等比数列知识点总结及题型归纳(5.17)

等比数列知识点总结及题型归纳

1、等比数列的定义：()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：

()11110,0n n

n n a a a q q A B a q A B q

-==

=??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m n m m m

a a a a q q q a a ---=?=

?= 3、等比中项：

（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或

A ab =±

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式：

（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q

S q

q

--=

=

-- 11''11n n n a a

q A A B A B A q q

=

-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的n ，都有1

1(0){}n n n n n n

a a qa q q a a a ++==≠?或

为常数，为等比数列

（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列

（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列

6、等比数列的证明方法：

依据定义：若()()*12,n n a

q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列

7、等比数列的性质：

（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。

（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=???

（4）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}n

k

a ，{}n k a ?，{}k n a ，{}n n k a

b ??，{}

n n a b （k 为非零常数）均为等比数列。

（5）数列{}n a 为等比数列，每隔*()k k N ∈项取出一项23(,,,,)m m k m k m k a a a a +++???仍为等比数列

（6）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列 （7）若{}n a 为等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -???，成等比数列 （8）若{}n a 为等比数列，则数列12n a a a ??????，122n n n a a a ++??????，21223n n n a a a ++???????成等比数列

（9）①当1q >时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列

，则为递减数列 ②当1q <0<时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列

③当1q =时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当0q <时,该数列为摆动数列.

（10）在等比数列{}n a 中，当项数为*2()n n N ∈时，

1

S S q

=奇偶 二、 考点分析

考点一：等比数列定义的应用

1、数列{}n a 满足()1123

n n a a n -=-≥，14

3a =，则4a =_________．

2、在数列{}n a 中，若11a =，()1211n n a a n +=+≥，则该数列的通项

n a =______________． 考点二：等比中项的应用

1、已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（ ）

A ．

4- B ．6- C ．8- D ．10- 2、若a 、b 、c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交点的个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．不确定

3、已知数列{}n a 为等比数列，32a =，2420

3

a a +=，求{}n a 的通项公式．

考点三：等比数列及其前n 项和的基本运算

1、若公比为23的等比数列的首项为98，末项为1

3

，则这个数列的项数是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 2、已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项

n a =_________________．

3、若{}n a 为等比数列，且4652a a a =-，则公比q =________．

4、设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，则

12

34

22a a a a ++的值为（ ）

A ．14

B ．12

C ．18

D ．1

考点四：等比数列及其前n 项和性质的应用

1、在等比数列{}n a 中，如果66a =，99a =，那么3a 为（ ）

A ．4

B ．32

C ．16

9

D ．2

2、如果1-，a ，b ，c ，9-成等比数列，那么（ ） A ．3b =，9ac = B ．3b =-，9ac = C ．3b =，9ac =- D ．3b =-，9ac =-

3、在等比数列{}n a 中，11a =，103a =，则23456789a a a a a a a a 等于（ ） A ．81

B ．52727

C ．3

D ．243

4、在等比数列{}n a 中，()9100a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a +等于

（ ） A ．98b a B ．9

b a ?? ??? C ．109

b a D ．10

b a ?? ???

5、在等比数列{}n a 中，3a 和5a 是二次方程250x kx ++=的两个根，则246a a a 的

值为（ ） A ．25 B ．55

C ．55-

D ．55±

6、若{}n a 是等比数列，且0n a >，若243546225a a a a a a ++=，那么35a a +的值等

于

考点五：公式11,(1)

,(2)n n

n S n a S S n -=?=?-≥?的应用

1．等比数列前n 项和S n =2n -1，则前n 项的平方和为( )

A.(2n -1)2

B.31(2n -1)2

C.4n

-1 D.3

1(4n -1)

2. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n =3n +r ，那么r 的值为______________.

3．设数列{a n }的前n 项和为S n 且S 1=3，若对任意的n ∈N *都有S n =2a n -3n. (1)求数列{a n }的首项及递推关系式a n+1=f(a n ); (2)求{a n }的通项公式;

(3)求数列{a n }的前n 项和S n .

考点六：数列求和

方法：(1)公式法；(2)分组求和法；(3)错位相减法

23n 1.1+2+3+2+5+2+

+[2-1+2]

2.{a }, a =+12, {a }n

3.{b }, b =(2-1)3, {b }n n n n n n n n n n n ??求和（）（）（）（n ）已知数列（）求数列的前项和。已知数列求数列的前项和。