浙教版九年级数学上册《圆的基本性质》3.4圆心角
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。
九年级数学上册 3.4 圆心角教案 (新版)浙教版
B E D A FC O 3.4圆心角教学目标:1. 经历探索圆心角定理的逆定理的过程;2. 掌握”在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质;3. 会运用关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.. 教学重点与难点:教学难点: 关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的性质教学难点:例2(1)题,例3涉及四边形,圆等较多知识点,且思路不易形成,是本节的教学难点 教学过程:一. 复习旧知,创设情景:1. 圆具有什么性质?2. 如图,已知:⊙O 上有两点A 、B,连结OA 、OB,作∠AOB 的角平分线交⊙O 于点C,连结AC 、BC.图中有哪些量是相等的?复习圆心角定理的内容.3. 请写出圆心角定理的逆命题,并证明它们的正确性.(1).逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
(2) 逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距相等。
（3）逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦心距对应弦相等,弦所对的圆心角相等，所对的 弧相等。
结合图形说出已知和求证并给出简要的证明过程由此引出新课.C BAOＯ Ｃ ＢＡ 二. 新课讲解1、运用上面的结论来解决下面的问题:已知：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，OE 、OF 为AB 、CD 的弦心距，根据本节定理及推论填空：（1）如果AB=CD ，那么_____________,________,____________。
（2）如果OE=OF ，那么_____________,________,____________。
（3）如果弧AB=弧CD 那么______________,__________,____________。
（4）如果∠AOB=∠COD ，那么_________,________,_________。
新浙教版初三上第三章《圆的基本性质》各节知识点及典型例题
圆的基本性质第一节 圆 第二节 图形的旋转 第三节 垂径定理（选学） 第四节 圆心角 第五节 圆周角 第六节 圆内接四边形第七节 正多边形 第八节 弧长及扇形的面积十二大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、旋转的概论及性质4、垂径定理5、垂径定理的逆定理及其应用6、圆心角的概念及其性质 【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。
2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。
小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。
4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外⇔ ； 点P 在⊙O 上⇔ ； 点P 在⊙O 内⇔ 。
6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。
过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。
8、过 的三点确定一个圆。
9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。
三角形的外心是三角形三条边的【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断 例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。
浙教版九年级上册第三章-圆的基本认识(圆周角和圆心角)docx
3.如图，在△ABC 中，∠A＝70°，∠B＝55°，以 BC 为直径作⊙O，分别交 AB、AC 于点 E、
F，则弧 CF 的度数为
°．
【答案】70
【解答题】
1.如图，△ 内接于⊙ ， h ， 在弧 上，连 交 于点 ， 是弧
的中点，求证： h
．
【答案】见解答． 【解答】 证明：∵ 是弧
的中点，
∴
，
圆的基本认识（圆周角和圆心角）
【重难点知识梳理】
一、圆心角、弧、弦关系
1．顶点在圆心的角叫做圆心角（central angle）． 【说明】直径所对的圆心角为 180°． 2．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【注意】前提条件为“在同圆或等圆中”． 3．（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相 等； （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和 劣弧分别相等． 二、圆周角定理
1．顶点在圆上，角的两边都和圆相交的角就叫作圆周角。 2．定理 1：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半； 3．推论 1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论 2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相 等。
【选择题】
1.一条弧所对的圆周角的度数是 u ，则这条弧所对的圆心角的度数是（ ）
A. 65°； 【答案】D
B. 115°；
C. 130°；
D. 65°或 115°．
【填空题】
1.⊙ 的弦 t．
长为 t
t，弦
所对的圆心角 120°，则弦
的弦心距为【答案】2．2.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 在半圆上，点 、 的读数
浙教版九上 3.3圆心角(2) 课件
Ｏ Ｐ Ｃ Ｄ
例4：⑴如图，顺次连结⊙O的两条直径A 如图，顺次连结⊙ 的两条直径A BD的端点 的端点， Ｃ和BD的端点，所得的四边形是什么特殊 四边形？ 四边形？
Ｄ Ｏ Ｃ
Ａ
Ｂ
⑵如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一 如果要把直径为 的圆柱形原木锯成一 根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能 根横截面为正方形的木材， 地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？ 地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？
（3）如果 ）如果AB=CD
∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF ______________,__________,____________。 。
（4）如果∠AOB=∠COD，那么 ）如果∠ ∠ ，
⌒ ⌒ _________,________,_________。 OE=OF AB=CD AB=CD 。
如果这根原木长15m 如果这根原木长15m，问锯出地木材地体积为 15m， 多少立方米（树皮等损耗略去不计）？ 多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
Ｄ Ｏ
Ｃ
Ｄ Ｏ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
等对等定理： 等对等定理： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两 两个圆心角 条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们 条弦、两个弦心距中有 所对应的其余各对量
E D
Ｃ
例3：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结 ABC内接于 如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结 OA,OB,OC。 OA,OB,OC。 延长AO 分别交BC于点P 延长AO，分别交BC于点P， AO， BC于点 ⌒ BC于点D,连结BD,CD。 于点D,连结BD,CD BC于点D,连结BD,CD。试判 断四边形BDCO 断四边形BDCO是哪一种特殊 BDCO是哪一种特殊 四边形，并说明理由。 四边形，并说明理由。 Ｂ Ａ
3.4 圆心角(课件)九年级数学上册(浙教版)
件
×，在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等
当堂检测
2、若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的
度数是________°．
144
解：∵一条弦把圆周分成2：3的两段弧，
∴劣弧所对圆心角的度数为360°× =144°．
当堂检测
对的优弧和劣弧分别相等”。
讲授新课
要点归纳
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、
所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量
都分别相等．
圆心角
相等
弦
相等
弧
相等Βιβλιοθήκη 弦心距相等讲授新课
典例精析
【例1】已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，
得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的、
弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆
心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
∵ AB=BC=CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠COA
1
= 360 =120 .
3
O
B
C
讲授新课
【例3】如图，AB是⊙O 的直径，
BC =CD = DE， ∠COD=35°，求∠AOE 的
度数．
E
D
解： ∵ BC =CD = DE，
C
BOC COD DOE =35 ，
75 .
不可以，如图.
【最新】浙教版九年级数学上册课件：3.4.1圆心角(1)
结论
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 如果弧相等 那么 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
弦所对的圆心角相等
在同圆或等圆中 如果弦相等
那么
弦所对的弧（指劣弧）相等
弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弦心距相等
弦心距所对应的圆心角相等 那么 弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等
学习手记1：
在运用圆心角定理时，首 先要考虑定理的前提。
题组一(辨一辨)
2.如图，∵∠AOC＝∠BOD ∴AC =BD 问：以上说法对不对？为什么？
A C O
D
B
那么，怎样情况下， AC =BD？
题组一(辨一辨)
此时，又有那些弧相等呢？ A
AC=BD,BC=AD,
O
C
ACB=CBD=BDA=DAC
如图，⊙O 和⊙O' 是等圆， 如果 ∠AOB= ∠ A'O'B' ? ? A'B' 、OM=O'M' ? 那么 AB=A'B' 、AB= , 为什么？
已知：如图5, ∠AOB = ∠A'OB' , OM、OM' 分别是弦 AB、弦 A'B' 的弦心距. 求证： AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM' 证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转， 使射线OA与射线OA' 重合 .
ADC=BCD,ACD=CAB
D
B
题组二(算一算)
• 1.在⊙Ｏ中,BC为⊙Ｏ的一 条弦且等于⊙Ｏ的半径,则 600 BC的度数是 _______
浙教版九年级数学上册3.4圆心角课件
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，
∴AB＝BC＝AC，∴△ABC 是等边三角形．
Ⴃ
Ⴃ
Ⴃ
14.如图，等边三角形ABC内接于☉O，求 ， ， 的度数.
A
Ⴃ
Ⴃ
Ⴃ
【答案】 = = =120°.
O
.
B
C
思维拓展，更上一层
⌒
⌒
15.如图，在⊙O中，∠COD=2∠AOB，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB也成
圆心角及相关概念
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
⌒
2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
B
M
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
O
任意给圆心角，对应出现四个量：
弧
圆心角
弦
弦心距
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,
所对两条弦的弦心距相等．
A
夯实基础，稳扎稳打
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
圆心
弧
弦
例1：用直尺和圆规把⊙O四等分.
C
作法：
1.作⊙O的一条直径AB.
2.过点O作CD⊥AB，交⊙O于点C和点D.
点A，B，C，D就把⊙O四等分.
B
A
D
例2
求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距，
OF是弦CD的弦心距. 求证：OE=OF.
A
证明：∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD（圆心角定理）.
∵OE⊥AB，AE=BE=
1
AB（等腰三角形三线合一）.
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教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
整合方法
︵ (2)若BF的度数为50°，求∠C的度数．
︵ 解：∵ BF的度数为50°， ∴∠BAF＝50°. ∴∠ABF＝∠AFB＝65°. 又∵AB∥CD，∴∠ABF＋∠C＝180°. ∴∠C＝180°－∠ABF＝115°.
探究培优
︵ 15．如图，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是AB的三
探究培优
∵B︵D＝C︵D，∴∠BOD＝∠COD＝180°－∠AOC＝120°.
又∵点
F
是
︵ CD
的中点，
∴∠COF＝∠FOD＝12∠COD＝60°.∴∠BOF＝180°.
∴BF 是⊙O 的直径．
探究培优
︵ 又∵点 G 是 BF 的中点，∴∠FOG＝90°. ∵⊙O 的半径为 1，∴GF＝ 2.
同学们下课啦
阶段核心归类专训
【点拨】连结 OA，OB，OB 交 AF 于 G，如图． ∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝12AB＝3. 设⊙O 的半径为 r，则 OE＝r－1，OA＝r.
阶段核心归类专训
在 Rt△ OAE 中，32＋(r－1)2＝r2，解得 r＝5. ︵︵
∵AB＝BF，∴OB⊥AF，AG＝FG. 在 Rt△ OAG 中，AG2＋OG2＝52，① 在 Rt△ ABG 中，AG2＋(5－OG)2＝62，② 解由①②组成的方程组得到 AG＝254，∴AF＝2AG＝458.
整合方法
14．如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分 别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G. ︵︵
(1)求证：GE＝EF； 证 明 ： 连 结 AF ， 则 AB ＝ AF ， ∴∠ABF＝∠AFB.
整合方法
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠EAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF. ∴∠GAE＝∠EAF.∴ G︵E＝E︵F.
探究培优
∵OA＝OC，∠AOC＝30°， ∴∠ACE＝12×(180°－30°)＝75°＝∠AEC.∴AE＝AC. 同理可得 BF＝BD.∴AE＝BF＝CD.
探究培优
16．如图，已知AD是⊙O的直径，AB，AC是弦，且AB＝AC. (1)求证：直径AD平分∠BAC； 证明：如图，连结BD，CD. ︵︵ ∵AB＝AC，∴ AB＝AC. ∵AD是⊙O的直径， ︵︵ ∴ BD＝CD ， ∴BD＝CD.
探究培优
又∵AD＝AD，∴△ABD≌△ACD， ∴∠BAD＝∠CAD. ∴直径AD平分∠BAC.
探究培优
(2)若BC经过半径OA的中点E，点F是的中点，点G是C︵D ︵
的中点，⊙O的BF半径为1.求GF的长．
解 ： 如 图 ， 连 结 BO ， CO ， GO ， FO. 由 (1) 可 知 AD⊥BC， 又∵点E是OA的中点， ∴BA＝OB＝AC＝OC＝OA. ∴∠BOA＝∠AOC＝60°.
阶段核心归类专训
6．下列命题是真命题的是( C ) A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D．顶点在圆内的角是圆心角
阶段核心归类专训
7．如图，AB是⊙O的直径，若∠COA＝∠DOB＝60°， 则与线段AO长度相等的线段有( D )
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
阶段核心归类专训
【点拨】如图，连结 BO，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E， 由题意可得 EO＝12BO，AB∥DC， ∴易得∠EBO＝30°， ∴∠BOD＝30°，
︵ ∴∠BOC＝150°，即 BC 的度数是 150°. 【答案】C
阶段核心归类专训
12．如图，在⊙O中，弦AB>CD，OM⊥AB，ON⊥CD，
A．25° B．30° C．50° D．65°
阶段核心归类专训
︵ 4．如图，圆O过五边形OABCD的四个顶点．若AD＝
︵ 150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则BC的度数为 ( B) A．25° B．40° C．50° D．55°
阶段核心归类专训
5 ． 已 知 AB ， CD 是 ⊙ O 的 直 径 ， 弦 CE ∥ AB ， ∠ COE ＝ ︵
整合方法
︵︵ 13．如图，AB是⊙O的直径，AC＝CD，∠COD＝60°. (1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由．
解：△AOC是等边三角形．理由如下： ︵︵
∵AC＝CD，∴∠AOC＝∠COD＝60°. 又∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形．
整合方法
(2)求证：OC∥BD. 证明：∵∠BOD＝180°－∠AOC－∠COD， ∴∠BOD＝180°－60°－60°＝60°. 又∵OB＝OD，∴△OBD为等边三角形． ∴∠D＝60°.∴∠D＝∠COD.∴OC∥BD.
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
等分点，AB分别交OC，OD于点E，F. 求证：AE＝BF＝CD.
证明：如图，连结AC，BD. ︵
∵C，D是AB的三等分点， ︵︵︵
∴ AC＝CD＝BD ，∴AC＝CD＝BD， ∠AOC＝∠COD＝∠BOD.
探究培优
又∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°. ∵OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°. ∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.
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1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
M，N分别为垂足，那么OM，ON的大小关系是( )
A．OM>ON
B．OM＝ON
C．OM<ON
D．无法确定
阶段核心归类专训
错误答案：A或B 诊断：对于“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的 其余各对量都相等”这一性质中反映的各对量之间的关系 判断不准，从而导致错误． 正确答案：C
1. 你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！
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1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！ 2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！ 3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！ 4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！ 5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？ 6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！ 7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！ 8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！ 9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！ 10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？ 11、你的想法很独特，老师都佩服你！ 12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！ 13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！ 14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？ 15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！ 16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！ 17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！ 18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！ 19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？ 20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？ 21、你有自己独特想法，真了不起！ 22、你的办法真好！考虑的真全面！ 23、你很会思考，真像一个小科学家！ 24、老师很欣赏你实事求是的态度！ 25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类