等比数列常考题型归纳总结很全面
等比数列知识点总结典型例题
等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：〔1〕如果,,a A b 成等比数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个〔 〔2〕数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：〔1〕当1q =时，1n S na = 〔2〕当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---〔,,','A B A B 为常数〕 5、等比数列的判定方法：〔1〕用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列〔2〕等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 〔3〕通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：假设()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列7、等比数列的性质：〔2〕对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。
〔3〕假设*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。
等比数列知识点总结与典型例题-(精华版)
等比数列知识点总结与典型例题-(精华版)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。
等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题2、通项公式:4、等比数列的前n 项和S n 公式:(1)当 q 1 时，S n na in⑵当q 1时，5罟5、等比数列的判定方法:等比数列等比中项：a n 2a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0){a n }为等比数列通项公式：a nA B n A B 0{a n }为等比数列1、等比数列的定义:a n 1a n 2,且n N * ， q 称为公比n 1a naga iB n a i0,A B0，首项：a 1;公比：q推广：a na m qa nama n m — \ a m3、等比中项：（1）如果a, A, b 成等比数那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或A ab注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（（2）数列a n 是等比数列2 a n a n 1aq qA'B nA' ( A, B,A',B'为常数)(1) 用定义：对任意的都有a n 1qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0）{a n }为a n6、等比数列的证明方法:依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 17、等比数列的性质：(2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。
(3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。
特别的，当m n 2k 时，得2a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列{a n}中，a1 a9 64, a3 a7 20, 求a11.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出a i和q，可得an ；或注意到下标1 9 3 7，可以利用性质可求出a3、a y，再求a ii.总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1 ] {an}为等比数列，a仁3，a9=768,求a6。
等比数列及其前n项和考点与题型归纳
等比数列及其前n 项和考点与题型归纳一、基础知识1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n 可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q ，则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．二、常用结论汇总——规律多一点设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .考点一 等比数列的基本运算[典例] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . [解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1. (2)若a n＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n1－2＝2n －1.由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6. [题组训练]1．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C.2D ．22解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4. 2．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．32解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.3．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：32考点二 等比数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a n a n ＋1－2a n ＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法]1．掌握等比数列的4种常用判定方法 定义法 中项公式法 通项公式法前n 项和公式法2．等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可．[题组训练]1．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n ，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列． 证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2， 所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6.由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n ，即a n＋1＝2a n ＋2n，所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n )＝2(a n ＋1－2a n )， 又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列．2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. ∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．考点三 等比数列的性质考法(一) 等比数列项的性质[典例] (1)(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A ．－2＋22B ．－2 C.2D ．－ 2 或2(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.(2)由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A. [答案] (1)B (2)A考法(二) 等比数列前n 项和的性质[典例] 各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16[解析] 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x )， 解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30. [答案] B [解题技法]应用等比数列性质解题时的2个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．[题组训练]1．(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{a n }中，a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，则a 1＝( )A.12 B ．－12C ．－29D ．－19解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋3a 1，所以a 3a 1＝q 2＝2.因为a 2a 5a 8＝a 35＝－8，所以a 5＝－2，即a 1q 4＝－2，所以4a 1＝－2，所以a 1＝－12，故选B.2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.答案：2[课时跟踪检测]A 级1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( )A ．4 B.52C ．2D.12解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C.2．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±2解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，则a 1＝a 3q2＝1，故选A.4．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 019＝( )A ．22 018－12B ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 018C ．22 019－12D ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 019解析：选A 由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4.又a 4＝12q 3，故q ＝2，所以S 2 019＝12(1－22 019)1－2＝22 018－12，故选A.5．在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝21，a 2＋a 4＋a 6＝42，则S 9＝( ) A ．255 B ．256 C ．511D ．512解析：选C 设等比数列的公比为q ，由等比数列的定义可得a 2＋a 4＋a 6＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＝q (a 1＋a 3＋a 5)＝q ×21＝42，解得q ＝2.又a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝a 1×21＝21，解得a 1＝1.所以S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝1×(1－29)1－2＝511.故选C.6．已知递增的等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和S n <0，则( ) A ．a 1<0,0<q <1 B ．a 1<0，q >1 C ．a 1>0,0<q <1D ．a 1>0，q >1解析：选A ∵S n <0，∴a 1<0，又数列{a n }为递增等比数列，∴a n ＋1>a n ，且|a n |>|a n ＋1|， 则－a n >－a n ＋1>0，则q ＝－a n ＋1－a n ∈(0,1)，∴a 1<0,0<q <1.故选A.7．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________． 解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得16＝q 4，解得q ＝2， 所以S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1×(1－27)1－2＝127.答案：1278．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48. 答案：12,489．(2018·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{a n }满足a 2a 4＝a 5，a 4＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2a 4＝a 5，a 4＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝a 1q 4，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.答案：2n －110．已知等比数列{a n }为递减数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设公比为q ，由a 25＝a 10， 得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q . 又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1， 得2q 2－5q ＋2＝0， 解得q ＝12()q ＝2舍去，所以a n ＝a 1·q n －1＝12n .答案：12n11．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解：(1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)n a n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1， 而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a nn＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.12．(2019·甘肃诊断)设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a 3＝7，a 7＝127.(1)求a 5的值；(2)求数列{a n }的前n 项和．解：(1)由题可知a 3＋1＝8，a 7＋1＝128， 则有(a 5＋1)2＝(a 3＋1)(a 7＋1)＝8×128＝1 024， 可得a 5＋1＝32，即a 5＝31. (2)设数列{a n ＋1}的公比为q ，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋1＝(a 1＋1)q 2，a 5＋1＝(a 1＋1)q 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1＝2，q ＝2，所以数列{a n ＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1，利用分组求和可得，数列{a n }的前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .B 级1．在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．3n－1 B.1－(－3)n 2C.1＋3n 2D.3n 2＋n 2解析：选A 由点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2n －9a 2n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n －3a n －1)＝0，又数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，∴a n ＋3a n －1>0，∴a n －3a n －1＝0，即a na n －1＝3，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1.2．(2019·郑州一测)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.解析：因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 22a n ，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.答案：1003．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解：(1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12，∴b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .。
(完整版)等比数列常考题型归纳总结很全面
等比数列及其前n 项和教学目标：1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。
2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关的简单问题。
知识回顾： 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。
用递推公式表示为)2(1≥=-n q a a n n 或q a ann =+1。
注意：等比数列的公比和首项都不为零。
（证明数列是等比数列的关键） 2．通项公式：等比数列的通项为：11-=n n q a a 。
推广：m n m n q a a -= 3．中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项；其中ab G =2。
4．等比数列的前n 项和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S n n5．等比数列项的性质（1）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则q p n m a a a a =；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a =2。
（2）除特殊情况外，,...,,232n n n n n S S S S S --也成等比数列。
n q q ='。
（其中特殊情况是当q=-1且n 为偶数时候此时n S =0，但是当n 为奇数是是成立的）。
4、证明等比数列的方法（1）证：q a a nn =+1（常数）；（2）证：112·+-=n n na a a （2≥n ）. 考点分析考点一：等比数列基本量计算 例1、已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。
若2312a a a ⋅=， 且4a 与27a 的等差中项为54，求5S 。
例2、成等差数列的三项正数的和等于15，且这三个数加上2、5、13后成等比数列{}n b 中的543,,b b b 。
等比数列知识点总结和典型例题+答案解析
等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。
（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。
等比数列及其前n项和考点与题型归纳
等比数列及其前n 项和考点与题型归纳一、基础知识1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.-(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q·q n 可以看成函数y ＝cq x，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q，则S n ＝－aq n＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．二、常用结论汇总——规律多一点设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．·(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m(k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 考点一 等比数列的基本运算[典例] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.%(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m .[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．]若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.[题组训练]1．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4D ．22~解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4.2．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．32解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.3．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，~则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 11－q 31－q ＝74，S 6＝a11－q 61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：32考点二 等比数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列． ^[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ，所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2. 因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法].1．掌握等比数列的4种常用判定方法定义法 中项公式法 通项公式法 前n 项和公式法2．等比数列判定与证明的2点注意~(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可．[题组训练]1．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列． 证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2， 所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6. 由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n，即a n ＋1＝2a n ＋2n，|所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n)＝2(a n ＋1－2a n )，又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列．2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1.>∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．}∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1.由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．考点三 等比数列的性质考法(一) 等比数列项的性质[典例] (1)(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A ．－2＋22B ．－2}D ．－ 2 或2(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.(2)由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A.[答案] (1)B (2)A。
等比数列的通项及前n项和性质7大题型总结 (解析版)--2024高考数学常考题型精华版
等比数列的通项及前n 项和性质7大题型总结【考点分析】考点一：等比数列的基本概念及公式①等比数列的定义：q a a n n =-1（或者q a ann =+1）．②等比数列的通项公式：m n m n n q a q a a --⋅=⋅=11．③等比中项：若三个数a ，A ，b 成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且有ab A =2（Aba A =）．④等比数列的前n 项和公式：()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==1111)1(111q q q a a qqa q na S n nn 考点二：等比数列的性质①通项下标和性质：在等比数列{}n a 中，当+=+m n p q 时，则q p n m a a a a ⋅=⋅．特别地，当t n m 2=+时，则2t n m a a a =⋅．②等比数列通项的性质：11-=n n qa a ，所以等比数列的通项为指数型函数．③等比数列前n 项和的常用性质：()qaq q a q q a S n n n -+--=--=1111111，即r kq S n n +=，其中0=+r k 【题型目录】题型一：等比数列的基本运算题型二：等比中项及性质题型三：等比数列通项下标的性质及应用题型四：等比数列前n 项片段和的性质及应用题型五：等比数列前n 项和的特点题型六：等比数列的单调性题型七：等比数列新文化试题【典型例题】题型一：等比数列的基本运算【例1】在各项为正的递增等比数列{}n a 中，1261356421a a a a a a =++=，，则n a =（）A ．12n +B ．12n -C ．132n -⨯D ．123n -⨯【例2】数列{}n a 中，12,m n m n a a a a +==，若177121022k k k a a a ++++++=- ，则k =（）A ．5B ．6C ．7D ．17所以1111772222k k ++-=-，故6k =.故选：B.【例3】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且133520,5a a a a +=+=，则使得121n a a a < 成立的正整数n 的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【例4】各项为正数且公比为q 的等比数列{}n a 中，2a ，32a ，1a 成等差数列，则54a 的值为（）A B C D 【例5】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，公比1q >，3520a a +=，2664a a =，则6S =（）A ．31B ．36C ．48D ．63【例6】若数列{}n a 满足121n n a a +=-，则称{}n a 为“对奇数列”．已知正项数列{}1n b +为“对奇数列”，且12b =，则n b =（）A ．123n -⨯B ．12n -C ．12n +D ．2n【答案】D【分析】根据题意可得()11211n n b b ++=+-，进而可得{}n b 为等比数列，再求得通项公式即可.【详解】由题意得()11211n n b b ++=+-，所以12n n b b +=，又12b =，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=．故选：D ．【例7】已知等比数列{}n a ：1-，2，4-，8，…，若取此数列的偶数项246,,a a a ，…组成新的数列{}n b ，则8b 等于（）A ．102B ．102-C ．152D ．82【答案】C【分析】由题可得()12n n a -=--，进而即得.【详解】由题可得()()11122n n n a --=-⨯-=--，所以()151516822a b =--==.故选：C.【例8】已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且3698S S =，则5S =（）A ．31B ．3116C ．31或5D ．3116或5【例9】已知数列{}n a 满足12a =，21n n a a +=，则数列{}n a 的通项公式为n a =（）A ．21n -B ．12n -C ．122n -D ．2n 【答案】C【分析】将21n n a a +=两边同时取常用对数，即可得数列{}lg n a 是以lg 2为首项，2为公比的等比数列，从而求得数列{}n a 的通项公式.【例10】已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，存在两项m a ，n a 14a =，则122n m n+++的最小值为（）A ．118+B ．2615C ．74D ．2815【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的知识求得,m n 的关系式，结合基本不等式求得122n m n+++的最小值.【详解】因为7652a a a =+，所以2q =或1q =-，又0n a >，所以2q =.14a =14a =，所以6m n +=，则()28m n ++=，()2121212112282m n n m n m n m n +++⎛⎫+=++=⋅++ ⎪+++⎝⎭()22121822m m n n m nm n +⎡⎤+=+++⎢⎥++⎣⎦()22113131828m n m n ⎛+⎛⎫ =+++≥++ ⎪ +⎝⎭⎝118+=，由()222m nm n+=+可得取等号时)2n m =+，但,m n *∈N ，无解；又6m n +=，经检验1m =且5n =时有最小值2615.故选:B【例11】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且29a =，3136S a -=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若3log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【例12】已知等差数列{}n a 的前n 项和为510,9,100n S a S ==.(1)求{}n a 的通项n a ；(2)设数列{}n b 满足：{}2,n an n b b =的前n 项和为n T ，求使200n T <成立的最大正整数n 的值.【答案】(1)21n a n =-；(2)4.【分析】（1）利用1,a d 表示题干条件，求解即可得解；（2）先证明{}n b 是等比数列，利用等比数列求和公式求解n T ，解不等式即可.（1）由题意，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，又5109,100a S ==，【题型专练】1.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法错误的是（）A ．=2q B ．数列{}+2n S 是等比数列C ．数列{}lg n a 是公差为2等差数列D ．8510S =2．已知数列{}n a 中，11a =，12nn n a a +=⋅，*N n ∈，则下列说法正确的是（）A ．22a =B ．434a a -=C ．{}2n a 是等比数列D ．12122n n n a a +-+=3.（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）在正项等比数列{}n a 中，若存在两项,(,N*)m n a a m n ∈，使得14a =，且3212a a a =+，则19m n+的最小值为（）A ．114B ．83C ．103D ．1454．（2022·全国·模拟预测（文））设{}n a 是等比数列，且123a a +=，236+=a a ，则56a a +=（）A ．12B ．24C ．32D ．48【答案】D【分析】根据{}n a 是等比数列，且满足123a a +=，236+=a a ，计算出其通项公式n a ，然后代入56a a +计算即可.【详解】{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则由123a a +=，236+=a a 得：121232(1)3(1)6a a a q a a a q +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，12n n a -\=，45562248a a ∴+=+=.故选：D.5．（2022·山东泰安·三模）已知数列{}n a 满足：对任意的m ，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=，且23a =，则20a =（）A ．203B ．153C ．103D ．53【答案】C 【解析】【分析】由递推关系判断数列{}n a 为等比数列，再由等比数列通项公式求20a .【详解】因为对任意的m ，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=，所以112a a a =，11n n a a a +=，又23a =，所以1a =，所以11n na a a +=，所以数列{}n a 是首项为1a ，公比为1a 的等比数列，所以()()1111n nn a a a a -=⋅=，所以()2010201=3a a =，故选：C.6．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列{}n a 为等比数列，1272a a +=，2336a a +=，则4a =______.7.已知等比数列{}n a 的公比1q >，4a a +=，3a =2n a =___________.8.设等比数列{}n a 的前n 项各为n S ，已知11a =，23S =，则3S =___________.9.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，132a a +=，244a a +=，则5S =______．10．已知在正项等比数列{}n a 中1323,,22a a a 成等差数列，则20222021a a =+__________．故答案为：9.11．正项等比数列{}n a 中,1=1a ,534a a =.(1)求{}n a 的通项公式;(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =,求m .【答案】(1)12n n a -=，(2)=6m 【分析】(1)设{}n a 的公比为q ,由题设得1n n a q -=.根据534a a =列方程,解出q 即可得出结果.(2)由(1)的结果可求出n S ,将63m S =代入求解即可.（1）设{}n a 的公比为q ,由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =,解得0q =或=2q ,{}n a 为正项等比数列,所以=2q .故12n n a -=.（2）由(1)得=2q ,∴则21n n S =-. 63m S =,∴264m =,解得=6m .12．已知公比小于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，若100n n S a >，求n 的最小值．题型二：等比中项及性质【例1】三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列{}n a ，则3a 的所有取值中的最小值是（）A ．49B ．36C ．4D ．1【答案】D【分析】设原来的三个数为9、9d +、92d +，根据题意可得出关于d 的等式，解出d 的值，即可得解.【详解】设原来的三个数为9、9d +、92d +，由题意可知，19a =，211a d =+，3292a d =+，且2213a a a =，所以，()()2119229d d +=+，即241400d d +-=，解得10d =或14-.则3a 的所有取值中的最小值是292141-⨯=.故选：D.【例2】若a ，b ，c 为实数，数列1,,,,25--a b c 是等比数列，则b 的值为（）A ．5B ．5-C ．5±D ．13-【答案】B【分析】根据等比数列的性质求得b 的值.【详解】设等比数列的公比为q ，所以()210b q =-⋅<，根据等比数列的性质可知()()212525b =-⨯-=，解得5b =-.故选：B【例3】已知等差数列{}n a 的公差是2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于（）A ．6-B ．4-C ．8-D ．10-【答案】A【分析】利用等比中项，结合等差数列通项公式列方程求解即可.【详解】解：因为等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，3a ，4a 成等比数列，所以2314a a a =，即()()()2222224a a a +=-+，解得26a =-，故选：A【例4】已知等比数列{}n a 满足10a >，公比1q >，且1220211220221,1a a a a a a <> ，则（）A ．20221a >B ．当2021n =时，12n a a a 最小C ．当1011n =时，12n a a a 最小D ．存在1011n <，使得12n n n a a a ++=【例5】设2log3，lg x，81log2三个数成等比数列，则实数x=______．【例6】已知公差不为0的等差数列{}n a中，11a=，4a是2a和8a的等比中项.(1)求数列{}n a的通项公式：(2)保持数列{}n a中各项先后顺序不变，在k a与1(1,2,)ka k+= 之间插入2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b，记{}n b的前n项和为n T，求20T的值.【答案】(1)n a n=，(2)2101【分析】（1）设数列{}n a的公差为d，根据等比中项列出方程求得d即可得到通项公式.（2）由题意计算出k a在{}n b中对应的项数，然后利用分组求和即可.（1）设数列{}n a的公差为d，因为4a是2a和8a的等比中项，则()()()2242811137a a a a d a d a d=⋅⇒+=++且11a=则1d=或0d=（舍）【题型专练】11-1+的等比中项是（）A B ．C ．D ．2±2.若四个正数a b c d ,,,成等差数列，x 是a 和d 的等差中项，是b 和c 的等比中项，则x 和的大小关系为（）A ．x y >B ．x y≥C ．x y<D ．x y≤3.若不为1的正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当1x >时，log a x ，log b x ，log c x （）．A ．依次成等差数列B ．依次成等比数列C ．各项的倒数依次成等差数列D ．各项的倒数依次成等比数列4.已知等差数列{}n a 的前n 项利为n S ，若9S ，5a ，1成等比数列，且20400S ≥，则{}n a 的公差d 的取值范围为______．5.已知等差数列{}n a 的公差为3-，且3a 是1a 和4a 的等比中项，则15a =__________.【答案】30-【分析】将1a 和公差代入等式，求解1a ，写出通项公式n a ，代入15n =，可求出结果.【详解】解：因为3a 是1a 和4a 的等比中项，且公差为3-，所以21111(6)(9)12a a a a -=-⇒=，所以1515330n a n a =-⇒=-.故答案为：30-.6.已知1,,4a --成等差数列，1,,4b --成等比数列，则ab =____________.又由1,,4b --成等比数列，可得2(1)(4)4b =-⨯-=，解得2b =±，所以5ab =±.故答案为：5±.7.若依次成等差数列的三个实数a ，b ，c 之和为12，而a ，b ，2c +又依次成等比数列，则a ＝______．【答案】2或8【分析】由题意列出方程组，即可求得答案.【详解】由题意可得2212(2)b a c a b c b a c =+⎧⎪++=⎨⎪=+⎩，整理得210160a a -+=，解得2a =或8a =，故答案为：2或88.在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（）A ．1132B ．1114C ．1102D ．10【答案】B【解析】不妨设插入两个正数为,a b ，即3,,,9a b ∵3,,a b 成等比数列，则23a b=,,9a b 成等差数列，则92a b+=即2392a b a b ⎧=⎨+=⎩，解得92274a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或33a b =-⎧⎨=⎩（舍去）则4511144a b +==故选：B ．题型三：等比数列通项下标的性质及应用【例1】已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，则3948tan1bb a a +-⋅的值是（）A ．B ．1-C ．D3【例2】已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则10a =（）A ．1或8B ．1-或8C ．1或8-D ．1-或8-【例3】设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比2q =，且30123302a a a a ⋅= ，那么36930a a a a = （）A ．102B ．202C ．162D ．152【答案】B【分析】根据等比数列的性质，设14728A a a a a = ，25829B a a a a = ，36930C a a a a = ，则A ，B ，C 成等比数列，然后利用等比中项的性质可求得答案【详解】设14728A a a a a = ，25829B a a a a = ，36930C a a a a = ，则A ，B ，C 成等比数列，公比为10102q =，且2B A C =⋅,由条件得302A B C ⋅⋅=，所以3302B =，所以102B =，所以102022C B =⋅=.故选：B【例4】等比数列{}n a 满足*0,n a n N >∈且23233(2)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，logn a-+++=1221L （）A ．(21)2n n -B ．()222n n-C ．22n D ．22n n-【例5】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，11168313225a a a a a a ++=，则113a a 的最大值是__．【例6】已知等比数列{}n a 各项均为正数，且满足：101a <<，1718171812a a a a +<+<，记n n a a a T 21=，则使得1n T >的最小正数n 为（）A ．36B ．35C ．34D ．33【例7】在正项等比数列{}n a 中，44a =，则（）A ．358a a +≥B ．3514a a +的最小值为1C ．2611242aa-⎛⎫⎛⎫⋅≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 4【答案】AB【分析】AB 选项，先根据等比数列的性质得到432516a a a ==，再利用基本不等式进行求解，C 选项，先得到226416a a a ==，结合指数运算及指数函数单调性和基本不等式进行求解；D 选项，平方后利用基本不等式，【例8】在等比数列{}n a 中，1234516a a a a a ++++=，314a =，则a a a a a ++++=______．【题型专练】1.已知递增等比数列{}n a ，10a >，2464a a =，1534a a +=，则6a =（）A ．8B ．16C ．32D ．642.在等比数列{}n a 中，472a a +=，298a a =-，则110a a +=（）A ．5B ．7C ．－5D ．－7当4724a a =-⎧⎨=⎩时，解得1312a q =⎧⎨=-⎩，()1039111112187a a a q a =+=+⨯-=-=-+；故选：D3.等比数列{}n a 中，0n a >且243546225a a a a a a ++=，则35a a +=_______【答案】5【解析】利用等比数列下标和的性质可知22243465,a a a a a a ==，再进行化简即可求解出结果.【详解】2435462a a a a a a ++ ()222335535225a a a a a a =++=+=，又 等比数列{}n a 中，0n a >，355a a ∴+=，故答案为：5．【点睛】本题考查等比数列下标和性质的运用，难度一般.已知{}n a 是等比数列，若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.4.若等比数列{}n a 中的5a ，2019a 是方程2430x x -+=的两个根，则31323332023log log log log a a a a ++++ 等于（）A ．20243B ．1011C．20232D ．10125.已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，且满足11a >，2021202210a a ->，2021202201a <-，则（）A ．1q >B ．2020202210a a -<C ．2021T 的值是n T 中最大的D ．使1n T <成立的最小正整数n 的值为40426.两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为,n n A B ，若552b =，则99B =()A ．512B ．32C ．8D ．2【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a = ,特殊地，2m p q =+时，则2·m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项.7.已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，若16113a a a π++=，1598b b b =，则（）A ．1111S π=B ．210461sin2a ab b +=C ．3783a a a π++=D ．374b b +≥8.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且210101013101110122e a a a a ⋅+⋅=，则122022ln ln ln a a a +++= ___________.【答案】2022【分析】根据等比数列的性质化简得到210111012e a a =，由对数的运算即可求解.【详解】因为{}n a 是等比数列，所以210101013101110121011101222e a a a a a a ⋅+⋅=⋅=，即210111012e a a ⋅=，所以()1011202212202212202210111012ln ln ln ln ln 2022a a a a a a a a lne ++⋅⋅⋅+====故答案为：20228.在正项等比数列{}n a 中，若35727a a a =，则931log i i a ==∑___________.【答案】9【解析】先由35727a a a =，利用性质计算出53a =，然后利用对数的运算性质计算931log i i a =∑即可.【详解】∵{}n a 为正项等比数列，∴若m n p q +=+都有m n p qa a a a =∴2192837465==a a a a a a a a a ==又35727a a a =，∴3527,a =即53a =，∴2192837465==9a a a a a a a a a ===∴93333311289log log log log log i i a a a a a =++++=∑ ()()()()31932833734635log log log log log a a a a a a a a a =++++33333log 9log 9log 9log 9log 3=++++=2+2+2+2+1=9故答案为：9【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．题型四：等比数列前n 项片段和的性质及应用【例1】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，110=S ，1330=S ，=40S （）A ．﹣51B ．﹣20C ．27D ．40【答案】D【分析】由{an }是等比数列可得S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列，列方程组，从而即可求出S 40的值．【详解】由{an }是等比数列，且S 10＝1＞0，S 30＝13＞0，得S 20＞0，S 40＞0，且1＜S 20＜13，S 40＞13所以S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列，即1，S 20﹣1，13﹣S 20，S 40﹣13构成等比数列，∴（S 20﹣1）2＝1×（13﹣S 20），解得S 20＝4或S 20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S 20）2＝（S 20﹣1）（S 40﹣13），即92＝3×（S 40﹣13），解得S 40＝40．故选：D ．【例2】设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知83=S ，67S =，则789a a a ++等于（）A ．18B ．18-C ．578D ．558【例3】若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，22S =46S =+，则78a a +=（）A ．32+B ．32+C ．16+D ．16+【例4】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2-，10S ，20S 成等差数列，则20102S S -=______，3020S S -最小值为______．【答案】28【分析】根据等差中项可求出201022S S -=；利用10S ，1200S S -，3020S S -成等比数列，结合基本不等式可得3020S S -最小值.【详解】因为2-，10S ，20S 成等差数列，所以102022S S =-+，所以201022S S -=，【例5】（2022·全国·高二课时练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（）A ．若数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++（a ，b ，c 为常数），则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等比数列【答案】BC【分析】由n S 得n a ，进而可判断A 和B ；由等差数列的性质判断C ；举反例判断D.【详解】根据题意，依次分析选项：对于选项A ：因为2n S an bn c =++，11a S a b c ==++，当2n ≥时，()()()221112n n n a S S an bn c a n b n c a n b a -⎡⎤=-=++--+-+=⋅+-⎣⎦，所以()(),12,2n a b c n a a n b a n ⎧++=⎪=⎨⋅+-≥⎪⎩，所以只有当0c =时，数列{}n a 成等差数列，故A 错误；对于选项B ：因为122n n S +=-，112a S ==，当2n ≥时，()()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=，当1n =时，1122a ==，符合上式，所以2n n a =，则数列{}n a 成等比数列，故B 正确；对于选项C ：数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，L 是公差为2n d （d 为{}n a 的公差）的等差数列，故C 正确；对于选项D ：令()1nn a =-，则2S ，42S S -，64S S -，L 是常数列0,0,0, ，显然不是等比数列，故D 错误.故选：BC.【题型专练】1．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若812S =，2436S =，则16S =（）A ．24B ．12C ．24或－12D ．－24或12【答案】A【分析】根据等比数列片段和性质得到方程，求出16S ，再检验即可；【详解】解：因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以8S ，168S S -，2416S S -成等比数列，因为812S =，2436S =，所以()()21616121236S S -=⨯-，解得1624S =或1612S =-，因为816880S S q S -=>，所以160S >，则1624S =．故选：A2.已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（）A ．B ．C ．12D ．15【答案】C【分析】利用等比数列的性质可得()()210551510S S S S S -=×-，代入数据即可得到答案【详解】解：由等比数列的性质可得51051510,,S S S S S --也为等比数列，又5153,39S S ==，故可得()()210551510S S S S S -=×-即()()210103339S S -=-，解得1012S =或109S =-，因为等比数列各项为正，所以1012S =，故选：C3.若等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（）A ．AB C+=B ．2B AC=C ．()22A B C A B +=+D ．()()A C AB B A -=-S 4.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，621S =，则84S =（）A ．83B ．133C ．5D ．75.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若33S =，则3S S =+______.题型五：等比数列前项和的特点【例1】在数列{}n a 中，1n n a ca +=（c 为非零常数），且其前n 项和23n n S k -=+，则实数k 的值为（）A ．1-B ．13-C ．19D ．19-【例2】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是A ．4B ．2C ．2-D ．4-【例3】已知等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S t +=+，则数列的通项公式n a =______________.【题型专练】1.一个等比数列的前n 项和为(12)2nn S λλ=-+⋅，则λ=（）A ．1-B ．1C ．2D ．32．等比数列{}n a 的前n 项和23nn S m =+⨯，则m =（）A ．2-B ．2C ．1D ．1-【答案】A【分析】求出数列的通项公式，根据通项公式确定参数的值.【详解】116a S m ==+，当2n ≥时，1143n n n n a S S --=-=⨯，因为{}n a 是等比数列，所以11436m -⨯=+，得2m =-，所以A 正确.故选：A.3．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，1n n S a t +=+，则t =_______.题型六：等比数列的单调性【例1】等比数列满足如下条件：①10a <；②数列{}n a 单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式n a =________.【例2】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“20222023a a <”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】D【例3】已知等比数列{}n a ，下列选项能判断{}n a 为递增数列的是()A ．10a >，01q <<B ．10a >，0q <C ．10a <，1q =D ．10a <，01q <<【例4】（2022·全国·高二课时练习多选题）关于递增等比数列{}n a ，下列说法正确的是（）．A ．当10a >时，1q >B ．当10a >时，0q <C ．当10a <时，01q <<D ．11nn a a +<【答案】AC【题型专练】1.设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}n a 为递增数列的充要条件是（）A ．10a >，1q >B ．10a <，01q <<C ．1lg 0a q >D ．1lg 0a q <【答案】C【分析】分析可知0q >，分10a <、10a >两种情况讨论，结合递增数列的定义求出对应的q 的取值范围，即可得出结论.【详解】因为11n n a a q -=，若0q <，则数列{}n a 为摆动数列，与题意不符，所以，0q >.①若10a <，则对任意的N n *∈，0n a <，由1n n n a a a q +<=可得1q <，即01q <<；②若10a >，则对任意的N n *∈，0n a >，由1n n n a a a q +<=可得1q >，此时1q >.所以，{}n a 为递增数列的充要条件是10a >，1q >或10a <，01q <<，当10a >，1q >时，lg 0q >，则1lg 0a q >；当10a <，01q <<时，lg 0q <，则1lg 0a q >.因此，数列{}n a 为递增数列的充要条件是1lg 0a q >.故选：C.2.在等比数列{}n a 中，公比是q ，则“1q >”是“()*1N n n a a n +>∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据等比数列的单调性举出反例，如11a =-，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：当11a =-时，则1n n a q -=-，因为1q >，所以1n n q q ->，所以1n n q q --<-，故()*1N n n a a n +<∈，所以1q >不能推出()*1N n n a a n +>∈，当11a =-时，则1n n a q -=-，由()*1N n n a a n +>∈，得1n n q q -->-，则1n n q q -<，所以01q <<，所以()*1N n n a a n +>∈不能推出1q >，所以“1q >”是“()*1N n n a a n +>∈”的既不充分也不必要条件.故选：D.3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知等比数列{}n a 的公比为q ．若{}n a 为递增数列且10a <，则（）A ．1q <-B ．10q -<<C ．01q <<D ．1q >【答案】C【分析】根据题设等比数列的性质，结合等比数列通项公式确定公比q 的范围即可.【详解】由题意，11n n a a q -=，又10a <，∴要使{}n a 为递增数列，则0q >，当01q <<时，{}n a 为递增数列，符合题设；当1q >时，{}n a 为递减数列，符合题设；故选：C.题型七：等比数列新文化试题【例1】十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,1 33⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…；如此这样．每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于45，则需要操作的次数n 的最小值为（）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】【分析】利用题中的条件，分别计算出每一次操作去掉的区间的长度，结合对数不等式即可解出.【详解】第一次操作去掉的区间长度为13，第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29，第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427， ，第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=+++=-⎪⎝⎭，由题意可知，24135n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg 35n ≤，解得 3.97n =，又n 为整数，所以需要操作的次数n 的最小值为4.故选：A.【例2】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【例3】1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间1 [0,] 3和2[,1]3；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：1 [0, 9，21 [,] 93，27[,] 39，8[,1]9；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历n步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n 的最小值是（）．A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A 【解析】20212022不属于剩下的闭区间，20212022属于去掉的开区间经历第1步，剩下的最后一个区间为2[,1]3，经历第2步，剩下的最后一个区间为8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦，……，经历第n 步，剩下的最后一个区间为1113n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，，去掉的最后开区间为1112,133n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由120111121320223n n ⎛⎫⎛⎫-⨯<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得4044320223n n ⎧>⎨<⎩，解得7n =故选:A【例4】我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出40尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的2倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要（）A ．2天B ．3天C ．4天D ．5天因为22()32n f n n n ++=+在0n >上单调递增，当5n =时，7(5)25152168164f =++=>，而6(4)1612292164f =++=<，故2232()164n n n f n +++=≥的解为5,N n n ≥∈,故至少需要5天，故选：D ．【例5】费马数是以法国数学家费马命名的一组自然数，具有形式为221(n+记做)n F ，其中n 为非负数．费马对0n =，1，2，3，4的情形做了检验，发现这组费马公式得到的数都是素数，便提出猜想：费马数是质数．直到1732年，数学家欧拉发现52521F =+为合数，宣布费马猜想不成立．数列{}n a 满足()2log 1n n a F =-，则数列{}n a 的前n 项和n S 满足2020n S >的最小自然数是（）A ．9B ．10C ．11D ．12【题型专练】1.已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（）A ．420只B ．520只C ．20554-只D ．21443-只【答案】B【解析】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有2555⨯=只蜜蜂，……按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列则第n 天的蜜蜂数1555n n n a -=⨯=第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数205故选：B ．2.数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.不妨记第(1,2,3,)n n =⋅⋅⋅个图中的图形的周长为n a ，则5a =（）A ．2569B ．25627C ．51227D ．51281【答案】C【解析】【分析】根据题图规律确定第n 个图边的条数及其边长，并写出其通项公式，再求第5个图的周长.【详解】由图知：第一个图有3条边，各边长为2，故周长132a =⨯；第二个图有12条边，各边长为23，故周长22123a =⨯；第三个图有48条边，各边长为29，故周长32489a =⨯；……所以边的条数是首项为3，公比为4的等比数列，则第n 个图的边有134n -⋅条，边长是首项为2，公比为13的等比数列，则第n 个图的边长为112(3n -⋅，故4451512342()327a =⨯⨯⨯=.故选：C3.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（）A ．该人第五天走的路程为14里B ．该人第三天走的路程为42里C ．该人前三天共走的路程为330里D ．该人最后三天共走的路程为42里4.北京2022年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；L ．依次进行“n 次分形()*n ∈N ”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于40的分形图，则n 的最小值是（）（参考数据lg 30.477≈，lg20.301≈）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】【分析】分析可知“n 次分形”后线段的长度为43n⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围即可得解.【详解】图1的线段长度为1，图2的线段长度为43，图3的线段长度为243⎛⎫ ⎪⎝⎭，L ，“n 次分形”后线段的长度为43n⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以要得到一个长度不小于40的分形图，只需满足4403n ⎛⎫ ⎪⎝≥⎭，则4lg lg4012lg23n ≥=+，即()2lg2lg312lg2n -≥+，解得12lg210.60212.82lg2lg30.6020.477n ++≥≈--，所以至少需要13次分形．故选：C.5.十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…；如此这样．每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于45，则需要操作的次数n的最小值为（）（参考数据：lg20.3010=，lg30.4771=）A．4B．5C．6D．76.毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为1的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到2个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第n次生长得到的小正方形的个数为na，则数列{}n a的前n项和n S=___________.【答案】122n +-##122n +-+7．（多选题）如图，1P 是一块半径为1的圆形纸板，在1P 的左下端前去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形3P ，4,,,n P P ，记纸板n P 的周长为n L ，面积为n S ，则下列说法正确的是（）A ．37142L π=+B ．31132S π=C ．1111222n n n L π-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．1212n n n S S π++=-【答案】ABD【解析】【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板n P 相较于纸板1n P -()2n ≥剪掉了半径为112n -的半圆，再分别写出n L 和n S 的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可【详解】根据题意可得纸板n P 相较于纸板1n P -()2n ≥剪掉了半径为112n -的半圆，故1111122222n n n n L L π---=-⨯+⨯，即112122n n n n L L π----=-，故12L π=+，2110122L L π-=-，3221122L L π-=-，4332122L L π-=- (112122)n n n n L L π----=-，累加可得1210121112......222222n n n L ππππ--⎛⎫⎛⎫=+++++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111112222111122n n ππ--⎛⎫-- ⎪⎝⎭=++---1211222n n π--⎛⎫=-+ ⎝⎭，所以132171421222L ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=+，故A 正确，C 错误；又1211122n n n S S π--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故1212n n n S S π---=-，即1212n n n S S π++=-，故D 正确；又12S π=，2132S S π-=-，3252S S π-=-...1212n n n S S π---=-，累加可得3521 (2222)n n S ππππ-=----111841214n ππ-⎛⎫- ⎪⎝⎭=--211132n π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故31132S π=正确，故B 正确；故选：ABD。
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等比数列及其前n 项和教学目标：1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。
2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关的简单问题。
知识回顾： 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。
用递推公式表示为)2(1≥=-n q a a n n 或q a ann =+1。
注意：等比数列的公比和首项都不为零。
（证明数列是等比数列的关键） 2．通项公式：等比数列的通项为：11-=n n q a a 。
推广：m n m n q a a -= 3．中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项；其中ab G =2。
4．等比数列的前n 项和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S n n5．等比数列项的性质（1）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则q p n m a a a a =；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a =2。
（2）除特殊情况外，,...,,232n n n n n S S S S S --也成等比数列。
n q q ='。
（其中特殊情况是当q=-1且n 为偶数时候此时n S =0，但是当n 为奇数是是成立的）。
4、证明等比数列的方法（1）证：q a a nn =+1（常数）；（2）证：112·+-=n n na a a （2≥n ）. 考点分析考点一：等比数列基本量计算 例1、已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。
若2312a a a ⋅=， 且4a 与27a 的等差中项为54，求5S 。
例2、成等差数列的三项正数的和等于15，且这三个数加上2、5、13后成等比数列{}n b 中的543,,b b b 。
（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 和为n S 。
练习：1、设{}n a 是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。
已知142=a a ,37S =,则5S =A ．215 B ．431 C ． 433 D ．2172、在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________.3、已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为( )A.3312 B ．31 C.314 D ．以上都不正确4、设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．5、（4）、已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且639S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ）。
A ．158或5 B ．3116或5 C ．3116 D ．158考点二：等比数列性质应用例2、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =A ．3B ．4C ．5D ．6练习：1、在等比数列{}n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为A ．2B ．3C ．4D ．8例3、等比数列{}n a 满足：1161=+a a ，93243=a a ，且公比()1,0∈q （1）数列{}n a 的通项公式；（2）若该数列的前n 项和21=n S ，求n 的值。
练习：1、已知正项等比数列{}n a 满足25932a a a =，22=a ，则=1a 。
2、已知等比数列{}n a 满足25932a a a =，22=a ，则=1a 。
3、已知等比数列{}n a 满足18,251==a a ，则=432a a a ___________。
4、在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________. 例4、等比数列{}n a 满足0>n a ，n ∈N *，且473=•a a ，则当1≥n 时，=++++92322212log ...log log log a a a a .例5、等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.练习：1、已知正项等比数列{}n a 满足5321=a a a ，10987=a a a ，则=654a a a _______。
2、在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 例6、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝________. 练习：1、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若336=S S ，则69S S＝________. 考点三：等比数列的证明例7、（2017成都市高三一诊）已知数列{}n a 满足42,211+=-=+n n a a a 。
（1）证明数列{}4+n a 是等比数列。
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。
练习：1、已知数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n ，数列{}n b 满足n a b n n -=。
证明数列{}n b 为等比数列。
2、已知数列{}n a 满足n n n a a a 221+=+，数列{}n b 满足)1(lg +=n n a b 。
证明数列{}n b 为等比数列。
3、在数列{}n a 中，*11,21,21N n a n n a a n n ∈+==+。
求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 为等比数列。
例8、已知()())1(4,)1(2-=-=x x g x x f ，数列{}n a 满足：1,21≠=n a a 且)()()()*1N n a f a g a a n n n n ∈=--（。
证明：数列{}1-n a 是等比数列。
练习1、已知函数212)(++=x x x f ，数列{}n a 满足),2(1R t t t a ∈-≠=，))((1N n a f a n n ∈=+ （1）若数列{}n a 是常数列，求t ； （2）当21=a 时，记)(11*∈-+=N n a a b n n n ，证明：数列{}n b 是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式。
例9、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．练习：1、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．例10、已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，*n N ∈证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等比数列。
小结与拓展： （1）定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； （2）中项法：221++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列。
考点四：等差、等比数列的综合应用 例11、在等差数列{}n a 中，50,302010==a a (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令102-=n n a b ，证明：数列{}n b 为等比数列；练习：一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。
例12、某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元．(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．习题15.31、在等比数列{}n a 中，（1）74,3,27a q a 求-==；（2）32415,6,15a a a a a 求=-=-；（3）已知q a S a 与求133,29,23==。
2、已知{}n a 为等比数列，324202,3a a a =+=，求{}n a 的通项式。
3、已知等比数列{}n a 满足71134a a a =，数列{}n b 是等差数列满足77b a =则=+95b b4、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ） A ．2 B ．4 C ．215 D ．2175、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =A ．3B ．4C ．5D ．6 6、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S = A ．-11 B ．8 C ．5 D ．117、设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知43=a ，122542=a a a （1）数列{}n a 的通项公式；（2）若该数列的前n 项和1210-=n S ，求n 的值。
8、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数。
（1）求1a 及n a ；（2）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值9、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .10、（选做题）已知数列{}n a ，{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n 其中λ为实数，n 为正正数。
（1）对任意的实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （2）试判断数列{}n b 是否是等比数列，并证明你的结论。