??-11x 2dx B .??-1 12x d C .??-10x 2dx +??012x dx D .??-102x dx +??01x 2dx 答案:D 2.定积分?1 3 (-3)dx 等( ) A .-6 B .6 C .-3 D .3 答案:A 3.已知t >0,若??0t (2x -2)dx =8,则t =( ) A .1 B .-2 C .-2或4 D .4 答案:D (二)课堂设计 1.知识回顾 求曲边梯形面积的步骤 ①分割:把区间[a ,b ]等分成n 个小区间; ②近似代替:对每个小曲边梯形“以直代曲”,用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值; ③求和:计算出n 个小矩形的面积之和n S ,n S 即为曲边梯形面积的近似值; ④取极限:求lim n n S S →+∞ =(S 即为曲边梯形的面积) 2.问题探究 问题探究一 什么是定积分? 学生活动:阅读课本相应内容,找到定积分的定义,并概括出求定积分的基本步骤: 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<< <<< <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间,在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点()12i i ,,...,n ξ=,作和式1 1 ()()n n i i i i b a f x f n ξξ==-?=∑∑ ,当n →∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分,记做()b a f x dx ?. 定积分与微积分定理 1.定积分的概念 一般地,设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间,每个小区间长度为x ?(b a x n -?=),在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ,作和式:1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0(亦即n →+∞)时,上述和式n S 无限趋近于常数S ,那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为:()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数,x 叫做积分变量,[,]a b 为积分区间,b 积分上限,a 积分下限。 说明:(1)定积分()b a f x dx ? 是一个常数,即n S 无限趋近的常数S (n →+∞时)称为()b a f x dx ?, 而不是n S . (2)用定义求定积分的一般方法是:①分割:n 等分区间 [],a b ;②近似代替:取点[]1,i i i x x ξ-∈; ③求和:1 ()n i i b a f n ξ=-∑;④取极限:()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? (3)曲边图形面积:()b a S f x dx =?;变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?; 变力做功 ()b a W F r dr =? 2.定积分的几何意义 说明:一般情况下,定积分 ()b a f x dx ? 的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积去负号.(可以先不给学生讲). 分析:一般的,设被积函数()y f x =,若()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式 ()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ?+?++?++?L L 第5章 定积分及其应用 定积分的概念与性质 【教学目的】: 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法; 2. 理解定积分的概念及其性质; 3. 掌握定积分的几何意义 ; 【教学重点】: 1. 定积分的概念及其性质; 【教学难点】: 1. 曲边梯形面积求法的思维方法; 【教学时数】:2学时 【教学过程】: 案例研究 引例 曲边梯形的面积问题 所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f ),直线a x =,b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形(如图5-1所示) .下面来求该曲边梯形的面积. 分析 由于“矩形面积=底?高”,而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间[,]a b 上是变动的,故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面,由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的,所以当点x 在区间[,]a b 上某处变化很小时,相应的()f x 也就变化不大.于是,考虑用一组平行于y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形,当分割得较细,每个小曲边梯形很窄时,其高()f x 的变化就很小.这样,可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形,用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积(如图5-2所示).显然,分割越细,近似程度越高,当无限细分时,所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析,可按以下四步计算曲边梯形的面积A . 图5-1 图5-2 (1)分割 在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点, 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=, 将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x --ΛΛ, 它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-, 过每一个分点作平行于y 轴的直线,把曲边梯形分成n 个小曲边梯形; (2)取近似 在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤,以小区间1i i i x x x -?=-为底,()i f ξ为高作小矩形,用小矩形的面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?,即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=, (3)求和 把这样得到的n 个小矩形的面积加起来,得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ,将 其作为曲边梯形面积的近似值,即 1 1 ()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑; (4)取极限 当分点个数n 无限增加,且小区间长度的最大值λ(max{}i x λ=?)趋于零时,上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值,即 0 1lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 定积分的定义 定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界,在闭区间[,]a b 中任意插入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=, 将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --, 各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-, 在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ,作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的乘积),,2,1()(n i x f i i Λ=?ξ,并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ,记 }max {i x ?=λ, ),,2,1(n i Λ=, 当n 无限增大且0→λ时,若上述和式的极限存在,则称函数()y f x =在区间[,]a b 上可积,并将此极限值称为函数()y f x =在[,]a b 上的定积分,记为 ?b a dx x f )(. 即 ∑?=→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ, 其中x 称为积分变量,()f x 称为被积函数,()f x dx 称为被积表达式, a 称为积分下限,b 称为积分上限,[,]a b 称为积分区间,符号?b a dx x f )(读作函数()f x 从定积分的概念(教学内容)
定积分的基本概念
§1.5.3定积分的概念教案
数学:1.5.3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2)
高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质
第五章_第一节_不定积分的概念、性质.
定积分的概念教案知识讲解
定积分的概念(教案)
定积分的基本概念
定积分的概念教案
定积分基本公式
2定积分概念
高等数学第五章定积分及自测题
(完整版)定积分教案
人教课标版高中数学选修2-2:《定积分的概念》教案-新版
定积分的概念
高等数学教案22定积分的概念与性质