人教版九年级数学上册5·3全练《24.2.1_点和圆的位置关系》衔接中考
九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系检测(含解
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24.2。
1 点和圆的位置关系测试时间：30分钟一、选择题1.(2018广东广州花都期末)☉O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA=4 cm,则点A与圆O的位置关系为( )A。
点A在圆上B。
点A在圆内 C.点A在圆外D。
无法确定2。
(2018北京门头沟期末）已知△ABC中，AC=3，CB=4,以点C为圆心，r为半径作圆,如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是( ) A。
r〉3 B。
r≥4 C.3<r≤4D。
3≤r≤43.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则等腰直角三角形的直角边长为( )A。
2B。
2—2 C。
2— D.-1二、填空题4。
（2017上海普陀一模）已知点P在半径为5的☉O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是.5.（2018江苏徐州睢宁月考）正方形ABCD的边长为2 cm，以A为圆心,2 cm 为半径作☉A,则点B在☉A;点C在☉A;点D在☉A。
6。
我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距。
如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°,点D在边BC的延长线上,BC=DC=3，∴BD=6，如果BC=DC=3,那么△ABC和△ACD的外心距是.三、解答题7.如图,☉O是△ABC的外接圆，AC是直径,过O作OD∥BC交AB于点D。
九年级数学上册 (24.2.1 点和圆的位置关系) 同步达标训练习题(含答案)
达标训练基础·巩固·达标1．若⊙A 的半径为5，点A 的坐标为（3，4），点P 的坐标为（5，8），则点P( ) A.在⊙A 内 B.在⊙A 上 C.在⊙A 外 D.提示：本题两种方法，既可以画图，也可以计算A P 的长.∵A P=()()204248352222＝＝+-+-＜5，所以点P 在圆内.答案：A2．圆心为O 的甲、乙两圆，半径分别为r 1和r 2，且r 1＜OA ＜r 2，那么点A( )A.甲圆内B.乙圆外C.甲圆外，乙圆内D.提示：点A 在两圆组成的圆环内.答案：C3．已知⊙O 的半径为3.6 cm ，线段OA =257 cm ，则点A 与⊙O 的位置关系是( )A.A 点在⊙OB.A 点在⊙OC.A 点在⊙OD.提示：用“点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系”来判定点与圆的位置关系.答案：C4．⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为（0，0），点P 的坐标为（4，2），则点P 与⊙O( )A.点P 在⊙OB.点P 在⊙OC.点P 在⊙OD.点P 在⊙O 上或⊙O提示：比较O P 与半径r 的关系.∵O P=５＝22422+，O P 2=20. ∵r 2=25，∴O P ＜r.∴点P 在⊙O 内.答案：A5．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =4 cm ，D 是AB 边的中点，以C 为圆心，4 cm 长为半径作圆，则A 、B 、C 、D 四点中在圆内的有( ) A.1 B.2 C.3 D.4提示：如右图，连接CD .∵D 为AB 的中点，∴CD =21AB .∵AB =24BC AC 22=+，∴CD =22＜4.∵AC =BC =4C 和点D 在以C 为圆心，4 cm的圆的内部.答案：B6．已知a 、b 、c 是△ABC 三边长，外接圆的圆心在△ABC ( )A.a =15，b =12，c =1 B.a =5，b =12，c =12C.a =5，b =12，c =13D.a =5，b =12，c =14 提示：只有直角三角形的外心在边上（斜边中点）.答案：C7．在R t △ABC 中，∠C =90°，AC =6 cm ，BC =8 cm ，则它的外心与顶点C ( ) A.5cm B.6 cmC.7 cmD.8 cm提示：AB =2286 =10，它的外心是斜边中点，外心与顶点C 的距离是斜边的中线长为21AB =5 cm. 答案：A8.点A 在以O 为圆心，3 cm 为半径的⊙O 内，则点A 到圆心O 的距离d 的范围是_________.提示：根据点和圆的位置关系判定.答案：0≤d ＜39．如图24-2-5，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =2 cm ，BC =4 cm ，CM 为中线，以C 为圆心，5 cm 为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有_________，在圆上的有________，在圆内的有__________.图24-2-5提示：AB =25 cm ，C M=5 cm.答案：点B 点M 点A 、C10.已知圆的半径等于5 cm ，根据下列点P 到圆心的距离：（1）4 cm ；（2）5 cm ；（3）6 cm ，判定点P 与圆的位置关系，并说明理由.提示：利用点与圆的位置关系，由点到圆心距离与半径的大小比较.解：（1）当d=4 cm 时，∵d ＜r ，∴点P 在圆内.（2）当d=5 cm 时，∵d=r ，∴点P 在圆上.（3）当d=6 cm 时，∵d ＞r ，∴点P 在圆外.综合·应用·创新11．（经典回放）阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖.图24-2-6①中的三角形被一个圆所覆盖，图24-2-6②中的四边形被两个圆所覆盖.图24-2-6（1）边长为1 cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________cm （2）边长为1 cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________cm ；（3）边长为2 cm ，1 cm 的矩形被两个半径都为r 的图所覆盖，r 的最小值是_________cm ，这两个圆的圆心距是____________cm .提示：图形被圆覆盖，圆一定大于图形的外接圆，它的最小半径就是外接圆半径.解：（1）正方形的外接圆半径，是对角线的一半，因此r 的最小值是22 cm.（2）等边三角形的外接圆半径是其高的23，故r 的最小值是33 cm. （3）r 的最小值是22 c m ，圆心距是1 cm.答案：（1）22 （2）33 （3）22 1 12.已知R t △ABC 的两直角边为a 和b ，且a 、b 是方程x 2-3x ＋1=0的两根，求R t △ABC积.提示：由a 、b 是直角三角形的两直角边，所以可求出斜边是22b a +，这样就得外接圆半径.根据直角三角形的外心是斜边中点，因此，其外接圆直径就是直角三角形的斜边.解：设Rt △ABC 的斜边为c ，∵a 、b 为方程x 2-3x ＋1=0∴a ＋b=3ab=1.由勾股定理，得c 2=a 2＋b 2=（a ＋b ）2-2ab=9-2=7.∴△ABC 的外接圆面积S=π·22⎪⎭⎫ ⎝⎛c =π∏=⨯∏=∏=47744422c c . 回顾·热身·展望13．（湖南常德模拟）有一个未知圆心的圆形工件（如图24-2-7）.现只允许用一块直角三角板（注：不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法.图24-2-7提示：因为三角板有一个角是直角，所以可利用直角画90°的圆周角，由此可得直径，再画一个90°的圆周角，也能得到一直径，两直径的交点为圆心.答案：画法：(1)用三角板的直角画圆周角∠BDC =90°，∠EF H=90(2)连接BC 、E H ，它们交于点O .BC 为直径，点O 为圆心.14.（经典回放）电脑CP U 芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄圆形片，叫“晶圆片” .现在为了生产某种CP U 芯片，需要长、宽都是1 cm 的正方形小硅片若干，如图24-2-8所示.如果晶圆片的直径为10.05 cm ，问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由.图24-2-8答案：可以切割出66个小正方形.方法一：（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05 m.题图中矩形ABCD .∵AB =1，BC =10，∴对角线AC 2=100＋1=101＜（10.05）2.（2）我们在矩形ABCD 的上方和下方可以分别放入9个小正方形.∵新加入的两排小正方形连同ABCD 的一部分可看成矩形EF GH矩形EF GH 的长为9，高为3，对角线E G 2=92＋32=81＋9＜（10.05）2，但是新加入的这两排小正方形不能每排10个，因为：102＋32=100＋9＞（10.05）2.（3）同理，∵82＋52=64＋25＜（10.05）2，92＋52=81＋25=106＞（10.05）2，∴可以在矩形EF GH 的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层.（4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排可以是7个，但不能是8个.∵72＋72=49＋49=98＜（10.05）2，82＋72=64＋49=113＞（10.05）2.（5）在第7层的基础上，上下再加一层，新矩形的高可以看成是9，这两层每排可以是4个，但不能是5个.∵42＋92=16＋81=97＜（10.05）2，52＋92=25＋81=106＞（10.05）2.现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5 cm ABCD置不能调整，故再也放不下一个小正方形了.所以10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4=66（个）.。
九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系拓展提高同步检测含解析新
24.2.1 点和圆的位置关系基础闯关全练拓展训练1.下列条件中,能确定圆的是( )A.以已知点O为圆心B.以1 cm长为半径C.经过已知点A,且半径为2 cmD.以点O为圆心,1 cm为半径2.(2016江苏邗江校级月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,则它的外心到顶点C 的距离为( )A.2.5 cmB.5 cmC. cmD.不能确定3.点O是△ABC的外心,若∠BOC=80°,则∠BAC的度数为( )A.40°B.100°C.40°或140°D.40°或100°能力提升全练拓展训练1.(2017河南安阳林州期末)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,以BC为斜边在矩形外部作Rt△BEC,F为CD的中点,则EF的最大值为( )A. B. C. D.2.(2017山东威海中考)如图,△ABC为等边三角形,AB=2.若P为△ABC内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小值为.三年模拟全练拓展训练1.(2017河北滦县一模,15,★★☆)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是矩形内部的一个动点,且AE⊥BE,则线段CE长的最小值为( )A. B.2-2 C.2-2 D.42.(2018江苏南京建邺期中,15,★★☆)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,点P 是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAC=∠PCB,则线段BP长的最小值是.五年中考全练拓展训练1.(2016黑龙江龙东中考,17,★★★)若点O是等腰△ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,则△ABC的面积为( )A.2+B.C.2+或2-D.4+2或2-2.如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是.核心素养全练拓展训练(2017江苏无锡江阴期中)如图,数轴上半径为1的☉O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动,同时,在原点右边7个单位处有一点P以每秒2个单位的速度向左运动,经过秒后,点P在☉O上.24.2.1 点和圆的位置关系基础闯关全练拓展训练1.答案 D ∵圆心、半径都确定,才可以确定圆,∴D选项正确,故选D.2.答案A在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,由勾股定理,得AB===5(cm),斜边的中线长=AB=2.5 cm.因而外心到直角顶点C的距离(即斜边的中线长)为2.5 cm.故选A.3.答案 C (1)当点O在三角形的内部时,∠BAC=∠BOC=40°;(2)当点O在三角形的外部时,∠BAC=180°-∠BOC=180°-40°=140°.能力提升全练拓展训练1.答案 C 由题意知∠BEC=90°,∴点E在以BC为直径的☉O上,连接FO并延长交☉O于点E',当E位于E'的位置时,EF最长,∵OC=BC=6,FC=CD=,∴OF===,则E'F=OE'+OF=6+=,故选C.2.答案解析∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠BAC=60°,AC=AB=2.∵∠PAB=∠ACP,∠PAC+∠PAB=60°,∴∠PAC+∠ACP=60°,∴∠APC=120°.当PB⊥AC时,PB长度最小,延长BP交AC于点D,如图所示.此时PA=PC,AD=CD=AC=1,∠PAC=∠ACP=30°,∠ABD=∠ABC=30°.由勾股定理得PD=,BD=.∴PB=BD-PD=-=.三年模拟全练拓展训练1.答案 B 如图,∵AE⊥BE,∴点E在以AB为直径的☉O上,连接CO交☉O于点E',∴当点E位于点E'的位置时,线段CE长取得最小值,∵AB=4,∴OA=OB=OE'=2,在Rt△OBC中,∵BC=6,OB=2,∴OC===2,则CE'=OC-OE'=2-2,即线段CE的最小值为2-2.故选B2.答案 2解析∵∠ACB=90°,∴∠ACP+∠PCB=90°.∵∠PAC=∠PCB,∴∠PAC+∠ACP=90°,∴∠APC=90°,∴点P在以AC为直径的☉O上.连接OB交☉O于点P',当点P位于点P'的位置时,线段PB长最小.在Rt△CBO中,∵∠OCB=90°,BC=4,OC=3,∴OB==5,∴BP'=OB-OP'=5-3=2. ∴线段BP长的最小值为2.五年中考全练拓展训练1.答案 C 如图所示,存在两种情况,当△ABC为△A1BC时,∵点O是等腰△A BC的外心,∴OB=OC,又∠BOC=60°,底边BC=2,∴△OBC为等边三角形,OB=OC=BC=2,连OA1交BC于D,则OA1⊥BC,∴CD=1,OD==,∴===2-.当△ABC为△A2BC时,同理可得===2+.由上可得,△ABC的面积为2-或2+,故选C.2.答案解析如图所示,作AB、AC的垂直平分线,交于点O,则点O为△ABC外接圆圆心,连接AO,AO 为外接圆半径.在Rt△AOD中,AO===,所以能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是.核心素养全练拓展训练答案2或解析设x秒后点P在☉O上,∵☉O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动,同时,在原点右边7个单位处有一点P以每秒2个单位的速度向左运动,∴当第一次点P在圆上时,有(2+1)x=7-1=6,解得x=2;当第二次点P在圆上时,有(2+1)x=7+1=8,解得x=.故填2或.。
人教版-数学-九年级上册-24.2.1点和圆的位置关系同步练习
24.2点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1点和圆的位置关系01基础题知识点1点与圆的位置关系1．若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A与⊙O的位置关系是(C) A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定2．(云南中考模拟)已知⊙O半径为6，点P在⊙O内，则OP长可能是(A) A．5 B．6 C．7 D．83．已知⊙O的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是OP＞6_cm．4．已知⊙O的半径为7 cm，点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系．(1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm.解：(1)在圆内；(2)在圆上；(3)在圆外．知识点2过不在同一直线上的三点作圆5．下列说法中，正确的是(D)A．经过三个点一定可以作一个圆B．经过四个点一定可以作一个圆C．经过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦D．三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等6．直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上．若直角三角形两直角边长为6和8，则该直角三角形外接圆的面积为25π．7．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用两次就可以找到圆形工件的圆心．知识点3反证法8．如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点只能有一条直线垂直于直线l.用反证法证明这个命题的步骤如下：①在△EFG中，∠1＋∠2＋∠3＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾；②假设过E点有两条直线EF、EG分别垂直于直线l于F、G两点；③则∠2＝90°，∠3＝90°；④故过E点只有一条直线垂直于直线l.证明步骤的正确顺序是(C)A．①②③④B．①③②④C．②③①④D．②③④①9．用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.02中档题10．(通辽中考)在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，当点B在⊙A内时，实数a的取值范围在数轴上表示正确的是(D)11．用反证法证明“两条直线相交只有一个交点”应该先假设(A)A．两条直线相交至少有两个交点B．两条直线相交没有两个交点C．两条直线平行时也有一个交点D．两条直线平行没有交点12．如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是(－2，－1)．13．若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC＝30°或150°．14．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，斜边AB边上的高为CD，若以点C为圆心，分别以R1＝2，R2＝2.4，R3＝3为半径作⊙C1，⊙C2，⊙C3，试判断点D与这三个圆的位置关系．解：由勾股定理得斜边：AB ＝AC 2＋BC 2＝5，由面积公式得：CD ＝2.4，∴d ＝CD ＝2.4.∴d>R 1，d ＝R 2，d<R 3.∴点D 在⊙C 1的外部，在⊙C 2上，在⊙C 3的内部．15．如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法找出BAC ︵所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 是等腰三角形，底边BC ＝8 cm ，腰AB ＝5 cm .求圆片的半径R.解：(1)分别作AB ，AC 的垂直平分线，设交点为O ，则O 为所求圆的圆心，如图．(2)连接AO 交BC 于E.∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，BE ＝12BC ＝4. 在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3.连接OB ，在Rt △BEO 中，OB 2＝BE 2＋OE 2，即R 2＝42＋(R －3)2，解得R ＝256. 即所求圆片的半径为256cm .03 综合题16．已知：如图1，在△ABC 中，BA ＝BC ，D 是平面内不与A ，B ，C 重合的任意一点，∠ABC ＝∠DBE ，BD ＝BE.图1图2(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE.又∵BA＝BC，BD＝BE，∴△ABD≌△CBE(SAS)．(2)四边形BECD是菱形．证明：∵△ABD≌△CBE，∴CE＝AD.∵点D是△ABC的外接圆圆心，∴DA＝DB＝DC.又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝EC＝CD.∴四边形BECD是菱形．。
九年级数学人教版(上册)24.2.1点和圆的位置关系
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1.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?
A
O C
B
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2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作 ⊙A，则点B在⊙A 上 ；点C在⊙A 外 ；点D在⊙A上 .
3.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为 （3,4），则点P与⊙O的位置关系为 （ B ）
A.在⊙O内
B.在⊙O上
C.在⊙O外
D.在⊙O上或⊙O外
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4.判断： （1）经过三点一定可以作圆 （ ×） （2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的
交点 （ √ ） （3）三角形的外心到三边的距离相等 （×） （4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ×）
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5.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则 它的外接圆半径= 5 . 6.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C 的度数是_7_0_°_____．
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7.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ B ）
A．点P C．点R
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练一练
下列说法中，正确的是( D )
A．三点确定一个圆 B．圆有且只有一个内接三角形 C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．三角形有且只有一个外接圆
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讲授新课
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝 角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三 角形与它的外心的位置关系.
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人教版数学九年级上册24.2.2.1《直线与圆的位置关系》说课稿
人教版数学九年级上册24.2.2.1《直线与圆的位置关系》说课稿一. 教材分析《直线与圆的位置关系》是人教版数学九年级上册第24章第二节的一部分，这部分内容是整个初中数学的重要知识之一。
在此之前，学生已经学习了直线、圆的基本性质和图形的相互关系。
通过这部分的学习，学生能够更深入地理解直线与圆的位置关系，为后续解析几何的学习打下基础。
本节内容主要包括直线与圆相切、相交两种情况。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探究直线与圆的位置关系，并通过数学推导证明相关结论。
学生需要理解并掌握直线与圆的位置关系，能够运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直线、圆的基本性质和图形相互关系有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能会对直线与圆的位置关系的理解存在一定的困难，特别是对相交和相切的判断。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，针对学生的实际情况进行教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解直线与圆的位置关系，掌握判断直线与圆相交、相切的方法。
2.过程与方法目标：通过观察图形、实例分析、数学推导等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：直线与圆的位置关系的理解和判断方法。
2.教学难点：对相交和相切的判断，以及相关数学推导。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、案例分析、小组讨论、数学推导等教学方法，引导学生主动探究，提高学生的参与度和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学手段，直观展示直线与圆的位置关系，帮助学生理解和掌握相关知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示实际生活中的直线与圆的例子，如自行车轮子、地球表面的经纬线等，引导学生关注直线与圆的位置关系，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍直线与圆的位置关系的概念，引导学生思考如何判断直线与圆的位置关系。
人教版九年级数学上册24.2.1： 点和圆的位置关系 精练题(含答案)
点和圆的位置关系精练题1．在平面内，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是 ．答案：点P 在⊙O 内．2．⊙O 的半径为5，圆心的坐标为（0，0），点P 的坐标为（4，2），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在圆内B ．点P 在圆外C ．点P 在圆上D ．点P 在⊙O 内或在⊙O 外答案：A ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，AB =10，CD 是斜边AB 上的中线，以AC 为直径作⊙O ，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 外C ．点P 在⊙O 上D ．无法确定BA答案：A ．4．下列条件：①已知半径；②过矩形四边的中点；③过已知直线l 上两点和直线l 外一点；④过双曲线6y x=第一象限图像上三点，其中只能确定一个圆的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④答案：C ．5．下列命题是假命题的是 （ ）A ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B ．三角形的外心到三边的距离相等C ．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D ．三角形任意两边的中垂线的交点是这个三角形的外心答案：B ．6．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a >b ），则此圆的半径为（ ）A ．2a b +B ．2a b -C ．2a b +或2a b - D ．a b +或a b - 答案：C ．7．已知矩形ABCD 的边AB =15，BC =20，以B 为圆心作圆，使A 、C 、D 三点至少有一点在⊙B 内，且至少有一点在⊙B 外，则⊙B 的半径r 的取值范围是（ ）A ．r >15B ．15<r <20C ．15<r <25D ．20<r <25 答案：C ．8．用反证法证明一个命题时，第一步很重要，请写出下列命题证明时的第一步假设：⑴三角形中至少有一个角不小于60°.第一步假设为 .⑵梯形的对角线不能互相平分.第一步假设为 .⑶三角形中至多只有一个角为钝角.第一步假设为 .答案⑴三角形中三个角都小于60° ⑵梯形的对角线互相平分 ⑶三角形中至少有两个角为钝角9．若O 为△ABC 的外心，且 ∠BOC =60°，则∠BAC = ．分析：本题没有给出图形，根据题意可画出符合题意的图形，可以看出，三角形的顶点A 可能在优弧BC 上，此时∠BAC =12BOC ∠=30°；也可能在劣弧BC 上，此时∠BAC =11(360)(36060)15022BOC ︒-∠=︒-︒=︒．答案：30°或150°10．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面，请你补全这个输水管道的圆形截面．答案：略11．如图，△ABC 中，BD ，CE 是△ABC 的高，试说明B ，C ，D ，E 四点在同一个圆上．ABC D E解：如图，取BC 的中点O ，连接OD ，OE ， O ED C BA则OB =OC =12BC ． 又因为BD ，CE 是△ABC 的高，所以OE =OD =12BC =OB =OC ． 所以B ，C ，D ，E 四点在以O 为圆心，OB 为半径的圆上．12．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，∠A =30°，AC =3，以C为圆心，为半径画⊙C ，指出点A ，B ，D 与⊙C 的位置关系．若要使⊙C 经过点D ，则这个圆的半径应为多长？D CBA解：由∠ACB =90°，∠A =30°，AC =3，可求得BCAB=CD =32，由已知得r BC =r ，CA >r ，CD <r ．所以点A在⊙C外，点B在⊙C上，点D在⊙C内．因为要使⊙C经过点D，所以当r=CD=1.5时，⊙C经过点D．13．已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD与点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．ED CBA解答：因为点D在∠BAC的平分线上，所以∠1=∠2，A32 1BCDE又因为DE∥AC，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE=DE．又因为BD⊥AD于点D，所以∠ADB=90°．所以∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°．所以∠EBD=∠EDB．所以BE=DE．所以AE=BE=DE．因为过A，B，D三点确定一个圆，又∠ADB=90°，所以AB是A，B，D所在圆的直径．所以点E是A，B，D所在圆的圆心．14．如图，直线AB⊥CD于点O，线段PQ=a（定值），现在让线段PQ的两个端点Q、P分别在直线AB、CD上任意滑动，试探求线段PQ的中点M一定在什么图形上移动，写出你探求的结果，并在图上画出来．解：因为AB⊥CD，M为PQ的中点，所以OM=12 PQ．又因为PQ=a为定值，所以OM=12a为定值．线段PQ的中点M在以O为圆心，12a为半径的圆上．15．如图，公路MN和公路PQ在P点交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少？解：如图，过A作AB⊥MN于B，因为AP=160，∠APB=30°所以AB=80．因为80<100，所以学校会受到影响．DC B A QP NM设MN 上有点C 、D ，且AC =AD =100，则拖拉机在CD 之间时学校受到影响，在R t △ABC 中，AC =100，AB =80，则BC =60．同理BD =60，所以CD =120．180km/h=5m/s120÷5=24（秒）答：学校会受到影响，影响时间为24秒16．在等腰△ABC 中，B 、C 为定点，且AC =AB ，D 为BC 的中点，以BC 为直径作⊙D ．问：⑴∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 上？⑵∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 内部？⑶∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 外部？解：A 2A 1D CB A⑴因为点A 在⊙D 上，且AD 为BC 的中线，AB =AC ，所以AD ⊥BC ，所以BD =DC =AD ，所以∠BAD =12∠BAC =45°．所以∠BAC =90°．即∠BAC=90°时，点A在⊙D上．⑵因为点A1在⊙D内，所以∠B A1D>∠BAD．所以∠B A1C>∠BAC，即∠B A1C>90°．所以当∠B A1C的度数大于90°且小于180°时，点A在⊙D内部．⑶与⑵类似，当顶点A的度数大于0°且小于90°时，点A在⊙D外部．。
24.2.1 点和圆的位置关系 人教版数学九年级上册同步练习(含答案)
24.2.1点和圆的位置关系1．⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）A．在⊙O内或⊙O上B．在⊙O外C．在⊙O上D．在⊙O外或⊙O上2．已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为«Skip Record If...»，点B所表示的实数为«Skip Record If...»，作以A为圆心，«Skip Record If...»为半径的⊙A，若点«Skip Record If...»在⊙A外，则«Skip Record If...»的值可能是（）. A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»3．如图，已知«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的外心，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»分别是«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的中点，连接«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，分别交«Skip Record If...»于点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的面积为（）A．72B．96C．120D．1444．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（）A．△ABC B．△ABE C．△ABD D．△«Skip Record If...»ACE5．如图，平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上任意一点，B（－3，0），C（4，0），则当点A在y轴上运动时，△ABC的外心不可能在（）A．第三象限B．第一象限C．第四象限D．x轴上6．点«Skip Record If...»是非圆上一点，若点«Skip Record If...»到«Skip Record If...»上的点的最小距离是«Skip Record If...»，最大距离是«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的半径是______．7．直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是_____．8．在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（1，0），C（3，2），仅用无刻度的直尺在给出的网格中画图（画图用实线表示），并回答题目中的问题（1）在图1中画出△ABC关于点D成中心对称的图形；（2）在图2中作出△ABC的外接圆的圆心M（保留作图痕迹）；（3）△ABC外接圆的圆心M的坐标为 ．9．已知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．按下列要求用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图①中求作一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»、«Skip Record If...»在直线«Skip Record If...»异侧；（2）在图②中求作一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»、«Skip Record If...»在直线«Skip Record If...»同侧．10．如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，证明点C在圆O上；11．如图，在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，点«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的中点．（1）以点«Skip Record If...»为圆心，4为半径作«Skip Record If...»，则点«Skip Record If...»分别与«Skip Record If...»有怎样的位置关系？（2）若以点«Skip Record If...»为圆心作«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»三点中至少有一点在«Skip Record If...»内，且至少有一点在«Skip Record If...»外，求«Skip Record If...»的半径的取值范围．12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，S△ABC＝32，BC＝8．（1）求出⊙O的半径r．（2）求S△ABO．13．已知AB是«Skip Record If...»的弦，点C为圆上一点．（1）用直尺与圆规作«Skip Record If...»；（2）作以AB为底边的圆内接等腰三角形；（3）若已知圆的半径«Skip Record If...»，求所作等腰三角形底边上的高．14．如图，∠BCD＝90°，BC＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．（1）判断：∠ABC ∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；（3）若△ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．15．已知线段AB=4 cm，以3 cm长为半径作圆，使它经过点A.B，能作几个这样的？请作出符合要求的图．参考答案1．D【分析】根据⊙O的半径为R和点P到圆心O的距离为d之间的关系，对点与圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：∵d≥R，∴点P在⊙O上或点P在⊙O外．故选D．【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P 在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r点P在圆内⇔d＜r．解题关键是熟记点和圆的位置关系与圆的半径和点到圆心的距离的关系．2．A【分析】根据点与圆的位置关系计算即可；【详解】∵B在«Skip Record If...»外，∴AB＞2，∴«Skip Record If...»＞2，∴b＞«Skip Record If...»或b＜«Skip Record If...»，∴b可能是-1.故选A．【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键．3．B【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE，根据三角形外心的定义，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，进而求得AF，DF，AD的长度，可知△AD F是直角三角形，即可求出△ABC的面积．如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，∵点E是△ABC的外心，∴A E=B E=C E，∴△AB E，△AC E是等腰三角形，∵点P、Q分别是AB.AC的中点，∴PE⊥AB，Q E⊥AC，∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，∴A F=B F=10，AD=CD=8，在△AD F中，∵«Skip Record If...»，∴△AD F是直角三角形，∠AD F=90°，∴S△ABC= «Skip Record If...»，故选：B．【点拨】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△AD F是直角三角形．4．C【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答；【详解】∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的外心．故答案选C．本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外接圆的圆心，准确分析判断是解题的关键．5．A【分析】根据三角形的外心O是三角形外接圆的圆心，即是三边垂直平分线的交点，由B.C坐标可知，边BC的垂直平分线在y轴的右侧，结合三角形的形状判断即可．【详解】解：∵B（－3，0），C（4，0），∴边BC的垂直平分线在y轴的右侧，∴三角形的外心O在不可能在第二象限或第三象限，故A错误；当△ABC为锐角三角形时，三角形的外心O在三角形内部，并在第一象限，故B正确；当△ABC为钝角三角形时，三角形的外心O在三角形外部，并在第四象限，故C正确；当△ABC为直角三角形时，三角形的外心O在三角形斜边中点处，即在x轴上，故D正确，故选：A．【点拨】本题考查三角形的外心定义，解答的关键是熟知三角形的外心位置与三角形的形状关系，当三角形为锐角三角形时，三角形的外心O在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，三角形的外心O在三角形外部；当三角形为直角三角形时，三角形的外心O在三角形斜边中点处．6．«Skip Record If...»或«Skip Record If...»【分析】分点«Skip Record If...»在«Skip Record If...»外和«Skip Record If...»内两种情况分析；设«Skip Record If...»的半径为«Skip Record If...»，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．【详解】设«Skip Record If...»的半径为«Skip Record If...»当点«Skip Record If...»在«Skip Record If...»外时，根据题意得：«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»当点«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内时，根据题意得：«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»故答案为：«Skip Record If...»或«Skip Record If...»．【点拨】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．7．5．【分析】根据勾股定理可得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，即可得出其外接圆的半径．【详解】∵直角边长分别为6和8，∴斜边=«Skip Record If...»=10，∴这个直角三角形的外接圆的半径为10÷2=5．故答案为：5【点拨】本题考查了三角形的外接圆，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是解题关键．8．（1）见解析；（2）见解析；（3）«Skip Record If...»【分析】（1）分别作出点A.B.C关于点D的对称点A'、B'、C'，再顺次连接即可；（2）找出AB边和BC边的垂直平分线即可；（3）分别求出直线AD和直线EF的解析式，联立即可求得M的坐标；【详解】解：（1）如图，△A'B'C′为所求；（2）如图，取格点E.F、D，连接EF和AD相交于点M；∵AE∥BF，∴∠AEN=∠BFN，∵AE=BF，∠ANE=∠BNF，∴△AEN≌△BFN，∴AN=BN，∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴∠BNF=90°，∴EF垂直平分AB，根据正方形的性质可得：AD垂直平分BC，∴点M为△ABC的外接圆的圆心；（3）设直线AD的解析式为y=kx+b，则有«Skip Record If...»；解得：«Skip Record If...»；∴直线AD的解析式为y=-x+3，设直线EF的解析式为y=mx+n，则有«Skip Record If...»；解得：«Skip Record If...»；∴直线AD的解析式为«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»；解得：«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»【点拨】本题考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，中心对称，三角形的外心、一次函数与一元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．9．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）分别以B，C为圆心，BA为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，PC即可；（2）作△ABC的外接圆，在优弧BC上任意取一点P，连接BP，PC即可．【详解】（1）如图①，«Skip Record If...»即为所求；（2）如图②，«Skip Record If...»即为所求．【点拨】本题考查了作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．证明见解析【分析】连接CO；由勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，得出∠A CD=90°；再根据斜边上中线的性质和圆的对称性分析，即可完成证明．【详解】如图，连接CO∵AB=6，BC=8，∠B=90°，∴«Skip Record If...»∵CD=24，AD=26∴«Skip Record If...»∴△ACD是直角三角形，∴∠ACD=90°∵AD为⊙O的直径∴AO=OD∴OC为Rt△ACD斜边上的中线∴«Skip Record If...»∴点C在圆O上．【点拨】本题考查了圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．11．（1）«Skip Record If...»在圆上，点«Skip Record If...»在圆外，点«Skip Record If...»在圆内（2）«Skip Record If...»【分析】（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，C M，BC与AC的大小关系即可得出答案；（2）利用分界点当A.B.M三点中至少有一点在⊙C内时，以及当至少有一点在⊙C外时，分别求出即可．【详解】（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∵以点C为圆心，4为半径作⊙C，∴AC=4，则A在圆上，∵«Skip Record If...»，则M在圆内，BC=5＞4，则B在圆外；（2）以点«Skip Record If...»为圆心作«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»三点中至少有一点在«Skip Record If...»内时，«Skip Record If...»；当至少有一点在«Skip Record If...»外时，«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»的半径«Skip Record If...»的取值范围为：«Skip Record If...»．【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键．12．（1）⊙O半径为5；（2）10【分析】（1）连接OC，根据已知条件得到AO在BC中垂线上，延长AO交BC于点D，则D是BC 中点，AD⊥BC，根据勾股定理即可得到结论；（2）由（1）得AD＝8，BD＝4，由勾股定理得到«Skip Record If...»，过O作OH⊥AB于H，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）连接OC，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO在BC中垂线上，延长AO交BC于点D，则D是BC中点，AD⊥BC，∵«Skip Record If...»∴AD＝8，∵OD＝8﹣r，BO＝r，BD＝«Skip Record If...»BC＝4，在R t△OBD中，r2＝（8﹣r）2+42，解得：r＝5，∴⊙O半径为5；（2）由（1）得AD＝8，BD＝4，∴«Skip Record If...»过O作OH⊥AB于H，∴BH＝«Skip Record If...»AB＝2«Skip Record If...» ，∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质，垂径定理，掌握圆的性质、正确的作出辅助线、是解题的关键．13．（1）见解析；（2）见解析；（3）8或2【分析】（1）连接AC，分别作AB.AC的中垂线，交点即为圆心O，然后以O为圆心，OA为半径作圆即可；（2）AB的中垂线与⊙O交点分别为E1.E2，△ABE1与△ABE2均为以AB为底的圆的内接等腰三角形；（3）由R=5，AB=8，根据勾股定理易得AB对应的弦心距为3，进而得到h=5+3=8或h=5-3=2．【详解】解：（1）如图所示，连接AC，分别作AB.AC的中垂线，交点即为圆心O，然后以O为圆心，OA为半径作圆即可；（2）如图所示，若AB的中垂线与⊙O交点分别为E1.E2，则△ABE1与△ABE2均为以AB为底的圆的内接等腰三角形；（3）由圆的半径R=5，AB=8，由勾股定理可得AB对应的弦心距为3，∴△ABE1中，h=5+3=8；△ABE2中，h=5-3=2．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心的运用，解决问题时注意：找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个．14．（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由见解析；（3）45°＜α＜90°【分析】（1）利用四边形内角和等于360度得：∠B+∠ADC＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，即可求解；（2）证明△ABC≌△EDC（AAS）即可推知△ACE是等腰直角三角形；（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，即可求解．【详解】解：（1）在四边形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠ABC＝∠PDC．故答案是：＝；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由如下：∵∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ECD．由（1）知：∠ABC＝∠PDC，又∵BC＝DC，∴△ABC≌△EDC（AAS），∴AC＝CE．又∵∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形；（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，而45°＜α＜135°，故：45°＜α＜90°．【点拨】本题考查的是圆的综合运用，涉及到三角形全等、三角形外心等基本知识，难度不大．15．作图见解析.【解析】试题分析：由所作圆过点A.B，可知，圆心到A.B的距离相等，由此可知，圆心在线段AB的垂直平分线上，且到点A的距离等于3 cm，这样先作AB的垂直平分线，再以点A为圆心，3 cm为半径作弧与AB的垂直平分线相交，则交点为所求圆的圆心，这样就可作出所求圆了.试题解析：这样的圆能画2个．作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3 cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3 cm为半径作圆，如图：则⊙O1和⊙O2为所求圆．。
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5·3全练《24.2.1 点和圆的位置关系》衔接中考
三年模拟全练
1.（2019江苏连云港灌云期中，3，★☆☆）⊙O的半径为4，线段OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）
A.点P在⊙O上
B点P在⊙O内
C.点P在⊙O外
D.不能确定
2.（2020浙江温州龙湾期中，6，★☆☆）现有如下4个命题：
①过两点可以作无数个圆；
②三点可以确定一个圆；
③任意一个三角形有且只有一个外接圆；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形.
其中正确的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.（2020浙江绍兴柯桥期中，12，★☆☆）在Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为_______.
4.（2018江苏南京建邺期中，15，★★☆）如图在R△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC=∠PCB，则线段BP长的最小值是_______.
五年中考全练
5.（2018四川自贡中考，9，★★☆）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，
连接OB、OC，则边BC的长为（）
A.R
R
B.
2
R
C.
2
D.
6.（2015江苏盐城中考，16，★★☆）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范圉是______.
7.（2019安徽中考，13，★★☆）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD ⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为_________.
8.（2017山东临沂中考，23，★★☆）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠
ABC的平分线交AD于点E.
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径.
核心素养全练
9.（2020独家原创试题）已知：在△ABC中，AB=AC.求作：△ABC的外心O.以下是甲、乙两名同学的作法：
甲：如图（1），①作AB的垂直平分线DE；
②作BC的垂直平分线FG；
③DE，FG交于点O，则点O即为所求.
乙：如图（2），①作AB的垂直平分线DE；
②作∠BAC的平分线AF；
③DE，AF交于点O，则点O即为所求.
付于两人的作法，正确的是（）
A.两人都对
B.两人都不对
C.甲对，乙不对
D.甲不对，乙对
10.（2017江苏泰州中考）如图，在平面直角坐标系x O y中，点A，B，P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）.若点C在第一象限内，且横坐标，纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为________.
参考答案
1.答案：A
∵OP=4，∴OP等于⊙O的半径，∴点P在⊙O上.故选A.
2.答案：B
①过两点可以作无数个圆，是真命题.②不在同一直线上的三点可以确定一个圆，是假命题.③任意一个三角形有且只有一个外接圆，是真命题.④任意一个圆有无数个内接三角形，是假命题.故选B.
3.答案：5
解析：由勾股定理得斜边长10
==，∴这个三角形的外接圆直径是10，∴这个三角形的外接圆半径为5.
4.答案：2
解析：∵∠ACB=90°，∴∠ACP+∠PCB=90°.∵∠PAC=∠PCB，∴∠PAC+∠ACP=90°，∴∠APC=90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上.连接OB交⊙O于点P'，当点P位于点P'的位置
时，线段BP的长最小.在Rt△CBO中，∵∠OCB=90°，BC=4，OC=1
2
AC=3，∴OB
5
==，∴BP'=OB-OP'=5-3=2.∴线段BP长的最小值为2.
5.答案：D
如图，延长BO交⊙O于点D，连接CD，
则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°.
∵BD=2R，∴DC=R，
∴R.故选D.
6.答案：3<r <5
解析：连接DB ，则DB 5==.要使A 、B 、C 三点中至少一个点在圆内且至少一个点在圆外，则由题意知点A 肯定在圆内，点B 肯定在圆外，从而3<r <5.
7.
解析：如图，连接CO ，OB ，则∠O=2∠A=60°.∵OC=OB ，∴△BOC 是等边三角形.∵⊙O 的
半径为2，∴BC=2.∵CD ⊥AB ，∠CBA=45°，∴CD=BD ，∴2CD 2=BC 2，∴.
8.答案：见解析
解析：（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD.
又∵∠CBD=∠CAD ，∴∠BAD=∠CBD.
∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE=∠ABE ，
∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD.
又∵∠BED=∠ABE+∠BAD ，∴∠DBE=∠BED ，
∴DE=DB.
（2）连接CD ，∵∠BAC=90°，∴BC 是直径，
∴∠BDC=90°，∵AD 平分∠BAC ，
∴.∴BD=CD=4，∴BC 2242BD CD =+=.
∴△ABC 外接圆的半径为.
9.答案：A
解析：甲的作法是作三角形两边的垂直平分线，则点O到三角形三个顶点的距离相等，点O 为△ABC的外心；在乙的作法中，因为AB=AC，所以作∠BAC的平分线即作BC边的垂直平分线，则点O到三角形三个顶点的距离相等，点O为△ABC的外心，所以两人都对.故选A.
10.答案：（7，4）或（6，5）或（1，4）
解析：如图，
∵点A，B，P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2），
∴PA=PB==
∵P是△ABC的外心，
∴PC=PA=PB
∵点C在第一象限内，且横坐标，纵坐标均为整数，
∴点C的坐标为（7，4）或（6，5）或（1，4）.。