等比数列及其前n项和考点与题型归纳

等比数列及其前n 项和考点与题型归纳

一、基础知识

1．等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1

a n

＝q .

(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .

只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －

1.

(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.

3．等比数列与指数型函数的关系

当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1

q ·q n 可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数

的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上；

对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 1

1－q ，

则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点．

对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．

二、常用结论汇总——规律多一点

设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n

－m

(n ，m ∈N *)．

(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.

(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．

(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

pa n qb n 也是等

比数列．

(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶

＝q .

考点一 等比数列的基本运算

[典例] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；

(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . [解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1. (2)若a n

＝(－2)n －1，则

S n ＝1－(－2)n

3

.

由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2

n －1

，则S n ＝1－2n

1－2

＝2n －1.

由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6. [题组训练]

1．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝5

2，则a 1＝( )

A ．2

B ．4 C.2

D ．22

解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2

q

＝4. 2．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6

－S 4＝6a 4，则a 5＝( )

A ．4

B ．10

C ．16

D ．32

解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.

3．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝7

4，S 6＝

63

4

，则a 8＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，

则⎩

⎪⎨⎪⎧

S 3＝a 1(1－q 3)1－q

＝7

4，

S 6

＝a 1

(1－q 6

)1－q ＝634，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

q ＝2，

a 1＝1

4，

则a 8＝a 1q 7＝1

4×27＝32.

答案：32

考点二 等比数列的判定与证明

[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．

[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a n a n ＋1－2a n ＝2.

因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.

所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．

[解题技法]

1．掌握等比数列的4种常用判定方法 定义法 中项公式法 通项公式法