数学---广东省揭阳市惠来一中2016-2017学年高二(上)期末试卷(解析版)

2016-2017学年广东省揭阳市惠来一中高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|mx2﹣2x+1=0}中只有一个元素，则实数m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．0或12．（5分）用数学归纳法证明+++…＜1（n∈N*且n＞1）由n=k到n=k+1时，不等式左边应添加的项是（）A．B．+﹣C．+﹣D．+﹣﹣3．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．1125．（5分）已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且S n，a n，成等差数列，则数列{a n}的通项公式为（）A．2n﹣4B．2n﹣3C．2n﹣2D．2n﹣16．（5分）已知函数f（x）=x2+2xf′（2017）﹣2017ln x，则f′（2017）=（）A．2016 B．﹣2016 C．2017 D．﹣20177．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．38．（5分）若关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣2|＞log4a2恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）C．（2，﹢∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）9．（5分）给出命题p：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；命题q：向量=（﹣2，﹣1），=（λ，1）的夹角为钝角的充要条件为λ∈（﹣，+∞）．关于以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p∨q”为假B．命题“p∧q”为真C．命题“p∨￢q”为假D．命题“p∧￢q”为真10．（5分）已知不等式组构成平面区域Ω（其中x，y是变量），若目标函数z=ax+6y（a＞0）的最小值为﹣6，则实数a的值为（）A．B．6 C．3 D．11．（5分）若数列{a n}满足a1=，a n+1=[a n]+（[a n]与{a n}分别表示a n的整数部分与小数部分），则a2016=（）A．3023+B．3023+C．3020+D．3020+ 12．（5分）已知F为抛物线y2=ax（a＞0）的焦点，M点的坐标为（4，0），过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A，B两点，延长AM，BM交抛物线于C，D两点，设直线CD 的斜率为k2，且k1=k2，则a=（）A．8 B．8C．16 D．16二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x+y=0，一个焦点为（，0），则双曲线的离心率为．14．（5分）已知正数x、y，满足+=1，则x+2y的最小值．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是．16．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知公差为正数的等差数列{a n}满足：a1=1，且2a1，a3﹣1，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a2，a5分别是等比数列{b n}的第1项和第2项，求数列的前n项和T n．18．（12分）已知函数．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，a=4，b+c=5，求△ABC的面积．19．（12分）“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．”2015年9月26日晚8时开始，德阳市交警一队在本市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，如图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x，y（mg/100mL），则事件|x﹣y|≤10的概率是多少？20．（12分）如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．21．（12分）已知f（x）=log a是奇函数（其中a＞1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并证明；（3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过椭圆C的上顶点与右顶点的直线L，与圆x2+y2=相切，且椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点（其中O为坐标原点），求△OAB面积的最小值．参考答案一、选择题1．D【解析】当m=0时，显然满足集合{x|mx2﹣2x+1=0}有且只有一个元素，当m≠0时，由集合{x|mx2﹣2x+1=0}有且只有一个元素，可得判别式△=4﹣4m=0，解得m=1，∴实数m的值为0或1，故选：D．2．B【解析】当n=k时，左边=+++…+，n=k+1时，左边=++…+++，两式相减得：+﹣，故选：B．3．A【解析】由直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得：=1，解得k=．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．C【解析】由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体．四棱锥的高h1=3，正方体棱长为4V正方体=Sh2=42×4=64，V四棱锥=Sh1==16，所以V=64+16=80．故选：C．5．C【解析】∵S n，a n，成等差数列，∴2a n=S n+，∴n=1时，2a1=a1+，解得a1=．n≥2时，2a n﹣1=S n﹣1+，可得：2a n﹣2a n﹣1=a n，化为：a n=2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，公比为2．∴a n==2n﹣2．故选：C．6．B【解析】求导得：f′（x）=x+2f′（2017）﹣令x=2017，得到f′（2017）=2017+2f′（2017）﹣1，解得：f′（2017）=﹣2016，故选：B7．A【解析】模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．8．D【解析】若不等式|x﹣1|+|x﹣2|＞log4a2恒成立，只需log4a2小于等于|x﹣1|+|x﹣2|的最小值即可．由绝对值的几何意义，|x﹣1|+|x﹣2|表示在数轴上点x到1，2点的距离之和．当点x在1，2点之间时（包括1，2点），即1≤x≤2时，|x﹣1|+|x﹣2|取得最小值1，∴1＞log4a2所以a2＜4，a≠0，解得a∈（﹣2，0）∪（0，2）．故选：D．9．A【解析】命题p：若平面α与平面β不重合，且平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β或相交，因此是假命题；命题q：向量=（﹣2，﹣1），=（λ，1）的夹角为钝角的充要条件为，﹣2λ﹣1＜0，解得，由﹣λ+2=0，解得λ=2，此时与异向共线，因此向量=（﹣2，﹣1），=（λ，1）的夹角为钝角的充要条件为λ∈（﹣，+∞）且λ≠2，因此是假命题．关于以上两个命题，下列结论中正确的是“p∨q”为假命题．故选：A．10．C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+6y（a＞0）得y=﹣x+，则直线斜率﹣＜0，平移直线y=﹣x+，由图象知当直线y=﹣x+经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，为﹣6，由得，即A（﹣2，0），此时﹣2a+0=﹣6，解得a=3，故选：C11．B【解析】∵a n+1=[a n]+，且a1==1+（﹣1），∴a2=[a1]+=1+=2+，∴a3=2+=4+（﹣1），∴a4=4+=5+，∴a5=7+（﹣1），∴a6=8+，∴a7=10+（﹣1），∴a8=11+，∴a2016=2016+1007+=3023+，故选：B．12．B【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则k1==，k2=，∵k1=k2，∴y1+y2=（y3+y4）．设AC所在直线方程为x=ty+4，代入抛物线方程，可得y2﹣aty﹣4a=0，∴y1y3=﹣4a，同理y2y4=﹣4a，∴y1+y2=（+），∴y1y2=﹣2a，设AB所在直线方程为x=ty+，代入抛物线方程，可得y2﹣aty﹣=0，∴y1y2=﹣，∴﹣2a=﹣，∴a=8．故选：B二、填空题13．【解析】根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，又由该双曲线的一条渐近线方程为2x+y=0，则有=2，即b=2a，又由其一个焦点为（，0），则有c2=b2+a2=5，解可得a=1，b=2；故c==；则其离心率e==；故答案为：．14．18【解析】∵正数x、y，满足+=1，∴x+2y==10+=18．当且仅当x＞0，y＞0，，，解得x=12，y=3．∴x+2y的最小值是18．故答案为18．15．y=2x【解析】已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=e x﹣1+x，则f′（x）=e x﹣1+1，f′（1）=e0+1=2．∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．即y=2x．故答案为：y=2x．16．【解析】由r=1，利用正弦定理可得：c=2r sin C=2sin C，b=2r sin B=2sin B，∵tan A=，tan B=，∴===，∴sin A cos B=cos A（2sin C﹣sin B）=2sin C cos A﹣sin B cos A，即sin A cos B+cos A sin B=sin（A+B）=sin C=2sin C cos A，∵sin C≠0，∴cos A=，即A=，∴cos A==，∴bc=b2+c2﹣a2=b2+c2﹣（2r sin A）2=b2+c2﹣3≥2bc﹣3，∴bc≤3（当且仅当b=c时，取等号），∴△ABC面积为S=bc sin A≤×3×=，则△ABC面积的最大值为：．故答案为：．三、解答题17．解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d＞0），由2a1，a3﹣1，a4+1成等比数列，可得，则2（1+3d+1）=（1+2d﹣1）2，解得（舍去）或d=2，所以{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，b1=a2=3，b2=a5=9，则等比数列{b n}的公比q=3，于是是以为首项，以为公比的等比数列．所以T n=．18．解：（Ⅰ）由题得，函数=（1+cos2x）+sin2x=sin（2x+）+，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，所以，f（x）的值域为[0，1+]．（Ⅱ）因为f（）=sin（A+）+=，∴sin（A+）=，∴A+=或，∴A=或0（舍去）结合a=4，b+c=5，∴a2=b2+c2﹣2bc•cos A=（b+c）2﹣3bc=25﹣3bc=16，∴bc=3，∴△ABC的面积S=bc•sin A=•3•=．19．解：（1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80 mg/100 mL（含80）以上者，共有0.05×60=3人；（2）由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值为=25×0.25+35×0.15+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.1+85×0.05=47（mg/100 mL）；（3）第五组和第七组的人分别有：60×0.1=6人，60×0.05=3人，|x﹣y|≤10即选的两人只能在同一组中；设第五组中六人为a、b、c、d、e、f，第七组中三人为A、B、C；则从9人中抽出2人的一切可能结果组成的基本事件如下：ab；ac；ad；ae；af；aA；aB；aC；bc；bd；be；bf；bA；bB；bC；cd；ce；cf；cA；cB；cC；de；df；dA；dB；dC；ef；eA；eB；eC；fA；fB；fC；AB；AC；BC共36种；其中两人只能在同一组中的事件有18种，用M表示|x﹣y|≤10这一事件，则概率P（M）==．20．（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF=B，∴面BCF∥面ADE（2）解：连接AC，AC∩BD=O∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD=D，∴AO⊥面BDEF，∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形，由BF=BD=a，则，∵，∴21．解：（1）由题意：f（x）是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，即log a+=0 ∴，解得：m=±1，当m=﹣1时，f（x）无意义，所以，故得m的值为1．（2）由（1）得，设2＜x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=﹣=∴2＜x1＜x2，∴0＜2x1x2+2（x1﹣x2）﹣4＜x1x2﹣（x1﹣x2）﹣4，∵a＞1，∴f（x2）＜f（x1）所以：函数f（x）在（2，+∞）上的单调减函数．（3）由（1）得，∴得，函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）又∵，得f（x）∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）令f（x）=1，则=，解得：．所以：f（）=1当a＞1时，＞2，此时f（x）在在（2，+∞）上的单调减函数．所以：当x∈（2，）时，得f（x）∈1，+∞）；由题意：r=2，那么a﹣2=，解得：a=5．所以：当x∈（r，a﹣2），f（x）的取值范围恰为（1，+∞）时，a和r的值分别为5和2．22．解：（Ⅰ）过椭圆C的上顶点与右顶点的直线L为=1，即bx+ay﹣ab=0．由直线L与圆x2+y2=相切相切，得=．①因为抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），所以c=1．即a2﹣b2=1，代入①，得7a4﹣31a2+12=0，即（7a2﹣3）（a2﹣4）=0，解得a2=4，a2=（舍去）．所以b2=a2﹣1=3．故椭圆C的标准方程为=1．（Ⅱ）当两射线与坐标轴重合时，S△OAB==．当两射线不与坐标轴重合时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立，消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．∴x1+x2=，x1•x2=．因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0．∴（k2+1）﹣+m2=0．整理，得7m2=12（k2+1），所以点O到直线AB的距离d===．因为OA⊥OB，所以OA2+OB2=AB2≥2OA•OB，当且仅当OA=OB时，取等号．由d•AB=OA•OB，得d•|AB|=|OA|•|OB|≤，所以|AB|≥2d=，即弦AB的长度的最小值是．所以△OAB的最小面积为S△OAB=×=．综上，△OAB面积的最小值为．。