数列常见题型总结经典(超级经典)

高中数学《数列》常见、常考题型总结
题型一 数列通项公式的求法
1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨
⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T
1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，求该数列的通项公式。

2、若数列}{n a 的前n 项和32
3-=
n n a S ，求该数列的通项公式。

3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式。

2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）
（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.
（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.
例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3
,1111≥+==--n a a a n n n ,证明2
13-=n n a
1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.
2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2()
1(11≥-+
=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.
3.形如
)(1n f a a n
n =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.
例1、在数列}{n a 中111,1-+=
=n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。

1、在数列}{n a 中1111,1-+-=
=n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。

2、求数列)2(1232,11
1≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。

4.形如s
ra pa a n n n +=
--11型（取倒数法） 例1. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a
练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,1
31+=+n n n a a a ,求通项公式n a .
2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .
5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）
（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;
（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设)(1A a c A a n n +=++,利用待定系数法求出A
例1．已知数列}{n a 中，,2121,211+=
=+n n a a a 求通项n a .
练习：1、若数列}{n a 中，21=a ,121-=+n n a a ,求通项公式n a 。

3、若数列}{n a 中，11=a ,13
21+=
+n n a a ,求通项公式n a 。

6.形如)(1n f pa a n n +=+型（构造新的等比数列）
(1)若b kn n f +=)(一次函数(k,b 是常数，且0≠k )，则后面待定系数法也用一次函数。

例题. 在数列{}n a 中，2
31=a ，3621-+=-n a a n n ,求通项n a .
练习：1、已知数列{}n a 中，31=a ，2431-+=+n a a n n ，求通项公式n a
(2)若n
q n f =)((其中q 是常数，且n ≠0,1)
①若p=1时，即：n n n q a a +=+1，累加即可
②若1≠p 时，即：n n n q a p a +⋅=+1，后面的待定系数法也用指数形式。

两边同除以1+n q
. 即： q q a q p q a n n n n 111
+⋅=++, 令n n n q a b =
,则可化为q b q p b n n 11+⋅=+.然后转化为类型5来解，
例1. 在数列{}n a 中，521-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a
1、已知数列{}n a 中，211=
a ，n n n a a )2
1(21+=-，求通项公式n a 。

2、已知数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 2331⋅+=+，求通项公式n a 。

题型二 根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；
2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，
327++=n n T S n n ，则=55b a .
3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
==5
935,95S S a a 则（ ）
5、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。

6、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 .
7、在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ）
8、在等比数列中，已知910(0)a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a += .
题型三：证明数列是等差或等比数列
A)证明数列等差
例1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=
21.求证：{n S 1}是等差数列；
B ）证明数列等比
例1、已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式；
题型四：求数列的前n 项和
基本方法：A ）公式法，
B ）分组求和法
1、求数列n
{223}n +-的前n 项和n S .
C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++11
1； 例1、求和：S =1+
n ++++++++++ 32113211211
例2、求和：
n
n +++++++++11341231121 .
D ）倒序相加法， 例、设22
1)(x
x x f +=，求：).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++
E ）错位相减法，
1、若数列{}n a 的通项n n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .
3. 21123(0)n n S x x nx x -=++++≠ （将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑）。