福建省平潭县新世纪学校2021届高考百盛高三冲刺班数学寒假作业(五)(导数)(2)
福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题(58)(冲刺班)
福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题（58）（冲刺班）一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A ．任何两个变量都具有相关关系B ．球的体积与该球的半径具有相关关系C ．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系D ．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系2．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x （每分钟鸣叫的次数）与气温y （单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程0.25y x k =+，则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为（ ）A ．33℃B ．34℃C ．35℃D ．35.5℃ 3．为促进就业，提升经济活力，2020年我国多个城市开始松绑“地摊经济”，A 市自大力发展“地摊经济”以来，夜市也火了起来，下表是A 市2020年月份代码x 与夜市的地摊摊位数y (单位：万个)的统计数据：若y 与x 线性相关，且求得其线性回归方程为ˆ23050yx =+，则表中t 的值为（ ） A ．340B ．360C ．380D ．无法确定4．如果在一次实验中，测得(x ，y )的四组数值分别是(1，2.2)，(2，3.3)，(4，5.8)，(5，6.7)，则y 对x 的线性回归方程是（）A ．0.15 4.05y x =+ B ． 1.45y x =+C ． 1.05 1.15y x =+D ． 1.15 1.05y x =+ 5．以下结论不正确的是（ ）A ．根据22⨯列联表中的数据计算得出2 6.635K ≥，而()26.6350.01P K ≥≈，则有99%的把握认为两个分类变量有关系B ．2K 的值越大，两个事件的相关性就越大 C ．在回归分析中，相关指数2R 越大，说明残差平方和越小，回归效果越好 D ．在回归直线0.585y x =-中，变量200x =时，变量y 的值一定是15 6．下列命题错误的是（ ）A ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B ．设()2~1,N ξσ⋅，且(0)0.2P ξ<=，则()120.2P ξ<<=C ．线性回归直线ˆybx a =+一定经过样本点的中心(),x y D ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高 二、填空题7．某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过______．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 8．有下列结论：①某年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为160；②一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则列频率分布表时应将样本数据分为9组；③若y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.632yx =+，其中x 的取值依次为2，8，6，14，20，则46y =；④用一组样本数据8，x ，10，11，9估计总体的标准差，若样本的平均数为10，则估__________．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题9．某厂家营销人员收集了日平均气温x （单位：C ︒）与某款取暖器的日销售额y （单位：万元）的有关数据如下表：已知日销售额y 与日平均气温x 之间具有线性相关关系．（1）根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）求出的线性回归方程，预测日平均气温为7C -时该取暖器的日销售额为多少万元．参考公式：在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．参考依据：51524i ii x y==-∑．10．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：（1）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（2）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立，为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考答案1．D【分析】根据相关关系是一种不确定关系，函数关系是一种确定关系，可判断A；根据球的体积与半径之间的关系，可判断该关系为函数关系，可判断B；根据农作物的产量与施化肥量之间的关系可得该关系为一种相关关系，可判断C；根据学生的数学成绩与物理成绩之间是一种相关关系可判断D.【详解】解：当两个变量之间具有确定的关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，故A错误；球的体积与该球的半径之间是函数关系，故B错误；农作物的产量与施化肥量之间的关系是相关关系，是非确定性关系，故C错误；学生的数学成绩与物理成绩之间的关系是相关关系，是非确定性关系，故D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查的知识点是变量间的相关关系，熟练掌握相关关系与函数关系之间的区别是解答的关键.2．B【分析】根据回归直线方程必过(),x y点，求出回归方程，再代入56x=计算可得；【详解】解：由题意，得2030405060405x++++==，2527.52932.536305y++++==，则0.25300.254020k y x=-=-⨯=；所以0.2520y x =+当56x =时，0.25562034y =⨯+=． 故选：B ． 3．B 【分析】根据回归直线方程过样本中心点(,)x y ，即可求解. 【详解】由题意，根据表格中的数据，可得1234535x ++++==，代入ˆ23050yx =+，可得230503=380y =+⨯， 又由()12903304404803805t ++++=，解得360t =. 故选：B. 4．D 【分析】根据题中数据，求得,x y ，再代入公式，可求得,b a ，即可求得方程. 【详解】根据四组数据，可得1245 2.2+3.3+5.8+6.73,=4.544x y +++===，所以1=1 2.2+2 3.3+4 5.8+5 6.7=65.5ni i i x y =⨯⨯⨯⨯∑，221222=1+2+4+5=46ni i x =∑，所以12221·65.543 4.511.5=1.15464310ˆni ii ni i x y nx y bx nx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑， 所以ˆ 4.5 1.153 1.05a y bx=-=-⨯=， 所以回归直线方程为： 1.15 1.05y x =+. 故选：D5．D 【分析】对于A ，()26.6350.01P K ≥≈，可得结论；对于B ，2K 越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大，相关性就越大；对于C ，在回归分析中，相关指数2R 越大，说明残差平方和越小，回归效果越好； 对于D ，当回归直线方程中，当变量等于200时，y 的值平均是15，不能说一定是15. 【详解】解：对于A ，()26.6350.01P K ≥≈，故有99%的把握认为两个分类变量有关系，即A 正确：对于B ，2K 越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大，相关性就越大，即B 正确； 对于C ，在回归分析中，相关指数2R 越大，说明残差平方和越小，回归效果越好，即C 正确；对于D ，当回归直线方程中，当变量等于200时，y 的值平均是15，不能说一定是15，故D 错误. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查线性回归方程的意义和独立性检验的应用，独立性检验是先假设两个分类变量无关，计算出2K 的值，并与临界值进行比较，可以判断两个变量有关系的程度.在该假设下，随机变量2K 应该很小，如果实际计算出的2K 的值很大，则在一定程度上说明假设不合理. 6．B 【分析】利用相关关系判断A ；由正态分布的性质判断B ；由线性回归直线的性质判断C ；由残差的性质判断D.【详解】对于A ，根据相关系数的意义可知，A 正确； 对于B ，由()2~1,N ξσ，知1μ=，即概率密度函数的图像关于直线1x =对称，所以(0)(2)0.2P P ξξ<=>=，则()12(0)120.32P P ξξ-<<<==，故B 错误；对于C ，根据线性回归直线的性质可知，C 正确； 对于D ，根据残差图的意义可知， D 正确； 7．0.025 【分析】根据列联表计算2K ，再根据临界值参考数据比较大小即可得出结论． 【详解】()()2210545201030 6.109 5.024,6.63555507530K ⨯-⨯==∈⨯⨯⨯，故答案为：0.025． 8．①②④ 【分析】①由分层抽样的比例关系即可确定男生的数量；②按极差:组距确定组数；③由数据求x，结合回归方程求y 即可；④利用标注差与均值的关系，求出标准差；进而判断各项的正误. 【详解】对于①，抽取比例为28028025604209807==+，所以样本中男生人数为25601607⨯=，正确； 对于②，根据列频率分布表的步骤，极差:组距140518.910-==，故分为9组较为恰当，正确；对于③，因为1(2861420)105x =++++=，回归直线过样本点的中心(),x y ，所以1.6103248y =⨯+=，错误；对于④，因为该组样本数据的平均数为10，所以(810119)510x ++++÷=，所以12x =，所以21(44011)25s =⨯++++=，所以s =故答案为：①②④.9．（1）ˆ 2.415.4y x =-+；（2）32.2万元.【分析】（1）先根据表中的数据求出55211,,,i i i i i x y x y x ==∑∑，然后代入公式中求出b ，再求出a ，从而可得回归方程；（2）把7x =-代入回归方程中求解即可得答案 【详解】解：（1）由已知条件可得2345645x -----==-，2023252730255y ++++==，51524i ii x y==-∑，52190i i x ==∑，则152215ˆ 2.45ni ii ii x y xybxx ==-==--∑∑．再由25( 2.4)(4)ˆa=--⨯-，可得ˆ15.4a =． 所以回归直线方程为ˆ 2.415.4yx =-+． （2）由回归直线方程为ˆ 2.415.4yx =-+可得， 当7x =-时，ˆ32.2y=，即预测日平均气温为 7C -时，该取暖器的日销售额为32.2万元． 10．（1）表格见解析，没有95%的把握；（2）最有可能是8人. 【分析】首先根据表格数据列出列联表，计算卡房做出判断即可；先计算1名患者潜伏期超过6天的概率，再判断20名患者中潜伏期超过6天的人数服从二项分布，列出分布列，根据概率最大列出不等式组，求解不等式组， 根据k 要取整数得出答案. 【详解】（1）根据题意补充完整的列联表如下：则22200(65455535)252.0831208010010012K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，2 2.083 3.841K ≈<，福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题（58）（冲刺班）11 / 1111 所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（2）由题可得该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率为250130155210005+++=， 设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X ，则2~20,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，202023()55k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,2,3,,20k =⋅⋅⋅，由()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=+⎧⎨=≥=-⎩，即2011912020201211202023235555232315555k kk kkk k kk k k C C C C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，化简得3(1)2(20)2(21)3k k k k +≥-⎧⎨-≥⎩，解得374255k ≤≤，又1,2,3,,20k =⋅⋅⋅，所以8k ，即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.【点睛】本题主要考查独立性检验和二项分布中概率最大，属于中档题目.。
福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题(46)(冲刺班)
福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题（46）（冲刺班）一、单选题1．在双曲线中，ca =，且双曲线与椭圆4x 2＋9y 2＝36有公共焦点，则双曲线的方程是（ ）A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2214y x -= D ．2214x y -=2．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一个焦点F 做垂直于x 轴的直线交C 于,A B 两点，坐标原点为O ，且OAB 为等腰直角三角形，则此双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D 3．已知双曲线22:1(0)8x y M m m m -=>+的焦点F 到其渐近线的距离为4，则双曲线M 的渐近线方程是（ ）A ．13y x =± B ．12y x =± C ．y = D ．y =4．已知点1F ､2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足122||F F OP =，123PF PF ≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．51,2⎛⎤⎥⎝⎦5的双曲线叫黄金双曲线，若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>是黄金双曲线，则22a b等于（ ）A ．12B ．352 C ．22D 二、填空题6．与双曲线2214y x -=有相同渐近线，且过点(的双曲线方程为__________．7．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________.8．已知双曲线方程为222x y k -=，焦距为6，则k 的值为________. 三、解答题9．已知命题p ：实数m 满足不等式22320(0)m am a a -+<>；命题q ：实数m 满足方程22115x y m m +=--表示双曲线. （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.10．如图，平面上，P 、Q 两地间距离为4，O 为PO 中点，M 处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得60MOQ ∠=︒，且O 、M 间距离为23，现一机器人N 正在运行，它在运行过程中始终保持到P 地的距离比到Q 地的距离大2（P 、O 、M 、N 及电波直线均共面），请建立适当的平面直角坐标系.（1）求出机器人N 运行的轨迹方程；（2）为了使机器人N 免受M 处发射的电波的影响（即机器人接触不到过点M 的直线），求出电波所在直线斜率k 的取值范围.参考答案1．B 【分析】根据椭圆方程求得c 以及双曲线焦点所在坐标轴，根据ca求得a ，由此求得b ，进而求得双曲线的方程. 【详解】椭圆方程可化为22194x y +==c =x 轴上.由于ca ，所以2a =，所以1b ==，所以双曲线的方程为2214x y -=.故选：B 2．D 【分析】由OAB 为等腰直角三角形，可得OF FA FB ==，即2b c a，化为22ac c a =-，进而可得结果. 【详解】过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作垂直于x 轴的直线，交双曲线于,A B 两点，由x c =可得2by a=±，所以2b FA FB a==，又因为OAB 为等腰直角三角形， 所以OF FA FB ==，可得2b ca，即22ac c a =-，可得210,1e e e --=>，解得e =故选：D. 3．C 【分析】利用已知条件和点到直线的距离公式即可求出m 得值，进而可得渐近线方程. 【详解】由双曲线22:1(0)8x y M m m m -=>+可得2a m =，28b m =+， 渐近线方程为：by x a=±，即0bx ay ±=，所以焦点(),0F c ±bcb c==， 所以4b =，可得2816b m =+=，解得：8m =，所以822a m ===所以双曲线M 的渐近线方程是4222y x x =±=±.故选：C. 4．C 【分析】由题意可知12PF PF ⊥，根据双曲线的定义及123PF PF ≥可得2PF a ≤，则()()2222222242PF a PF c a a a ++=≤++，然后得出ce a=的取值范围. 【详解】若点P 在双曲线C 的右支上，且满足122||F F OP =，则12PF PF ⊥，则222124PF PF c +=，又因为123PF PF ≥，所以12222PF PF a PF -=≥，即2PF a ≤， 所以()()2222222242PF a PF c a a a ++=≤++，得2225c a ≤，故51022c a ≤=，又1c a >，所以双曲线C 离心率的取值范围是1012e <≤. 故选：C.【点睛】求解双曲线的离心率及离心率的取值范围时，先要根据题目条件找出等量关系，构造出关于a ，c 的齐次式，然后求解ca的值；解答离心率的取值范围问题时，也可以通过取特殊位置或特殊点求解，然后确定离心率的取值范围. 5．A 【分析】根据题意知1222a c =，平方后利用222c a b =+化简即可求出22a b .【详解】由题意22a c =，所以22222(3(3)a c a b =-=+，解得2212a b -=，故选：A6．22182-=y x【分析】设所求双曲线方程为224y x λ-=，代入已知点的坐标求得参数即得．【详解】由题意设所求双曲线方程为224y x λ-=，由于双曲线过点(，所以1214λ-=，2λ=-， 双曲线方程为2224y x -=-，即22182-=y x ．故答案为：22182-=y x ．7．4 【分析】由双曲线知：12||F F =12||||||2PF PF -=，根据余弦定理有2221212121||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，结合已知条件即可求12||||F P P F ⋅.【详解】由双曲线方程知：12||2F F c == 在△PF 1F 2中，由余弦定理知：2222121212121212||||||2||||cos (||||)||||F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，∴21212||||8(||||)PF PF PF PF ⋅=--，而12||||||2PF PF -=， ∴12||||4PF PF ⋅=. 故答案为：4. 8．6± 【分析】由双曲线焦距可得3c =，讨论焦点在x 轴、y 轴上，结合222+=a b c 求k 值即可. 【详解】由焦距为6，知：3c =，若焦点在x 轴上，则方程可化为2212x y k k -=，即92k k +=，解得k =6；若焦点在y 轴上，则方程可化为2212y x k k -=--，即92k k --=，即k =-6.综上所述，k 值为6或-6. 故答案为：±6.9．（1）(),2a a ；（2）5[1,]2. 【分析】（1）化简不等式为()()20m a m a --<，结合不等式的解法，即可求得实数m 的取值范围；（2）分别求得当命题,p q 为真命题时，实数m 的取值范围，结合p 是q 的充分不必要条件，根据集合的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）由不等式22320m am a -+<，可得()()20m a m a --<， 因为0a >，可得2<<a m a ，所以实数m 的取值范围为(),2a a .（2）命题p 为真时，实数m 的取值范围为(),2a a ，当命题q 为真时，方程22115x y m m +=--表示双曲线，则满足()()150m m --<， 解得15m <<，即实数m 的取值范围为()1,5， 因为p 是q 的充分不必要条件，即()(),21,5a a ，所以125a a ≥⎧⎨≤⎩，解得512a ≤≤，所以实数a 的取值范围5[1,]2. 10．（1）()22103y x x -=>；（2）)3,23⎡⎣. 【分析】（1）以点O 为坐标原点，以PQ 所在的直线建立直角坐标系，利用定义法求出动点N 的轨迹方程；（2）设直线的方程为3(3)y k x -=-，联立直线和双曲线的方程，利用判别式求解. 【详解】福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题（46）（冲刺班）11 / 1111 （1）如图所示，以点O 为坐标原点，以PQ 所在的直线建立直角坐标系，则(2,0),(2,0)P Q -, 设点(,)N x y ，则||||2||4NP NQ PQ -=<=,所以动点N 是以点,P Q 为焦点的双曲线的右支，由题得21,2,a c ==所以2413b =-=，所以动点N 的轨迹方程为()22103y x x -=>. （2）由题得点M的坐标为，设直线的方程为3(y k x -=-，即：(3y k x =+， 联立直线和()22103y x x -=>消去y得22223)6)3120k x k x k -+-+--=（ 当230k -=时，若k =k =直线就是双曲线的渐近线，不符合题意；当230k -≠时，由∆<0得22226)43312)0k k k -----<（，所以(0k k -<，k <<.k ≤<所以电波所在直线斜率k的取值范围.。
福建省平潭县新世纪学校2021届高考百盛高三冲刺班数学寒假作业(五)(导数) (1)
百盛高三冲刺班数学寒假作业（五）（导数）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数()y f x =的定义域为()a b ，，导函数()'y f x =在()a b ，内的图象如图所示，则函数()y f x =在()a b ，内的极小值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．若函数()3221f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，则m 的取值范围是（ ） A ．43m ≥ B ．43m > C ．43m ≤ D ．43<m 3．下列求导运算不正确的是（ ）A ．()22x x '=B ．()1ln 33x x e e '+=+C ．()33ln 3x x '= D ．()sin cos x x '= 4．函数()x x f x e =在区间[]0,3上的最大值为（ ）A ．0 B ．1eC ．22eD ．33e 5．曲线2y x x=+在点()1,3处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）A ．4B ．2C ．16 D ．8 6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设函数()f x '是奇函数()f x 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()1,01,-⋃+∞B ．()(),10,1-∞-⋃C ．()(),11,0-∞--D ．()()0,11,+∞8．已知函数ln ()x f x a x=-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(0,e) B ．(,e)-∞ C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知()ln x f x x=，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =- B ．单调递增区间为(),e -∞C ．()f x 的极大值为1eD ．方程()1f x =-有两个不同的解10．设函数cos 2()2sin cos x f x x x=+，则（ ） A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减三、填空题11．航天飞机发射后的一段时间内，第t 秒时的高度()32530454h t t t t =+++，其中h 的单位为m ，t 的单位为s ，则第2s 末的瞬时速度为________m/s .12．曲线1x y xe x =++在点()0,1处的切线方程为______.13．若曲线562x y e x =-+的一条切线与直线l ：60x y -+=互相垂直，则该切线的方程为_________.14．已知函数2()ln 3m f x x x x x=+-+．若函数()f x 在[1,2]上单调递减，则实数m 的最小值为________．四、解答题15．已知函数()()3f x alnx ax a R =--∈．（1）函数()f x 的单调区间；（2）当1a =-时，证明：当()1x ∈+∞，时，()20f x +>．16．某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值．已知投入x 万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为()260x x -万元，并且技改投入比率为(]0560x x∈-，．（1）求技改投入x 的取值范围；（2）当技改投入为多少万元时，所获得的产品的增加值最大，其最大值为多少万元？参考答案1．A【分析】根据极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，结合图象即可求得结论．【详解】解：因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由图得：导函数值先负后正的点有1个．所以函数()f x 在区间(,)a b 内极小值点的个数是1．故选：A ．2．A【分析】由于()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立，利用参数分离求得参数范围.【详解】因为()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立，则()2340f x x x m '=++≥所以 234m x x ≥--在R 上恒成立，令()234g x x x =--，则()max m g x ≥因为()g x 为二次函数且图像的对称轴为23x =-，所以()max 2433g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 故43m ≥ 故选：A【点睛】方法点晴：本题利用导数与单调性的关系转化为恒成立问题，结合参数分离法求得参数范围. 3．B【分析】根据导数的四则运算法则和常用函数导数公式判断即可.【详解】根据导数的四则运算法则和常用函数导数公式知()ln 30'=，故选项B 不正确.故选：B4．B【分析】求出导数，求出函数的单调区间，根据单调性判定最值.【详解】解：由题意可得()1xx f x e -'= 当()0,1x ∈时，()0f x '>；当()1,3x ∈时，()0f x '<所以函数在()0,1上单调递增，在()1,3上单调递减，所以()max 1(1)f x f e==故选：B.【点睛】求函数区间上的最值的步骤：（1）求导数()'f x ，不要忘记函数()f x 的定义域；（2）求方程()0f x '=的根；（3）检查在方程的根的左右两侧()'f x 的符号，确定函数的极值.（4）求函数区间端点函数值，将区间端点函数值与极值比较，取最大的为最大值，最小的为最小值. 5．D【分析】首先可求出曲线的导函数()f x '，然后求出()1f '的值和切点坐标，并写出切线方程，最后根据切线与两坐标轴交点坐标即可得出结果．【详解】 由2y x x=+，得221y x '=-，则()1121k f ==-=-'， 因为()1123f '=+=， 所以曲线2y x x=+在点(1,3)处的切线方程为()31y x -=--，即40x y +-=， 所以切线与两坐标轴交点分别为()0,4、()4,0， 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积14482S =⨯⨯=. 故选：D ．【点睛】 本题考查求曲线上一点的切线方程，关键点是根据切点坐标以及曲线在切点处的导函数值求得切线方程，考查推理能力，是简单题．6．D【分析】根据导函数大于0，原函数单调递增；导函数小于0，原函数单调递减；即可得出正确答案.【详解】由导函数得图象可得：0x >时，()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞单调递减，排除选项A 、B ，当0x >时，()f x '先正后负，所以()f x 在()0,∞+先增后减，因选项C 是先减后增再减，故排除选项C ，故选：D.7．B【分析】根据条件构造函数()()f x g x x=，求函数导数，判断函数单调性和奇偶性，将不等式进行转化求解即可．【详解】 设()()f x g x x =，则()()()2xf x f x g x x'-'=， ∵当0x >时，()()0xf x f x '-<，，∵当0x >时，()0g x '<，此时函数()g x 为减函数，∵()f x 是奇函数，∵()()f x g x x=是偶函数， 即当0x <时，()g x 为增函数．∵()10f -=，∵()()110g g -==，当0x >时，()0f x >等价为()()0f x g x x=>，即()()1g x g >，此时01x <<， 当0x <时，()0f x >等价为()()0f x g x x =<，即()()1g x g <-，此时1x <-， 综上不等式的解集为()(),10,1-∞-⋃，故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性，解决本题的关键是将不等式进行转化，考查了分析能力、运算能力.8．C【分析】根据题意，问题转化为两个函数图象交点个数问题，再利用导数，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】 因为函数ln ()x f x a x =-有两个不同的零点，所以方程ln ()0x f x a x =-=有两个不同的实数根，因此函数ln ()x g x x=与函数y a =有两个交点. ()()2ln 1ln x x g x g x x x -='=⇒, 当x e >时，'()0,()g x g x <单调递减，当0x e <<时，'()0,()g x g x >单调递增，因此当x e =时，函数()g x 有最大值，最大值为：ln 1()e g e e e==， 显然当1x >时，()0>g x ，当01x <<时，()0<g x ，当1x =时，(1)0g =， 因此函数ln ()x g x x=的图象如下图所示：通过函数ln ()x g x x =的图象和上述分析的性质可知：当10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数ln ()x g x x=与函数y a =有两个交点.故选：C9．AC【分析】 对()f x 求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率，再用两点式写出切线方程，可判断选项A ；利用导数分析函数()f x 的单调性，极值可判断选项B ，C ；将方程的解个数转化为两个函数图象交点个数，数形结合即可判断选项D ．【详解】解：因为()ln x f x x =，所以函数的定义域为()0,∞+ 所以()21ln x f x x -'=，()11f '=，()10f =， ∵()f x 的图象在点()1,0处的切线方程为()()011y f x '-=-，即()111y x x =⋅-=-，故A 正确；在()0,e 上，()0f x '>，()f x 单调递增，在()e,+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减，故B 错误，()f x 的极大值也是最大值为()ln e 1e e e f ==，故C 正确； 方程()ln 1x f x x==-的解的个数，即为ln x x =-的解的个数， 即为函数ln y x =与y x =-图象交点的个数，作出函数ln y x =与y x =-图象如图所示：由图象可知方程()1f x =-只有一个解，故D 错误.故选：AC .10．AD【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误．【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos x f x x x=+， ()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x x f x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确． 又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2x y x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故1515y -≤≤，当y =时，有1cos 4ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max y =B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++， 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，1sin 20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数， 所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，故14sin 20x +=在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一解0x ， 故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．11．225【分析】对函数求导，根据导数的概念，将2t =代入导函数，即可得出结果.【详解】因为()32530454h t t t t =+++， 所以()2156045h t t t '=++， 则第2s 末的瞬时速度为()2215260245225v h '==⨯+⨯+=m/s . 故答案为：22512．21y x =+【分析】对函数求导，将0x =代入可得切线斜率，进而得到切线方程．【详解】1x x y e xe '=++，∴切线的斜率为00|12x k y e ='==+=则切线方程为12y x -=，即21y x =+故答案为：21y x =+13．70x y +-=【分析】设切点，利用导数的几何意义，结合直线互相垂直的性质进行求解即可.【详解】设曲线562x y e x =-+的切点坐标为000(,562)xx e x -+， '56256x x y e x y e =-+⇒=-，所以过该切点的切线的斜率为056x e -，因为直线l ：60x y -+=的斜率为1，过该切点的切线与直线l 互相垂直，所以00(56)110xe x -⋅=-⇒=，所以切点坐标为：(0,7)，过该切点的切线的斜率为1-，所以过该切点的切线的方程为：7y x =-+，化为一般式为：70x y +-=. 故答案为：70x y +-=14．6【分析】求导函数()f x '，令()0f x '≤恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值.【详解】21()23m f x x x x'=+--，()0f x '≤，可得3223m x x x ≥-+，令()3223g x x x x =-+， 若函数()f x 在[1,2]上单调递减，即()max m g x ≥当[1,2]x ∈时，()2661g x x x '=-+单调增， ()()266110g x x x g ''=-+≥>，所以函数()g x 在[1,2]上单调递增()()max 26g x g ==，所以6m ≥.故答案为:6【点睛】关键点睛：变量分离，转化为不等式恒成立问题，进而求又一函数的最值.15．（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求导()()1'(0)a x f x x x -=>，0a >，0a <，0a =讨论，令()'0f x >求解.（2）结合（1）将问题转化为()min 2f x >-求解.【详解】（1）根据题意知，()()1'(0)a x f x x x -=>，当0a >时，当()01x ∈，时，()'0f x >，当()1x ∈+∞，时，()'0f x <， 所以()f x 的单调递增区间为()01，，单调递减区间为()1+∞，；同理，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；当0a =时，()3f x =-，不是单调函数，无单调区间．（2）证明：当1a =-时，()ln 3f x x x =-+-，所以12f ，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在()1+∞，上单调递增， 所以当()1x ∈+∞，时，()()1f x f >． 即()2f x >-，所以()20f x +>．【点睛】方法点睛：利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．16．（1）(]050，；（2）40万元，最大值为32000万元．【分析】（1）利用(060x x ∈-，5]，0x >，即可确定技改投入x 的取值范围； （2）求导函数，确定函数的单调性，即可求出产品增加值的最大值及相应x 的值．【详解】解：（1）由题意，(]0560x x∈-，，0x >， 所以050x <≤，所以技改投入x 的取值范围是(]050，．（2）设()()260f x x x =-，(]050x ∈，， 则()()'340f x x x =--，040x <<时，()'0f x >；4050x <≤时，()'0f x <， 即函数在()0,40上单调递增，在[]40,50上单调递减， 所以40x =时，函数取得极大值，也是最大值，()()24060404032000f =-⨯= 所以最大值为32000万元．。
福建省平潭县新世纪学校2021届高考百盛高三冲刺班数学寒假作业(五)(导数) (2)
百盛高三冲刺班数学寒假作业（六）（三角函数）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在ABC 中，若3sin 5A =，5cos 13B =，则cos C （ ）A ．1665B ．5665 C ．5665或1665D ．3365-2．将函数()tan 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，得到的曲线的对称中心是（ ） A ．(,0)()64k k ππ-∈+Z B ．(,0)()64k k ππ+∈Z C ．(,0)()62k k ππ-∈+Z D ．(,0)()62k k ππ+∈Z 3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧AB 长为83π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）(3 1.73≈) A ．6平方米 B ．9平方米 C ．12平方米D ．15平方米4．“π2π,Z 6k k α=+∈”是“1sin 2α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．下列各角中与60终边相同的角是（ ）A ．300- B ．240-C ．120D ．3906．1tan50sin 20-︒=︒（ ）A ．3 B ．3 C ．2 D ．37．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点()1,2P -，则sin α=（ ）A ．5-B ．5C ．25D ．25-8．已知55sin 1224πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则13cos 122πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．11-B ．114C ．5-D ．54 二、多选题9．已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．当6x k ππ=-（k Z ∈）时，()f x 取得最大值1C ．函数()f x 图象的一个对称中心是5,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移12π个单位长度，则所得到的图象的函数解析式为cos 4y x =10．函数()sin()f x A x ωϕ=+(A ，ω，ϕ是常数，0A >，0>ω)的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．(0)1f = B ．在区间,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．将()f x 的图象向左平移6π个单位，所得的函数是偶函数D ．2()3f x f x π⎛⎫=--⎪⎝⎭三、填空题 11．若4sin 5α，α是第二象限的角，则tan2α=_____. 12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若60A =︒，2b =，1c =，则ABC 的面积为________.13．已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围为________.14．如图，设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3(cos cos )2sin a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若点D 是ABC 外一点，1CD =，3AD =，则当D ∠=______时，四边形ABCD 的面积的最大值为____________五、解答题15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22c =，sin sin 2cos A BC a b+=. （1）求sin C 的值；（2）若ABC 的面积为2，求+a b 的值.16．已知函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的单调递增区间和最值；（2）若函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围.参考答案1．A 【分析】根据A 、B 、C 的范围及题中条件，可求得sin B ，cos A 的值，代入两角和的余弦公式，化简整理，即可得答案. 【详解】因为在ABC 中，所以,()0A B C π∈、、，因为5cos 13B =，所以12sin 13B ==， 因为sin sin A B <，所以2π<<A B ，因为3sin 5A =，所以4cos 5A ==， 所以[]cos cos ()cos()sin sin cos cos C AB A B A B A B π=-+=-+=-=312451651351365⨯-⨯=. 故选：A 2．A 【分析】先求得平移后的解析式，根据正切函数的对称性，即可求得答案. 【详解】函数()tan 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后解析式变为tan 2tan(2)63y x x ππ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令23)2(k k x ππ+=∈Z ，解得()46k k x ππ=-∈Z ，所以()tan 2f x x =的对称中心为(,0)()64k k ππ-∈+Z . 故选：A 3．B 【分析】根据已知求出矢2=，弦2AD ==. 【详解】由题意可得：823=43AOB ππ∠=，4OA =，在Rt AOD 中，可得：3AOD π∠=，6DAO π∠=，114222OD AO ==⨯=， 可得：矢422=-=，由sin43AD AO π===可得：弦2AD ==所以：弧田面积12=（弦⨯矢+矢221)22)292=+=≈平方米．故选：B 【点睛】方法点睛：有关扇形的计算，一般是利用弧长公式l r α=、扇形面积公式12S lr =及直角三角函数求解. 4．A 【分析】解正弦方程，结合题意即可容易判断. 【详解】“π2π,Z 6k k α=+∈”是“1sin 2α=”的 因为1sin 2x =，故可得26x k ππ=+或562,k k Z x ππ=+∈， 则“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．5．A 【分析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项. 【详解】30060360-=-，24060300-=-，0106602=+，39060330=+，因此，只有A 选项中的角与60终边相同. 故选：A.6．A 【分析】根据三角恒等变换对应的公式，将原式逐步化简整理，即可得出结果. 【详解】11sin 501cos 4020cos 40tan 50sin 20sin 20cos50sin 20sin 402sin 20cos 202cos sin 40︒︒︒︒-︒=-=-=-︒︒︒︒︒︒︒︒()4040cos 406040cos 4020cos 40sin 40sin 40sin 40sin 12cos 22cos 402cos ︒︒-︒︒-︒-︒︒︒=-==︒︒⎛⎫ ⎪⎝︒⎭︒==故选：A 7．D 【分析】先计算点()1,2P -到原点的距离，再利用三角函数的定义即可求解. 【详解】点()1,2P -到原点的距离r ==由三角函数的定义可得：sin 5y r α===-， 故选：D 8．D 【分析】利用三角函数的诱导公式即可求解.【详解】13cos cos sin 1221222122παπαππα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦5sin 1224πα⎛⎫=--=⎪⎝⎭， 故选：D. 9．AB 【分析】利用余弦函数周期公式可求周期，即可判断A ；将6x k ππ=-带入解析式计算，可判断B ；解方程()23x k k Z ππ+=∈可判断C ；利用图象的平移和伸缩变换可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：()f x 的最小正周期为22T ππ==，故选项A 正确； 对于选项B ：当6x k ππ=-（k Z ∈）时，()223x k k Z ππ+=∈，()cos 2cos 213f x x k ππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，()f x 取得最大值1，故选项B 正确；对于选项C ：令()232x k k Z πππ+=+∈，可得()122k x k Z ππ=+∈，不存在k Z ∈使得51226k πππ+=，故选项C 不正确； 对于选项D ：将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将图象向右平移12π个单位长度可得cos cos cos 41234y x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 不正确. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是掌握三角函数的周期公式2T ωπ=，整体代入法求三角函数的对称中心，令2x k πωϕπ+=+()k Z ∈，三角函数的平移变换注意左加右减的规律.10．BD 【分析】根据函数图象得到A =2，37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，再根据函数图象过点 7,212π⎛⎫-⎪⎝⎭，求得,ωϕ，得到函数解析式，然后再逐项判断. 【详解】由函数图象得：A =2，37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭, 所以,2T πω==，又因为函数图象过点 7,212π⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以72sin 26πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即 7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 解得73262k ππϕπ+=+，即 23k πϕπ=+， 所以3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+A. (0)2sin3f π==B. 因为,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,,33322x πππππ⎡⎤⎡⎤+∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故正确；C.将()f x 的图象向左平移6π个单位，所得到的函数是22sin 22sin 2633y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故错误；D. 2252sin 22sin 23333f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 52sin 222sin 233x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2()3f x fx π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故正确； 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题关键是关键函数的图象，利用函数的性质求出函数的解析式. 11．247【分析】先由同角三角函数基本关系，求出tan α，再由二倍角的正切公式，即可求出结果. 【详解】 因为4sin 5α，α是第二象限的角，所以3cos 5α==-，则sin tan s 43co ααα==-， 因此282tan 243tan 2161tan 719ααα-===--.故答案为：24712【分析】直接利用面积公式可得答案.【详解】11sin 212222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=13．[]2,4【分析】 由0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得,4484x ππππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，然后可建立不等式求解. 【详解】由0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得,4484x ππππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为值域为2⎤⎥⎣⎦所以32844ππππω≤+≤，解得24ω≤≤ 故答案为：[]2,414．56π 3 【分析】利用正弦定理边角互化结合B 的取值范围可求得3B π∠=，可判断出ABC 为等边三角形，利用余弦定理求得2106cos AC θ=-，利用三角形的面积公式可得出四边形ABCD 的面积关于θ的表达式，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得四边形ABCD 面积的最大值及其对应的θ的值，即可得解.【详解】 ()3cos cos 2sin a C c A b B +=，)2sin cos cos sin 2sin A C A C B +=，所以，()()22sin B A C B B π=+-=，3CAB π∠=，20,3B π⎛⎫∴∠∈ ⎪⎝⎭，可得sin 0B >，sin 2B ∴=，3B π∴∠=， 所以，ABC 为等边三角形，设D θ∠=，则0θπ<<，由余弦定理可得2222cos 106cos AC AD CD AD CD θθ=+-⋅=-，)21sin 106cos 23ABC S AC πθθ==-=△， 13sin sin 22ACD S AD CD θθ=⋅=△， 所以，四边形ABCD 的面积为3sin 3sin 22232ACD ABC S S S πθθθ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭△△， 0θπ<<，2333πππθ∴-<-<，所以，当32ππθ-=时，即当56D πθ∠==时，四边形ABCD 的面积取最大值32+.故答案为：56π；32+. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.15．（1）sin 3C =；（2）4. 【分析】（1）利用正弦定理化边为角得到tan C =sin C 即可.（2）结合三角形面积公式和余弦定理，求出,a b 的两个关系式，整体代换求+a b 即可.【详解】（1）由sin sin 2cos A B C a b+=， 结合正弦定理得2sin 2cos C C c =，因为c =tan C =故sin co s C C=，22sin cos 1C C +=.解得sin 3C =.（2）由11sin 22S ab C ab ===3ab =.由sin 3C =，由题设得：1cos 3C =， 由余弦定理知2222281cos 263a b c a b C ab +-+-===，即2210a b +=， 即2()210a b ab +-=，所以4a b +=.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 16．（1）()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()min max 30,2f x f x ==；（2）3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭ 【分析】 （1）利用两角差的余弦公式，二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解. （2）将函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，转化为函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，利用数形结合法求解.【详解】（1）函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，12sin sin cos 22x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭，2cos sin cos 2x x x x =++，112cos 2222x x =++， 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得 ,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以函数()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()()min max 30,2f x f x ==. （2）因为()()g x f x a =-有且仅有一个零点，所以()f x a =有且仅有一个零点，即函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，如图所示：由图象知：32a =或 [0,1)a ∈， 所以实数a 的取值范围是3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。
高三数学寒假作业：导数及其应用
高三数学寒假作业：导数及其应用2021届高三数学暑假作业：导数及其运用【】2021届高三数学暑假作业：导数及其运用是查字典数学网为您整理的考试资讯，请您详细阅读!一基础再现考点87复杂复合函数的导数1.曲线在点处的切线方程为____________。
2.函数和的图象在处的切线相互平行，那么=________.3.(宁夏、海南卷)设函数(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值.考点88定积分4.计算5.(1);(2)6. 计算=7.___________8.求由曲线y=x3，直线x=1， x=2及y=0所围成的曲边梯形的面积.二感悟解答1.答案：2.答案：63.解：的定义域为.事先，;事先，;事先，.从而，区分在区间，单调增，在区间单调减.(Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为.又.所以在区间的最大值为.4.答案：65.答案：(1)(2)应用导数的几何意义：与x=0,x=2所围图形是以(0,0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为(图略)三范例剖析例1 (江西省五校2021届高三开学联考)函数(I)求f(x)在[0，1]上的极值;(II)假定对恣意成立，务实数a的取值范围;(III)假定关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，务实数b的取值范围.与轴所围成的图形的面积.变式1：求由曲线与，，所围成的平面图形的面积变式2：假定两曲线与围成的图形的面积是，那么c的值为______。
例3.物体A以速度在不时线上运动，在此直线上与物体A动身的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇?相遇时物体A的走过的路程是多少?(时间单位为：s，速度单位为：m/s)(15分)四稳固训练1.二次函数f(x)=ax2+bx+c直线l1:y=-t2+8t(其中t为常数);l2:x=2.假定直线l1,l2与函数f(x)的图象以及l1，y 轴与函数f(x)的图象所围成的封锁图形如阴影所示. (Ⅰ)求a、b、c的值(Ⅱ)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式;2.设点P在曲线上，从原点向A(2，4)移动，假设直线OP，曲线及直线x=2所围成的面积区分记为、。
福建省平潭县新世纪学校2021届高考百盛高三冲刺班数学练习(34)
百盛高三冲刺班数学练习（34)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量(2,1)a =-，(,3)b m =，若()a b a +⊥，则a ，b 的夹角为（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．56π 2．已知平面向量a 与b 的夹角为3π，若()1,3,7a a b =-=，则b =（ ） A ．3 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知向量,a b 满足1,2,,3a b a b π==<>=，则a b -=（ ）A ．3B ．7C ．7D ．3 4．如图，1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒=，则AD AB ⋅=（ ） A ．43 B ．1 C ．23 D ．13 5．2a =，4b =，向量a 与b 向量的夹角为120︒，则向量a 在向量b 方向上的投影等于（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．1- 6．如图，AB 是单位圆O 的直径，且满足AC CD DB ==，则AC AD ⋅=（ ） A ．1 B ．32 C ．3 D ．3 7．已知a 与b 的夹角为60，4a =，则a b λ-(R λ∈)的最小值为（ ）A ．23B ．72C ．103D ．4338．设a ，b 是两个不共线向量，则“a 与b 的夹角为锐角”是“()a a b ⊥-”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 9．已知向量,a b 满足3,2,5a b a b ==+=，则向量,a b 夹角的余弦值为（ ）A ．3-B ．3C ．3-D ．3 10．已知两点()()2,0,2,0-M N ，点P 满足12PM PN ⋅=，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．22116x y += B ．2216x y += C ．228y x -= D ．228x y +=二、填空题 11．平面向量(2,2),(1,3)a b ==-，若()()a b a b λ-⊥+，则λ=_____________． 12．边长为1的等边ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则AB EB ⋅=__________． 13．在ABC 中，3A π=，4AC =，6AB =，D 在CB 边上，若CD CB λ=，17AD BC ⋅=-，则实数λ的值为________14．如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，2AB =，6BC =，1AD =，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的取值范围为_________．三、解答题15．已知向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，()2,0c =.（1）求向量b c +的长度的最大值；（2）设3πα=，且()a b c ⊥+，求cos β的值.16．已知向量(1,3)a =，(,2)b x =．（1）若(2)a b b -⊥时，求x 的值；（2）若向量a 与向量b 的夹角为锐角，求实数x 的取值范围．参考答案1．C【分析】由向量垂直求得参数m ，再利用数量积求得向量夹角的余弦得夹角．【详解】因为(2,1)a =-，(,3)b m =，所以(2,2)+=+a b m ．因为()a b a +⊥，所以()42+⋅=+a b a m 20-=，所以1m =-．因为cos ,2||||5⋅〈〉===⨯a b a b a b ，所以向量a ，b 的夹角为34π． 故选：C ． 2．C【分析】可求出||2a =，再根据,3a b π<>=，对||7a b -=两边平方，进行数量积的运算得出2||2||30b b --=，从而根据||0b ≥解出||b 即可．【详解】 解：(),,1,33a b a π<>==，||7a b -=， 所以(212a =+∴22()42||||7a b b b -=-+=，且||0b ≥，∴解得3b =．故选：C ．3．D根据数量积定义，可知1a b ⋅=，再根据22||2a b a a b b -=-⋅+，即可求出结果. 【详解】∵||1a =，||2b =，且,3a b π<>=， ∵cos 13a b a b π⋅==，∵22||212a b a a b b -=-⋅+=-+= 故选：D.4．C 【分析】 利用向量加法的三角形法则以及数乘运算可得2133AD AB AC =+，再根据向量数量积的定义即可求解.【详解】 由1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， 所以221213333AD AB AB AC AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭2212121||||cos903033333AC AB =⨯+︒=+⨯⨯=. 故选：C5．D【分析】根据题意直接计算即可.向量a 在向量b 方向上的投影为1cos120212a ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. 故选：D.6．B【分析】由AC CD DB ==得ABC DBC DAB ∠=∠=∠，由90ADB ∠=，得90ABC DBC DAB ∠+∠+∠=，所以30ABC DBC DAB ∠=∠=∠=可得答案.【详解】 连接BC ，由已知得112AO BO AB ，因为AB 是直径，所以90ADB ∠=，因为AC CD DB ==，所以ABC DBC DAB ∠=∠=∠，又因为90ABC DBC DAB ∠+∠+∠=， 所以30ABC DBC DAB ∠=∠=∠=，所以1AC DB ==，AD =又因为30CAD DBC ∠=∠=，所以3cos 22AC AD AC AD CAD ⋅=⋅∠==.故选：B.【点睛】 本题考查了圆的性质、向量在几何中的应用和数量积的运算，由AC CD DB ==得30ABC DBC DAB ∠=∠=∠=是解题的关键点，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 7．A【分析】 根据向量的模的表示方法得22222a b a a b b λλλ-=-⋅+，再配方即可得答案.【详解】解：根据向量模的计算公式得：()()222222216421212a b a a b b b b b λλλλλλ-=-⋅+=-+=-+≥，当且仅当2b λ=时等号成立； 所以23a b λ-≥，当且仅当2b λ=时等号成立；故选：A.【点睛】方法点睛：向量模的计算公式：22a a a a =⋅=8．B根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系.【详解】因为()a a b ⊥-，故()0a a b ⋅-=即20a a b =⋅>， 因为a ，b 是两个不共线向量，故a 与b 的夹角为锐角.故“a 与b 的夹角为锐角”是“()a ab ⊥-”的必要条件. 若a 与b 的夹角为3π，且2,8a b ==，故24,8a a b =⋅=， 所以2a a b ≠⋅，故()0a a b ⋅-≠即(),a a b -不垂直.“a 与b 的夹角为锐角”是“()a ab ⊥-”的必要不充分条件.故选：B. 9．A【分析】 先由25a b +=，解得1a b ⋅=-，再利用数量积公式求向量夹角的余弦值即可.【详解】 向量,a b 满足3,2,5a b a b ==+=，则25a b +=，即2225a b a b ++⋅=， 故3425a b ++⋅=，即1a b ⋅=-，向量,a b 夹角为α，则cos 623a ba b α⋅===-⋅. 故选：A.【分析】根据曲线方程及平面向量的数量积运算，直接求轨迹方程．【详解】设(),P x y ，∵(2,)PM x y =---，(2,)PN x y =--，因为12PM PN ⋅=，所以22412x y -+=，即2216x y +=，故选：B 11．32【分析】首先分别求向量a b -和a b λ+的坐标，再利用向量数量积的坐标表示求参数λ的值.【详解】()2,2a =，()1,3b =-，()3,1a b ∴-=-，()21,23a b λλλ+=-+，()()a b a b λ-⊥+，()()321230λλ∴⨯--+=， 解得：32λ=.故答案为：3212．58【分析】选,AB AC 当作基底，表示出EB ，利用数量积的运算律计算即可.【详解】 由已知易得()1124AE AD AB AC ==+ ()131444EB AB AB AC AB AC =-+=- 313115·444428AB EB AB AB AC ⎛⎫⋅=-=-⋅= ⎪⎝⎭ 故答案为：5813．34【分析】由题设可得()1AD AB AC λλ=+-，再利用向量数量积的定义及运算律可得428AD BC λ⋅=-，从而可求λ的值.【详解】因为CD CB λ=，故()AD AC AB AC λ-=-，故()1AD AB AC λλ=+-， ()()1AD BC AB AC AC AB λλ⎡⎤⋅=+-⋅-⎣⎦()()22211AB AC AC AB λλλ=-⋅+--()()21121163642817λλλλ=-⨯+-⨯-⨯=-=-， 所以34λ=， 故答案为：34. 【点睛】方法点睛：向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．14．11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先以点B 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示DM DN ⋅，再求取值范围.【详解】如图，建立平面直角坐标系，(A ，(D ，(),0M x ，()1,0N x +， (2,DM x =-，(1,DN x =-，[]0,5x ∈， ()()212335DM DN x x x x ⋅=--+=-+231124x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当32x =时，取得最小值114，当5x =时，取得最大值15， 所以DM DN ⋅的取值范围为11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解决数量积的范围问题.15．（1）3；（2）12-. 【分析】（1）根据题意化简254cos b c β+=+，利用余弦函数的性质，即可求解； （2）由3πα=，得到13,2a ⎛= ⎝⎭，根据向量的数量积的 求得()sin 16a b c πβ⎛⎫⋅+==++ ⎪⎝⎭，根据()a b c ⊥+，所求得sin 16πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，进而求得cos β的值. 【详解】（1）由题意，向量()cos ,sin b ββ=，()2,0c =，可得()cos 2,sin b c ββ+=+，则()222cos 2sin 54cos b c βββ+=++=+. 因为1cos 1β-≤≤，所以219b c ≤+≤，即13b c ≤+≤. 即当cos 1β=时， b c +的最大值为3.（2）由3πα=，则13,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 又由()cos ,sin b ββ=，()2,0c =，得()()11,cos 2,sin cos 12222a b c ββββ⎛⋅+=⋅+=++ ⎝⎭sin 16πβ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 因为()a b c ⊥+，所以()0a b c ⋅+=，即sin 16πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 解得262k ππβπ+=-，可得223k πβπ=-，所以1cos 2β=-. 16．（1）2x =-或4x =；（2）{6|x x >-且2}3x ≠.【分析】（1）先求出2a b -的坐标，再根据向量垂直建立关系即可求解； （2）由题可得0a b ⋅>，且向量a 与向量b 不共线，建立关系即可求解. 【详解】解：（1）∵向量(1,3)a =，(,2)b x =，∵2(2,4)a b x -=-，∵ (2)a b b -⊥，∵(2)0a b b -⋅=，∵2280x x --=，解得2x =-或4x = （2）∵向量a 与向量b 的夹角为锐角，∵cos ,0a ba b a b ⋅<>=>⋅，且cos ,1a b <>≠，即0a b ⋅>，且向量a 与向量b 不共线， ∵6032x x +>⎧⎨≠⎩，得6x >-，且23x ≠， ∵x 的取值范围为{6|x x >-且2}3x ≠.。
福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题(56)(冲刺班)
福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题（56）（冲刺班）一、解答题1．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，2BC =，4ABC π∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 在线段EF 上运动. （1）当AE DM ⊥时，求点M 的位置；（2）在（1）的条件下，求平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值.2．如图，在四棱维P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAB △为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，PM MD =．（1）求证：//PB 平面ACM ；（2）求二面角M BC D --的余弦值3．如图，在圆柱1OO 中，四边形ABCD 是其轴截面，EF 为⊙1O 的直径，且EF CD ⊥，2AB =，()0BC a a =>．（1）求证：BE BF =；（2）若直线AE 与平面BEF 所成角的正弦值为6，求二面角A BE F --平面角的余弦值．4．如图1，在矩形ABCD 中，22,BC AB E ==是AD 中点，将CDE △沿直线CE 翻折到CPE △的位置，使得3PB =，如图2.（1）求证：面PCE ⊥面ABCE ； （2）求PC 与面ABP 所成角的正弦值.5．如图，该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，其中正方形ABCD 的边长为4，H 是线段EF 上（不含端点）的动点，36==FC EB ．（1）若H 为EF 的中点，证明：//GH 平面ABCD ； （2）若14=EH EF ，求直线CH 与平面ACG 所成角的正弦值．6．如图，在三棱台111ABC A B C -中，1AC A B ⊥，O 是BC 的中点，1AO ⊥平面ABC . （1）求证：AC BC ⊥；（2）若1111,23,2AO AC BC AB ====，求二面角1B BC A --的大小.7．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 为矩形，2ED =，平面BDEF ⊥平面ABCD ． （1）求证：平面EAC ⊥平面FAC ；（2）求直线BC 与平面AEF 所成角的大小．8．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知//AB CD ，122AB AD CD ===，23PA =，10PB =，60BAD ∠=︒，PAB PAD ∠=∠，E 为PD 上的动点．（1）探究：当PEPD为何值时，//PB 平面AEC ？ （2）在（1）的条件下，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值．9．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，2APB π∠=，3ABC π∠=，23PB =，4PC =，点M 是AB 的中点.（1）求证：CM ⊥平面PAB ；（2）线段CD 上是否存在一点N ，使得直线PN 与平面PMD 所成的角的正弦值为68，若存在，求出的CN ND 值，若不存在，请说明理由.10．如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，平面PAD ⊥平面PBC .若3BCD π∠=，2PBC π∠=，2AD CD ==，1BC =.（1）证明：PB PA ⊥；（2）若2PA PC =，求二面角P BC A --的余弦值.参考答案1．（1）M 为EF 的中点，理由见解析；（2 【分析】（1）证明出AB AC ⊥，AF ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()0,,1M y ，由已知条件得出0AE DM ⋅=，求出y 的值，由此可得出结论；（2）计算出平面MBC 与平面ECD 的法向量，利用空间向量法可求得平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值. 【详解】 （1）2AB =2BC AD ==，4ABC π∠=，由余弦定理可得2222cos 2AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=，所以222AB AC BC +=，AB AC ∴⊥，四边形ACEF 为矩形，AF AC ∴⊥，平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，AF ⊂平面ACEF ，AF ∴⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、)B 、()C 、()D 、()E 、()0,0,1F ，设()0,,1M y ，则02y ≤≤()0,2,1AE =，()2,2,1DM y =，AE DM⊥，(221210AE DM y ∴⋅=+=-=，解得22y =，12FM FE ∴=. 当点M 为EF 的中点时，AE DM ⊥；（2）由（1）知，22,BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,2,0BC =-，设平面MBC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11111220220m BM x y z m BC x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=-=⎩，取12y =()2,2,1m =，易知平面ECD 的一个法向量为()0,1,0n =，210cos ,51m n m n m n⋅<>===⨯⋅，因此，平面MBC 与平面ECD 10 2．（1）证明见解析；（23【详解】（1）证明：连接BD ，与AC 交于O ，在PBD △中， 因为O ，M 分别为BD ，PD 的中点，所以//BP OM ．因为BP ⊄平面ACM ，OM ⊂平面CAM ，所以//BP 平面CAM ．（2）设E 是AB 的中点，连接PE ，因为PAB △为正三角形，所以PE ⊥AB ． 又因为面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ⋂底面ABCD AB =，所以PE ⊥平面ABCD 过E 作EF 平行于CB 与CD 交于F ． 以E 为原点，分别以,,EB EF EP 为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()1,0,0B ，(3P ，()2,01,C ，()1,2,0D -．13,1,22M ⎛- ⎝⎭所以33,12⎛=-- ⎝⎭CM ，()0,2,0BC =， 设平面CBM 的法向量为(),,n x y z =，则3302220n CM x y z n BC y ⎧⋅=--+=⎪⎨⎪⋅==⎩，0y =，令1x =．则3z =(,03)n =1，． 因为PE ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量()0,0,1m =，所以3cos ,n m n m n m⋅〈〉==⋅．所以二面角M BC D --的余弦值为3．（1）证明见解析；（2）13.【分析】（1）连接1BO ，证明出EF ⊥平面ABCD ，可得出1EF BO ⊥，利用等腰三角形三线合一可证得结论成立；（2）以点O 为坐标原点，OB 、1OO 所在直线分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合直线AE 与平面BEF 求出a 的值，再利用空间向量法可求得二面角A BE F --平面角的余弦值． 【详解】（1）证明：连接1BO ，在圆柱中1OO 中，BC ⊥平面CEDF ，EF ⊂平面CEDF ，EF BC ∴⊥，EF CD ⊥，BC CD C ⋂=，EF ∴⊥平面ABCD ，又1BO ⊂平面ABCD ，1EF BO ∴⊥，在BEF 中，1O 为EF 的中点，BE BF ∴=； （2）连接1OO ，则1OO 与该圆柱的底面垂直，以点O 为坐标原点，OB 、1OO 所在直线分别为y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0A -、()0,1,0B 、()1,0,E a -、()1,0,F a ，()1,1,AE a =-，()1,1,BE a =--，()1,1,BF a =-，设平面BEF 的法向量分别是()1111,,x n y z =，由1100n BE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11111100x y az x y az --+=⎧⎨-+=⎩，取11z =，得()10,,1n a =，设直线AE 与平面BEF 所成角为θ， 由223s 6in cos ,21AE n a a θ=<>==+⋅+，化简得()()22210a a --=， 1a >，解得2a =()10,2,1n ∴=，设平面ABE 的法向量分别是()2222,,n x y z =，()0,2,0AB =，由2200n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取21z =，得()22,0,1n =，1212121cos ,3n n n n n n ⋅∴<>==⋅，由图象可知，二面角A BE F --为锐角，因此，二面角A BE F --的余弦值为13. 4．（1）证明见解析；（2222. 【分析】（1）连结BE ，可得BE EC ⊥，结合两图，可得BE EC ⊥，BE PE ⊥，又EC PE E ⋂=，根据线面垂直的判定定理证得BE ⊥面PEC ，再利用面面垂直的判定定理证得结果；AB AE直线为x轴，y轴，以经过点A且垂直于平面ABCE的（2）以点A为原点，分别以,直线为z轴建立直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值得到结果.【详解】（1）证明：连结BE，由图1可得BE EC⊥在图2中2,1,3,===∴⊥BE PE PB BE PE又EC PE E BE⋂=∴⊥面PEC∴⊂面ABCE∴面PCE⊥面ABCEBEAB AE直线为x轴，y轴，以经过点A且垂直于平面ABCE的（2）以点A为原点，分别以,直线为z轴建立直角坐标系.由题意可知，()()()131,0,0,1,2,0,0,1,0,,,222B C E P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()132,,,1,0,022AP AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭设面ABP 的法向量为(),,n x y z =则0,0n AP n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩令y =得3,z =-所以()0,2,3n =- 11,,222PC ⎛=- ⎝⎭ 222sin cos ,11PC n PC n PCnθ⋅∴===⨯ 所以直线PC 与面ABP 所成角的正弦值为11. 5．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取BC 的中点M ，连接HM ，DM ，证明四边形DGHM 是平行四边形，即可证明；（2）以点D 为原点，建立空间直角坐标系，求平面ACG 的法向量，利用线面角的向量公式求解. 【详解】（1）证明：取BC 的中点M ，连接HM ，DM ．因为该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成， 所以截面AEFG 是平行四边形，则4=-=DG CF EB ． 因为36==FC EB ，所以1(26)42=⨯+=HM ，且/DG HM ，所以四边形DGHM 是平行四边形，所以//GH DM ．因为DM ⊂平面ABCD ，GH ⊄平面ABCD ，所以//GH 平面ABCD ．（2）解：如图，以D 为原点，分别以,,DA DC DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，则(4,0,0)A ，(0,4,0)C ，(0,0,4)G ，(3,4,3)H ，(4,4,0)=-AC ，(4,0,4)=-AG ，(3,0,3)=CH ．设平面ACG 的法向量为(,,)n x y z =，则440440AC n x y AG n x z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩ ，令1x =，得()1,1,1n =．因为6cos ,3||||323CH n CH n CH n ⋅<>==⨯，所以直线CH 与平面ACG 所成角的正弦值为6．6．（1）证明见解析；（2）56π.【分析】（1）先证1AO AC ⊥再结合1AC A B ⊥，即可证明AC ⊥平面1A BO ，则可证AC BC ⊥ （2）以O 为坐标原点建立如所示的空间直角坐标系，分别求解平面11BB C C 和ABC 的法向量，利用夹角向量公式即可求解． 【详解】解：（1）因为1AO ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以1AO AC ⊥. 又因为1AC A B ⊥，111A B AO A ⋂=，1A B ⊂平面1A BO ，1AO ⊂平面1ABO ， 所以AC ⊥平面1A BO ，又因为BC ⊂平面1A BO ，所以AC BC ⊥；（2）以O 为坐标原点，与CA 平行的直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴，建立如所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0)O ，(23,1,0)A -，(0,1,0)B ，1(0,0,1)A .所以(0,1,0)OB =，(23,2,0)AB =-，1(0,0,1)OA =，于是4AB =. 由111ABC A B C -是三棱台，所以11//AB A B . 又因为112A B =所以111(3,1,0)2A B AB ==-. 所以1111(3,1,1)OB OA AB =+=-. 设平面11BB C C 的法向量(,,)n x y z =，由100n OB n OB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得030y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 取1x =，则0y =，3z =(1,0,3)n =.因为1OA ⊥平面ABC ，所以平面ABC 的法向量为1(0,0,1)OA =.所以1122222211000313cos ,||10(3)001⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⨯++n OA n OA n OA ，因为二面角1B BC A --为钝二面角，所以二面角1B BC A --的大小是56π．7．（1）证明见解析；（2）30． 【分析】（1）先利用面面垂直的性质及线面垂直的性质得到AC EO ⊥，再利用勾股定理及勾股定理的逆定理证明EO OF ⊥，由线而垂直的判定定理得到EO ⊥平面FAC ，最后由面面垂直的判定定理得到平面EAC ⊥平面FAC ；（2）可通过作辅助线找到线面角，然后在直角三角形中求解即可，还可以建立空间直角坐标系，利用向量法求解． 【详解】（1）因为四边形ABCD 是边长为2的正方形，所以AC BD ⊥．设AC BD O =，连接OE ，OF ，如图，因为平面ABCD ⊥平面BDEF ，平面ABCD 平面BDEF BD =，所以AC ⊥平面BDEF ．因为OE ⊂面BDEF ，所以AC EO ⊥．在OBF中，222OF OB FB =+=，同理2EO =，因为22EF BD ==222EO OF EF +=，所以EO OF ⊥． 因为FO AC O ⋂=，FO ，AC ⊂平面AFC ，所以EO ⊥平面FAC ． 因为EO ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面FAC ．（2）解法一：如图，延长CB 到点H ，使得BH BC =，连接AH ，FH ，易知四边形AE 为平行四边形，故A ，E ，F ，H 四点共面，所以直线BC 与平面AEF 所成的角． 即直线HC 与平面AEFH 所成的角． 取EF 的中点G ，连接OG ，AG ，CG ，因为2OA OC OG ===，所以2AG CG ==，又22AC =，所以AG CG ⊥． 在Rt FBC △中，B 2BF =，2BC =，所以6CF =，同理6CE =，所以CE CF =，因为G 为EF 的中点，所以CG EF ⊥． 因为EF AG G ⋂=，EF ，AG ⊂平面AEFH ，所以CG ⊥平面AEFH ． 连接HG ，则∠CHG 即直线BC 与平面AEF 所成的角． 在Rt HGC △中，2CG =，4HC =， 所以1sin 2CG CHG HC ∠==，得30CHG ∠=︒， 即直线BC 与平面AEF 所成的角为30．解法二：取EF 的中点G ，连接OG ，易知OA ，OB ，OG 两两垂直，故以O 为坐标原点， OA ，OB ，OG 所在直线分别为x ，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)2,0,0A ，()2,0B ，()2,0,0C -，(0,2,2E -，(2,2F ， 所以(2,2,2EA =-，(2,2,2AF =-，()2,2,0CB ．设平面AEF 的法向量为(),,m x y z =，可得2220,2220,m EA x z m AF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 则0y =，令1z =，则()1,0,1m =．设直线BC 与平面AEF 所成的角为θ， 则1sin 2CB m CB mθ⋅==⋅，30θ=︒． 所以直线BC 与平面AEF 所成的角为30．8．（1）当13PE PD =时，//PB 平面AEC ，理由见解析；（2）34.【分析】 （1）当13PE PD =时，//PB 平面AEC ．连接BD ，与AC 交于点O ，连接OE ，证明//PB EO 即得证；（2）证明PG ⊥平面ABCD ，易知GA ，GB ，GP 两两垂直，故可以以G 为坐标原点，分别以GA ，GB ，GP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 利用向量法求出直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【详解】（1）当13PE PD =时，//PB 平面AEC ．理由如下： 如图，连接BD ，与AC 交于点O ，连接OE ，因为12//AB DC ， 所以AOB COD ∽，12BODO =，当12PE DE =，即13PE PD =时，有//PB EO ， 又EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以//PB 平面AEC ．（2）取BD 的中点G ，连接PG ，AG ，因为PAB PAD ∠=∠，2AD AB ==，PA PA =，所以PAB PAD △△≌，所以10PB PD ==，所以PG BD ⊥．因为2AB AD ==，60BAD ∠=︒，所以2BD =，AG BD ⊥，3AG =，1DG BG ==，所以223PG PB BG =-=． 又23PA =，所以222PA PG AG =+，所以PG AG ⊥． 因为BD AG G ⋂=，所以PG ⊥平面ABCD ．易知GA ，GB ，GP 两两垂直，故可以以G 为坐标原点，分别以GA ，GB ，GP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)3,0,0A ，()0,1,0D -，()0,0,3P ．由（1）可知()2220,1,30,,2333DE DP →→⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故10,,23E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以13,,23AE →⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =． 设直线AE 与平面ABCD 所成的角为θ，则3sin cos ,41349AE n θ→→===++， 即直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值为34．9．（1）证明见解析；（2）存在，1CNND=. 【分析】（1）先证明CM AB ⊥，然后连接PM ，利用题目所给的边长关系，根据勾股定理证明CM PM ⊥，然后根据线面垂直的判定定理即可得到CM ⊥平面PAB ；（2）假设在线段CD 上存在一点N ，使得直线PN 与平面PMD ，设CN λ=，然后以以点M 为坐标原点，MB ，MC 分别为x 轴，y 轴，竖直向上为z 轴，建立空间肖角坐标系，写出各点的坐标，得出向量PN ，计算出平面PMD 的法向量m ，使PN 与m 所成角满足6|cos ,|m PN 〈〉=，然后求解λ，得出CN ND 的值.【详解】解：（1）证明：连接PM ，在PAB ∆中，因为3ABC π∠=，PB =，4PC =，所以2PA =.因为点M 是AB 的中点，所以2BM PM ==.在BMC ∆中，3MBC π∠=，2BM =，4BC =，由余弦定哩，有CM =所以222BM CM BC +=，所以AB CM ⊥.在PMC ∆中，2PM =，CM =，4PC =满足222PC CM PM =+， 所以PM CM ⊥，又AB PM M=，所以CM ⊥平面PAB .（2）如图，以点M 为坐标原点，建立空间肖角坐标系，则()0,0,0M ，C ，(D -，设(),0,p p P x z ，([0,4])N λλ-∈，在PAB ∆中，P PA PBz AB⋅==2PM =，得1P x =-，所以(1P -. 平面PMD 的一个法向量为()111,,m x y z =，直线PN 与平面PMD 所成角为θ.因为0((0m MP MP MD m MD ⎧⋅==-=-⎨⋅=⎩，所以(3,2,1)m =.因为(1,23,3)PN λ=--. 所以2|||433|6sin |cos ,|||||22216m PN m PN m PN λθλλ⋅-=〈〉===⋅⋅-+， 得210160λλ-+=，所以2λ=或8λ=(舍)，所以1CN ND =.10．（1）证明见解析；（25.【分析】 （1）设平面PAD 平面PBC l =，由线面平行可证得//BC l ，由面面垂直性质可知PB ⊥平面PAD ，由线面垂直性质证得结论；（2）根据二面角平面角定义可证得PBD ∠即为所求二面角的平面角；以D 为坐标原点，利用2PA PC =和PB PA ⊥可构造方程组求得P 点坐标，进而求得sin PBD ∠，从而求得结果.【详解】（1）证明：设平面PAD 平面PBC l =，//AD BC ，BC ⊂/平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，//BC ∴平面PAD ， 又BC ⊂平面PBC ，//BC l ∴2PBC π∠=，PB BC ∴⊥，PB l ∴⊥又平面PAD ⊥平面PBC ，PB ∴⊥平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，PB PA ∴⊥.（2）连结BD ，在BCD △中，由余弦定理得：3BD ，BD BC ∴⊥， 又PB BC ⊥，PBD ∴∠为二面角P BC A --的平面角以D 为原点，分别以,DA DB 的方向为x 轴，y 轴正方向建立空间直角坐标系，()2,0,0A ∴，()3,0B ，()3,0C -.BC BD ⊥，BC PD ⊥，BD PD D =，BC ∴⊥平面PBD ， ∴平面PBD ⊥平面ABCD可设()0,,P y z ，由2PA PC =，可得：()()(22222202401434y z y z -++=+++， 化简可得：223833120y z -++=…①由（1）知PB PA ⊥，()()2,,0,3,0y z y z ∴-⋅=， 化简得：2230y z +=…② 解方程①②可得：43y =23z =224323153055PB ⎛⎫⎛⎫∴=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23255sin 15z PBD PB ∴∠===，5cos PBD ∴∠=，∴二面角P BC A --5。
福建省平潭县新世纪学校2021届高考百盛高三冲刺班数学练习(32)
百盛高三冲刺班数学练习（32)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列命题中，真命题的个数为（ ）①若a b =，则a b =；①零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行或垂直；①所有单位向量都相等；①若//AB AC ，则A 、B 、C 三点共线；①若点P 到平面内两个定点的距离之和是一个定值，则点P 的轨迹为椭圆；A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知点3(1)A ，，1(4)B -，，则与向量AB 的方向相反的单位向量是（ ） A ．（－.35.，45） B ．（－45，35） C ．（35，－45） D ．（45，－35） 3．已知向量(2,1),(3,5)a b =-=，则2a b =-（ ）A ．(8,9)--B ．(4,9)--C ．(5,6)--D ．(8,11)4．设a 、b 是两个平面向量，则“a b =”是“a b =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知平面向量,,a b c 是单位向量，且0a b ⋅=.则a b c +-的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．1,1⎤⎦C ．⎡⎤⎣⎦D ． 6．已知a ，b 是不共线的向量，,32OA a b OB a b λμ=+=+，23OC a b =+若,,A B C 三点共线，则实数,λμ满足（ ）A ．1λμ=- B ．5λμ=+C ．5λμ=- D ．1λμ=+ 7．在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB CB +=（ ） A ．2BO B ．2DO C ．BD D ．AC8．下列命题中正确的是（ ）A ．OA OB AB -= B ．0AB BA -=C ．00AB ⋅=D ．AB BC DC AD +-= 9．设ABC 中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+ 10．在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB ＝a ，AD ＝b ，则向量BF ＝（ ）A ．1233a b +B ．1233a b --C ．1233a b -+D ．1233a b - 二、填空题11．AB BD AC +-= ___________ 12．已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则a b c ++的模等于____. 13．已知()3,1a =-，则与a 方向相同的单位向量0a =________. 14．如图，在矩形ABCD 中，2BE EC =，F 为DE 的中点，若AF m AB n AD =⋅+⋅，则m n +=____.三、解答题15．已知向量a 、b 均为非零向量，且a 与b 不平行．（1）若AB a b =-，28BC a b =-，33CD a b =+，求证：A 、B 、D 三点共线；（2）若向量ma b -与a mb -平行，求实数m 的值．16．在平行四边形ABCD中，AB a=.=，AD b（1）如图①，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示BF，DE；（2）如图①，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示AG.参考答案1．B【分析】根据相等向量的定义可判断①；由零向量的定义可判断①；由单位向量的定义可判断①；向量共线且有相同起点可判断①；根据椭圆定义可判断①.【详解】①相等向量是指大小相等方向相同的两个向量，若a b =，则、a b 的方向不一定相同，错误； ①零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行或垂直，正确；①所有单位向量模长相等，但是方向不一定相同，错误；①若//AB AC ，且两个向量有共同的起点A ，则A 、B 、C 三点共线；①在同一平面内，点P 到两个定点的距离之和是一个定值，并且这个定值大于两个定点之间的距离，则点P 的轨迹为椭圆，比如定值等于两个定点之间的距离，轨迹为线段，所以错误；故选：B.【点睛】本题考查向量的有关概念、椭圆的定义，关键点是熟练掌握向量的有关概念和性质、椭圆的定义，考查了学生对基本概念的理解.2．A 【分析】求出向量AB ，再利用相反向量以及单位向量的求法即可求解.【详解】由()1,3A ，1(4)B -，，所以()3,4AB =-，所以向量AB 的方向相反的单位向量为34,55AB AB ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：A3．A【分析】利用平面向量坐标公式求解即可．【详解】2(6,10)b =，2a b ∴=-(8,9)--故选：A4．A【分析】 利用充分条件、必要条件的定义结合相等向量的定义判断即可得出结论. 【详解】 充分性：若a b =，则a 、b 方向相同且a b =，充分性成立； 必要性：若a b =，但a 、b 的方向不一定相同，即a 、b 不一定相等，必要性不成立. 因此，“a b =”是“a b =”充分而不必要条件.故选：A.5．A【分析】根据题意，求得a b c +-的表达式，分析可得表示单位圆上的点到定点(1,1)P 的距离，由点到圆的位置关系分析，即可得到答案.【详解】根据题意，三个平面向量,,a b c 是单位向量，且0a b ⋅=，可设(1,0),(0,1),(,)a b c x y ===，则(1,1)a b c x y +-=--，若c 为单位向量，则221x y +=，表示单位圆上的任意一点， 所以(1a b c +-=-表示单位圆上的点到定点(1,1)P 的距离，其最大值为1PM r OP =+=最小值为1OP r -=，所以a b c +-的取值范围是1⎤⎦.故选：A.【点睛】求平面向量的模的2种方法：1、利用a a a =⋅及22()2a b a a b b +=±⋅+，把向量模的运算转化为数量积的运算； 2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.6．C【分析】利用三点共线再利用向量相等可得答案.【详解】由,,A B C 点共线，得(1)(2)(3)OA tOB t OC t a t b =+-=++-，而OA a b λμ=+，于是有(2)(3)a b t a t b λμ+=++-，即23t t λμ=+⎧⎨=-⎩，5λμ=-. 故选：C.7．B【分析】根据向量的线性运算可得正确的选项.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形，故0AO CO +=，故22AB CB AO OB CO OB OB DO +=+++==，故选：B.8．D【分析】利用平面向量的加减法法则可判断A 、B 、D 选项；利用平面向量数乘可判断C 选项.【详解】对于A ，OA OB BA -=，故A 错误；对于B ，2AB BA BA BA BA -=--=-，故B 错误；对于C ，00AB ⋅=，故C 错误；对于D ，AB BC DC AC CD AD +-=+=，故D 正确.故选：D.9．A【分析】根据平面向量的线性运算可求得结果.【详解】因为ABC 中BC 边上的中线为AD ，所以1()2AD AB AC =+， 因为2AO DO =-，所以2AO OD =，所以23AO AD =()2132AB AC =⨯+()13AB AC =+， 所以OC AC AO =-1133AC AB AC =--1233AB AC =-+.故选：A【点睛】关键点点睛：利用平面向量的线性运算求解是解题关键.10．C【分析】 利用平面几何知识得到2BF FE =，进而得到23BF BE =，然后运算可得. 【详解】如图:因为点E 为CD 的中点，CD ①AB ， 所以2BF AB FE EC==， 所以()222112333233BF BE BC CE b a a b ⎛⎫==+=-=-+ ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属基础题，关键在于将平面几何知识与向量的加减数乘运算相结合. 11．CD【分析】利用向量的加法和减法运算法则即可求解.【详解】AB BD AC AD AC CD +-=-=，故答案为：CD12．【分析】由向量加法法则可求出a b c ++，从而可求出模.【详解】解：221a b c AB BC AC AC ++=++===.故答案为:13．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由单位向量的概念及向量同向的性质运算即可得解.【详解】 因为()3,1a =-，所以312a =+=， 所以与a 方向相同的单位向量0312a aa ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭=.故答案为：221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.14．43【分析】 根据平面向量线性运算可得到1526=+AF AB AD ，由此确定,m n 的值，从而求得结果. 【详解】由F 为DE 的中点，利用向量平行四边形法则可得：1122=+AF AE AD 利用向量三角形法则知：2233AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+ 1211523226⎛⎫∴=++=+ ⎪⎝⎭AF AB AD AD AB AD AF mAB nAD =+，12m ∴=，56n =，154263∴+=+=m n . 故答案为：43. 15．（1）证明见解析；（2）1m =±【分析】（1）由BD BC CD =+，可求得55B a b D -=，结合AB a b =-，可得5BD AB =，从而可证明A 、B 、D 三点共线；（2）由向量ma b -与a mb -平行，可知存在实数k ，使得()k ma b -=a mb -成立，进而可建立等式关系，即可求出m 的值.【详解】（1）由题意，283355a b a b a b BD BC CD =+=-++=-， 又AB a b =-，所以5BD AB =，故A 、B 、D 三点共线.（2）因为向量a 、b 均为非零向量，且向量ma b -与a mb -平行， 所以存在实数k ，使得()k ma b -=a mb -成立， 则1km k m =⎧⎨-=-⎩，1k m ==±. 故实数m 的值为±1.16．（1）12BF a b =-+ ，12DE a b =-；（2）1344AG a b =+. 【分析】 (1)结合图形，由向量的加法运算可用基底表示出两向量.(2)结合图形由向量的减法运算用基底表示BD ，进而求出BG ，由向量的加法运算可求出AG .【详解】解：（1）111222BF BC CF AD CD AD AB a b =+=+=-=-+， 1122DE DC CE AB AD a b =+=-=-. （2）BD AD AB b a =-=-，因为O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， 所以()3344BG BD b a ==-，所以()313444AG AB BG a b a a b =+=+-=+.。