用循环队列求解高次本原多项式
循环群讲义——精选推荐
§7循环群本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群――循环群.(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题. 先看一个简单的例子：{} ,10,10,10,1,10,10,10,32123---=G 对数的乘法作成群.特点是每个元都是固定元10的方幂.一、循环群的概念1.定义 G 称为循环群⇔群G 的每个元都是G 中某个固定元．．．a 的方幂⎩⎨⎧倍数－－针对加法乘方－－针对乘法. 记为)(a G =，a 称为G 的生成元. 即 G a G ⇔=)(是群，且⎩⎨⎧==∈∃∈∀)()(.,,加法乘法ka x a x st Z k G x k .（注意:k 与x 有关！）【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式.】2.注意:(一般情况下)生成元不唯一.a 是生成元1-⇔a 是生成元.【理由：k k a a --=)(1】3.范例【解决了循环群的存在问题.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】 ①整数加群),(+Z ，)1()1(-==Z .【1±是∞阶.00)1(=⇒=±n n 】问题:还有其他生成元?(无)【设1),(1)(1)(±=⇒∈==∈⇒=k Z k n nk k k Z 】*实际上可进一步证明：)()(a G a o =⇒∞=只有两个生成元1,-a a .【课外思考题】【设)(b G =，则有111,,)(-=⇒=⇒=⇒==∈∞=or s st aa b a a b Z t s a o st t s 】 ②模n 剩余类加群),(+n Z ，])1([=n Z .问题:还有其他生成元?(有)【])1([])1([-=-=n Z n 】*实际上可进一步证明：)()(a G n a o =⇒=的生成元为r a 当且仅当1),(=n r .【习题】【若1),(=n r ，则)()()()()()(1r u r v u r v n u r vn ur a a a e a a a a a vn ur =⇒====⇒=++. 反之，r a 是生成元，1),(1|)()()()(1=⇒-⇒=⇒=⇒===-n r rk n e a a a a a G na o rk k r r .】 ◎设p 为素数，则p 阶循环群)(a G =有1-p 个生成元：12,,,-p a a a .◎设p 为素数，则模p 剩余类加群p Z 的所有非零元都是生成元.二、循环群的种类1.结构定理 设循环群)(a G =同构于⎩⎨⎧=+∞=+n a o if Z a o if Z n)(),,()(),,(. 证明 注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处!(1)设∞=)(a o 【作用：0=⇔=k e a k 】此时，令k a Z G k →→,:ϕ，可证ϕ是同构映射.(证略)【ϕ是映射：若h k a a =，则h k h k e aa o h k =⇒=-⇒=∞=-0)(，说明对应元唯一. 易证ϕ是满射/单射. 再证ϕ的同态性:)()()()()()(,,y x a a h k axy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.】 (2)设n a o =)(【作用：k n e a k|⇔=】此时，令][,:k a Z G k n →→ϕ ϕ是映射：若h k a a =，则][][|)(h k h k n e a na o h k =⇒-⇒==-，说明对应元唯一. ϕ是单射：若][][h k =,则e e a a mn h k h k n m n a o m n h k ===⇒=-⇒-=-)()(|.ϕ是满射：][)(.,,][k a st G a Z k k k n =∈∃∈∀ϕ再证ϕ的同态性: )()()()(][][)()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.例1:循环群)(a G =的阶为⇔n 生成元a 的阶为n .【常用结论】证法 同构必同阶.若n a o =)(，则n Z G Z a n n ==⇒≅)(.反之，设n G =，若n a o ≠)(，则 ①∞=)(a o ,则∞==⇒≅Z G Z a )(矛盾；②n k a o ≠=)(,则n k Z G Z a k k ≠==⇒≅)(也矛盾. 循环群的结构定理说明了什么？【凡是无限循环群都彼此同构；有限循环群中，同阶则同构、不同阶则不同构.】例2:n 次单位根群{}1|=∈=n n x C x U 与n Z 同构.证法1 利用结构定理. )1,,1,0(2sin 2cos 12-=+==⇔=n k n k i n k ex x i n k k n πππ )()(222i n n k i n i n k e U e e πππ=⇒=是循环群,且生成元i n e π2的阶为n ,所以n i n n Z e U ≅=)(2π.证法2 直接建立同构映射. 令][:2k e i n k →πϕ,可证ϕ是同构映射.2.意义：从同构观点看，循环群只有两类――整数加群与模n 剩余类加群.【解决了循环群的数量问题】最后，讨论循环群的构造问题.这个问题从结构定理的证明过程就可得到.三、循环群的构造[构造定理] 设循环群)(a G =，则有{}Z k a a G a o k ∈==⇒∞=|)()(；{}1,,2,1,0|)()(-===⇒=n k a a G n a o k .证明 由结构定理的证明过程即得.另证：直接证明两个集合互相包含.【由运算封闭性，右集⊆左集；反之，m a x a G x =⇒=∈∀)(.若)()(Z k a a o k ∈⇒∞=彼此互异， 此时∈=m a x 右集1；若n a o =)(，设)0(n r r kn m <≤+=，则∈==r r kn m a a a a 右集2】至此，循环群所要研究的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题圆满得到解决.好比线性方程组解的讨论包括判定、数量、结构三大问题.当然，还可进一步把循环群和其他概念相结合，研究新的性质.比如在今后学习中可以得到：循环群是交换群；循环群的子群还是循环群；循环群的同态像还是循环群等等.四、课后思考题n or a o ∞=)(时，循环群)(a G =的生成元有哪几个？在结构定理证明中a 的阶用途是什么？◎3S 是不是循环群？◎),(+Q 不是循环群.【设)(a Q =,则210)12()(220=⇒=-⇒∈=⇒∈⇒∈≠n a n Z n na a Q a Q a a 】 ◎循环群是交换群(习题)；但交换群未必是循环群.比如:{}1|=∈=n n x C x A 是循环群， ∞==1n n AU 是交换群但不是循环群. ◎循环群是少数研究清楚的群.此外,有限单群也是.【单群】没有非平凡不变子群的群.有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经全世界上百名的数学家约40年的共同努力，终于在1981年得到解决，这是数学史上的又一个非凡成就.有限单群分类的整个论证用了5000页以上的篇幅，散布在超过300篇文章之中,引用了很多新的群论概念和证明了大量的定理.《简爱》是一本具有多年历史的文学着作。
c++信息学奥赛一本通3079计算多项式的值
c++信息学奥赛一本通3079计算多项式的值《从零开始学习C++：信息学奥赛一本通3079计算多项式的值》1. 引言作为一种高级编程语言，C++在信息学竞赛中拥有广泛的应用。
今天，我们将深入探讨C++中计算多项式的值这一主题，结合信息学奥赛一本通3079题目，通过从简到繁的方式，帮助读者了解如何运用C++解决这类问题。
2. 多项式的定义与意义在数学中，多项式是由若干个常数与未知数的自然数次幂乘积的和而成。
在计算机领域，多项式的计算经常会涉及到复杂的数值运算，因此掌握C++中计算多项式值的方法对于信息学竞赛选手来说至关重要。
3. 从简单到复杂：一次项多项式的计算我们将从最简单的情况出发，介绍如何使用C++计算一次项多项式的值。
以方程f(x) = ax + b为例，我们可以使用C++中的基本变量类型和运算符来实现对该多项式值的计算。
首先定义a和b的值，然后利用C++的加法和乘法运算得出结果，最后输出计算结果。
4. 深入探讨：高次项多项式的计算接下来，我们将探讨如何使用C++计算高次项多项式的值。
信息学奥赛一本通3079题目中涉及了如何计算高次项多项式的值，这需要我们掌握C++中数组的运用。
我们可以利用数组存储多项式的系数，然后通过循环遍历数组进行累加运算，最终得出多项式的值。
这种方法对于解决涉及大量数据计算的问题尤为重要。
5. 提高灵活性：多项式计算的优化在实际的信息学竞赛中，我们经常会面临大规模数据的计算需求。
优化多项式计算的效率显得尤为重要。
在C++中，我们可以利用位运算、快速幂等技巧来优化多项式的计算过程，从而提高程序的执行速度。
通过掌握这些优化方法，我们可以在竞赛中更好地应对各种挑战。
6. 个人观点与总结从以上讨论中，我们可以看到，在信息学竞赛中，掌握C++计算多项式值的方法对于解决各种复杂问题具有重要意义。
通过从简到繁的方式，我们可以更深入地理解多项式计算的原理，并通过优化方法提高程序的效率。
求解本原多项式的快速算法
第３４卷场Ｌ３４第１５期Ｎｏ．１ｓ计算机工程ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ２００８年８月ＡｕｇＩｌｓｔ２００８·安全技术·文章编号一ｌ伽恤·３４２８（２ｌ啪Ｊ１５．＿０１４６—０２文献标识码ＩＡ中国分类号ＩＴＰ３０１．６求解本原多项式的快速算法郭鑫，陈克非（上海交通大学计算机科学与工程系，上海２００２４０）囊要：本原元和本原多项式是有限域理论中的２个重要的概念。
本原元的求解问题是解决实际密码序列问题的前提条件，而本原元的求解问题又可以归结为本原多项式的求解问题。
该文结合求解最小多项式的方法给出一个在二元有限域上本原多项式的求解算法，在求解过程中同时给出了相应的最小多项式，并给出了算法相应的效能分析。
关健词：有限域；本原元；本原多项式；最小多项式；陪集ＱｕｉｃｋＡｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒＳｅａｒｃｈｉｎｇＰｒｉｍｉｔｉＶｅＰｏｌｙｎｏｍｉａｌＧＵＯＸｉｌｌ．ＣＨＥＮＫｅ．ｆｅｉ（ＤｃｐａｎＩｎｅｎｔｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ柚ｄＥｎｇｉｎ∞ｒｉｎｇ＇Ｓｈ柚ｇｈａｉＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉＶｅｒｓｉ吼ＳｈａＪｌ曲ａｉ２００２４０）ｌ舳ｓ湘ｃｔｌ蹦商ｔｉｖｅｅＩｅｍｃｎｔｓ勰ｄ硼ｒｎｉ６ｖｅｐｏＩｙｎｏＩｎｊａｌｐｌａｙｖｅｒｙｉｍｐ０啦ｎｔｒｏｌｅｓｉｎｔｌｌｅｔＩＩｅｏｒｙｏｆ凼ｅｆｉｎｉｔｅｆｉｅＩｄ．ｈｉｓｔｌｌｅｐｒｅｎｌｉｓｃｏｆｓｏｌｖｉｎｇｍｅｐｒｏｂｌｅｍａｂｏｕｔｃｏｄｅｓｃｑｕｅｎｃｅｓ柚ｄｓｅａｒｃｈｉｎｇｔｈｅｐｒｉＩＩｌｉｔｉＶｅｅｌｅｍｅｎｔｓｃ卸ｃｏｍｅｄｏｗｎｔ０ｓｅａｒ；ｃｈｉｎｇｐｒｉＩＩＩｉｔｉｖｅｐｏｌｙｎｏｍｉａＩ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒ画ｖｅｓａｎｅｗａｌｇｏｒｉ血ｍｆ斫ｓｅａｒｃｌｌｉｎｇｐｒｉｒｎｉｔｉＶｅｐｏＩ”ｏＩＩｌｉａｌｓｉＩｌｔｌｌｅｂｉｎａｒｙｆｉｅｌｄ咄蚯ｎｇｕ辩ｏｆｔＩｌｅａｌｇｏｒｉｔ｜ｌｍｆｂｒｓｅａｒｃＩｌｉｎｇ山ｅｍｉｎｉｍａｌｐｏｌｙｎｏｌＩｌｉａｌ，ａＩｌｄａｌｓ０ｇｉｖｅｓ叩ｔｔｌｌｅｒＩｌｉｎｉＩｌｌａｌｐｏｌｙ∞ＩＩｌｉａｌｉｎｔｔｌｅｓｅａｒｃＭｎｇｐｒｏｃｅｓｓ．Ｉｔｓｈｏｗｓｔｈｅｅ历ｃｉｅｎｃｙａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｌｌｅａｌｇｏｒｉｔｌｌＩｎ．ＩＫｅｙｗｏｒｄｓｌｆｉｒＩｉｔｃｆｉｅｌｄ；ｐｒｉｍｉｔｉｖｅｅｌｅｍｅｎｔ；ｐｒｉｍｉ石ｖｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ；ｍｉＩｌｉｍａｌｐｏｌｙｎｏｌｌｌｉａ】；ｃｏ∞ｔ有限域上的本原多项式在密码学、扩频通信、纠错码理论、信息隐藏技术等各方面都有重要的应用，而本原多项式的寻找和生成是一个复杂的过程，需要大量的计算，尤其是当位数较高时更难得到。
本原多项式概念
本原多项式概念本原多项式是代数学中一个重要的概念，它在数学领域有着广泛的应用。
本原多项式是指在整数环中，其系数的最大公约数为1的多项式。
本原多项式的概念首先出现在整数环中，但它也可以推广到其他环中。
本原多项式在数论、代数、几何和密码学等领域都有着重要的应用，因此对于本原多项式的研究具有重要的意义。
首先，我们来看一下本原多项式的定义。
设P(x)是一个整系数多项式，如果P(x)的系数的最大公约数为1，则称P(x)是一个本原多项式。
例如，多项式2x^2+3x+1的系数分别为2、3和1，它们的最大公约数为1，因此2x^2+3x+1是一个本原多项式。
本原多项式的概念可以推广到任意的环中。
在整数环中，我们可以使用欧几里德算法来求解多项式的最大公约数，从而判断一个多项式是否为本原多项式。
在有限域中，本原多项式也有着重要的应用，特别是在密码学中。
本原多项式可以用来构造伪随机序列和置换箱等密码学基础算法，因此对本原多项式的研究对于密码学领域具有着重要的意义。
在代数学中，本原多项式也有着重要的应用。
本原多项式可以用来构造域的扩张，从而研究域论中的一些基本性质。
本原多项式还可以用来解决一些代数方程和不定方程，因此对于代数学研究也具有着重要的意义。
除此之外，在几何学中，本原多项式也有着一些应用。
例如，在代数几何中，本原多项式可以用来描述代数曲线和代数曲面，从而研究几何对象的性质。
本原多项式还可以用来描述椭圆曲线和超椭圆曲线等特殊曲线，这些曲线在密码学和编码理论中有着重要的应用。
总之，本原多项式是一个非常重要的概念，在数学领域有着广泛的应用。
它不仅在整数环中有着重要的性质，在其他环中也有着重要的推广和应用。
本原多项式在数论、代数、几何和密码学等领域都有着重要的应用，因此对于本原多项式的研究具有着重要的意义。
希望通过对本原多项式的深入研究，可以发现更多有趣的性质和应用，从而推动数学理论和实际应用的发展。
循环多项式
循环多项式摘要：一、循环多项式的概念与特点1.定义2.特点二、循环多项式的求解方法1.辗转相除法2.长除法3.因式分解法三、循环多项式的应用1.在数值计算中的作用2.在计算机科学中的运用四、循环多项式的优缺点1.优点2.缺点五、如何优化循环多项式的计算1.算法改进2.编程实践正文：循环多项式是指在一个多项式中，存在一项或多项与其他项有相同或相似的系数，这种多项式被称为循环多项式。
循环多项式在数学、物理、计算机科学等领域有着广泛的应用。
一、循环多项式的概念与特点1.定义循环多项式是由若干个单项式组成的多项式，其中存在一项或多项与其他项具有相同或相似的系数。
可以用如下形式表示：a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ...+ a_1*x + a_0其中，a_n、a_(n-1)、...、a_1、a_0 为实数或复数，且a_n ≠ 0。
2.特点循环多项式的特点主要有以下两点：（1）循环项：多项式中存在与其他项具有相同或相似系数的项。
（2）非循环项：多项式中除循环项外的其他项。
二、循环多项式的求解方法1.辗转相除法辗转相除法是求解循环多项式的一种方法。
其基本思路是：用多项式的最高次项除以最低次项，然后用余数替换被除式，继续用商除以余数，直到余数为0为止。
最后，将除数倒序排列，即为循环多项式的根。
2.长除法长除法与辗转相除法类似，也是求解循环多项式的一种方法。
长除法的过程是将多项式的最高次项与最低次项相除，然后将商与下一项组成一个新的多项式，继续进行除法运算，直到得到一个非循环多项式为止。
最后，将除数倒序排列，即为循环多项式的根。
3.因式分解法因式分解法是将循环多项式分解成若干个非循环多项式的乘积，从而求得循环多项式的根。
这种方法适用于较简单的循环多项式，当多项式具有一定的规律时，可以通过观察系数和指数的关系进行因式分解。
三、循环多项式的应用1.在数值计算中的作用循环多项式在数值计算中具有重要作用，如在求解非线性方程组、插值、拟合等方面。
m序列反馈系数和本原多项式的关系
m序列反馈系数和本原多项式的关系
m序列是一种伪随机序列，它的产生依赖于反馈系数和初始状态。
本原多项式是用来生成m序列的关键元素之一。
m序列的周期性和性质与本原多项式的选取密切相关。
首先，让我们了解一下本原多项式。
本原多项式是一个在有限域上不可约的多项式，其次数为m。
在m序列的生成中，本原多项式的次数决定了m序列的周期性，而本原多项式的系数则决定了m 序列的具体生成规则。
反馈系数是用来确定m序列的状态更新规则的。
在m序列的生成中，反馈系数决定了每一步中哪些位的状态会被用来生成下一步的状态。
反馈系数的选取直接影响了m序列的周期性和复杂性。
本原多项式和反馈系数之间的关系在于，本原多项式的系数可以用来确定反馈系数。
具体来说，本原多项式的系数可以被转化为对应的反馈系数，从而确定m序列的生成规则。
反之，给定一组反馈系数，我们可以通过一定的算法来确定对应的本原多项式。
总的来说，本原多项式和反馈系数是密切相关的，二者共同决
定了m序列的生成规则和性质。
正确选择本原多项式和反馈系数对于生成高质量的m序列至关重要。
希望这个回答能够全面回答你的问题。
求本原元的方法
求本原元的方法
本原元指的是在模运算下，存在一个数a使得对于任意数x，都能通过a的若干次幂与模数取余得到x。
求本原元的方法有以下几种： 1. 质因数分解法：先将模数n分解为质因数，然后对于每个质因子p，求出n/p的欧拉函数φ(n/p)，然后对φ(n/p)进行质因数分解，得到n/p的所有质因子，最后枚举a从2到n-1，验证a的φ(n/p)次幂与模数取余是否都不为1，若都不为1，则a是n的一个本原元。
2. 原根定理法：根据原根定理，当模数n为2、4、p的幂(p为奇素数)或2p的幂(p为奇素数)时，n有原根，即本原元存在。
因此，可以先用快速幂算出1~n-1的所有幂，然后枚举a从2到n-1，验证a的幂是否与1~n-1的所有幂都互不相同，若成立，则a是n的本原元。
3. Baby Step-Giant Step法：将模数n分解为p^k的形式，然后将模运算转化为离散对数问题，在模p下，枚举x从0到p-1，计算出xGiant，然后将结果存入hash表中。
接着，枚举y从0到p-1，计算出yBaby，并在hash表中寻找与之相等的值，找到则返回y*p^k + x，即为本原元。
4. 数域筛法：将模数n看做一个多项式f(x)，然后根据多项式的性质，对多项式进行数域筛法。
具体做法是，先将f(x)分解为一些不可约多项式的积，然后对每个不可约多项式g(x)，选择一个系数a，使得g(x)的一个根α的a次幂在模n下不为1，然后通过扩展欧几里得算法求出一个b，使得ab mod φ(n) = 1，然后a的b次幂
即为模n下的本原元。
注：以上方法仅为求本原元的一些常见方法，实际应用中，选择何种方法取决于具体情况。
本原多项式的判别新算法
文 章 编 号 :１００１Ｇ９１４６(２０１９)０１Ｇ０１００Ｇ０３
０ 引 言
０－１域上本原多项式在密码、编码和通信上有着广泛 的 应 用 . [１Ｇ２] 因 此,求 解 和 寻 找 本 原 多 项 式 问 题引起了学术界的关注.郭鑫等 结 [３] 合求解最小多项式 的 方 法 给 出 了 一 个 ０－１ 域 上 求 解 本 原 多 项 式 的算法.最近,有些学者提出通过缩小搜索范围 来 优 化 寻 找 本 原 多 项 式 的 算 法 . [４Ｇ６] 但 是,本 原 多 项 式
������ b１ b０ ùú
������ a１ a０ ú
������ a０
ú ０ú
⋮ ⋮ ⋮ú ������ ０ ０ ûúú
因为r(B０)＝m－n＋１,由 引 理 １ 可 知,必 有 g(x)f(x). 特 别 地,f(x)是 形 如 xm －１ 的 多 项 式,
g(x)又是一个n 次不可约多项式且g(x)≠x 时,由
第 ３９ 卷 第 １ 期 ２０１９ 年 １ 月
杭 州 电 子 科 技 大 学 学 报(自然科学版)
Journal of Hangzhou Dianzi University(NaturalSciences)
DOI:１０．１３９５４/j．cnki．hdu．２０１９．０１．０１９
Vol．３９ No．１ Jan．２０１９
２ 判别算法的思想与设计
判别算法思想是将 B 进行初等行变换后,得到矩阵
éêbm bm－１ ê０ ０ ê B０＝ ê ０ ０ ê⋮ ⋮ ëêêan an－１
������ ������ ������ ������ ������ ０ ０ an ������ ０ an an－１ ⋮⋮⋮ ⋮ ������ a０ ０ ０