数列题型及解题方法归纳总结

累加累积 归纳猜想证明

掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了

典型 题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法 1、求通项公式

(1)观察法。(2)由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

⑴递推式为a n+i =3+d 及a n+i =qa n (d ，q 为常数) 例1、 已知｛a n ｝满足a n+i =a n +2，而且a i =1。求a n 。

例1、解 ■/ a n+i -a n =2为常数

??? ｛a n ｝是首项为1，公差为2的等差数列

/? a n =1+2 (n-1 )

即 a n =2n-1

1

例2、已知｛a n ｝满足a n 1 a n ，而a 1 2，求a n =?

佥 1 2

解■/^ = +是常数

.■-傀｝是以2为首顶，公比为扌的等比数

把n-1个等式累加得： .' ? an=2 ? 3n-1-1

ji i ? / ] — 3

⑷ 递推式为a n+1=p a n +q n (p ，q 为常数)

s

1 1

【例即己知何沖.衍二右札+ 吧求％

略解在如十冷)*的两边乘以丹得

2

严‘ *珞1 = ~〔2怙血)+1.令亠=2n

召

则也€%乜于是可得

2 2 n b n

1 n 1

n

b n 1 b n (b n b n 1)由上题的解法，得：b n 3

2(—) ? a .

n

3(—) 2(—)

3 3

2 2

3

★说明对于递推式辺曲=+屮，可两边除以中叫得蹲= Q

計/斗引辅助财如(%=芒.徼十氣+护用

(5) 递推式为 a n 2 pa n 1 qa

n

知识框架 数列 的概念 数列的分类 数列的通项公式 数列的递推关系

函数角度理解

(2)递推式为 a n+1=a n +f (n )

1 2 例3、已知｛a n ｝中

a 1

a n 1

a n

1

，求 a n .

4n 2 1

等差数列的疋义 a n a n 1 d(n 2)

等差数列的通项公式

a n a 1 (n 1)d

等差数列

等差数列的求和公式 S n (a 1 a n ) na

1

n(n 1)d

2

2

等差数列的性质 a n

a m a p

a q (m n p q)

两个基

本数列

等比数列的定义

a n 1

q(n 2)

等比数列的通项公式

a n

n 1

a 1q

数列 等比数列

a 1 a n q

3(1

q )

(q 1)

等比数列的求和公式

S n 1 q

1 q

/

n a 1(q 1)

等比数列的性质 S n S m

a p a q (m n

p q)

公式法 分组求和 错位相减求和 裂项求和 倒序相加求和

解：由已知可知a n 1

a n

(2n 1)(2n 1)夕2n 1 2n

令n=1，2，…，(n-1 )，代入得(n-1 )个等式累加，即(a 2-a 1) +

1广 K z 1】、

=-[(1-" +

J

J 5 _■

冷(一 Jr

★ 说明 只要和f ( 1) +f (2) 入，可得n-1个等式累加而求a n 。

⑶ 递推式为a n+1=ps n +q (p , q 为常数)

1 a n

a 1

(1

2

+?…+f

例 4、｛a n ｝中，ai 1，对于 n > 1 (n € N) 有a n

(a 3-a 2) +

? + (a n -a n-1)

L )也

2n 1 4n 2

(n-1 )是可求的，就可以由

a n+1=a n +f (n )以n=1，2，…，

3a n 1

2

，求 a n ?

数列 求和 解法一： 由已知递推式得 a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3 (a n -a n-1)

因此数列｛a n+1-a n ｝是公比为3的等比数列，其首项为 a 2-a 1= (3X 1+2) -1=4

--a n+1 -a n =4 ? 3

- a n+1 =3a n +2 - - 3a n +2-a n =4 ? 3 即 a n =2 ? 3 -1

解法_ : 上法得｛a n+1-a n ｝是公比为 3 的等比数列，于是有： a 2-a 1=4， a 3-a 2=4 ? 3， a 4-a 3=4 ? 3

? 3 ，

数列的应用

分期付款 其他

2)。

思路：设 a n 2 pa n 1 qa n ,可以变形为：a n 2 a n 1 (a n 1 a n ),

f G 十 B = p 就是％厂3 +◎ 3-Q 卩“则可从门R 解得^ 0 ［Q ? p = -q 于是｛a n+1- a a n ｝是公比为B 的等比数列，就转化为前面的类型。 数列求和的常用方法：

1、 拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

2、 错项相减法：适用于差比数列(如果

a n 等差，

b n 等比，那么 a n b n 叫做差比数列)

即把每一项都乘以 b n 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。

_

厂］

1

【那】-「-八求a n

3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

a +

分析门 CL ?

解在S ｛耳+11日J 是公比为■善?首项为七 -町=

啲等比数列。 ⑹

递推式为S 与an 的关系式 a l & -乩 【例丫】 设(aj 前11项的和S n =4-a n - 解Cl)由—氐-十得

占珅］=彳_巳时1 _

此类型可利用g

Cn = D (n>2> 善0)在 田与日氏的 关系；(2)试用n 表示a n 。

1^^

…S n 1

S n (a n a n 1)

1

…a n 1 a n a n 1 1

…a n 1

上式两边同乘以2

n+1

得2

n+1

a n+1=2n

a n +2则｛2金｝是公差为2的等差数列。

/? 2a n = 2+ ( n-1 ) ? 2=2n

…"河

(六

1

2a

n

亠

2“ 1'

丄

2n

适用于数列

a n a n 1

可裂项为：一

a n

(其中a n 等差)

1 . __ ._ (a n 1 a

n

)

d

等差数列前n 项和的最值问题：

1、若等差数列

a n 的首项a 1 公差d 则前n 项和S n 有最大值。

(i)若已知通项a n ，则S n 最大

(ii)若已知S n

2

pn qn ，则当

2、若等差数列 a, 的首项a 1

0, (i)若已知通项

(ii)若已知Sn

a n ，则S n 最小

2

pn qn ，则当

a n

a n 1

n 取最靠近 公差d

a n

a n 1

n 取最靠近 数列通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知S n (即a 1

已知

a 1ga 2gL

⑶已知条件中既有 ⑷若a n 1 a n

a 1

(n 2)。 ⑸已知空

a n

a 2 L a n —的非零自然数时S n 最大;

2p

则前n 项和S n 有最小值

~q 的非零自然数时S n 最小;

2p

f (n))求a n ,用作差法：

f(n)求a n ,用作商法：a n

f(1),(n f(n) 1) S 1,(n 1) S n _

o

S

n 1,( n 2)

2)° S n 还有a n ，有时先求S n ，再求a n ； f(n)求a n 用累加法：a n

(a n f(n 1)，(n

有时也可直接求

(a n 1 a n 2)

a n 1 )

a n

。

L @2 印)

f (n)求a n ,用累乘法:a n

a n a n 1

a n 1

a n 2

L ~2 a 1 (n a 1

2

2

⑹已知递推关系求 a n ,用构造法（构造等差、等比数列） n 2 时，-a 1

2

特别地，（1）形如a n ka n 1 b 、务 ka . 1 b n （ k, b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公 得: 2 a 2

2

1

y n a

n

n 1 a n 1

2

2n 1 5

比为k 的等比数列后，再求a .；形如a . ka n 1 k n 的递推数列都可以除以 k n

得到一个等差数列后，再求 a .。

?- a n

（2） 形如a n 加的递推数列都可以用倒数法求通项。 ka n 1 b

k （3） 形如a n 1 a n 的递推数列都可以用对数法求通项。 （7） （理科）数学归纳法。 a （8） 当遇到a n 1 a n 1 d 或 4 q 时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式

a n 1

?- an

［练习］

数列 14 2n

(n (n 1) 2)

a n 满足S n S n

5 a n

3

a 1 4, 求

a n

（注意到a n S n 1

S n 代入得: 数列求和的常用方法： （1） 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。 （2）

分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。 （3） 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序 又 S 1 4，「 S n 是等比数列,

S n 1

S n

S n

4n 相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n 和公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减 法（这也是等比数列前 n 和公式的推导方法）? n 2时，a n

4、叠乘法

S n S n 1

?4n1

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求 和.常用裂项形式有： 例如：数列 a n 中，a 1

3,

① 1 1 1 ；②1

n(n 1) n n 1 n(n k)

1

1 1 1 1 1 ③ k 2

1 ( )，

2 k 1 k 1 k 1(1 k 'n 1

k 1 代）；

a n a n

(k 1)k

1 1 1

~2

k (k 1)k k 1

解: a

a 1

a 3 a 2

a n

a n 1

a n J a 1 n

④

— n(n 1)(n 2) 1) 1 (n 1)(n 2) n (n 1)!

丄 1 n! (n

1)!

又 a 1 3, ?- a

n

5、等差型递推公式

由

a n a n 1

f

（n ），

a 1 a o

， 求a n ，用迭加法

、解题方法: 求数列通项公式的常用方法:

1、公式法 n 2 时，a 2 a 3 a 1

a 2

f(2) f(3)

两边相加，得:

f(n)

2、由S n 求a n a n a 1

f

(2) f

(3)

f(n)

(n 1 时，a 1 S 1? n 2时，a n S n S n 1) 3、求差（商）法 女口： a n 满足—a 1 -2 a 2 2 2

a n 2n n 2n 5

1 解：n 1 时，一 a 1

2 1 5,二 a 1

14

二 a

n a

0 f

(2) f

(3)……f(n

)

［练习］

数列 a n , a 1 1, a n 3n 1 a n 1 n 2，求 a n

1

(a n J 3n 1 )

6

、等比型递推公式 a n ca n 1 d c 、d 为常数，c 0, c 1, d 2 .数列求和问题的方法 (1 )、应用公式法

等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前

n 项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。

可转化为等比数列，设 a n x c a n 1 x 1+2+3+ ............................

+ □=

+1)

2

a n ca n 1 1 + 3 + 5+……+ (2n-1)=n

令(c 1)x d ,「. x d a n

c 7是首项为a 1

d , c 为公比的等比数列

c 1 d

d

n 1

…a n

a 1

c

c 1

c 1

d

n 1

d

…a n a 1

c

c ；1

c 1

[练习]

数列a n 满足 a 1 9, 3a n 1

a n 4,求a n

n 1

4

(a n 8

1)

3

7、倒数法

例如：a 1 1, a n

2a n

1

，求a n

a n 2

由已知得：

1

a n 2 1 1 a .

n 1

2a n

2 a n

1 1

1

a n 1 a n

2

【例 8】 求数列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),…前 n 项的和。

一 1

解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前 n 项中，共有1+2+…+n= n(n 1)个奇数,

2

1 2

???最后一个奇数为： 1+[ n(n+1)-1] x 2=n 2+ n-1

2

因此所求数列的前 n 项的和为

S n =-n ta + lj 4 ------------------- -----------

寺(n + 1) ?

(2 )、分解转化法

对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。

【例 9】求和 S=1 ? (n 2-1 ) + 2 ? ( n 2-2 2) +3 ? (n 2-32) + …+n

( n 2-n 2) 解 S=n 2 (1+2+3+…+n ) - ( 13 +23+ 33+…+n 3)

(3)、倒序相加法

为等差数列, 适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。

a n 1

2

n

例 10、求和：S. 3C n 6C n L 3nC n 例 10、解 S n 0?C° 3C n 6C ； L 3nC ：

又纭= 十3 Cn-0 十…十

OU ：

相加，且运用= 可得

2S^ = 〔C ： + C±

+ ???+C ：) =3n ? 211

n-1 S n =3n ? 2 (4 )、错位相减法

如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的

，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公

比，然后错位相减求和.

例11、求数列1, 3x, 5x2,…,(2n-1)x n-1前n项的和.

2 n 1

解设S=1+3+5x+…+(2n-1)x -. ①

解依题意二设F三以三叫+盒门*

⑵ x=0 时，S n=1 .

⑶当X M 0且X M 1时，在式①两边同乘以x得xS n=x+3x2+5x3+…+(2n-1)x n,②

①-②，得(1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+…+2x n-1-(2n-1)x n.

由公式=-—[1 + — ------------------- - (2n -1)0 ]

1 -x 1 - x

1 + ^ - (2n + 1)^+ (2a - 1)^1

1 _ 11'1 1 ]

n(n + k) k ii n.+ k

11■1 1 1

n(n + l)(n +2) 2n n 1 n + 2

⑸裂项法：

把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。

常见裂项方法：

此函数以n为自变量的二次函数。T a1>0 S i=S k (I M k),「. d v 0故此二次函数的图像开口向下[4 k.

??? f (I) =f (k) ,L. - ■■- - ■_

ia

I + V

?:当1+k为偶数时,n =—时瓦最大。

当为奇数时，"尖艺时耳最大。

2.方程思想

【例14】设等比数列｛a n｝前n项和为S,若S3+S6=2S9,求数列的公比q。

分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。

解???依题意可知q M 1。

???如果q=1，贝U S3=3a1, S e=6a1, S9=9a1。由此应推出a1=0与等比数列不符。

?/ q M 1

也 1 (1 - q) 0

i-q

3 6 3

整理得q (2q -q -1 ) =0 ■/ q M

例12、求和

例孑

1 1 1

1?5 3?7 5?9

求和一^―十一

!? 5 ”

1

(2n 1)(2n 3)

十------------------------

(2n~l)(2n f此题还可以作如下思考：

3 3 3 3 6

S6=S3+q S a= (1+q ) S?。S9=S+q S6=S (1+q +q ),

???由0+5=25可得2+q3=2 (1+q3+q6),

2q6+q3=0

■「[ + 一一—"I

4L 3 2n + 1 2n + 3J n(4n +

5)

=3(2a+l)(2n-H 3)

注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。

在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。

二、常用数学思想方法

1.函数思想

运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。

【例13】等差数列｛a n｝的首项a1>0，前n项的和为S,若S=S (I M k)问n为何值时S最大?

3.换元思想

【例15】已知a, b, c是不为1的正数，x, y, z € R+,且

.112

有『=b7=(/和—+ —c

x z y

求证：a, b, c顺次成等比数列。

证明依题意令a =b=C=k

? x=1og a k, y=log b k, z=log c k

Iga

Igk

HPlga + l^c 二21

gb

??? b2=ac ??? a, b, c成等比数列(a, b, c均不为0)

数学5 (必修)第二章：数列一、选择题

1

1 ?数列a n的通项公式a n----------------------- ，则该数列的前( )项之和等于9。J n 寸n 1

A. 98 B ? 99 C. 96 D ? 97

2 ?在等差数列a n中，若S41, S84，则a17a18a19a20的值为( )

A. 9 B . 12 C. 16 D . 17 3?在等比数列a n中，若a2 6，且a5 2a4 a s 12 0 ,则a n为( )

A. 6 B ? 6( 1)n 2C ? 6 2n 2D ? 6 或6 ( 1)n 2或6 2n 2

二、填空题

1 ?已知数列a n中，a1 1, a n 1 a n a n 1a n,则数列通项a n _____________ 。

2. 已知数列的S n______________________________ n2 n 1，则a8 a9 a10 a11 a12= 。

3. 三个不同的实数a,b, c成等差数列，且a,c,b成等比数列，则a:b:c ____________

三、解答题

1 ?已知数列a n的前n项和S n 3 2n，求a n

2.数列lg1000, lg(1000 cos600), lg(1000 cos2 60°),...lg(1000 cos n160°),…的前多少项和为最大?

3.已知数列｛a n｝的前n项和为S n，满足S n=2a n-2n(n € N )

(1)求数列｛a n｝的通项公式a n;

(2)若数列｛b n｝满足b n=log 2(a n+2),T n为数列｛｝的前n项和，求证T n >-; a n 2 2