考点24 等比数列及其前n项和

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等比数列及其前n项和(高三一轮复习)

数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
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思维点睛►
(1)等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，分为q＝1时与q≠1时的情况．
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
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解法二：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.由题意可得aa12＋－aa25＋＝a432＝，168，
即a111－－qq3＝168， a1q1－q3＝42，
a1＝96，解得q＝12，
所以a6＝a1q5＝3，故选D.
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
(2)设等比数列{an}的公比为q，由题意得2（12a3）＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q. 因为数列{an}的各项均为正数，所以a1>0，且q>0，故A、B正确；由q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍)，所以aa32＝q＝3，aa46＝q2＝9，故C错误，D正确，故选ABD.
第六章数列
第3讲等比数列及其前n项和
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究课标解读
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1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义；2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系；3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题；4.体会等比数列与指数函数的关系．
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
(2)由(1)可知 an－3n＝(－1)n，所以 an＝3n＋(－1)n，所以 Sn＝311－－33n＋－11·－[1－－1－ 1n] ＝3n＋1－2－1n＋1－2.

新高考数学等比数列及其前n项和精品复习资料

课前基础巩固
am·qn-m
ap·aq
3. 等比数列与函数的关系(1)等比数列{an}的通项公式可以写成an=qn(q≠1),前n项和公式可以写成Sn=qn-(q≠1).(2)①当或时,{an}是递增数列;②当或时,{an}是递减数列;③当q=1时,数列{an}是常数列;④当q<0时,数列{an}为摆动数列.
解: 由题意可知,有两种组合满足条件.①a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列{an}中,a1=8,公差d=4,所以其通项公式为an=8+4(n-1)=4n+4.②a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列{an}中,a1=2,公差d=2,所以其通项公式为an=2n.
第一列
第二列
第三列
第一行
21
课堂考点探究
(2)在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n= .
[解析]设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=4=q3与a4a5a6=12=q12,可得q9=3, an-1anan+1=q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以3n-6=36,即n=14.
[解析]依题意得所以解得
-2
3. [教材改编] 等比数列{an}中,a3=12,a4=18,则a6= .
课前基础巩固
[解析]由a3=12,a4=18,得解得∴a6=a1q5=×=.
题组二常错题
索引:忽视项的符号的判断;忽视等比数列的项不为0的特点;忽视对公比的讨论;对等比数列的性质不熟导致出错.4.在等比数列{an}中,a3=2,a7=8,则a5= . 5.已知x,2x+2,3x+3是一个等比数列的前三项,则x的值为 .

高三数学等比数列及其前n项和

考点三
例 2
等比数列的性质及应用
(1)在各项不为零的等差数列{an}中,2a2 019-
b2 020=a2 020,则 log2(b2 019·b2 021)的值为(
+2a2
)
A.1 B.2 C.4 D.8
解析:(1)因为在等差数列{an}中,a2 019+a2 021=2a2 020,
an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(5)在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列(n为偶数且
q≠-1).
释疑
(1)任意两个实数不一定都有等比中项,只有同号的两个非零实数才有等比中项.

n
n
(2)an= ·q ,当 q>0 且 q≠1 时,可以看成函数 y=cq ,其是一个不为 0 的常数与指数
(- ) -
na1;当 q≠1 时,{an}的前 n 项和 Sn=
-
=
-
.
考点二
等比数列的判定与证明
例1 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(1)解:因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),
第3节
等比数列及其前n项和
课程标准要求
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解
答
.
4.了解等比数列与指数函数的关系.

高考数学专题《等比数列及其前n项和》习题含答案解析

专题7.3 等比数列及其前n 项和1．（2021·全国高考真题（文））记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A 【解析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案.【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列∴24S =，42642S S -=-=∴641S S -=，∴641167S S =+=+=.故选：A.2．（2021·山东济南市·）已知S n 是递增的等比数列{a n }的前n 项和，其中S 3＝72，a 32＝a 4，则a 5＝（）A ．116B ．18C ．8D ．16【答案】C 【解析】设等比数列的公比为q ，根据题意列方程，解出1a 和q 即可.【详解】解：设递增的等比数列{a n }的公比为q ，且q >1，∵S 3＝72，234a a =，∴1a （1+q +q 2）＝72，21a q 4＝1a q 3，解得1a ＝12，q ＝2；1a ＝2，q ＝12（舍去）．练基础则5a ＝4122⨯=＝8．故选：C ．3．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列{}n a 的前n 项和为271,8,4n S a a =-=，则6S =（）A ．212-B ．152C ．212D ．632【答案】C 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，由572a a q =结合已知条件求q 、1a ，再利用等比数列前n 项和公式求6S .【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则572a a q =，又2718,4a a =-=，∴12q =-，故116a =，又1(1)1-=-nn a q S q ，即666311616[1()]216421321()22S ⨯⨯--===--.故选：C4．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列{}n a 满足12451,8a a a a +=+=，则7a ＝（）A ．643B ．643-C ．323D ．323-【答案】A 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列的通项公式建立方程组，解之可得选项.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则345128a a q a a +==+，所以2q =，又()11121+11,3a a a a q =+==，所以6671123643a a q ==⨯⨯=，故选：A.5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（）A ．6里B ．24里C ．48里D ．96里【答案】D 【解析】根据题意，记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解可得，则；即此人第二天走的路程里数为96；故选：D ．6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“112n n n S S S -++>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】由112n n n S S S -++>可得出1n n a a +>，取10a <，由101n n q a a +<⇔，进而判断可得出结论.【详解】若112n n n S S S -++>，则11n n n n S S S S +-->-，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为递增数列，若10a <，101n n q a a +<<⇔>，所以，“1q >”是“112n n n S S S -++>”的既不充分也不必要条件.故选：D.7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列{}n a 中，44a =，且22n n a a +=，则{}n a {}n a 12q =6378S =6161[1()]2378112-==-a S 1192a =211192962a a q =⨯=⨯=21nni a==∑___________.【答案】122n +-【解析】由44a =，22n n a a +=，得到22a =且22n na a +=，得出数列{}2n a 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由22n n a a +=，可得22n na a +=，又由44a =，可得4224a a ==，所以22a =，所以数列{}2n a 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以1212(12)2212n nn n i a +=-==--∑.故答案为：122n +-.8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足21n n S a =-，则1a =_____，n S =_______．【答案】1 21n -【解析】利用1n n n a S S -=-求通项公式，再求出n S .【详解】对于21n n S a =-，当n =1时，有1121S a =-，解得：1a =1；当2n ≥时，有1121n n S a --=-，所以()112121=n n n n n a S S a a ----=--，所以1=2nn a a -，所以数列{}n a 为等比数列，111=2n n n a a q--=，所以122112nn n S -==--.故答案为：1，21n -.9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足21n n S a =-，则3a =________，n S =________．【答案】4 21n -【解析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出数列的通项公式，再代入求出n S ．【详解】解：因为21n n S a =-当1n =时，1121S a =-，解得11a =；当2n …时，1121n n S a --=-，所以111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=于是{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=．所以34a =，11212212n nn n S a -=-⨯-==-故答案为：4；21n -；10.（2018·全国高考真题（文））等比数列{a n }中，a 1=1 ， a 5=4a 3．（1）求{a n }的通项公式；（2）记S n 为{a n }的前n 项和．若S m =63，求m ．【答案】（1）a n =(―2)n―1或a n =2n―1 .（2）m =6.【解析】（1）设{a n }的公比为q ，由题设得a n =q n―1．由已知得q 4=4q 2，解得q =0（舍去），q =―2或q =2．故a n =(―2)n―1或a n =2n―1．（2）若a n =(―2)n―1，则S n =1―(―2)n3．由S m =63得(―2)m =―188，此方程没有正整数解．若a n =2n―1，则S n =2n ―1．由S m =63得2m =64，解得m =6．综上，m =6．1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列为等比数列，且，则（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，，结合可得：，结合等比数列的性质可得：，即：本题选择B 选项.2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第i 行第j 个数为12j -(其中i ，*j N ∈，且i j ≥).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列{}n a ，设{}n a 的前n 项和为n S .若1020n S =，则n =（）A ．46B ．47C ．48D ．49【答案】C 【解析】{}n a 2234764a a a a =-=-46tan 3a a π⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭32343364,4a a a a a ==-∴=-4730a a q =<2764a =78a =-463732a a a a ==463222tan tan tan 10tan 3333a a πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅==+== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭练提升根据“数塔”的规律，可知第i 行共有i 个数，利用等比数列求和公式求出第i 行的数字之和，再求出前m 行的和，即可判断1020n S =取到第几行，再根据每行数字个数成等差数列，即可求出n ；【详解】解：“数塔”的第i 行共有i 个数，其和为211212222112i i i --++++==-- ，所以前m 行的和为()()()123121222222212m m m m m m +-++++-=-=-+- 故前9行所有数学之和为102111013-=，因此只需要加上第10行的前3个数字1,2,4，其和为10131241020+++=，易知“数塔”前m 行共有()12m m +个数，所以9103482n ⨯=+=故选：C3．（2021·江苏高三其他模拟）已知数列{}n a 满足11a =，()1lg 1091n an a +=++，其前n 项和为n S ，则下列结论中正确的有（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}10n a +是等比数列C ．122n n n a a a ++>+D ．(3)2n n n S +<【答案】ACD 【解析】将递推公式两边同时取指数，变形得到1110109n n a a +-=+，构造等比数列可证{}1010n a+为等比数列，求解出{}n a 通项公式则可判断A 选项；根据()()()2132101010a a a ++≠+判断B 选项；根据{}n a 的通项公式以及对数的运算法则计算()122n n n a a a ++-+的正负并判断C 选项；将{}n a 的通项公式放缩得到()lg 2101n n a n <⨯<+，由此进行求和并判断D 选项.【详解】因为()1lg 1091n an a +=++，所以()11lg 109n an a +-=+，从而1110109n n a a +-=+，110101090n n a a +=⨯+，所以()11010101010n n a a ++=⨯+，所以11010101010n na a ++=+，又1101020a +=，{}1010n a +是首项为20，公比为10的等比数列，所以110102010210n a n n -+=⨯=⨯，所以1021010n a n =⨯-，即()lg 21010nn a =⨯-，又因为21010n y =⨯-在[)1,,*n n N ∈+∞∈时单调递增，lg y x =在定义域内单调递增，所以{}n a 是递增数列，故A 正确；因为1231011,10lg19010lg1911,10lg199010lg19911a a a +=+=+=++=+=+，所以()()()()()222213101010lg191111lg19911lg 1922lg1911lg199a a a +-++=+-+=+-，所以()()()2222213361101010lg 1911lg1911lg199lg 1911lg0199a a a +-++=+-=+>，所以()()()2132101010a a a ++≠+，所以{}10n a +不是等比数列，故B 错误.因为()()()()121222lg 21010lg 21010lg 21010n n n n n n a a a ++++-+=⨯--⨯--⨯-()()()()()()2211211210102101 lglg210102101021012101n n n n n n +++-+⨯-⨯-=⨯-⨯-⨯-⨯-=，而()()()211221121012101210141041014102102101n n n nnn n n -++-⨯--⨯-⨯-=⨯-⨯+-⨯+⨯+⨯-20100.21041016.2100nnnn=⨯+⨯-⨯=⨯>，从而()()()211210121012101nn n -+⨯->⨯-⋅⨯-，于是，122n n n a a a ++>+，故C 正确.因为()()lg 21010lg 210lg 21nnn n a n =⨯-<⨯=+<+，所以()()21322nn n n n S +++<=，故D 正确.故选：ACD.4. （2019·浙江高三期末）数列的前n 项和为，且满足，Ⅰ求通项公式；Ⅱ记，求证：．【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析【解析】Ⅰ，当时，，{}n a n S 11a =()11.n n a S n N ++=+∈()n a ()12111n n T S S S =++⋯+31222n n T -≤<(1) 2n n a -=()(1)1n n a S +=+Q ①∴2n ≥11n n a S -=+②得，又，，数列是首项为1，公比为2的等比数列，；证明：Ⅱ，，时，，，同理：，故：．5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13a =，()122n n a xa n n -=+-≥，其中x ∈R .（1）若1x =，求出n a ；（2）是否存在实数x ，y 使{}n a yn +为等比数列？若存在，求出n S ，若不存在，说明理由.【答案】（1）2382n n n a -+=；（2）存在，()21242n n n n S ++=--.【解析】（1）将1x =代入，由递推关系求出通项公式，并检验当1n =时是否满足，即可得到结果；（2）先假设存在实数x ，y 满足题意，结合已知条件求出满足数列{}n a yn +是等比数列的实数x ，y 的值，运用分组求∴-①②()122n n a a n +=≥2112a S =+=Q 212a a ∴=∴{}n a 12n n a -∴=(1)2nn a += 21n n S ∴=-2n ≥Q 111122n n n S -≤≤1121111113142112212n n n n T S S S -⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=++⋯+≥+=--11111221221212n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭≤+=-<-31222n n T -≤<和法求出n S 的值.【详解】（1）由题可知：当1x =时有：12n n a a n --=-，当2n ≥时，()()()()()()121321213012232n n n n n a a a a a a a a n ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=++++⋅⋅⋅+-=+，又13a =满足上式，故()()22138322nn n n n a ---+=+=.（2）假设存在实数x ，y 满足题意，则当2n ≥时，由题可得：()()111n n n n a yn x a y n a xa xy y n xy --+=+-⇔=+--⎡⎤⎣⎦，和题设12n n a xa n -=+-对比系数可得：1xy y -=，22xy x -=-⇔=，1y =.此时121n n a na n -+=+-，114a +=，故存在2x =，1y =使得{}n a yn +是首项为4，公比为2的等比数列.从而()()1112121224122nn n n n n nn n a n a n S a a a ++-++=⇒=-⇒=++⋅⋅⋅+=--.所以()21242n n n n S ++=--.6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列{}n a ，满足11a =，121n n a a n +=+-，设n n b a n =+，n n c a n λ=+（λ为实数）．（1）求证：{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若{}n c 是递增数列，求实数λ的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）2nn a n =-；（3）()1,-+∞．【解析】（1）由121n n a a n +=+-，变形为()11222n n n a n a n a n +++=+=+，再利用等比数列的定义证明；（2）由（1）的结论，利用等比数列的通项公式求解；（3）根据{}n c 是递增数列，由10n n c c +->,*n N ∈恒成立求解.【详解】（1）因为121n n a a n +=+-，所以()11222n n n a n a n a n +++=+=+，即12n n b b +=，又因为11120b a =+=≠，所以0n b ≠，所以12n nb b +=，所以{}n b 是等比数列．（2）由1112b a =+=，公比为2，得1222n n n b -=⋅=，所以2nn n a b n n =-=-．（3）因为()21nn n c a n n λλ=+=+-，所以()()11211n n c n λ++=+-+，所以1122121n n n n n c c λλ++-=-+-=+-，因为{}n c 是递增数列，所以*10,n n c c n N +->∈成立，故210n λ+->，*n N ∈成立，即12n λ>-，*n N ∈成立，因为{}12n-是递减数列，所以该数列的最大项是121-=-，所以λ的取值范围是()1,-+∞．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：2，4，6，8，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：2，4，8，16，….122344468858121616记第n 行第m 个数为(),f n m .（Ⅰ）若3n ≥，写出(),1f n ，(),2f n ，(),3f n 的表达式，并归纳出(),f n m 的表达式；（Ⅱ）求第10行所有数的和10S .【答案】（Ⅰ）(),1f n n =，()(),221f n n =-，()(),342f n n =-，()()12,1m m m f n n --+=；（Ⅱ）102036=S .【解析】（I ）由数阵写出(),1f n n =，()(),221f n n =-，()(),342f n n =-，由此可归纳出()()12,1m m m f n n --+=.（II ）()()()()1010,110,210,310,10S f f f f =++++ 291029282 1 =+⨯+⨯++⨯ ，利用错位相减法求得结果.【详解】（Ⅰ）由数阵可知：(),1f n n =，()(),221f n n =-，()(),342f n n =-，由此可归纳出()()12,1m m m f n n --+=.（Ⅱ）()()()()1010,110,210,310,10S f f f f =++++ 291029282 1 =+⨯+⨯++⨯ ，所以231010220292821S =+⨯+⨯++⨯ ，错位相减得291010102222S =-+++++ ()102121012-=-+-2036=.8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12n n S na +=，*n ∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11b =，12nn n b b +=，*n ∈N ，按照如下规律构造新数列{}n c ：123456,,,,,,a b a b a b ，求{}n c 的前2n 项和.【答案】（1）n a n =，*n ∈N ；（2）数列{}n c 的前2n 项和为1222++-n n .【解析】（1）由()12n n n a S S n -=-≥可得1(2)1n na a n n n+=≥+可得答案；（2）由12nn n b b +=得1122n n n b b +++=，两式相除可得数列{}n b 的偶数项构成等比数列，再由（1）可得数列{}n c 的前2n 项的和.【详解】（1）由12n n S na +=，12(1)(2)n n S n a n -=-≥，得12(1)n n n a na n a +=--，所以1(2)1n na a n n n +=≥+.因为122S a =，所以22a =，所以212n a an ==，(2)n a n n =≥.又当1n =时，11a =，适合上式.所以n a n =，*n ∈N .（2）因为12nn n b b +=，1122n n n b b +++=，所以*22()n nb n b +=∈N ，又122b b =，所以22b =.所以数列{}n b 的偶数项构成以22b =为首项､2为公比的等比数列.故数列{}n c 的前2n 项的和()()21321242n n n T a a a b b b -=+++++++ ，()122212(121)22212nn n n n T n +-+-=+=+--所以数列{}n c 的前2n 项和为1222++-n n .9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，（1）令，求证：数列是等比数列；{}n a ()110,2*n n a a a n n N +==+∈+11n n n b a a =-+{}n b（2）令，当取得最大值时，求的值.【答案】（I ）见解析（2）最大，即【解析】（1）两式相减，得 ∴即：∴ 数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知，即也满足上式令，则，3nn n a c =n c n 3,n n c =3k =121221n n n n a a n a a n +++=+=++Q ，211221n n n n a a a a +++-=-+()211121n n n n a a a a +++-+=-+12n nb b +=21120a b ==≠Q 又，{}n b 2nn b =121nn n a a +-=-2121a a -=-23221a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅()11212n n n a a n ---=-≥()211222121n n n a a n n -∴-=++⋅⋅⋅+--=--2,21n n n a n ∴≥=--11,0n a ∴==21n n a n ∴=--111212233n n n n n n n n c c +++----=∴=11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++----+-∴-=-=()212nf n n =+-()11232n f n n ++=+-()()122n f n f n ∴+-=-∴ 最大，即10.（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{}n a 满足112a =，123n n a a ++=，数列{}n b 满足11b =，()211n n nb n b n n +-+=+.（1）数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若()1n n n n c b b a +=-，求使[][][][]1222021n c c c c +++⋅⋅⋅+≤成立([]n c 表示不超过n c 的最大整数)的最大整数n 的值.【答案】（1）112nn a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，2n b n =；（2）最大值为44.【解析】（1）由题得数列{}1n a -是等比数列，即求出数列{}n a 的通项；由题得{}n b n 是一个以111b=为首项，以1为公差的等差数列，即得数列{}n b 的通项公式；（2）先求出[]()*1,16,2,2,21,21,22n n n c k N n n k n n k =⎧⎪=⎪=∈⎨=+⎪⎪+=+⎩，再求出[][][][]()2*12221,1,3,2,231,2122n n c c c c n n n k k N n n n k ⎧⎪=⎪⎪++++=+=∈⎨⎪⎪+-=+⎪⎩即得解.【详解】解：（1）由123n n a a ++=得()11112n n a a +-=--，所以数列{}1n a -是等比数列，公比为12-，()()()()()()12,234f f f f f f n ∴=>>>⋅⋅⋅>()()()()1210,310,3,0f f f n f n ==>=-<∴≥<Q 123345...c c c c c c ∴>，3,n n c =3k =解得112nn a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.由()211n n nb n b n n +-+=+，得111n nb b n n+-=+，所以{}n b n 是一个以111b=为首项，以1为公差的等差数列，所以1(1)1n bn n n=+-⨯=，解得2n b n =.（2）由()1n n n n c b b a +=-得()12121121(1)22n nn n n c n n ⎛⎫+⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记212n n n d +=，1112321120222n n n n n n n nd d +++-++-=-=<，所以{}n d 为单调递减且132d =，254d =，3718d =<，所以[]()*1,16,2,2,21,21,22n n n c k N n n k n n k =⎧⎪=⎪=∈⎨=+⎪⎪+=+⎩，因此[][][][]()2*12221,1,3,2,231,2122n n c c c c n n n k k N n n n k ⎧⎪=⎪⎪++++=+=∈⎨⎪⎪+-=+⎪⎩，当2n k =时，2320212n n +≤的n 的最大值为44；当2+1n k =时，231202122n n +-≤的n 的最大值为43；故[][][][]1222021n c c c c +++⋅⋅⋅+≤的n 的最大值为44.1．（2021·全国高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件练真题B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．2.（2020·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（）A ．2n –1B ．2–21–n C ．2–2n –1D ．21–n –1【答案】B 【解析】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩，所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n n n n n S a ---==-.故选：B.3.（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）{}n a 53134a a a =+3a =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为，则，解得，，故选C ．4．（2019·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若，则S 4=___________．【答案】.【解析】设等比数列的公比为，由已知，即解得，所以．5．（2020·海南省高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.【答案】（1）2nn a =；（2）2382(1)55n n +--【解析】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩，整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >== ，q 2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩11,2a q =⎧⎨=⎩2314a a q ∴==13314a S ==，58q 223111314S a a q a q q q =++=++=2104q q ++=12q =-441411()(1)521181()2a q S q ---===---数列的通项公式为：1222n n n a -=⋅=.(2)由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512n n n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----.6．（2021·浙江高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33(4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.【解析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-，当2n ≥时，由1439n n S S +=-①，得1439n n S S -=-②，①-②得143n na a +=122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列，1933(3(444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)(34n n n n b a n -=-=-，所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭ ，2413333333321(5)(4)444444n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，两式相减得234113333333(4)4444444n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334((4)(44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤；4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-；所以31λ-≤≤.。

等比数列的前n项和重难点

等比数列的前n项和
本节内容是等比数列的前n项和公式的推导和应用，依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，我确定本节的重点和难点如下：
重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用
难点：等比数列的前n项和公式的推导
从教材来看，本节为后续学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点来看，本节蕴含丰富的思想方法；从能力培养来看，通过公式推导培养学生逻辑能力及用数学语言交流的能力。

但由于从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导和等差数列的前n项和公式的推导方法可比性低，无法类比学习，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的。

因此，我将本节重难点定为如上内容。

等比数列的前n项和

等比数列的前n项和
一、温习旧知做好准备
1、等比数列的定义
一般地，一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列
2、等比数列的通项公式
an a1q n1
1、计算特例
我们可以做一个简单的数学模型：假设某人
听到这条谎言，用一小时传给2人，这2个人
用一小时每人分别传给2个人，如此传下去，
× 1 2 4 8
2n
1(1 2n )
1 2
√ 1(1 2n1) 1 2
三、学以致用提升能力
例1 已知数列{an}为等比数列，a1 1, a4 27
（1）求前8项和（2）求第4项到第10项的和
解：设等比数（列用{a指n}的数公形比式表q ，示前结n果项）和为
因为
a1 1, a4 27，所以 q 3
---①
2 S 24 22 23 224 225 ---②
①－②得 (1 2)S24 2 225
类比上式，完成下面的问题：
设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q
如何计算 Sn a1 a2 a3 an
请同学们思考、讨论，举手发言，展示你的结果2、等比数列 Nhomakorabea前n项和
Sn a1 a1q a1q 2 a1q n1
lg1.6 0.041
答：大约5年可以使总销售量达到30 000台
求数列{a, a2 , a3, , an , }前n项和 Sn
当 a 1时当 a 1时
a(1 an ) Sn 1 a Sn na
还是否有其它表达形式？
an a1q n1
公式二
Sn
a1 an q 1 q
当 q 1时 Sn na1 说明：

等比数列的前n项和

定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
当d≠0时，这是等差数列 a 的通项公式为 n 关于n的一个一 an a1 (n 1)d 次函数。如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， ab 那么A叫做a与b的等差中项。 A 等差数列 an 的前n项和 2
an1 an d (是与n无关的数或式子） Nhomakorabea
Sn Sn
n（a1 an ) 2 n（n 1) na1 d 2
Sn
n（n 1) na n d 2
当公差d=0时，Sn na1 ，当d≠0时， n d n 2 (a1 d )n , S 2 2 是关于n的二次函数且常数项为0.
3 (1 26 ) S6 189. 1 2
1 ( 4) a1 2.7, q , n 6. 3
1 1 2

2
.
6 1 2.7 1 3 91 . S6 40 1 1 3
(1) an 10 5 , an1 105
an 1 10 n 1 10 an 10 5 1
即它们的比值是常数
因此这个数列是以
n 5 1 5
an 1 q an (与n无关的数）
105 . 1
10 5 为公比的等比数列.
等比数列的前n项和例题3的(2)解答 0 1 2 n 1
…，
的前n项和得
Sn a1 a1q a1q a1q
a1q
n1
qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn Sn qSn (a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 ) 2 3 n1 n (a1q a1q a1q a1q a1q ) n n a1 a1q a1 (1 q ) 当q=1时，等比数列的前n n (1 q)Sn a1 (1 q ) 项和是什么？

《等比数列的前n项和》课件

2、等比数列 {an} 中，a3 = 7 ，前3项和 S3 = 21 ，公比、项和 1 C、1或 − 1 D、−1或 − 1 q的值为 q的值为（） A、1 的值为（） A、 B、 B、− C、1或 D、 2 2 2 3、数列 1，x, x2 ,..., xn−1,... 的前项和是（）的前n项和是项和是（、 4、等比数列的公比为2，且前四项之和 S4 = 1 ，则前、等比数列的公比为， 8项之和 S = 项之和。答案：、答案：1、B
等比数列
q ≠1
a1(1− q n ) a1(q n −1) Sn = = 应 q −1 1− q
a1− an q S n = 1−q
错位相减法
等比数列前n项和
用数列求和
q=1
Sn = na 1
作业：作业：
P129 1、2、3、4 、、、
设等比数列{an }的前n项和为Sn，补充：补充：
19
导学引思
若把 1+ 2+ 22 + 23 +...+ 263 中的 63改为结果如何？改为n结果如何？改为结果如何若等比数列首项为a1，公比为，若等比数列首项为，公比为q，前n项的和如项的和如何？
问题解决
Sn + 1 = 2n + 1 −1 若把63改成改成n，若把改成，可以通过同样的方法得到
例2：求和：
1+ a + a +⋯+ a
2
n −1
评注：使用等比数列的前项和公式要注意公评注：使用等比数列的前n项和公式要注意公情况的区别，比q=1和 q≠1 情况的区别，而在解方程的过程和一般采用两式相除的方法。中，一般采用两式相除的方法。

等比数列及其求和公式

等比数列及其求和公式等比数列是指数列中的每一项与前一项的比值都相等的数列。

数列的一般表示形式为：a、ar、ar²、ar³、···，其中a为首项，r为公比。

求和公式是指等比数列的前n项和的计算公式。

根据不同情况，等比数列的求和公式可分为两种形式：有限项和公式和无限项和公式。

一、有限项等比数列的求和公式对于有限项等比数列的求和，可以利用以下公式进行计算：Sn = a(1 - rⁿ) / (1 - r)其中Sn表示数列的前n项和，a表示首项，r表示公比。

示例：考虑数列 2、6、18、54、162，其中首项a=2，公比r=3。

若要计算前3项的和S₃，代入公式得：S₃ = 2(1 - 3³) / (1 - 3) = 2(1 - 27) / -2 = -26根据公式，前3项的和为-26。

二、无限项等比数列的求和公式对于无限项等比数列的求和，可以利用以下公式进行计算：S∞ = a / (1 - r)其中S∞表示数列的无限项部分和，a表示首项，r表示公比。

示例：考虑数列 2、6、18、54、162，其中首项a=2，公比r=3。

若要计算数列的无限项部分和S∞，代入公式得：S∞ = 2 / (1 - 3) = 2 / (-2) = -1根据公式，数列的无限项部分和为-1。

总结：等比数列是一种重要的数学概念，它在实际应用中具有广泛的用途。

通过等比数列的求和公式，我们能够快速计算出数列的部分和或无限项部分和，从而更好地理解和应用数列的性质。

在实际问题中，等比数列和其求和公式的应用非常广泛，比如在金融领域中的利率计算、天文学中对星体间距离的计算以及工程中的增长模型等。

熟练掌握等比数列及其求和公式对于解决这些问题具有重要意义。

总之，等比数列及其求和公式是数学中的基本概念，掌握它们对于数学学习和实际问题的解决都有着重要的意义。

通过深入理解和应用等比数列，我们能够更好地解决实际问题并提升数学能力。

等比数列前N项和

an q(n 2) an1
通项公式是什么？ an a1qn1
２．等比数列｛ an｝的各项为:
a1, a1q, a1q2 ,, a1qn1,
探求等比数列求和的方法
问题：已知等比数列an , 公比为q,
求： Sn a1 a2 a3 an
a1 a1q a1q2 a1qn1
思考：如何用a1 , q, n, an这些基本量
na1
(q 1)
讨论
根据求和公式，运用方程思想，a1, q, n, an , Sn五个基本量中“知三求二”.
例１求等比数列1，1 , 1 , 1 ,的前10项的和
248
变式：在等比数列an中，a1 5, q 2, sn 35
求n
总结在a1, an , n, q，sn中知三求二。
知识技能线
抓
三
问题情境
线
、
突重
公式推导
点
过程方法线
观察分析特殊到一般
探究尝试错位相减等
公式运用
灵活运用转化、方程思想
情感态度线
观察能力
合作交流、解决问题能力
灵活运用能力及应用意识
重点难点
难点：等比数列的前n项和公式的推导．
抓
两 ◆学生认知
点、破
情感、思维的兴奋点
◆知识特点
难点
知识选择的切入点
教学方法
教学策略启发式和探究式相结合的教学方法
问题情境
公式推导
公式运用
自结主构探究知、情、意、行
合核作心探定究义
教学手段计算机、实物投影等辅助教学
过程分析
作业
延
布置
创设

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考点24 等比数列及其前n项和

一、选择题 1.（2012·新课标全国高考理科·T5）已知na为等比数列，472aa，568aa，则110aa（）（A）7 (B)5 (C)-5 (D)-7 【解题指南】利用等比数列的性质将56aa替换为47aa，然后联立方程组求得47,aa的值，最后将47,aa及公比q的值整体代入110aa求出其值. 【解析】选D.na为等比数列，5647aaaa8，联立

312q

或32q，故

11073

7aaaaqq

2.（2012·安徽高考理科·Ｔ4）公比为2的等比数列{}na的各项都是正数，且31116aa，则210loga（）

()A4 ()B5 ()C ()D 【解题指南】由等比数列的性质得到311aa311771072101616432log5aaaaaaqa，再结合等比数列中任意两

项的关系即可解得. 【解析】选B.23311771072101616432log5aaaaaaqa. 3.（2012·安徽高考文科·Ｔ5）公比为2的等比数列{na} 的各项都是正数，且 3a11a=16，则5a=（）圆学子梦想铸金字品牌 - 2 - （A） 1 （B）2 （C） 4 （D）8 【解题指南】由等比数列的性质得到311aa311771072101616432log5aaaaaaqa，再结合等比数列中任意两项的关系即可解得. 【解析】选A. 4.（2012·北京高考文科·Ｔ6）已知{na}为等比数列，下面结论中正确的是（）（A）a1+a3≥2a2 （B）2221322aaa （C）若a1=a3，则a1=a2 （D）若a3＞a1，则a4＞a2 【解题指南】利用等比数列的基本量和均值不等式进行计算. 【解析】选B. 选项具体分析结论 A 13,aa不一定都是正数，所以不一定能使用均值不等式不正确 B 因为22130,0aa，所以由均值不等式可得2221313222aaaaa 正确 C 由13aa可得1q，当1q时，12aa；当1q时，21aa. 不正确 D 因为4321,aaqaaq，所以当0q时，42aa；当0q时，42aa. 不正确 5.（2012·湖北高考理科·Ｔ7）与（2012·湖北高考文科·Ｔ7）相同定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”.现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=x²；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x |，则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（） (A)①② (B)③④ (C)①③ (D)②④ 圆学子梦想铸金字品牌 - 3 - 【解析】选C. 1nnaqa,则对于①:可知①符合题意;对于B111()22()2nnnnaaananfafa结果不能保证是定值;对于③:11()()nnnnfaaqfaa,可知也符合题意.此时可知结果.

二、填空题

6.（2012·广东高考文科·Ｔ12）若等比数列{an}满足241,2aa则2135aaa

【解题指南】本题考查了等比数列的性质：已知,,,mnpN若2,mnp则2mnpaaa

【解析】224311,22aaa，24135314aaaa. 【答案】14 7. （2012·浙江高考理科·Ｔ13）设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=______________. 【解题指南】两式作差可由前n项和间的关系得出项与项之间的关系，从而用等比数列的通项公式求出公比. 【解析】由S2=3a2+2，S4=3a4+2相减可得，

344233aaaa，同除以2a可得， 2230qq

，解得312qq或，

因为q＞0，所以32q．【答案】32 圆学子梦想铸金字品牌 - 4 - 8.（2012·辽宁高考文科·Ｔ14）已知等比数列｛na｝为递增数列.若10a,且212()5nnnaaa ,则数列｛na｝的公比q = _____________________.

【解题指南】利用等比数列的通项公式，将已知条件用首项和公比表示，解方程即可. 【解析】由于na为等比数列，设其公比为q，由212()5nnnaaa得111112()5nnnaqaqaq，解得12q或2q.由于等比数列na为递增数列且10a，所以2q.

【答案】2 9.（2012·辽宁高考理科·Ｔ14）已知等比数列｛na｝为递增数列，且251021,2()5nnnaaaaa

，则数列｛na｝的通项公式na=______________.

【解题指南】利用等比数列的通项公式，将已知条件用首项和公比表示，解方程即可. 【解析】由于na为等比数列，设其公比q，由212()5nnnaaa得111112()5nnnaqaqaq，解得12q或2q. 又由2429510111()aaaqaqaq，则10a，由于等比数列na为递增数列且10a，所以2q，且12a. 故112nnnaaq. 【答案】2n 10.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ14）等比数列{na}的前n项和为nS，若

3S+32S=0，则公比q=_______. 【解题指南】将所给等式转化为关于1,aq的方程，消去1a，解关于q的方程，求出q. 圆学子梦想铸金字品牌 - 5 - 【解析】由323SS可得123123aaaaa，即211131aqqaq，化简整理得2440qq，解得2q. 【答案】-2 11.（2012·江西高考文科·Ｔ13）等比数列{na}的前n项和为nS，公比不为1.若1a=1，且对任意的nN,都有an＋2＋an＋1-2an=0，则S5=______________. 【解析】设公比为q，则an＋2＋an＋1-2an＝1111120nnnaqaqaq，即220qq，

解得2,1qq（舍去），所以55121112S. 【答案】11 二、解答题 12.（2012·福建高考理科·Ｔ13）已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_________. 【解题指南】运用等比数列的定义设边，运用余弦定理求解．【解析】依次设三边为,2,2aaa(a>0)，则最大边为2a，最大角的余弦值为 222(2)(2)2cos422aaaaa



.

【答案】24 13.（2012·陕西高考文科·Ｔ16）已知等比数列na的公比为12q. （1）若314a，求数列na的前n项和. （2）证明：对任意kN，ka，2ka，1ka成等差数列. 【解题指南】（1）求出等比数列的首项是关键.（2）用首项和公比表示21,,kkkaaa，再根据等差数列的定义证明. 圆学子梦想铸金字品牌 - 6 - 【解析】（1）∵314a，12q，∴2111144aqa14，解得11a，

∴数列na的前n项和11[1()]211()2nnS1112()2112()3332nn. （2）对任意kN，1111121,,kkkkkkaaqaaqaaq， ∴11211112()2()kkkkkkaaaaqaqaq121(21)kaqqq.

∵12q，∴2211212()()1022qq，即212()0kkkaaa， ∴212kkkaaa，

∴对任意kN，ka，2ka，1ka成等差数列. 14.（2012·陕西高考理科·Ｔ17）设{}na是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且534,,aaa成等差数列. （1）求数列{}na的公比. （2）证明：对任意kN，21,,kkkSSS成等差数列. 【解析】（1）设数列{}na的公比为q（0,1qq），由534,,aaa成等差数列，得3542aaa，即2431112aqaqaq，由10,0aq得220qq，解得12q，21q（舍去），所以12q. （2）（方法一）对任意kN，21212()()kkkkkkkSSSSSSS 121kkkaaa112(2)0kkaa，

所以对任意kN，21,,kkkSSS成等差数列.

（方法二）对任意kN，12(1)21kkaqSq， 212111121(1)(1)(2)111kkkkkkaqaqaqqSSqqq

，