等差数列、等比数列的题型分析

解析：由 S4，S8－S4，S12－S8 成等比数列，得(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，解得 S8＝9 或 S8＝－3，
又由等比数列的前 n 项和公式知 S8 与 S4 同号，故 S8＝9.答案：9
4、设等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意自然数 n 都有Sn＝2n－3， Tn 4n－3
题型一：等差、等比数列的基本概念与运算
等差、等比数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考查等差、等比数列的概念、基
本量的运算及由概念推导出的一些重要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目
的．解决等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关
于 a1 和 d 的方程(组)；②巧妙运用等差、等比数列的性质．
2
3
【思路点拨】根 据 bn=an+1 可 知 an=bn-1 ， 依 据 {bn}有 连 续 四 项 在 {-53 ， -23 ， 19 ，
37， 82}中 ， 则 可 推 知 则 {an}有 连 续 四 项 在 {-54， -24， 18， 36， 81}中 ， 按 绝 对
值 的 顺 序 排 列 上 述 数 值 ， 可 求 {an}中 连 续 的 四 项 ， 求 得 q.
的关系，解题的突破口是由 S10＝S11 得出 a11＝0. 变式练习：
1. (2011·天津)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，Sn 为{an}
的前 n 项和，n∈N*，则 S10 的值为( )．
A．－110
B．－90
C．90
D．110
解析 因为 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，所以 a27＝a3a9，又因为公差为－2，
例：[2014·石家庄质检一]已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4 与 a14 的等比中项为 2 2，
则 2a7＋a11 的最小值为( )A．16
B．8 C．2 2 D．4
解析：由题意知 a4＞0，a14＞0，a4·a14＝8，a7＞0，a11＞0，则 2a7＋a11≥2 2a7·a11＝2 2a4·a14
3
1 则 a·b＝c·d＝2，a＝ ，故 b＝4，根据等比数列的性质，得到 c＝1，d＝2，则 m＝a＋b
2
9
9 m3m2
＝ ，n＝c＋d＝3，或 m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝ ，则 ＝ 或 ＝ .答案：B
2
2 n2n3
3、已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S4＝3，S12－S8＝12，则 S8＝__________.
n
故 bn 的最小值为－32. 点评：(1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已知条件求出这两个量，
其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用．
(2)等差数列的性质
①若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq； ②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍成等差数列； ③am－an＝(m－n)d⇔d＝am－an(m，n∈N*)；
41
5. 在等差数列{an}中，a1＝－2 013，其前 n 项和为 Sn，若S12－S10＝2，则 S2 013 的值等于 12 10
( )A．－2 011 B．－2 012 C．－2 010
D．－2 013
解析 根据等差数列的性质，得数列{Sn}也是等差数列， n
根据已知可得这个数列的首项S1＝a1＝－2 013， 1
5.在数 1 和 2 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将这 n+2 个数的乘积
记为 An ,令 an log2 An ,
N(1)求数列{an} 的通项公式；(2)记 cn
1 4an an1
，数列{cn}
2
的前
项和 Tn
，证明： Tn
1 3
【知识点】等比数列，裂项求和，放缩法
n
2 解 (1)设{an}的公差为 d，则由 3a5＝5a8，得 3(a1＋4d)＝5(a1＋7d)，∴d＝－ a1.
23
2
n ∴Sn＝na1＋
n－1
×
－ a1 23
＝－
1
a1n2＋24a1n＝－
1
a1(n－12)2＋144a1.
2
23 23
23
23
∵a1>0，∴当 n＝12 时，Sn 取得最大值． 2
m－n
④an＝A2n－1(A2n－1，B2n－1 分别为{an}，{bn}的前 2n－1 项的和)．
b B n
2n－1
(3)数列{an}是等差数列的充要条件是其前 n 项和公式 Sn＝f(n)是 n 的二次函数或一次函数
且不含常数项，即 Sn＝An2＋Bn(A2＋B2≠0)．
7.若数列{an} 满足
1 4
1 5
( n
1
2
n
1
) 3
1 3
n
1
3
1 3
14 分
【思路点拨】本题是一个求 an 的典型例子，后面求 Tn 的时候符合裂项求和的架构，最后放
缩，很自然。 题型二：等差、等比数列的基本性质的考查
考点总结：从近几年的考题看，数列性质必考，以选择填空为主，中低档，难度较大时一般
பைடு நூலகம்
出现在解答题中，但是注意做题时要活。
解：{bn}有 连 续 四 项 在 {-53， -23， 19， 37， 82}中 且 bn=an+1 an=bn-1 则 {an}有 连 续 四 项 在 {-54， -24， 18， 36， 81}中 ∵{an}是等比数列，等比数列中有负数项则 q＜0，且负数项为相隔两项 ∴等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值 18，-24，
1
思路点拨 ：(1)根 据 条件表示出 b1, b2 , b3 ，结合an 是等比数列，求 出其公比，进而得通
项公式.（2）根据数列an 的唯一性，知 q 的一个值为 0，得 a 的值.
[审题视点] (1)利用 b1、b2、b3 等比求解；(2)利用(1)问的解题思路，结合方程的相关知识 可求解． 解 (1)设{an}的公比为 q，则 b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2. 由 b1，b2，b3 成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)， 即 q2－4q＋2＝0，解得 q1＝2＋ 2，q2＝2－ 2， 所以{an}的通项公式为 an＝(2＋ 2)n－1 或 an＝(2－ 2)n－1. (2)设{an}的公比为 q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得 aq2－4aq＋3a－1＝0.(*) 由 a>0 得，Δ＝4a2＋4a>0，故方程(*)有两个不同的实根，
所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得 a1＝20，通项公式为 an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n.
10 所以 S10＝
a1＋a10
＝5×(20＋2)＝110，故选 D.
2
2.设数列{an}满足：2an＝an＋1(an≠0)(n∈N*)，且前
n
项和为
Sn，则S4的值为( a2
4.设{an} 是公比为 q 的等比数列，令 bn a n 1， n N * ，若数列{bn} 的连续四项在集合
53, 23,19, 37,82 中，则 q 等于(
) A． 4 B． 3 C． 3 或 2 D． 3 或 4
32
23 43
【知识点】递 推 公 式 的 应 用 ； 等 比 数 列 的 性 质 ．
1 －1 an＋1 an
＝d
(n∈N*，d 为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知
正项数列
1 bn
为
“
调
和
数
列
”，
且
b1
b2
L
b9 90 ， 则 b4 b6
的最大值是
(
) A．10
B．100
C．200
【知识点】等差数列的概念、等差数列的性质与基本不等式求最值
)
15 A.
2
15 B.
4
C．4
D．2
a1 1－24
解析：由题意知，数列{an}是以 2 为公比的等比数列，故S4＝ 1－2
a2
a1×2
15 ＝ .答案：A
2
3. 已知 两 个等 比数列 an ， bn ，满 足 a1 a (a 0) ， b1 a1 1 ， b2 a2 2 ，
b3 a3 3 .（1）若 a 1 ，求数列an 的通项公式；（2）若数列an 唯一，求 a 的值 .
a1＋a10
＝ 5(a5 ＋ a6) ＝ 20 ， 因 此 有
2
log2(2a1·2a2·…·2a10)＝a1＋a2＋a3＋…＋a10＝20.
2、已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0
1
m
的四个根组成以 为首项的等比数列，则 ＝(
)
2
n
3
32
2
A. B. 或 C. D．以上都不对
2
23
3
解析：设 a，b，c，d 是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0 的四个根，不妨设 a<c<d<b，
36， -54， 81 相 邻 两 项 相 除 24 4， 36 3， 54 3，81 3 则 可 得 ， 18 3 24 2 36 2 54 2
-24， 36， -54， 81 是 {an}中 连 续 的 四 项 ， 此 时 q= 3 ,同 理 可 求 q= 2
2
3
∴ q= 3 或 q= 2 .故 选 B
公差 d＝1，故 S2 013 ＝－2 013＋(2 013－1)×1＝－1，所以 S2 013＝－2 013. 2 013