电磁感应 电磁场

2d d 2 d dx µ 0 Id 3d dx = −∫ ∫2 d d 2π d + x x 2d µ 0 Id 4d = − ln ln 2π 3d d µ 0 dI 2 = ln 2π 3
3d
2d
µ0 d dI 2 dΦ ε =− =− ln dt 2π dt 3
× × ×
P εi
导线0P上电动势的方向由 指向 ，如图示。 导线 上电动势的方向由0指向 P，如图示。 上电动势的方向由 对于任意形状的导线在非均匀磁场中运动所产 生的动生电动势，则由式(13 (13- 来进行计算 来进行计算。 生的动生电动势，则由式(13-4)来进行计算。
× × ×
× ×
v O
12.2.1 动生电动势
图示导线OP在均匀磁场中运动 在均匀磁场中运动 图示导线 导线内每个自由电子均受洛仑兹力作用 r
× × × × ×
B
× ×
P
× ++ ×
×
× × ×
× × × × ×
Fe F
× × ×
P
εi
r Fm = (− e )v × B
× ×
v
洛仑兹力是非静电力，它驱使电子由 向 移动， 洛仑兹力是非静电力，它驱使电子由P向O移动，致 O × × 端积累了负电， 端则积累了正电， 使O端积累了负电，P端则积累了正电，从而在导线内 建立起电场。当作用在电子上的静电力F 建立起电场。当作用在电子上的静电力Fe与洛仑兹力 相平衡 相平衡(Fe+Fm=0)时，O、P r r 时 、 Fm两端有稳定的电势差 r r r 由电动势定义可得导 ε i = op Ek ⋅ dl r F 令 E = m =v×B 线0P的动生电动势为 的动生电动势为 r r r k
12.1.3.1 考虑楞次定律的法拉第定律表达 式 感应电动势的大小由法拉第定律表示，感应电动势的方向则 感应电动势的大小由法拉第定律表示， 由楞次定律确定。 由楞次定律确定。 闭合回路的正方向
为使两个定律统一表述为一个数学式子必须把磁 通和感应电动势看作代数量， 通和感应电动势看作代数量，并对它们的正负赋予确 切的含义。 切的含义。代数量的正负赋予意义就是事先约定正方 约定感应电动势ε与磁通Φ 向。当约定感应电动势ε与磁通Φ的正方向互 成右手螺旋关系时，考虑楞次定律的法拉第定
第十二章 电磁感应
电磁场
的发现是电磁学发展史上一个重要成就， 电磁感应现象的发现是电磁学发展史上一个重要成就，它进 一步揭示了自然界电现象和磁现象之间的联系。 一步揭示了自然界电现象和磁现象之间的联系。电磁感应现象的发 现促进了电磁理论的发展， 现促进了电磁理论的发展，为麦克斯韦电磁场理论的建立奠定了坚 实的基础。 实的基础。 电磁感应的发现标志着新的技术革命和工业革命即将到来， 电磁感应的发现标志着新的技术革命和工业革命即将到来， 使现代电力工业、电工和电子技术得以建立和发展。 使现代电力工业、电工和电子技术得以建立和发展。 本章主要内容： 本章主要内容： 1 电磁感应定律 2 动生电动势和感生电动势 3 自感和互感 涡电流 4 磁场的能量 磁场的能量密度 5 位移电流 电磁场基本方程的积分形式
上式叫做法拉第电磁感应定律 法拉第电磁感应定律
如果闭合回路的电阻为 R ， 则回路中的感应电流为
1 dΦ I= = R R dt
εi
(12 − 2a )
§12.1.3 楞次定律
关于感应电动势的方向问题，俄国物理学家楞次 关于感应电动势的方向问题，俄国物理学家楞次(Lenz)在法 在法 拉第的资料的基础上通过实验总结出： 拉第的资料的基础上通过实验总结出 感应电流的磁通总是力 图阻碍引起感应电流的磁通变化。(第一种表述) 实验发现： 实验发现：
§12-1 电磁感应定律 121831年8月29日法拉第首次发现，处在随时间而变化的电流附近的闭合回路中有 年 月 日法拉第首次发现 日法拉第首次发现， 感应电流。随后，他又做了一系列实验，用不同的方式证实电磁感应现象的存在及其规 感应电流。随后，他又做了一系列实验， 下面择取几个表明电磁感应现象的实验，并说明产生这一现象的条件。 律。下面择取几个表明电磁感应现象的实验，并说明产生这一现象的条件。 A + – K 电键K闭合和断开的瞬间线圈A 中电流计指针发生偏转。但两种情 况下指针偏转方向相反。 B Φ A G G 磁铁与线圈有相对运动时， 电流计指针发生偏转 Φ N S
F× × m O –– × × ×
∫
−e
= ∫ v × B ⋅ dl
op
(
)
(13 − 4)
特殊地，若导线O 与速度 三者相互垂直， × 特殊地，若导线OP与速度 v、磁场 B 三者相互垂直，则 B × i op
ε = ∫ vBdl = vBl
× ×
P
× ++ ×
×
× × ×
×
× × × × ×
Fe F
感应电动势的方向为逆时针。 感应电动势的方向为逆时针。
§12–2 动生电动势 12–
上两节指出，不论什么原因，只要使穿过回路的磁通量发生变化， 上两节指出，不论什么原因，只要使穿过回路的磁通量发生变化，回路中就会有感 r r 应电动势。 应电动势。由于 Φ = B ⋅ dS
∫
s
穿过回路面积S 磁感强度、回路面积的大小及 穿过回路面积S的磁通量是由磁感强度、回路面积的大小及面积在磁场中的取向等 三个因素决定的。只要三个因素中任一因素发生变化，都可使Ф变作， 三个因素决定的。只要三个因素中任一因素发生变化，都可使Ф变作，从而引起感应电 动势。 动势。 由于磁感强度变化而引起的感应电动势┄ 由于磁感强度变化而引起的感应电动势┄感生电动势 感应电动势可分 由于回面积或面积取向变化而引起的感应电动势┄
首先计算通过正方形的磁通量 µ0 I µ0 I B1 = 向里， 向里，B2 = 向外， 2π d + x 2π x 向外， 确定回路(曲面 的正方向 确定回路 曲面)的正方向 顺时针旋转 曲面 的正方向:
① I I
② x dx d d d d
Φ = Φ1 − Φ 2 = ∫ B1ddx − ∫ B2 ddx
v B 2l 2 ln = − t v0 mR
M
X
x x x+dx
0
由题意知，t= 时 均为常量， 由题意知，t=0时，v=v0；且B、l、m、R均为常量，故由上式积分可得
v = vo e ( 所以，棒在时刻t 所以，棒在时刻t的速率为
1 Bωldl = BωL2 2
×
P L dθ
Ldθ Ld P/
ε Op =
dt
=
2
BL
= ωBL2 O dt 2
例2 (P354) t=0时，v=v0 ,求棒的速 时 求棒的速 率随时间变化的函数关系。 率随时间变化的函数关系。 时刻棒的速度为v 解 设t时刻棒的速度为v，此时刻棒中的动生电 其方向由捧M指向N 动势为 ε i = Blv ，其方向由捧M指向N端，所以导 同时， 线框中的电流为 I = ε i R = Blv / R ，同时，由 安培定律可得作用在棒上的安培力F的值为 安培定律可得作用在棒上的安培力F
×
r r dε i = v × B ⋅ dl = vBdl = ωlBdl
L L
(
)
L dl × × l
× × ×
于是，铜棒两端的动生电动势为 于是，
0
× ×
ε i = ∫ dε i = ∫ vBdl = ∫
l o
0
动生电动势的方向由0指向 ， 端带负电 端带负电， 端带正电 端带正电。 动生电动势的方向由 指向P，0端带负电，P端带正电。 指向 也可用法拉第定律解： 时间内转了dθ角 也可用法拉第定律解：设OP在dt时间内转了 角，则 在 时间内转了 它扫过的面积为L 图示)， 它扫过的面积为 2dθ/2(图示 ，此面积达磁通为 图示 dΦ 1 2 dθ 1 dΦ=BL2dθ/2，由法拉第定律得 /2， Φ
律 回路中出现电流，表明回路中有电动势存在。上述回路中由 回路中出现电流，表明回路中有电动势存在。上述回路中由
于磁通量的变化而引起的电动势，叫做感应电动势。 于磁通量的变化而引起的电动势，叫做感应电动势。 感应电动势 当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生变化时， 实验表明：当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生变化时，不 论这种变化是什么原因引起的，回路中都会建立起感应电动势， 论这种变化是什么原因引起的，回路中都会建立起感应电动势， 且此感应电动势的大小与穿过这个闭合回路的磁通量对时间变化 且此感应电动势的大小与穿过这个闭合回路的磁通量对时间变化 率成正比。即 K为比例系 dΦ dΦ 数，在国际单 εi = k εi = (12 − 1) dt dt 位制中，k=１ 位制中，k=１
B ên I εi
回路绕行方向 回路绕行方向
B/
N 外力克服 斥力作功
ên B B
/
I εi
N 外力克服 吸力作功
Φ > 0, d Φ > 0
Φ > 0, d Φ < 0
感应电流激发的磁这与引起感应电流 感应电流激发的磁这与引起感应电流 的磁通方向相同， 的磁通方向相同，它阻碍引起感应电 的磁通减小。 的磁通减小。
12.1.1 电磁感应现象
当穿过一个闭合导体回路所围面积的磁通量发生变化时， 当穿过一个闭合导体回路所围面积的磁通量发生变化时，不管 这种变化是由于什么原因所引起的， 这种变化是由于什么原因所引起的，回路中就有电流。这种现象叫做 电磁感应现象。回路中所出现的电流叫做感应电流。
12.1.2 法拉第电磁感应定
当导体在磁场中运动时， 当导体在磁场中运动时，导体由于感应电流而受 到的安培力必然阻碍此导体的运动。(第二种表述) ) 到的安培力必然阻碍此导体的运动。(