(经典)讲义：等比数列及其前n项和

（经典）讲义：等比数列及其前n 项和1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1. 3．等比中项若G 2＝a ·b (ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m ，(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 仍是等比数列． (4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q .【注意】6.利用错位相减法推导等比数列的前n 项和：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，同乘q 得：qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n ，两式相减得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 11－q n1－q(q ≠1)．7.1由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 7.2在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误． 8.等比数列的判断方法有： (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n 〃a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c 〃q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．一、知识梳理1.等比数列前n 项和公式(1)111(1)(1)11(1)n n n a a qa q q S q qna q ⎧--=≠⎪=--⎨⎪=⎩ 探索导引: 求和631242S =++++说明：对于等比数列的前n 项和公式:从方程观点看:由等比数列的前n 项和公式及通项公式可知,若已知1,,,,n n a q n a S 中的三个即可建立方程组求其余两个,即“知三求二”.在运用等比数列的前n 项和公式时，一定要注意讨论公比q 是否为1. 2. 与前n 项和有关的等比数列的性质(1)若等比数列{}n a 中,公比为1q ≠-,依次k 项和232,,,kkkkkS S S S S --成公比为k q 的等比数列.(2)若等比数列{}n a 的公比为q ,且项数为2()n n N *∈,则S q S =偶奇.探索导引: 等比数列{}n a 中，已知，2420,60S S ==，求6S ，并考虑等式226442()()S S S S S -=-是否成立？说明：利用性质(1)可以快速的求出某些和.但在运用此性质时,要注意是232,,,k k k k k S S S S S --成等比数列,而不是23,,,m m m S S S 成等比数列.二、方法（一）等差数列前n 项和公式的应用理解例题1:在等比数列中， （1）已知13,2,a q ==求66,a S ；（2）已知1112.7,,,390n a q a =-=-=求n ；（3）已知141,64,a a =-=求q 和4S ；（4）已知3339,22a S ==求1,a q ；分析:在等比数列中有五个重要量1,,,,,n n a a q n S 只要已知任意三个，就可以求出其他两个.其中1a 和q 两个最重要的量,通常要先求出1a 和q . 解:(1)55613296a a q ==⋅=.6616(1)3(12)189112a q S q --===--.(2)11n n a a q -=，1112.7()6903n n -∴=-⨯-⇒=(3) 341a a q =，364q ∴=-，4q ∴=-144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===--- (4) 231231329(1)2a a q S a q q ⎧==⎪⎪⎨⎪=++=⎪⎩（1）（2）（2）÷（1）得2213q q q ++= 22101q q q ∴--=⇒=或12q =-当1q =时，132a =，当12q =-时，16a =知识体验:已知等比数列的五个量1,,,,n n a a q n S 中的任意三个求其他两个时,要用等比数列的通项公式以其及前n 项和公式.（二）与等差数列前n 项和有关的性质的应用理解例题2:等比数列{}n a 中12m S =,236,m S =求3m S .分析: 在有关等比数列的问题中, 均可化成有关1a 、q 的关系列方程求解.本题中注意下标的关系,可考虑用等差数列前n 项和的有关性质来简化运算.解法一: 由12m S =，236,m S =可知1q ≠（若1,q =22m m S S =） 1212(1)121(1)36,1m m mm a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪∴⎨-⎪==⎪-⎩解得13m q +=， 12,121m aq q∴==--313(1)841m m a q S q-∴==- 解法二: 232,,m m m m m S S S S S --成等比数列 2322()()m m m m m S S S S S ∴-=- 2336241248m S -=÷=知识体验: 在学习了等比数列前n 项和的有关性质后，我们用其来求解有关等差数列的前n 项和问题.方法提炼:求解该类问题一般有两种方法: ①可化成有关1a 、q 的关系列方程组求解. ②可利用等比数列中连续等段和成等比的性质即性质(1)求解.384m S ∴=三、 例题（一） 题型分类全析1．等比数列前n 项和公式的基本运算例1：在等比数列的{}n a 中:31648,216,40,n a a a a S -=-==求公比q ,1a及n .思路直现:由已知两个条件，可建立关于1,a q 的方程组，分别解出1,a q 的值，代入n S 即可求出n .解:由已知可得2311132641(1)8,1,3,(1)216,a a a q a q a a a q q ⎧-=-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=-=⎪⎩⎩ 1(1)13404113n nn a q S n q --∴===⇒=-- 总结：在求数列的基本量问题时,把条件转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.例2 已知数列{}n a 是等比数列,其前n 项和n S ,若3692S S S +=,求该数列的公比q .思路直现:由已知两个条件，可建立关于1,a q 的方程组，分别解出1,a q 的值，代入n S 即可求出n . 解: 若1q =,则1n S na =,36111369S S a a a ∴+=+=,91218S a =,此时3692S S S +≠1q ∴≠369369111(1)(1)(1)222(1)111a q a q a q q q q q q q---∴+=⋅⇒--=---- ∴96320q q q --=, 即63210q q --=, 即33(1)(21)0q q -+=故3312102q q q +=⇒=-⇒=.笔记：在使用等比数列的前n 项和公式时,一定要注意公式的条件.若题目中不明确,应对q 进行讨论.本题有关等比数列前n 项和的基本运算的考查. 转化为关于1,a q 的方程组求解.本题考查了等比数列前n 项和公式的运用和分类讨论的思想. 因不知q 的值,故对q 进行讨论.2．利用等差数列的性质求和例3：等比数列{}n a 中，267,91S S ==，求4S ?思路直现:注意到,下标的关系,可考虑利用等比数列的性质解决. 解: {}n a 是等比数列， 24264,,S S S S S --成等比 226442()()S S S S S ∴-=-2447(91)(7)S S ∴-=-，故24475880S S --=故428S =或421S =-注意到2212344121221212()10a a a a S a a q a a q S a a a a ++++++===+>++， 42,S S ∴同号,428S ∴=笔记：遇到类似下标成倍数关系的前n 项和问题,一般可考虑用等比数列中依次k 项和232,,,k k k k k S S S S S --成等比数列来解决,可简化计算量.在已知本题考查了等比数列连续等段和成等比的性质. 利用等比数列分段和成等比. 考虑是否两解都满足条件. 建议：已知3,n n S S 求2n S 时，尽量列方程求解，若用3,n n S S ,利用这一性质求2n S 时,要考虑是否会出现增根的问题.例4 已知一个项数为偶数,首项为1的等比数列,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比及项数.思路: 本题涉及到项数为偶数的等比数列,且奇数项和与偶数项和都已知,由此利用等比数列的性质即可求出公比,进而求其通项. 解：该数列是一项数为偶数的等比数列170285S q S ∴===偶奇，又85170255n S S S =+=+=奇偶1(1)1(12)21255112n n n n a q S q -⋅-===-=--故8n =阅题笔记：利用等比数列奇、偶项数和的性质简单明了，运算量较低.性质应考虑是否会出现增根.本题考查了等比数列的性质.注意SqS =偶奇这个性质是在项数为偶数这一前提下成立的. 建议：巧用特例，熟记等差等比数列奇偶项的一些性质. 3．某些特殊数列的求和例5: (1)已知数列{}n a 的通项公式2n n a n =+，求该数列的前n 项和n S ； (2)已知数列{}n a 的通项公式23n n n a =+，求该数列的前n 项和n S . 解:(1)123n n S a a a a =++++23(21)(22)(23)(2)n n =++++++++23(2222)(123)n n =++++++++2(12)(1)122n n n-+=+- 1(1)222n n n++=-+(2) 123n n S a a a a =++++2233(23)(23)(23)(23)n n =++++++++2323(2222)(3333)n n =+++++++++2(12)3(13)1213n n --=+-- 1322(31)2n n +=-+-=1137222n n +++-笔记:分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项是可写成几个等比数列或等差数列的和的形式.例6：已知数列{}n a 的通项公式2n n a n =⋅，求该数列的前n 项和n S ； 思路:写出数列的前n 项和注意其与等比数列形式类似，考虑用推导等比数列求和的方法来求其前n 项和.解：23222322n n S n =+⋅+⋅++⋅2312222(1)22n n n S n n +=+⋅++-⋅+⋅23122222n n n S n +-=++++-⋅1232(2222)n n n S n +=⋅-++++考查数列的分组求和问题.等差等比数列各自分组求和.不同公比的等比数列按公比各自分组求和 建议：熟记几种常见的数列求和类型及其对应方法.考查数列的错位相减法求和的问题。