高中数学复习系列---数列常见题型总结

数列
题型一：求值类的计算题(多关于等差等比数列) Ａ)根据基本量求解（方程的思想）
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ;
２、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列,求数列{}n a 前20项的和20S . 3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和．
4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列，首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数. B ）根据数列的性质求解
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ,则=11S ;
2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ,则=5
5b a
. 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若
==5
935,95S S
a a 则( ） 4、等差数列{}n a ，{}n
b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若
231n n S n
T n =+,则n n
a b ＝( ) ５、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S . 6、在正项等比数列{}n a 中,153537225a a a a a a ++=,则35a a +=____＿__。

７、已知数列{}n a 是等差数列,若 471017a a a ++=,45612131477a a a a a a +++
+++=且
13k a =,则k =＿＿_＿＿____。

８、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和,54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . 9、在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ,则20191817a a a a +++的值为( ) １0、在等比数列中，已知910(0)a a a a +=≠，1920a a b +=,则99100a a += . 11、已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ,则=75a ． 1２．在等差数列中,若 84816
1
,.3S S S S =求= . 题型二:求数列通项公式： Ａ) 给出前几项，求通项公式
1,0,1,0,……
,,21,15,10,6,3,1
3,-3３,３33,-3333,3333３……
B)给出前n 项和求通项公式
1、⑴n n S n 322
+=； ⑵13+=n n S .
2、设数列{}n a 满足2
*12333()3
n n
a a a a n N +++=
∈n-1
…+3,求数列{}n a 的通项公式 C)给出递推公式求通项公式
a 、⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法或迭代法;
已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ,求数列{}n a 的通项公式; b 、已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+,可利用迭乘法.
已知数列{}n a 满足:111
(2),21
n n a n n a a n --=≥=+，求求数列{}n a 的通项公式; c 、构造新数列
１°递推关系形如“q pa a n n +=+1”，利用待定系数法求解
已知数列{}n a 中,32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. ２°形如“，两边同除1
n p
+或待定系数法求解
n n n a a a 32,111+==+,求数列{}n a 的通项公式.
3°递推已知数列{}n a 中，关系形如“n n n a q a p a ⋅+⋅=++12”，利用待定系数法求解 已知数列{}n a 中,n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求数列{}n a 的通项公式.
4°形如"11n n n n a pa qa a ---=≠（p,q 0),两边同除以1n n a a -
1、已知数列{}n a 中，1122n n n n a a a a ---=≥=1（n 2),a ，求数列{}n a 的通项公式.
２、数列{}n a 中,)(42,211++∈+==N n a a a a n
n
n ,求数列{}n a 的通项公式.
d 、给出关于n S 和m a 的关系
1,已知数列{}n a ，)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ，设n
n n S b 3-=，求数列{}n b 的通项公式.
2、已知数列{}n a ,11=a ，)2(212
≥⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=n S a S n n n . ⑴求{}n a 的通项; ⑵设1
2+=n S b n
n ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 题型三:证明数列是等差或等比数列 A ）证明数列等差
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,)(+∈=
N n n
S b n
n ．求证:数列{}n b 是等差数列. 2、已知数列{a ｎ｝的前n 项和为S n ,且满足a ｎ+2S n ·S n -1=0（n ≥２),ａ1=21
.求证：{n
S 1}是等差数列；
Ｂ)证明数列等比
1、设{a n }是等差数列,b ｎ＝n
a ⎪⎭
⎫
⎝⎛21，求证：数列｛ｂn ｝是等比数列;
2、设n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知()21n
n n ba b S -=-
⑴证明:当2b =时,{}
12n n a n --⋅是等比数列;⑵求{}n a 的通项公式
3、已知数列{}n a 中，*
12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
⑴证明:数列{}1n n a a +-是等比数列；⑵求数列{}n a 的通项公式; ⑶若数列{}n b 满足12111
*44
...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列.
题型四：求数列的前ｎ项和 基本方法： A)公式法, B ）拆解求和法.
求数列n
{223}n +-的前n 项和n S . 求数列 ，，，，，)21(81341221
1n
n +
的前n 项和n S . 求和：2×５+３×6＋４×７+…＋n(n ＋３） Ｃ)裂项相消法,数列的常见拆项有：
1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++11
1
；
求和：S =1+
n
+++++
+++++ 3211
3211211 求和：
n
n +++++++++11341231121 . D)倒序相加法,
设2
2
1)(x
x x f +=,求: (１）
)
4()3()2()()()(21
3141f f f f f f +++++
⑵).2010()2009()2()()()()(21
312009120101f f f f f f f ++++++++
Ｅ）错位相减法,
若数列{}n a 的通项n
n n a 3)12(⋅-=,求此数列的前n 项和n S ．
F ）对于数列等差和等比混合数列分组求和
已知数列{ａｎ}的前n 项和S n =12ｎ-n ２
,求数列{|a ｎ|}的前n 项和T n . 题型五：数列单调性最值问题
1、数列{}n a 中,492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .
2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,.16,2541==a a 当n 为何值时,n S 取得最大值;
３、数列{}n a 中，12832
+-=n n a n ,求n a 取最小值时n 的值.
4、数列{}n a 中，22+-=n n a n ，求数列{}n a 的最大项和最小项．
５、设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+,*
n ∈N ．
（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列通项公式；（Ⅱ)若1n n a a +≥,*
n ∈N ，求a 的取值范围．
６、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n . ⑴求数列{}n a 的通项公式;
⑵数列{}n a 中是否存在正整数k ,使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立?若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由.。