定积分的概念
《定积分的定义》课件
总结词：定积分具有线性性质、可加性、可减性、可 乘性和可除性。
详细描述：定积分具有一系列的性质，其中最重要的是 线性性质，即两个函数的和或差的积分等于它们各自积 分的和或差；其次，定积分具有可加性和可减性，即函 数在一个区间上的积分等于该区间左端点处的函数值与 区间长度乘积的一半减去右端点处的函数值与区间长度 乘积的一半；此外，定积分还具有可乘性和可除性，即 函数与常数的乘积的积分等于该常数乘以函数的积分， 函数除以常数的积分等于函数乘以该常数的倒数。这些 性质在求解定积分时非常有用。
功的计算
定积分可用于计算力在空间上所做的功，通过将力在空间上进行积 分得到总功。
电磁学中的应用
在电磁学中，电场强度和磁场强度是空间的函数，通过定积分可以 计算电场强度和磁场强度在空间上的分布。
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微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用非常广泛，它 为解决各种实际问题提供了重要的数 学工具。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算 各种函数的定积分，从而解决诸如面 积、体积、长度、平均值、极值等问 题。此外，它也是微分方程求解的重 要基础。
微积分基本定理的证明
总结词
微积分基本定理的证明涉及到了极限理论、实数性质等深奥的数学知识，是数学严谨性的一个典范。
详细描述
证明微积分基本定理需要利用极限的运算性质和实数完备性等数学知识。其证明过程体现了数学的严 谨性和逻辑性，是数学教学中的重要内容。同时，对于理解微积分的本质和深化数学素养具有重要意 义。
03
定积分的计算方法
直接法
总结词
直接计算定积分的基本方法
详细描述
直接法是计算定积分最基本的方法，它基于定积分的定义，通过将被积函数进行微分和 积分，然后进行计算。这种方法适用于一些简单的定积分计算，但对于一些复杂的定积
定积分的概念
微积分II Calculus II§7.1 定积分的概念§7.2 定积分的基本性质第七章§7.3 定积分计算基本公式定积分§7.4 定积分基本积分方法§7.5 反常积分§7.6 定积分的应用7.1 定积分的概念曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成.一问题的提出实例：求曲边梯形的面积1)(x f y =ayxb0121−=<<<<<<=k k n a x x x x x x b(1) 分割：1 (1,2,).−∆=−=k k k x x x k n 分点为：将区间任意分为个子区间[,]a bn(2) 近似：任取1[,]ξ−∈k k k x x (1,2,,)=k n ()ξ≈∆k k k S f x ayxb ()ξk f ξk1−k x kxayxb 1==∑nkk S S (3)作和：1()ξ=≈∆∑nkkk f x (4)取极限：记1max{}≤≤∆=∆k k n x x 01lim ()ξ∆→==∆∑nk kx k S f x ()ξk f ξk1−k x kx0121−=<<<<<<=k k n a x x x x x x b任取1[,]ξ−∈k k k x x (1,2,,)=k n 1(1,2,,)−∆=−=k k k x x x k n 设函数在上有定义，把任意分割成个小区间:[,]a b ()f x [,]a b n 作1(),ξ=∆∑nkk k f x 记1max{}≤≤∆=∆k k nx x 若极限01lim ()ξ∆→=∆∑n k k x k f x 存在，则称函数()f x 在[,]a b 上可积定积分的概念2()baf x dx⎰记作:此极限值为函数()f x 在[,]a b 上的定积分.积分下限a 积分上限b 积分变量x 被积表达式()f x dx 积分区间],[b a 即⎰badx )x (f 01lim ()ξ∆→==∆∑nk k x k f x(1)sdx x f ba=⎰)(sdx x f ba−=⎰)()(x f y =abxyos()0f x >(2)()0f x <)(x f y =a bxyos定积分的几何意义2(3)AB)(xfy=x y()f x()()()=−⎰b a f x dx S A S B二定积分存在定理定理一定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上可积定理二定理2：f x在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f x在区间a,b上可积利用定积分定义计算⎰102dxx 解2()f x x =120x dx ⎰存在在闭区间[0，1]上连续∴三例题演练例等分, 把区间[0,1]n 1 −∆=−k k k x x x 取(1,2,,)=k n ,n 1=,ξ==k k k x n ∴=k kx n分点为1()ξ=∆∑n k k k f x 21ξ==∆∑n k k k x 211=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑n k k n n 2311==∑n i k n612113)n )(n (n n ++=22231(12)n n =++201lim ξ∆→==∆∑nkk x k x 31=31(1)(21)lim 6→∞++=n n n n n ⎰102dx x。
解释定积分的概念
解释定积分的概念
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
具体来说，定积分定义如下：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子
区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (xₙ-1,xₙ]，其中x₀=a，xₙ=b。
a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x
叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
同时，应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。
定积分的概念
设某质点作直线运动，速度 v v (t ) 是时间间 隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，物体在这段时 间内所经过的路程.
S v(t )dt
T2 T1
例1 利用定义计算定积分 x 2dx.
0
1
i 解 将[0,1]n 等分，分点为 x i ，(i 1,2, , n ) n 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，(i 1,2, , n ) n 取 i x i ，(i 1,2,, n )
f ( x ) |在区间[a , b] 上的可积性是显然的.
（3） 设 M 及m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b] 上的最大值及最小值，
则 m(b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
b
6） (积分中值定理)若函数f ( x)在区间[a, b]上连续 . 则在[a, b]上至少存在一点 , 使得下式成立 :
o a
x1
x i 1 i x i
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， (i ) 为高的小矩形面积为 f
Ai f ( i )xi
近似
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
求和
当分割无限加细即小区间的最大长度 ,
max{x1 , x2 ,xn }
b
x
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积 的负值
b
y
a
o
A2
A1
A3
b
x
它 是 介 于x 轴 、 函 数 f ( x ) 的 图 形 及 两 条 直 线 x a, x b 之 间 的 各 部 分 面 积 的数 和 ． 代 在 x 轴 上 方 的 面 积 取 正 号在 x 轴 下 方 的 面 ； 积取负号．
《定积分定义》课件
定积分的计算涉及到将被积函数与区间长度进行乘积，并 对所有这些乘积求和。
定积分的几何意义
面积
定积分可以用来计算平面图形在 某个区间上的面积，特别是当这 些图形由直线、抛物线、圆等基
本图形组成时。
体积
在三维空间中，定积分可以用来计 算旋转体等复杂几何体的体积。
物理意义
在物理学中，定积分常用于计算变 力在某个区间上做的功、曲线运动 的位移等。
物理中的定积分应用
总结词
在物理学中，定积分常用于解决与速度、加 速度、功等相关的物理问题。
详细描述
在物理学中，定积分的应用非常广泛。例如 ，在分析质点的运动时，可以利用定积分计 算质点的速度、加速度和位移；在分析弹性 体的应力分布时，可以利用定积分计算弹性 体内各点的应力值。此外，定积分还在电磁
学、光学等领域有着广泛的应用。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将被积函数分解为两个函数的乘积，然后分别积分，最后求和得到结 果的方法。
详细描述
分部积分法需要掌握分部积分的公式和计算技巧，如u和v的选取、分部积分的步骤等 。通过分部积分，可以将复杂的积分转化为容易计算的积分，或者将不易找到原函数的
积分转化为容易找到原函数的积分。
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积时发挥 了重要作用，可以应用于旋转体体积的计算 。
详细描述
定积分在计算旋转体的体积时非常有用。例 如，利用定积分可以计算圆柱、圆锥、球等 旋转体的体积。这些体积的计算公式都是通 过将旋转体划分为若干个小薄片，然后利用 定积分的性质计算这些小薄片的体积总和得 到的。
04
定积分的应用
平面图形面积的计算
总结词
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
定积分的定义
定积分的定义定积分是微积分中的一种重要概念，它广泛应用于物理、计算机科学、经济学、统计学等领域。
在本文中，我们将探讨定积分的定义及其相关概念、定理和应用。
一、定积分的定义定积分的定义是通过限定积分上下限，计算函数在给定区间上的面积的方法。
具体地说，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上关于x轴的面积为：∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx其中∫表示积分符号，f(x)dx表示微元，最终结果为面积。
二、交错积分的概念定积分有时会被定义为交错积分的形式，按照这样的定义，定积分是将区间[a,b]分成n等份后，将每等份映射到默区间[a,b]，计算总面积面积的方法。
三、定积分的性质定积分具有一个重要的性质，即可加性。
也就是说，如果f(x)连续，则对于[a,b]和[b,c]的任意选取，有：∫<sub>c</sub><sup>b</sup>f(x)dx+∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f (x)dx=∫<sub>c</sub><sup>a</sup>f(x)dx这个性质对于求复杂函数的面积非常有用，因为它允许我们将求和区间划分成更小的部分，并在不同部分上执行计算，从而得到总面积。
四、定积分的定理除了性质外，定积分还有一些定理，它们可以更简单地求出某些函数的积分。
其中最著名的是牛顿-莱布尼茨公式，它指出：∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)d x=F(b)-F(a)其中F(x)是f(x)的原函数。
另外两个常见的定理是平均值定理和拉格朗日中值定理。
平均值定理指出，如果f(x)在区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上的平均值等于1/(b-a)∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx；拉格朗日中值定理指出，如果f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上存在一个数c，使得：f(c)=(1/(b-a))∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx这两个定理为找出区间[a,b]上函数值的平均值或最大值提供了帮助。
定积分的概念 课件
a
a
a
故m(b－a)≤bf(x)dx≤M(b－a)．
a
利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可
以估计出积分值的大致范围.
3 新课堂·互动探究 考点一 利用定积分的定义求定积分 例1 利用定义求定积分3x2dx.
0
解析：令f(x)＝x2，
(1)分割：
在区间[0,3]上等间隔地插入n－1个点，把区间[0,3]分成n等份，
其分点为xi＝
3i n
(i＝1,2，…，n－1)，这样每个小区间[xi－1，xi]的长度
Δx＝3n(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替、求和： 令ξi＝xi＝3ni(i＝1,2，…，n)，于是有和式：
i∑＝n1f(ξi)Δx＝∑i＝n1 3ni2·3n ＝2n73 ∑i＝n1i2＝2n73 ·16n(n＋1)(2n＋1)
a
a
a
同看待，由于被积函数f(x)在闭区间[a，b]上可正可负，也就是说它的
图象可以在x轴上方，也可以在x轴下方，还可以在x轴的上下两侧，
所以 b f(x)dx表示由x轴、函数f(x)的曲线及直线x＝a，x＝b之间各部 a
分面积的代数和；而被积函数|f(x)|是非负的，所以 b |f(x)|dx表示在区 a
定积分的概念
1 新知识·预习探究
知识点一 定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜ xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，
n
n
xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f (ξi)·Δx＝
i＝1
i＝1
[a，b]上恒为正时，定积分 b f(x)dx的几何意义是以曲线f(x)为曲边的 a
定积分的概念
（2）作和
f x 上一点，作乘积
ξ x f
i 1 i
n
任取 ξ i xi 1 , xi i 1,2,, n,
ξ i, f ξ i 为曲线 f ξ i xi 1,2,, n ，则
f x 在 a, b
上的积分和。
n
称为函数
例2 计算积分
1
0
1 x dx
2
解：由定积分的几何意 义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围 的面积（见下图）
y
1 4
面积值为圆的面积的
所以
1
0
1 x dx
2
4
1 x
三:
定积分的基本性质
性质1.
b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积 的负值
b
几何意义
y
o
A1
A 2
A
3
x
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图形及两条 直线 x a , x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
b a 4．规定： f ( x)dx f ( x)dx
a
a
f ( x)dx 0
4.
曲边梯形由连续曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、x b 所围成.
其面积A等于函数f ( x )在区间 [a , b]上的定积分， 即 A
定积分的概念
分割, i 如何取法, 极限
lim Sn lim f ( i )xi
0 0
i 1 n
存在, 则称此极限为f ( x )在[a, b]上的定积分,
记作 a f ( x )dx, 即
b
b
a
f ( x )dx lim f ( i )xi
0
i 1
o a
x1
x i 1 i xi
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f ( i )xi
近似
12
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
求和
当分割无限加细, 即小区间的最大长度 max{ x1 , x 2 , x n } 趋近于零 ( 0) 时， （1）分割
播放
5
曲边梯形如图所示， 在区间[a, b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 分割 把区间 [a , b] 分成 n y
个小区间[ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
a a
b
b
2. 可积的充分条件：
闭区间[a, b] 上连续的函数必在 [a, b] 是可积的；
[a, b] 上有有限个间断点的有界函数在 [a, b] 也可积.
17
6.1.3 定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
y
b a
f ( x ) dx A
曲边梯形的面积
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定积分与微积分定理1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b axn-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,ii n ξ=L ，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baSf x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baSf x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()b aWF r dr =⎰2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积分()baf x dx⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。
考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆L L不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<L 于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆L L()baf x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx ba-=⎰1性质2 ⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质31212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dxa cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：1212[()()()]()()()bb b bm m aaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰LL②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰L③性质解释：PCN M BAab Oyxy=1yxOba2.微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，为后面的学习奠定了基础。
因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，说明：①它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题。
我们可以用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分.②它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。
思考并回答下列问题：性质1性质4①与函数f(x)相对应F(x)的唯一吗？如果不唯一，它们之间什么关系？原函数的选择影响最后的计算结果吗？②计算定积分()ba f x dx ⎰的关键是什么？③寻找函数f(x)的原函数F(X)的方法是什么？④利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数典例分析 例1．计算定积分21(1)x dx +⎰分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。
即：215(1)2x dx +=⎰思考：若改为计算定积分22(1)x dx -+⎰呢？改变了积分上、下限，被积函数在[2,2]-上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题） 1. （2014·湖北高考理科·Ｔ6）若函数f(x)，()g x满足11()g()d 0f x x x -=⎰，则称f(x)，()g x 为区间[-1,1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin ,()cos 22f x x g x x ==；②()1,g()1f x x x x =+=-；③2(),g()f x x x x ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ）A.0B.1C.2D.3【解题提示】 考查微积分基本定理的运用【解析】选C. 对①，1111111111(sin cos )(sin )cos |02222x x dx x dx x ---⋅==-=⎰⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数； 对②，1123111114(1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x ---+-=-=-=-≠⎰⎰，则)(x f 、)(x g 不为区间]1,1[-上的正交函数； 对③，1341111()|04x dx x --==⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数. 所以满足条件的正交函数有2组.2.（2014·山东高考理科·Ｔ6）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A 、22 B 、2 C 、2 D 、412yxo【解题指南】 本题考查了定积分的应用，先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积.【解析】选D.由⎩⎨⎧==34xy xy ，得交点为()()()8,2,8,2,0,0--， 所以()402412442203=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰x x dx x x S，故选D. 3.(2014·陕西高考理科·T3)定积分(2x+e x )dx 的值为 ( )A.e+2B.e+1C.eD.e-1【解题指南】求出被积函数2x+e x 的原函数,然后根据定积分的定义解之. 【解析】选C.(2x+e x )dx=(x 2+e x )=1+e-1=e.4.（2014·福建高考理科·Ｔ14）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.【解题指南】本题考查了反函数在图象上的性质，利用对称性，将问题化为可利用定积分求解面积的问题。
【解析】xy e =和ln y x =互为反函数，不妨将样本空间缩小到左上方的三角形， 则12221()()021122x xex e e e S p S e e e ∆--'====⎰． 【答案】22e5.已知f (x )为偶函数且60⎰f (x )d x ＝8，则66-⎰f (x )d x 等于 ( )A ．0B ．4C ．8D ．16 解析：原式＝06-⎰f (x )d x ＋60⎰f (x )d x ，∵原函数为偶函数， ∴在y 轴两侧的图象对称， ∴对应的面积相等，即8×2＝16. 答案：D6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ，x ∈[1，2]，则20⎰f (x )d x 等于 ( )A.34B.45C.56 D ．不存在 解析：数形结合，20⎰f (x )dx =10⎰x 2dx +21⎰(2-x )dx=321211(2)3021x x x +- =3115(422)326x +--+=. 答案：C7．计算以下定积分： (1) 21⎰(2x 2－1x )d x ；(2)32⎰(x ＋1x)2d x ； (3)30π⎰(sin x －sin2x )d x ；解：(1)21⎰(2x 2－1x )d x ＝(23x 3－ln x )21＝163－ln 2－23＝143－ln 2. (2)32⎰(x ＋1x)2d x ＝32⎰(x ＋1x＋2)d x＝(12x 2＋ln x ＋2x )32＝(92＋ln 3＋6)－(2＋ln 2＋4) ＝ln 32＋92.(3)30π⎰(sin x －sin2x )d x ＝(－cos x ＋12cos2x )30π ＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14.题组二 求曲多边形的面积8图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 ( ) A ．1 B.43C. 3 D ．2解析：函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于20⎰(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝20⎰(－x 2＋2x )d x ＝43.答案：B9．已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k ＞0)的图象所围成的阴影部分 (如图所示)的面积为43，则k ＝________.解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k ]， 再由0k ⎰(kx －x 2)d x ＝(kx 22－x 33)0k ＝k 36＝43求得k ＝2. 答案：210．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动， 记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积 分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________． 解析：设直线OP 的方程为y ＝kx, P 点的坐标为(x ，y )， 则x ⎰(kx －x 2)d x ＝2x⎰(x 2－kx )d x ，即(12kx 2－13x 3)0x ＝(13x 3－12kx 2)2x， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －(13x 3－12kx 2)，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169)．答案：(43，169)11.一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为 ( ) A.176 B.143 C.136 D.116解析：s ＝21⎰(t 2－t ＋2)d t ＝(13t 3－12t 2＋2t )|21＝176. 答案：A12．若1 N 的力能使弹簧伸长1 cm ，现在要使弹簧伸长10 cm ，则需要花费的功为( ) A ．0.05 J B ．0.5 J C ．0.25 J D ．1 J解析：设力F ＝kx (k 是比例系数)，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，可解得k ＝100 N/m ，则F ＝100x ，所以W ＝0.1⎰100x d x ＝50x 20.10＝0.5 J.答案：B13．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米． 解析：据题意，v 与t 的函数关系式如下：v ＝v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧32t ，0≤t ＜20，50－t ，20≤t ＜40，10，40≤t ≤60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为 s ＝60()d v t t ⎰＝203d 2t t ⎰＋4020(50)d t t -⎰＋604010d t ⎰＝34t 2200＋(50t －12t 2)4020＋10t 4020＝900米． 答案：90014.(2010·烟台模拟)若y ＝x ⎰(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是 ( )A ．1B ．2C ．－72 D ．0解析：y ＝x ⎰(sin t ＋cos t sin t )d t ＝0x ⎰(sin t ＋12sin2t )d t＝(－cos t －14cos2t )x ＝－cos x －14cos2x ＋54＝－cos x －14(2cos 2x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12(cos x ＋1)2＋2≤2.答案：B15．(2010·温州模拟)若f (x )是一次函数，且10⎰f (x )d x ＝5，10⎰xf (x )d x ＝176，那么21⎰f (x )xd x 的值是________．解析：∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由10⎰(ax ＋b )d x ＝5得(12ax 2＋bx )10＝12a ＋b ＝5，① 由10⎰xf (x )d x ＝176得10⎰(ax 2＋bx )d x ＝176，即(13ax 3＋12bx 2) 10＝176，∴13a ＋12b ＝176， ②解①②得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3， 于是21⎰f (x )xd x ＝21⎰4x ＋3xd x ＝21⎰(4＋3x)d x＝(4x ＋3ln x )21＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.答案：4＋3ln2 16．设f (x )＝10⎰|x 2－a 2|d x .(1)当0≤a ≤1与a ＞1时，分别求f (a )； (2)当a ≥0时，求f (a )的最小值． 解：(1)0≤a ≤1时， f (a )＝10⎰|x 2－a 2|d x＝a ⎰(a 2－x 2)d x ＋1a⎰(x 2－a 2)d x＝(a 2x －13x 3)0a＋(x 33－a 2x )1a＝a 3－13a 3－0＋0＋13－a 2－a 33＋a 3＝43a 3－a 2＋13. 当a ＞1时， f (a )＝10⎰(a 2－x 2)d x＝(a 2x －13x 3)10＝a 2－13.∴f (a )＝32241(0),331(>311).a a a a a ⎧-+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≤(2)当a ＞1时，由于a 2－13在[1，＋∞)上是增函数，故f (a )在[1，＋∞)上的最小值是f (1)＝1－13＝23.当a ∈[0,1]时，f ′(a )＝4a 2－2a ＝2a (2a －1)，由f ′(a )＞0知：a ＞12或a ＜0，故在[0，12]上递减，在[12，1]上递增．因此在[0,1]上，f (a )的最小值为f (12)＝14.综上可知，f (x )在[0，＋∞)上的最小值为14.课堂练习 计算下列定积分 1．50(24)x dx -⎰5(24)945x dx -=-=⎰2．11x dx -⎰11111111122x dx -=⨯⨯+⨯⨯=⎰布置作业1. 设连续函数0)(>x f ,则当b a<时,定积分⎰ba dx x f )(的符号________A.一定是正的B.一定是负的C.当b a <<0时是正的D.以上都不对 2. 与定积分dx x ⎰π23sin 相等的是_________A.⎰π230sin xdx B.⎰π230sin xdxC.⎰πsin xdx -⎰ππ23sin xdx D.⎰⎰+23220sin sin πππxdx xdx3. 定积分的⎰badx x f )(的大小_________A. 与)(x f 和积分区间[]b a ,有关,与i ξ的取法无关. B. 与)(x f 有关,与区间[]b a ,以及i ξ的取法无关C. 与)(x f 以及i ξ的取法有关,与区间[]b a ,无关D. 与)(x f 以及i ξ的取法和区间[]b a ,都有关4. 下列等式成立的是________ A.a b dx ba -=⨯⎰0 B.21=⎰baxdx C.dx x dx x ⎰⎰=-10112 D.⎰⎰=+b abaxdx dx x )1(5. 已知⎰badx x f )(=6,则______)(6=⎰dx x f ba6. 已知,18)()(=+⎰dx x g x f ba ⎰=badx x g 10)(,则⎰badx x f )(=______________7. 已知,3)(20=⎰dx x f 则[]=+⎰dx x f 206)(___________8. 计算dx x 21031⎰9. 计算dx x 316⎰演练方阵A 档（巩固专练）1．5(24)x dx -⎰= ( )A ．5B ．4C ．3D ．22．211ln xdx x ⎰= ( ) A ．21ln 22 B ．ln 2 C ．2ln 2 D ．ln23．若11(2)3ln 2a x dx x+=+⎰，且1a >，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．24．已知自由落体运动的速率v=gt ，则落体运动从t=0到t=t 0所走的路程为( )A ．203gtB ．20gt C ．202gt D ．206gt5．曲线2x y =与直线2+=x y 所围成的图形（阴影部分）的面积等于 ． 6．()0d xF't t =⎰．7．如图，求由两条曲线2x y -=，24x y -=及直线y = -1所围成图形的面积．8．如图，抛物线C 1：y = -x 2与抛物线C 2：y =x 2-2ax (a >0)交于O 、A 两点．若过原点的直线l 与抛物线C 2所围成的图形面积为329a ，求直线l 的方程． 9．平地上有一条小沟，沟沿是两条长100m 的平行线段，沟宽AB 为2m ，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面垂直，沟深1.5m ，沟中水深1m ． （Ⅰ）求水面宽；（Ⅱ）如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，沟中的水有多少立方米？ 10．设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f ．[来源:学科网] （1）求)(x f 的表达式．（2）若直线)10(<<-=t t x 把)(x f y =的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，求t 的值．y xo1 22- -1-1A B C D第7图第8图A1．211dx x ⎰=______________． 2．3211(2)x dx x-⎰=___________．3．求由曲线22y x x =-与x 轴所围的封闭区域的面积．4．已知弹簧每拉长0. 02 米要用9. 8N 的力，则把弹簧拉长0. 1米所作的功为 ． 5．由曲线22y x =-与直线y x =-所围成的平面图形的面积为 ． 6．(cos 5sin 2)d aax x x x --+⎰= ．7．321(4)x x dx --=⎰_________________．8．20(sin )x x dx π+=⎰_______________．9．dx x ⎰-222cos ππ_____________．10．已知A （-1，2）为抛物线C ：y =2x 2上的点．直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切．直线l 2：x =a (a ≠-1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D ． （1）求直线l 1的方程； （2）设∆ABD 的面积为S 1，求BD 及S 1的值；（3）设由抛物线C 、直线l 1、l 2所围成的图形的面积为S 2，求证：S 1∶S 2的值为与a 无关的常数．1．1()x x e e dx -+=⎰( )A ．e e 1+B ．2eC ．e 2D ．ee 1- 2．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积( )A ．4B ．2C ．25D ．33．若20(345)ax x dx +-⎰=32a -（1a >），则a = ．4．4x ⎰= ．5．求定积分：12232(9)x x dx -⎰．6．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．7．23(2cos 1)2xdx π-⎰= ( ) 8． A． B ．12- C ．12D8．32|312|xdx -⎰= ( )A ．21B ．22C ．23D ．24 9．下列命题： ①若f(x)是定义在R 上的奇函数，则()xf t dt ⎰为R 上的偶函数；②若f(x)是周期为T （＞0）的周期函数，则0()()aa TTf x dx f x dx +=⎰⎰；③0(())()xf t dt f x '''=⎰。